初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形

1、初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形-“等邊對等角與“等角對等邊學習目標理解“等邊對等角'與“等角對等邊"的意義，會利用這兩個定理解題在同一三角形中：“欲證邊相等，先證角相等"，“欲證角相等，先證邊相等例1 .如圖，點 D在AC上，點E在AB上，且 AB=AC , BC=BD=BE , AE=DE，求/A的度數(shù)。例 2 .如圖，AB=AD=AC，/ CAD=36 °，求/ DBC 的度數(shù)。/)例3 .如圖，DE / BC, BG=CG，/ 1 = / 2。求證： DGE是等腰三角形。EF。求證：AD例4 .如圖，AD平分/ BAC , DE丄AB于點E, D

2、F丄AC于點F，連結 垂直平分EF。即是該課程的課后測試1.如圖，AB=AC , AD=AE。求證:BD=CE 。2.:如圖，在等邊三角形 求證：BD =DE。E，使CE=CD。3. 如圖，點 E, F 在 BC 上，BE=CF，/ A= / D，/ B= / C, AF 與 DE 交于點 0。試 判斷 0EF的形狀，并說明理由。4. 如圖，在 ABC中，點D、E分別在邊 AC、AB上，BD=CE，/ DBC= / ECB。求 證：AB=AC。5. 如圖， ACB和厶ECD都是等腰直角三角形，/ ACB= / ECD=90 ° , D為AB邊 上一點。求證： ACEBCD。參考答案i

3、 答案： AB=AC/ B= / C/ AD=AE/ ADE= / AEC180。- / ADE=180 ° - / AEC即/ ADB= / AEC在厶ABD和厶ACE中/ ADB= / AEC/ B= / CAB=AC ABD ACE BD=CE2答案：/ ABC是等邊三角形/ ABC= / ACB=60 °/ D為AC中點/ DBC=30 °/ CE = CD/ E=30°/ DBC= / E BDDE3. 答案：OEF為等腰三角形，理由如下：/ BE = CF BE + EF = CF+ EF即 BF = CE在ABF 和 DCE 中/ A= /

4、 D/ B= / CBF=CE ABF DCE/ AFB= / DEC OE=OF OEF為等腰三角形4. 答案:在厶CBD和厶BCE中BD=CE/ DBC= / ECBBC=CB CBD BCE/ ACB= / ABC AB=AC5答案：A ACB和A ECD都是等腰直角三角形 AC=BC , EC=DC / ACE= / DCE- / DCA，/ BCD= / ACB- / DCA，/ ACB= / ECD=90 o / ACE= / BCD在A ACE和A BCD中AC=BC/ ACE= / BCDEC=DC A ACE BA BCD初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形-等腰三角形中常用解

5、題方法學習目標熟練掌握等腰三角形問題的常用解題方法求角的方法，求邊的方法，利用角平分線與平行線的關系，構造倍半關系角例 1 .如圖，在 ABC 中，AB=AC , D 在 BC 上，且 AD=BD , AC=CD，求/ B。例2 等腰三角形的周長為 30cm，邊長是12cm，求另兩邊的長。例 3 .如圖，在厶 ABC 中，BF 平分/ ABC , CF 平分/ ACB , DE / BC ,求證：DE=BD+CE。例 4.如圖，/ B=2 / C,/ CAD= / BAD。求證：AC=AB+BD。B課后練習即是該課程的課后測試1.如圖，BC丄AC , DE丄AC,點D是AB的中點，/ A=30

6、o, DE=1.8，求 AB的長。再2求證等腰三角形底邊上任一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。3. 如圖，在 ABC 中 BD 丄 AC 于 D，/ BAC=2 / DBC。求證：/ ABC= / ACB。M是BC的中點，過 M作ME/AD4. 如圖，在 ABC 中，AD是/ BAC的平分線，1交BA的延長線于 E,交AC于F。求證：BE= (AB+AC)。2/JU等邊三角5. 在 ABC 中，BC=2AB，/ B=2 / C, AD 是 BC 邊的中線。求證： ADB 形。參考答案尼1.答案：7.2/ A=30o,DE 丄 AC , BC 丄 AC DE=1AD21BC= 一 AB2/ A

7、D=1 AB2 DE=1AD=21-AB4即 AB=4DE=4X 1.8=7.2M , PN 丄2.答案:如圖，在 ABC中，AB=AC , P是BC邊上任一點，過點 P作PM丄AB于AC于N , BE是AC邊上的高。求證： PM+PN=BE。證明：如圖，作 PQ丄BE于Q/ BE 丄 AC , PN 丄 ACT BE / PN/ PQ丄 BE, AC 丄 BE PQ / NE QE=PN/ AB=AC/ ABC= / C/ PQ/ AC/ QPB= / C/ ABC= / QPB/ PMB= / BQP=900, BP=PB PMB BQP AAS PM=BQ PM+PN=BQ+QE=BE3

8、答案:作/ BAC的平分線 AE交BC于E，交BD于O那么/ BAE= / CAE= / DBC/ BD 丄 AC/ ODA=90 °/ AOD= / BOE/ OEB=180 ° - / BOE- / DBC=180 ° - / AOD- /CAE= / ODA即/ OEB=90 °/ ABC+ / BAE=90。，/ ACB+ / CAE=90 °/ ABC= / ACB4答案:延長EM到E'使得E'M=EM，連結CE'/ M是BC的中點 BM=CM在厶BEM 和厶CE'M中BM=CM9 #/ 30E1/ B

9、ME= / CM E 'EM=E 'M BEM CE'M BE= CE ' ,Z E=Z E'TAD是/ BAC的平分線/ BAD =Z CAD/ ME/AD/ E=Z BAD，/ EFA= / CAD/ E=Z EFA AE=AF/ EFA= / CFE'/ E'= / CFE' CE'=CF BE+ AE=CF+AF=AC AB + AC=AB+BE+ AE=2BE1 BE=AB+AC25. 答案：作BE平分/ B交AC于E,連結DE/ ABC=2 / EBC BE=CETAD是BC邊的中線，D為中點 ED 丄 BC

10、, BC=2BDt BC=2AB AB=BD在厶ABE和厶DBE中AB=DB/ ABE= / DBEBE=BE ABE 也厶 DBEBAE =Z BDE =90 ABC為直角三角形TAD是Rt ABC斜邊上的中線1BC=AD=BD= AB2 ADB等邊三角形初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形構造等腰三角形熟練掌握構造等腰三角形的幾種方法利用“三線合一'構造，利用平行線構造，利用倍角關系構造例 1 .如圖，在 ABC 中，AC=BC，/ ACB=90 o, BD 平分/ ABC，且 AE 垂直于 BD 的延長線于點 E。求證：BD=2AE 。例2 .如圖，AB=AF , BC=FE，/

11、B= / F, D是CE中點。證明： AD丄CE;連結 BF后，還能得出什么結論？請你寫出兩個不要求證明。C I) E例3 .如圖，在厶ABC中，AB=AC , E為AB上一點，F(xiàn)為AC延長線上一點，且BE=CF ,EF交BC于點D。求證：DE=DF。例4.如圖，在厶ABC中，/ ABC=2 / C, AD是/ BAC的平分線。求證：AC=AB+BD。B I) C1. 如圖， ABC中，AB = AC，在AC上取點P,過點P作EF丄BC，交BA的延長線 于點E,垂足為點F。求證：AE = AP。E2. 如圖，在 ABC中，點D為AB邊上的一點，點 E為BC邊上的一點，DE / AC , O為D

12、E上一點，AO平分/ BAC，假設 AD+CE=DE，求證：CO平分/ ACB。3. 如圖， ABC 中，AD 平分/ BAC , E、F 分別在 BD、AD 上，且 DE=CD , EF=AC。 求證：EF/ AB。4. 如圖，在 ABC 中，/ ACB=2 / B , BC=2AC。求證：/ A=90 °。5. ABC中，過BC中點D作直線交 AB于E,交CA延長線于 F,且AE=AF。求證:BE=CF。參考答冕i 答案：作AD平分/ BAC交BC于點D AB=AC AD 丄 BC/ EF丄 BC AD / EF/ BAD= / E ,Z DAC= / APE/ BAD= / D

13、AC/ E=Z APE AE=AP2. 答案：AD+CE=DE，理由如下：/ AO 平分/ BAC/ CAO= / DAO/ DE / AC/ CAO= / AOD，/ EOC= / ACO/ DAO= / AOD AD=DO/ AD+CE=DE DO+CE=DE/ DO+OE=DE OE=CE/ EOC= / ECO/ ECO= / ACO CO 平分/ ACB3答案:延長AD至M，使DM = AD，連結EM在厶MDE和厶ADC中fDE=DC/ MDE= / ADCMD=AD MDE ADC ME=AC/ EF=AC，/ M= / CAD/ M= / EFM/ CAD= / EFM/ AD

14、平分/ BAC/ BAD= / CAD= / EFM EF / AB 4答案:作CD平分/ ACB交AB于D，過D作DE丄BC于E/ ACB=2 / B / B= / BCD DBC是等腰三角形/ DE 丄 BC BC=2CE/ BC=2AC AC=EC在厶ACD和厶ECD中AC=EC/ ACD= / ECDCD=CD ACD ECD/ A = Z DEC = 90 °5答案：過點C作CG/AB，交FD延長線于 G/ G= / BED，/ GCD= / B, DB=CD CGD BED AAS CG=BE/ AE=AF/ AEF= / F/ G= / AEF = / F CG=CF

15、BE=CF初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形-等腰三角形中的多解問題學習目標掌握有關等腰三角形問題的分類討論思想與邊有關的多解，與角有關的多解，與腰上的中線及腰上的高有關的多解例1 等腰三角形的一邊長是6,另一邊長是7,那么這個三角形的周長是多少?例2 等腰三角形的一個內(nèi)角是 30o,那么其余兩個內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？例3 等腰三角形一腰上的中線把等腰三角形的周長分成15和12兩局部，那么此等腰三角形的底邊長是多少？1例4 等腰三角形 ABC中，BC邊上的高AD= BC ,求/ BAC的度數(shù)。2即是該課程的課后測試1 等腰三角形的一個內(nèi)角為75°那么其頂角為A. 30 °B

16、. 75 °C. 105 °D. 30 ° 或 75°2 等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6,那么它的周長等于 。3假設等腰三角形一腰上的中線把這個等腰三角形的周長分為9cm和12cm兩局部，求這個等腰三角形的底邊和腰的長。4等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45。，求這個等腰三角形的頂角的度數(shù)。5為美化環(huán)境，方案在某小區(qū)內(nèi)用30m2的草皮鋪設一塊一腰長為10m的等腰三角形綠地，求出這個等腰三角形綠地的另兩邊長。1. 答案：D。75°角可能是頂角，也可能是底角。當75°是底角時，那么頂角的度數(shù)為180° -75 &#

17、176; X 2=30當75°是頂角時，那么頂角的度數(shù)就等于75 °。所以這個等腰三角形的頂角為30°或75°。故應選D。2. 答案：16或17。當5是腰長時，這個等要三角形的底邊長就是 6,此時等腰三角形的周長等于 16; 當6是腰長時，這個等腰三角形的底邊長就是5,此時等腰三角形的周長等于 17。故這個等腰三角形的周長等于 16或17。3. 答案：腰長是6cm時，底邊長是9cm;腰長是8cm時，底邊長是5cm。設這個等腰三角形的腰長是xcm，底邊長為y cm,由題意得1x x21 -x y29或121x x21 -x y2129解得即當腰長是6cm時

18、，底邊長是9cm;當腰長是8cm時，底邊長是5cm。4. 答案：450或 1350。分為兩種情況：假設等腰三角形 ABC為銳角三角形，因為/ ACD=45 o, CD丄AB ,所以/ A=90o-45o=45 o;I)假設等腰三角形 ABC為鈍角三角形，因為/ ACD=45o, CD丄AB ,所以/ CAD=90 0-45 o=45o,所以/ BAC=180 o-45o=135o。5. 答案：另外兩邊分別為10m, 2 10 m或10m , 6.10 m。在等腰 ABC 中，設 AB=10m，作 CD丄AB 于 D，由1S abcABMCD 30m,可得 CD=6m2如右圖，當AB為腰且 AB

19、C為銳角三角形時AB=AC=10m，所以 AD .'AC2 CD28mBD=2m , BC .'CD2 BD22 10m如右圖，當AB為腰且 ABC為鈍角三角形時，AB=BC=10m , BD . BC2 CD2 8(m),所以 AD=18m , AC CD2 AD26 10(m)初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形-利用等腰三角形的性質(zhì)解決生活問題學習目標能夠熟練利用等腰三角形的知識解決相關的實際生活問題數(shù)學是一門應用十分廣泛的學科，它來源于現(xiàn)實生活， 而高于現(xiàn)實生活，它所反映的是現(xiàn)實生活中某些普遍的性質(zhì)例1.如圖，標桿 AB高8m，為了將它固定，需要由它的中點 C向地面與點B

20、距離相 等的D , E兩點拉繩子，使得點 D, B , E在一條直線上。量得 DE=6m，繩子CD和CE要 多長？例2 如圖，廠房屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD丄BC,且頂角/ BAC=100 0,那么/ B,/ C,Z BAD，/ CAD 各是多少度？例3 .如圖，一條船上午8時從A處以20海里/時的速度向正南航行，上午10時到達B處，從A處測得燈塔C在南偏東300方向上，在B處測得燈塔C在南偏東600方向上。B求B處離燈塔C的距離;輪船從B處出發(fā)，按原速航行，再過多少小時燈塔C正好在船的正東方向?例4 某同學用下面的方法檢測教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜邊中點拴

21、一 條線繩，線繩的另一端掛一個鉛錘，把這塊三角尺的斜邊貼在房梁上，結果線繩經(jīng)過三角尺的直角頂點，同學們確信房梁是水平的。為什么？例5.如圖，要把一塊三角形的土地均勻分給甲、乙、丙三家農(nóng)戶去種植。如果 / C=90o,/ B=30o,要使這三家農(nóng)戶所得土地的大小、形狀都相同，請你試著分一分，在圖上畫出來。即是該課程的課后測試1. 如圖，上午8時，一條船從 A處出發(fā)，以15海里/時的速度向正北航行， 10時到 達B處，從A、B望燈塔C,測得/ NAC = 42°,/ NBC=84 °，那么從B處到燈塔C的距 離是多少？2. 有一個三角形的支架如下列圖， AB=AC，小明過點 A

22、和BC邊的中點D架了一個細 木條，經(jīng)測量/ B=300,你在不用任何測量工具的前提下，能得到/ BAD和/ ADC的度數(shù) 嗎？3有一本書折了其中一頁的一角，如圖，測得AD=30cm , BE=20cm，/ BEG=60°，求折痕EF的長。4. 如圖，AB是直線I上方的一條固定線段，現(xiàn)在要在直線I上找一點P使得 PAB是一個等腰三角形，請在圖中畫出所有符合題意的點P的位置。5. 把一根長24厘米的小棒截成三段 每段的長都是整厘米數(shù)，圍成一個等腰三角形, 有多少種方法？1. 答案：30海里。/ NBC=84o,/ NAC=42 o/ C=Z NBC- / NAC=84 o-42o=42o

23、 BC=AB=15 X 10-8=30海里答：從B處到燈塔C的距離是30海里。2. 答案：60o, 90o。/ AB=AC ABC是等腰三角形/ B= / C=30o/ BAC=180 o- / B- / C=120oTAD是等腰 ABC底邊BC上的中線 AD 平分/ BAC , AD 丄 BC/ BAD= / CAD=120 o- 2=60o,Z ADC=90 o答：/ BAD的度數(shù)是 60o,Z ADC的度數(shù)是 90o。3. 答案:/ BC=AD=30cm , BE=20cm CE=BC-BE=10cm/ GEF= / CEF，/ GEF+ / CEF+ / BEG=180 o,Z BEG

24、=60o/ CEF= 180o-60o+ 2=60o/ C=90o/ CFE=30o EF=2CE=20cm答：EF的長是20cm。4答案:作AB的垂直平分線與直線 I交于點P,連結PA, PB,那么PA=PB,所以 PAB為 等腰三角形。以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，與直線I交于點P,那么AB=PA，連結PB，AP, 那么 PAB為等腰三角形。135.答案：五種：7,乙 10， 8, 8, 8，9, 9, 6， 10, 10, 4， 11, 11, 2。初二數(shù)學重難點專題突破-等腰三角形-巧用等邊三角形解題學習目標熟練掌握利用等邊三角形解題的方法，會構造等邊三角形解題利用等邊三角形求角的度

25、數(shù)，求線段的長，構造等邊三角形本節(jié)例題例1 .如圖，AD是等邊 ABC的中線，在 AC上截取 AE=AD，求/ EDC的度數(shù)。例2.如圖，在等邊 ABC中，BD丄AC于點D,延長BC到點E,使CE=CD , AB=10 , 求BE的長。例3.如圖， ABC為等邊三角形，延長 BA到E,延長BC到D，使AE=BD，求證:ED=EC 。BCD例4.如圖， ABD為等邊三角形，/ BCA=60o。求證：AC=BC+CD 。即是該課程的課后測試1.如圖，點B、C、D在同一條直線上， ABC和厶CDE都是等邊三角形。 BE交AC 于 F, AD 交 CE 于 H。求證： BCEACD。2.如圖，：在等邊 ABC中，D、E分別在 AB和AC上，且 AD=CE , BE和CD相 交于點P。求/ BPD的度數(shù)。3等腰三角形 ABC，AB=AC，/ BAC=100 o, BC=AD，求/ BCD 的度數(shù)。4. 如圖，點 E是等邊 ABC內(nèi)一點，且 EA=EB , ABC外一點D滿足BD=BC ,/ DBE