異面直線所成的角求法

1、B異面直線所成的角一、平移法：常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)）：補(bǔ)形平移法：補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處 理，利用補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空間四邊形ABCD中，AD = BC = 2, E, F分別為AB、CD的中點(diǎn)，EF= .3，求AD、 BC所成角的大小.解：設(shè)BD的中點(diǎn)G,連接FG,丘在厶EFG中 EF= .3 FG = EG= 1/ EGF= 120°二 AD 與 BC 成 60°的角。2. 正 ABC的邊長為a, S為厶ABC所在平面外的一點(diǎn)，S

2、A= SB= SC= a, E，F(xiàn)分別是SC 和AB的中點(diǎn).求異面直線SA和EF所成角.答案：45°3. S是正三角形 ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖 SA= SB= SC,且.ASB = BSC= CSA=-,M、N分別是AB和SC的中點(diǎn).求異面直線SM與BN所成的角的余弦值.證明：連結(jié)CM，設(shè)Q為CM的中點(diǎn)，連結(jié)QN則QN / SM/ QNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)BQ,設(shè)SC= &,在厶BQN中BN = -a NQ = SM = a BQ = a2 2 2 COS/QNB =BN 2 NQ2BQ2 _ .一 102BN NQ 54. 如圖，在直三棱柱 ABC A1

3、B1C1中，/ BCA = 90°, M、N分別是A1B1和A1C1的中點(diǎn), 若BC = CA = CC1, 求 BM與AN所成的角.解：連接MN，作NG / BM交BC于G,連接AG , 易證/ GNA就是BM與AN所成的角.cos/ GNA =6 5 -5302、6 i510設(shè)：BC = CA = CC1 = 2,貝U AG = AN = ”5 , GN = BM = .6 ,5. 如圖，在正方體 ABCD AiBiGDi中，E、F分別是BBi、CD的中點(diǎn).求AE與DiF所成的角證明：取AB中點(diǎn)G,連結(jié)AiG, FG, 因?yàn)镕是CD的中點(diǎn)，所以GF£AD ,又 AiDi

4、£AD，所以 GF£AiDi,故四邊形GFDiAi是平行四邊形，AiG/ DiF0設(shè)AiG與AE相交于H，則/ AiHA是AE與DiF所成的角因?yàn)?E 是 BBi 的中點(diǎn)，所以 RtAAiAGABE, / GAiA= / GAH,從而/ AiHA=90 ,即直線AE與DiF所成的角為直角6. 如圖i 28的正方體中，E是A 啲中點(diǎn)(1) 圖中哪些棱所在的直線與直線 BA'成異面直線？(2) 求直線BA'和CC所成的角的大小；(3) 求直線AE和CC所成的角的正切值；求直線AE和BA所成的角的余弦值解：(i) A一平面BC，又點(diǎn)B和直線CC都在平面BC內(nèi)，且B

5、 - CC直線BA與CC是異面直線 同理，正方體i2條棱中的C D' DD、DC、AD、B ' C 所在的直線都和直線BA成異面直線(2) t CC / BB'，二BA和BB'所成的銳角就是BA和CC所成的角/ A BB =451 BA和CC所成的角是45°t AA / BB' / CC，故AE和AA所成的銳角/ A AE是 AE和CC 所成的角在RgAA £中，曲A ' AE=篇=2，所以AE和CC所成角的正切值是扌/ /取B ' C勺中點(diǎn)F,連EF、BF,則有EF = A B = AB,/ ABFE是平行四邊形，從

6、而 BF = AE,即BF / AE且BF=AE. BF與BA所成的銳角/ A ' B!就是AE和BA所成的角（圖 1-29）設(shè)正方體各棱長為2,連A F利用勾股定理求出 A BF的各邊長分別為 A' B 2血,A 匕BF =，由余弦定理得：cos/ A A BR (2 2)2(-5)2十5)2 二22*2 江丁557. 長方體ABCD AiBiCiDi中，若AB=BC=3 , AAi=4,求異面直線BiD與BCi所成角的大 小。解法一：如圖，過Bi點(diǎn)作BiE/ BCi交CB的延長線于E點(diǎn)。則/DBiE或其補(bǔ)角就是異面直線 DBi與BCi所成角，連結(jié)DE交AB于M , DE=2

7、DM=3 .5 ,cos / DBiE=741707.34/Z DBiE= arc cos 170解法二：如圖，在平面DiDBBi中過B點(diǎn)作BE / DBi交DiBi的延長線于E,則/CiBE就 是異面直線DBi與BCi所成的角，連結(jié)CiE，在 BiCiE中，Z CiBiE=i35°, CiE=3亦，cos / CiBE=7i74，/Z CiBE= arc cos.34i70練習(xí)：8.如圖,PA_矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=i0,9. 在長方體ABCD- A 1B1C1D1中，若棱B Bi=BC=1 , AB= - 3，求D B和AC所成角的余弦AB中位線平移法：構(gòu)造

8、三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為 平面問題，解三角形求之。解法一：如圖連結(jié)BiC交BCi于0,過0點(diǎn)作OE/ DBi,貝U/BOE為所求的異面直線DBi圖解法二：女口圖，連DB、AC交于 O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE / DBi,過E點(diǎn)作EF / CiB，貝OEF/73或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過 O點(diǎn)作OM / DC，連結(jié)MF、OF。則OF="，2cos / OEFr- 7"4，二異面直線 BiD 與 BCi 所成的角為 arc cos 4。170i70解法三：如圖，連結(jié)DiB交DBi于O,連結(jié)DiA，貝U四邊形ABCiDi為平行四邊形。在平 行

9、四邊形ABCiDi中過點(diǎn)O作EF / BCi交AB、DiCi于E、F,則/ DOF或其補(bǔ)角就是異 面直線 DBi與 BCi所成的角。在 ADF中DF= 3邁,cos / DOF= 4 ,2i707 34 / DOF= arc cos i70課堂練習(xí)i0.在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線 AE和BD所成角的余弦值。補(bǔ)形平移法：在已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一：如圖，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長方體ABCD-A2B2C2D2，連結(jié) D2B，則DBi/ D2B ,/ C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線 DBi與BCi所成的角，連C1D2, 則厶

10、C1D2C2為RtA，cos / CiBD2= 7空，二異面直線 DBi與BCi所成的角是170a/34arc cos 170課堂練習(xí)：11. 求異面直線AiCi與BDi所成的角的余弦值。在長方體ABCD-A 1B1C1D1的面BCi上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長 方體，將AiCi平移到BE，則/ DiBE或其補(bǔ)角就是異面直 線AiCi與 BDi所成的角，在 BDiE 中， BD1=3 DE= 25二、利用模型求異面直線所成的角模型1引理：已知平面a的一條斜線a與平面a所成的角為9i,平面a內(nèi)的一條直線b與 斜線a所成的角為0,與它的射影a'所成的角為 伍。求證：cosB = cos B co

11、s。在平面：的斜線a上取一點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB,垂足為0、B+ 連接OB,貝U OB丄b.Ao 在直角 AOP中，cos =.APAB 在直角 ABC中，cose =A0AB 在直角 ABP 中，cos“=AB.APa6ABB=AB=COS.AC APAC所以 COSCOSl =AP所以 COS 3 COS2 = COS V證明：設(shè)PA是a的斜線，OA是PA在a上的射影，OB/b，如圖所示。則/ PAO=0i,Z PAB=0,/ OAB羽 2, 過點(diǎn)O在平面a內(nèi)作OB丄AB，垂足為B,連結(jié)PB?？芍?PB丄 AB。所以 cos d= OA， cos 0=B，cos (2

12、= -ABPAPAOA所以 COS 0 = COS COS。利用這個(gè)模型來求兩條異面直線 a和b所成的角，即引理中的角 00 需：過a的一個(gè)平面a,以及該平面的一條斜線b以及b在a內(nèi)的射影。12. 如圖，MA丄平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且 MA=AB=a，試求異面直線 MB與 AC所成的角。解：由圖可知，直線 MB在平面ABCD內(nèi)的射影為AB ,直線MB與平面ABCD所成的角為45°直線AC與直線MB的射影AB所成的角為45°所以直線AC與直MB所成的角為0,滿足1COS 0 =COS45 °- COS45所以直線AC與MB所成的角為60A在底面ABC

13、上的射影為BC的中213. 已知三棱柱ABC - ABG的側(cè)棱與底面邊長都相等,點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為(D(A)遼(B)込44解：設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連結(jié)AD, AD，易知- AAB即為異面直線AB與C®所成的角,由三角余弦定理，易知co,二遠(yuǎn)AAD COS DA經(jīng)詈專故選D14. 如圖，在立體圖形 P-ABCD中，底面 ABCD是一個(gè)直角梯形，/ BAD=90 , AD/BC , AB=BC=a , AD=2a, 且 PA丄底面 ABCD , PD與底面成30°角，AE丄PD于D。求異面直線CAE與CD所成的角的大小。解：過E作AD的平行線EF交AD于

14、F,由PA丄底面ABCD可知， 直線AE在平面ABCD內(nèi)的射影為 AF ,直線AE與平面ABCD所 成的角為/ DAE，其大小為60°學(xué)習(xí)-好資料射影AF與直線CD所成的角為/ CDA，其大小為45°所以直線與直線所成的角B滿足cos 0 =cos60c呼,所以其大小為a模型2 定理：四面體ADBCD兩相對棱AC、BD間的夾角為小則有a AD3 + BC3-ABa-DCacos&=所以有：2AC - ED15. 長方體 ABCD AiBiCiDi 中，AB=AA i=2cm, AD=1cm，求異面直線 AiCi 與 BDi 所成的 角。解：連結(jié)由定理得:BCi、Ai

15、B在四面體為，易求得2xjtx3二、向量法求異面直線所成的角i6.如圖，在正方體ABCD-A iBiCiDi中，E、F分別是相鄰兩側(cè)面 BCCiBi及CDDiCi的中心。 求AiE和BiF所成的角的大小。解法一：（作圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個(gè)點(diǎn) 上。作法：連結(jié)BiE，取BiE中點(diǎn)G及AiBi中點(diǎn)H，iHGERiS連結(jié)GH，有GH/AiE。過F作CD的平行線RS,學(xué)習(xí)-好資料分別交CC1、DD1于點(diǎn)R、S,連結(jié)SH,連結(jié)GS。由 B1H/C1D1/FS, B1H=FS，可得 B1F/SH。在厶GHS中，設(shè)正方體邊長為a。6GH='a （作直線 G

16、Q/BC交BB1于點(diǎn)Q，4連QH，可知 GQH為直角三角形），HS=a （連A1S，可知 HA1S為直角三角形），GS=a （作直線GP交BC于點(diǎn)P,連241PD,可知四邊形GPDS為直角梯形）。二Cos/ GHS=61所以直線A1E與直線B1F所成的角的余弦值為-。6解法二：（向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體，B1F所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用 向量的方法來求出兩條直線間的夾角。以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸，BBi為z軸，設(shè)BC長度為2。尿 則點(diǎn)Ai的坐標(biāo)為（0，2，2），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0，1），點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為（0

17、，0，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，1，1）；所以向量EA1的坐標(biāo)為（-1, 2，1），向量BF的坐標(biāo)為（2，1，-1）， 所以這兩個(gè)向量的夾角B滿足A EA1 b1f（-1） 7+2“ +仆（-1）1cos=-。I EA1 | | B1F | .（-1）2 （2）2 （1）2 飛2 （1）2 （-1）26所以直線A1E與直線B1F所成的角的余弦值為1617. 已知空間四邊形 ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ,M、N分別為BC和AD的中點(diǎn),設(shè)AM和CN所成的角為a,求cos a的值。（平移法也可） 解：由已知得，空間向量 AB , AC , AD不共面， 且兩兩之間的夾角均為60

18、°由向量的加法可以得到11AM= （ AB + AC ）, NC = AD+AC22所以向量AM與向量NC的夾角O （即角a或者a的補(bǔ)角）AM 'NC滿足cos O，其中| AM | | NC |.1 一 一 1 一 AM =2 ( AB + AC) (一嚴(yán)AC )1 11 -=( AB AD + AB AC + ( AD )AC + AC AC )2 22學(xué)習(xí)-好資料12/111八12=_ a (+1) = _ a ;2424-2 1|AM | =( AB+AC )1| NC |2= ( AD + AC )218.已知空間四邊形 ABCDFD=1: 2，EF= . 7，求A

19、B和CD所成的角的大小。解：取AC上點(diǎn)G,使AG : GC=1: 2。連結(jié)EG、FG，可知 EG/AB，F(xiàn)G/CD，3EG=2AB，3FG=CD。21由向量的知識可知EF =EG+GF = BA + -CD，33(AB + AC ) =1 (1+1+1)41 iiAD + AC ) = +1 -2 422 3a =42_ 3a =4a。所以 cos a =| cos i I。中，AB=CD=3 , E、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且BE: EC=AF:設(shè)向量BA和CD的夾角為i則由 | EF |2= ( 2BA +CD )33得cos9=，所以AB和CD所成的角為60°。22 一 i

20、(三 BA+丄 CD ) =4+i+4cosB =73 319.(思考題)如圖，已知平行六面體 ABCDAiBiCiDi中，底面ABCD是邊長為a的正方 形，側(cè)棱AAi長為b,且AAi與AB、AD的夾角都是120°.求：(i)ACi的長；(2)直線BDi與AC所成的角的余弦值.技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用解：(1) I AG I2 =AG AG =(AAr AC)(AA1 AC) =(AAi AB AD)(AAi AB AD)斗 AA |2 | AB |2 | AD |2 2AA AB 2AA AD 2AB AD 由已知得:|AA1 |2=b2,|AB|2=|A

21、D|2=a2:：AA , AB =： AA , AD =120,： AB, AD =90 1 1.AA AB =b acos120ab, AA, AD =b acos120 ab, AB AD = 0,2 22 2 2 2 2.| ACi | -2ab -2ab,. | ACi |= 2a b -2ab.(2)依題意得,| AC |=-運(yùn)a, AC =AB - ADBDi = AD BA AA, AD - AB.AC BD, =(AB AD)(AA, AD -AB)2 2=AB AAi AD AAi AB AD AD-AB-AB AD 二-ab|BDi |2 =BDi BD(AA, AD -A

22、B)(AA, AD _AB)-bI BDi IIACI 4a2 2b2弓 AA |2 | AD |2 | AB |2 2AAi AD -2AB AD -2AA AB 二 2a2 b2 | BDi |F2a2 b2 cos ： BD, AC 二 BD1 AC學(xué)習(xí)-好資料 BDi與AC所成角的余弦值為 b.；4a2b2判斷是非：(1)(3)(8)(10)正確，其余錯(cuò)；選擇：1(C) ； 2(D) ； 3(D) ； 4(D) 桿5. (2)相交，(5)平行，其余異面；(6): (D)，取 AB 中 點(diǎn)M， CCi中點(diǎn)N，連BiE和BiF; (7)答案：(A)，延長BiA至M使AMh AQ,連MA 取

23、 AB中點(diǎn) N. 8(D) ； 9(E) ； 10(D) ； 11(C)；三. 4，取AD中點(diǎn)E,則/ MEN = 90°3四. _Z，取 AC 中點(diǎn) F,連 EF、BF，求得 BE= -1 AD = 5，BF = 1 AC = 3.2 ；5 2 2五. 口，分別取AC、B1C1的中點(diǎn)P、Q,則PMQN是矩形，設(shè)CCMQ = a，則MP = - a；六. 丄，取 AC 中點(diǎn) F,連 EF、BF，則 EF= 4，BE = BF = 3.6異面直線所成的角-作業(yè)班級：姓名：學(xué)號：一、判斷是非(下列命題中，正確的打“乂”錯(cuò)誤的打“X”)(I) 梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；對邊相等的四邊形是

24、平行四邊形；(3)平行于同一直線的兩直線平行；(4)垂直于同一直線的兩直線平行；(5)兩條直線確定一個(gè)平面；(6)經(jīng)過三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；(7)無公共點(diǎn)的兩直線異面；(8)兩異面直線無公共點(diǎn)；(9)兩異面直線可以同時(shí)平行于一直線；(10)兩異面直線可以同時(shí)垂直于一直線；(II) 不同在一個(gè)已知平面內(nèi)的兩直線異面；(12)互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1. 沒有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是()(A)平行(B)異面(C)平行或異面(D)不能確定2. 分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是 ()(A)異面(B)平行(C)平行或異面(D)平行或異面或相交3. 兩條異面直線指的是()(A)在空間不相交的兩條直線(B)某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線(C)分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線(D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4. a、b是異面直線，b、c也是異面直線，那么a、c的位置是()學(xué)習(xí)-好資料(A)異面(B)異面或平行(C)異面或相交5.說出正方體中各對線段的位置關(guān)系：(1) AB 和 CCi；(2)AiC 和 BDi；(3)AiA 和 CBi； AiCi 和 CBi； AiBi 和 DC ；(6)BDi 和 DC.(D)相交、平行或異面A+J B*-'6.在棱長為i的正方體ABCD AiBiCiDi中，M和N分別為AiBi和BBi的