高中數(shù)學(xué) 13《空間幾何體的表面積與體積柱體、錐體、臺(tái)體》人教A版必修2

1、1 1、3 3 空間幾何體的空間幾何體的表面積與體積表面積與體積1.3.1柱體、椎體、臺(tái)體柱體、椎體、臺(tái)體的的表面積與體積表面積與體積問(wèn)題提出問(wèn)題提出 1. 1.對(duì)于空間幾何體，我們分別從結(jié)對(duì)于空間幾何體，我們分別從結(jié)構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面進(jìn)行了研究，為構(gòu)特征和視圖兩個(gè)方面進(jìn)行了研究，為了度量一個(gè)幾何體的大小，我們還須進(jìn)了度量一個(gè)幾何體的大小，我們還須進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何體的表面積和體積一步學(xué)習(xí)幾何體的表面積和體積. . 2. 2.柱、錐、臺(tái)、球是最基本、最簡(jiǎn)柱、錐、臺(tái)、球是最基本、最簡(jiǎn)單的幾何體，研究空間幾何體的表面積單的幾何體，研究空間幾何體的表面積和體積，應(yīng)以柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積，應(yīng)以柱

2、、錐、臺(tái)、球的表面積和體積為基礎(chǔ)和體積為基礎(chǔ). .那么如何求柱、錐、臺(tái)、那么如何求柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積呢？球的表面積和體積呢？知識(shí)探究知識(shí)探究 .柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 思考思考: :面積是相對(duì)于平面圖形而言的，體面積是相對(duì)于平面圖形而言的，體積是相對(duì)于空間幾何體而言的積是相對(duì)于空間幾何體而言的. .你知道面你知道面積和體積的含義嗎？積和體積的含義嗎？面積面積:平面圖形所占平面的大小平面圖形所占平面的大小 體積體積:幾何體所占空間的大小幾何體所占空間的大小 在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，你在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，你知道正方體和長(zhǎng)方體的

3、展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長(zhǎng)方體的展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面積展開(kāi)圖展開(kāi)圖平面圖形面積平面圖形面積空間問(wèn)題空間問(wèn)題平面問(wèn)題平面問(wèn)題 正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圍成的幾何體，它正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圍成的幾何體，它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和們的表面積就是各個(gè)面的面積的和 因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積探究探究 棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它們的幾

4、何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？的表面積？ 棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？h正棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖正棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖 棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？/h/h正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖 棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？側(cè)面展開(kāi)正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖 棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？面積？側(cè)面展開(kāi)hh正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖 棱柱、

5、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開(kāi)圖還是平面圖形，計(jì)算它們的體，它們的側(cè)面展開(kāi)圖還是平面圖形，計(jì)算它們的表面表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和h 例例1 已知棱長(zhǎng)為已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 DBCAS 分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形分析：四面體的展開(kāi)圖是由四個(gè)全等的正三角形組成組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體

6、因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，過(guò)點(diǎn)的面積，過(guò)點(diǎn)S作作 ，ABCBCSD OOr)(2222lrrrlrS圓柱表面積lr2圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形)(2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr 參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)參照?qǐng)A柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，試想象圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么面展開(kāi)圖是什么 )(22rllrrrS圓臺(tái)表面積r2lOrO r2 r圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán)lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺(tái) 圓

7、柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？關(guān)系？rr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大r0上底縮小上底縮小 例例2 2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底直徑為底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長(zhǎng)，盆壁長(zhǎng)15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cmcm15cm20cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：

8、2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面積約是答：花盆的表面積約是999 999 2cm 以前學(xué)過(guò)特殊的棱柱以前學(xué)過(guò)特殊的棱柱正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱的體積公式的體積公式, ,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：它們的體積公式可以統(tǒng)一為：ShV （S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）一般棱柱體積也是：一般棱柱體積也是：ShV 其中其中S為底面面積，為底面面積，h為棱柱的高為棱柱的高圓錐的體積公式：圓錐的體積公式：ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的 31

9、探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系三棱錐與同底等高的三棱柱的關(guān)系三棱錐與同底等高的三棱柱的關(guān)系ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類(lèi)似，都是底由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類(lèi)似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類(lèi)似，都是等于面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類(lèi)似，都是等于底面面積乘高的底面面積乘高的 31 經(jīng)過(guò)探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積經(jīng)過(guò)探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積的的 即棱錐的體積：即棱錐的體積：31 由于圓臺(tái)由于圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )是由圓錐是由圓錐( (棱棱錐錐)

10、 )截成的，因此可以利用兩個(gè)錐截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差得到圓臺(tái)體的體積差得到圓臺(tái)( (棱臺(tái)棱臺(tái)) )的的體積公式體積公式( (過(guò)程略過(guò)程略) )根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？根據(jù)臺(tái)體的特征，如何求臺(tái)體的體積？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31討論：臺(tái)體的上底面積討論：臺(tái)體的上底面積S S，下底面積，下底面積S S，高，高h(yuǎn) h，由，由此如何計(jì)算切割前的錐體的高？此如何計(jì)算切割前的錐體的高？ 如何計(jì)算臺(tái)體的體積？如何計(jì)算臺(tái)體的體積？解解:設(shè)切割設(shè)切割前的錐體的高前的錐體的高為為x,則則:2()xSxSxhShSSSxhSS11()33VS hxS

11、 x 為高。分別為上、下底面積，、其中臺(tái)體hSShSSSSV)(312211()()33VSS SS hrrRRh圓臺(tái)想一想：柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式有何關(guān)系？想一想：柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式有何關(guān)系？從錐、臺(tái)、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺(tái)體上底縮為從錐、臺(tái)、柱的形狀可以看出，當(dāng)臺(tái)體上底縮為一點(diǎn)時(shí)，臺(tái)成為錐；當(dāng)臺(tái)體上底放大為與下底相一點(diǎn)時(shí)，臺(tái)成為錐；當(dāng)臺(tái)體上底放大為與下底相同時(shí)，臺(tái)成為柱。因此只要分別令同時(shí)，臺(tái)成為柱。因此只要分別令S=SS=S和和S=0S=0便便可以從臺(tái)體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式?？梢詮呐_(tái)體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式。從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺(tái)體的體積公式從而錐、柱的公

12、式可以統(tǒng)一為臺(tái)體的體積公式棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式棱臺(tái)（圓臺(tái)）的體積公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分別為上、下底面面積，分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)為圓臺(tái)（棱臺(tái)）的高（棱臺(tái)）的高SS柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV SS S分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺(tái)體高為臺(tái)體高ShV310SS為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小思考思考關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理：關(guān)于體積有如下幾個(gè)原理： （1 1）相同的幾何體的體積相等

13、；）相同的幾何體的體積相等； （2 2）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分）一個(gè)幾何體的體積等于它的各部分體積之和；體積之和； （3 3）等底面積等高的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的）等底面積等高的兩個(gè)同類(lèi)幾何體的體積相等；體積相等； （4 4）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做）體積相等的兩個(gè)幾何體叫做等積體等積體. . 例例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm，問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取取3.14）？）？3

14、/8 . 7cmg 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體積與圓柱體積之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的個(gè)數(shù)為所以螺帽的個(gè)數(shù)為252)956. 28 . 7(10008 . 5（個(gè)）（個(gè)）答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有252252個(gè)個(gè)鞏固練習(xí)：鞏固練習(xí)：1.1. 把三棱錐的高分成三等分，過(guò)這些分點(diǎn)且平行把三棱錐的高分成三等分，過(guò)這些分點(diǎn)且平行于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求于三棱錐底面的平面，把三棱錐分成三部分，求這三部分自上而下的體積之比。這三部分自上而下的體積之比。2 2、棱臺(tái)的兩個(gè)底面面積分別是、棱臺(tái)的兩個(gè)底面面積分別是245c245cm m2 2和和8080m m2 2，截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高為截得這個(gè)棱臺(tái)的棱錐的高為35cm35cm，求這個(gè)棱臺(tái)的，求這個(gè)棱臺(tái)的體積。體積。（答案：（答案：2325cm2325cm3 3）3.3. 已知圓錐的側(cè)面積是底面積的已知圓錐的側(cè)面積是底面積的2 2倍，它的軸截倍，它的軸截面的面積為面的面積為4 4，求圓錐的體積，求圓錐的體積. .4.4. 高為高為12cm12cm的圓臺(tái)，它的中截面面積為的圓臺(tái)，它的中截面面積為225cm225cm2 2, ,體積為體積為2800cm