定積分典型例題

1、定積分典型例題例1求lim4r(行+3才+|+2.Jn分析將這類問題轉(zhuǎn)化為定積分主要是確定被積函數(shù)和積分上下限.若對(duì)題目中被積函數(shù)難以想到，可采取如下方法：先對(duì)區(qū)間0,1n等分寫出積分和，再與所求極限相比較來找出被積函數(shù)與積分上下限.解將區(qū)間0,1n等分，則每個(gè)小區(qū)間長為取=1,然后把J=11的一個(gè)因子-乘nnnnn入和式中各項(xiàng).于是將所求極限轉(zhuǎn)化為求定積分.即lim-12-(3/n1f(x)=x+3a,且_(x+3a)dx=(f(t)dt=a.+3'2n2+|)=lim1(；工+1II+：門)=f3/xdx=-.n一.'nn-nn,nn0422例222x-xdx=.2ccc解

2、法1由定積分的幾何意義知，J2x-x2dx等于上半圓周(x-1)2+y2=1(y0)2與x軸所圍成的圖形的面積故0GTdx=；2例18計(jì)算J_Jx|dx.分析被積函數(shù)含有絕對(duì)值符號(hào)，應(yīng)先去掉絕對(duì)值符號(hào)然后再積分.j202x2x2C5斛£jx|dx=口x)dx+1xdx=萬,+r0=5.注在使用牛頓-萊布尼茲公式時(shí)，應(yīng)保證被積函數(shù)在積分區(qū)間上滿足可積條件.如f34dx=-匕1:1,則是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因則是由于被積函數(shù)4在x=0處間斷且在被2x2x6x2積區(qū)間內(nèi)無界.2_2_例19計(jì)算maxx,xdx.分析被積函數(shù)在積分區(qū)間上實(shí)際是分段函數(shù)x2f(x)=x1：x<20<x&

3、lt;11717=-r=2362一122.v3一maxx,xdx=xdx，1xdx=-0一100-123例20設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且f(x)=x+3(f(t)dt,則f(x)=1b分析本題只需要注意到定積分f(x)dx是常數(shù)(a,b為常數(shù)).'a11解因f(x)連續(xù)，f(x)必可積，從而(f(t)dt是常數(shù)，記(f(t)dt=a,則所以r1211-x+3axo=a,即萬+3a=a,，一1.3從而a=一一,所以f(x)=x一一.443x2-0<x：1x例21設(shè)f(x)=,一三，F(xiàn)(x)=f(t)dt,0ExE2,求F(x),并討論F(x)5-2x,1MxM20的連續(xù)性.分析由于f

4、(x)是分段函數(shù)，故對(duì)F(x)也要分段討論.解(1)求F(x)的表達(dá)式.F(x)的定義域?yàn)?,2.當(dāng)xW0,1時(shí)，0,xu0,1,因此一X_x_23x3F(x)=Lf(t)dt=L3t2dt=t30=x3.當(dāng)xw(1,2時(shí)，0,x=0,1U1,x,因此，則F(x)=(；3t2dt十j(52t)dt=t30+5tt2：=+5xx2,故,3|x,0,x：:1F(x)=42,-35x-x,1MxM2(2) F(x)在0,1)及(1,2上連續(xù)，在x=1處，由于limf(x)=limg+5xx2)=1,limF(x)=limx3=1,F(1)=1.x1'x1x：1-x1-因此，F(xiàn)(x)在x=1處

5、連續(xù)，從而F(x)在0,2上連xu例22旺的2x2-x1-f-dx=4dx-4-=4一瓦.1-x2042x2,x,計(jì)算L11f分析由于積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此首先應(yīng)考慮被積函數(shù)的奇偶性.212xxJ11-x2dx=2x21dx1.1-x24x,2x2，一一；dx,由于一；是偶函數(shù)，而1.1-x211-x2一是奇函數(shù)，有11-X21xT1-x2dx=0,于是12x2x1x2dx=4a11-x2011-x2dx=41x2(1-、1-x2)x21dx=4dx-0-11o4由定積分的幾何意義可知CJKdx='故o43例23計(jì)算dx_L萬(sintcost)(cost-sint)dt0sint

6、costxjlnx(1-lnx)分析被積函數(shù)中含有1及l(fā)nx,考慮湊微分.x33e4dx二=x,lnx(1-lnx)e4d(lnx)e'd(lnx)_=12elnx(1-lnx)云,£x1_(,卮)23=2arcsin(Jlnx)e4=.e"6例244si，xdx=>1+six4sinx(1-sinx),2dx=11-sinx0jsinx2cosxndx-o4tan2xdx":紫一。"八一1)"cosx1:3=04-tanx-x4=-22cosx4a例26計(jì)算dx，其中a>0.0xa2-x2解法1令x=asint,則adx1

7、xa2-x2二21costdt0sintcost1212TL021(sintcost)sintcostdtItln|sintcost102=4注如果先計(jì)算不定積分dxxa2-x2,再利用牛頓-萊布尼茲公式求解，則比較復(fù)雜，由此可看出定積分與不定積分的差別之一.例27計(jì)算ln5ex-.ex-1“xdx.)ex3分析被積函數(shù)中含有根式，不易直接求原函數(shù)，考慮作適當(dāng)變換去掉根式.解設(shè)u=：ex-1,x=ln(u2+1),dx=泮du，則1n5與=1dx=2)ex3.。2(u1)uu24udu=2u21222u2u4-4=du=22du)u240u2422二2-du-8八例29計(jì)算03xsinxdx-

8、分析被積函數(shù)中出現(xiàn)募函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形，通常采用分部積分法.解03xsinxdx=：3xd(-cosx=)xnn-co)s03)03-(codsx)例30計(jì)算Tl6o3cosxdx-1ln(1x)0(3-x)2分析被積函數(shù)中出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的情形，可考慮采用分部積分法.1ln(1»x)111113-dx=0in(ix)d()=rln(1x)0-0(ox)3-xox1(3-x)=21n2-£)dx11=in2-1n3.24n例31計(jì)算je'sinxdx.分析被積函數(shù)中出現(xiàn)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積的情形通常要多次利用分部積分法.解由于rexsinxdx=sinxdex=

9、exsinx20e'cosxdxntl=e2-(2excosxdx,(1)而x與xx與xo2excosxdx=02cosxde、=excosx2-2ex(-sinx)dx我=f2exsinxdx_1,(2)0將(2)式代入(1)式可得_Tt_Tt_J02exsinxdx=e2-02exsinxdx-1,故，1日esinxdx=(e+1).1例32計(jì)算0xarcsinxdx.分析被積函數(shù)中出現(xiàn)反三角函數(shù)與募函數(shù)乘積的情形，通常用分部積分法.,2221.1.,x、rx.J1x,.、0xarcsinxdx=arcsinxd()=arcsinx0-d(arcsinx)1x2dx1-x2gsin

10、21，sin2t22:dsint=costdt=2sintdt0.1-sin2t0cost021-cos2t將(2)式代入(1)02式中得tsin2t記dt=o24(2)1xarcsinxdx=-例33設(shè)f(x)在0,ji上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),f(x)+f"(x)cosxdx=2,求f'(0).分析被積函數(shù)中含有抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)形式，可考慮用分部積分法求解.解由于.01f(x)+f'(x)cosxdx=，f(x)dsinx+cosxdf(x),x.'JI=If(x)sinx0一f(x)sinxdx+f(x)cosx?+0f(x)sinxdx=-f5)-f'

11、(0)=2.故f(0)-_2_f(二)-2-3-5.例35(00研)設(shè)函數(shù)f(x)在0,h上連續(xù)，且10fdx=0，I'f(x)cosxdx=0.試證在(0,兀)內(nèi)至少存在兩個(gè)不同的點(diǎn)；，匕使得f(；)=f(：)=o.x分析本題有兩種證法：一是運(yùn)用羅爾定理，需要構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(t)dt,找出F(x)的三個(gè)零點(diǎn)，由已知條件易知F(0)=F(n)=0,x=0,x=n為F(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，第三個(gè)零點(diǎn)的存在性是本題的難點(diǎn).另一種方法是利用函數(shù)的單調(diào)性，用反證法證明f(x)在(0,冗)之間存在兩個(gè)零點(diǎn).x證法1令F(x)=(f(t)dt,0<x<n,則有F(0)=0,F(兀)=

12、0.又0f(x)cosxdx=°cosxdF(x)=cosxF(x)0'，1F(x)sinxdx=，F(xiàn)(x)sinxdx=0,由積分中值定理知，必有Uw(0,n),使得F(x)sinxdx=F(-)sin(n0).故F(-)sine=0.又當(dāng)-w(0,n),sin士00,故必有F(-)=0.于是在區(qū)間o,q,。叫上對(duì)f(x)分別應(yīng)用羅爾定理，知至少存在-1(0,-),:2三(:，使得例36計(jì)算產(chǎn)2x，4x，3FV1)=F'(J)=0,即f仁)=f(匕)=0.dx分析該積分是無窮限的的反常積分，用定義來計(jì)算.tdx1t，=lim(x4x3tr二0x4x3i20=limd

13、x11)dxx1x3.1x1.t.1t1I1=limln0=lim(lnln)t>-2x3j'2t33ln32例37計(jì)算dx3(x.1)2.x2=2xdxdx例38分析dx(x-1)2.x2-2x(x-1)2(x-1)2-1工.32cosid1-1-MLO32dx(x-2)(4-x)xfdadu3sec1tani該積分為無界函數(shù)的反常積分，且有兩個(gè)瑕點(diǎn)，于是由定義，當(dāng)且僅當(dāng)dx»j和Li(x-2)(4x)3(x-2)(4-x)均收斂時(shí)，原反常積分才是收斂的.解由于dx2.(x-2)(4-x)3dx=lima2a(x-2)(4-x)3d(x-3)一將1：(x；3)2dxd

14、x=lim3,(x-2)(4-x)b4-3.(x-2)(4-x)=limb4bd(x二3)_31-(x-3)2jiji=十=n22b二=limarcsin(x-3)3=b4-2例39計(jì)算dx0.x(x1)5分析此題為混合型反常積分，積分上限為收，下限0為被積函數(shù)的瑕點(diǎn).解令/=t,則有dx0,x(x1)5二2tdt)522t(t1)2(tJ，1再令t=tan日,于是可得二dt)5(t212»2dtan105(tan21)2:secidi,sec51du0sec3t123、cos20d0=02(1-sin0)cos0d0JT=02(1-sini)dsinr1例40計(jì)算f=sin0-1s

15、in301/2=31x254dx.21-x4解由于11x2-21x4112X12X1dx=1d(x-),2122(x-)x一，1一可令t=x,則當(dāng)x=H2時(shí),當(dāng)x=1時(shí)，t=0；故有當(dāng)XT0一時(shí),tT+8；當(dāng)xT0時(shí)，tT8；1x221x40dx=d(x)x_2122(x)xd(x-)x2(x-)2x二d(t),0旦-222t2-二2t2，1(marctan)2注有些反常積分通過換元可以變成非反常積分，如例32、例37、例39;而有些非反常積分通過換元卻會(huì)變成反常積分，如例40,因此在對(duì)積分換元時(shí)一定要注意此類情形.1例41求由曲線y=x,y=3x,y=2,y=1所圍成的2圖形的面積.分析若選

16、x為積分變量，需將圖形分割成三部分去求,如圖5-1所示，此做法留給讀者去完成.下面選取以y為積分變量.解選取y為積分變量，其變化范圍為y1,2,則面積元素為11dA=|2y-y|dy=(2yy)dy.33例42拋物線兩部分面積之比.解拋物線y2、，5y)dy二萬222y2=2x把圓x2+y2=8分成兩部分，求這22=2x與圓x2+y2=8的交點(diǎn)分別為(2,-2)，如圖所示52所示，拋物線將圓分成兩個(gè)部分a,a,y八=2xA2x(2,2)與(2,2)圖5222-1記它們的面積分別為S1,S2,則有于是所求面積為28二二cos24P=3cos?圖53->X1pzd4cos8jo835Ji48

17、46d0=-+2n,33S26二-49二一23例43求心形線P=1+cos9與圓P=3cos0所圍公共部分的面積.分析心形線P=1+cos日與圓P=3cosB的圖形如圖5-3所示.由圖形的對(duì)稱性，只需計(jì)算上半部分的面積即可.解求得心形線P=1+cosO與圓P=3cos8的交點(diǎn)為(P,6)=(3,±-),由圖形的對(duì)稱性得心形線p=1+cos9與23圓P=3cos日所圍公共部分的面積為A=23(1cosfdi”(3cosfd1=0232例44求曲線y=lnx在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一條切線，使得該切線與直線x=2,x=6和曲線y=lnx所圍成平面圖形的面積最54所示）.分析要求平面圖形的面積

18、的最小值，必須先求出面積的表達(dá)式.解設(shè)所求切線與曲線y=lnx相切于點(diǎn)（c,lnc）,則切線方1.程為ylnc=(xc).又切線與直線x=2,x=6和曲線cy=lnx所圍成的平面圖形的面積為.6i4A=f-(x-c)+lnc-lnxdx=4(-1)+4lnc+4-6ln6+2ln2.2cc由于dA164dc-c2c人dA.一.dA.dA.令=0,解得駐點(diǎn)c=4.當(dāng)c<4時(shí)<0,而當(dāng)c>4時(shí)一>0.故當(dāng)c=4時(shí),dcdcdc極小值.由于駐點(diǎn)唯一.故當(dāng)c=4時(shí)，A取得最小值.此時(shí)切線方程為：1y=x-1+ln4.4A取得例45求圓域x2十（yb）2<a2（其中b>a）繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積.解如圖5-5所示，選取x為積分變量，得上半圓周的方程為y2=b+Ja2-x2,下半圓周的方程為y1=b-.a2-x2則體積元素為dV=（Hy|-nyi2）dx=4兀bNa2-x2dx.于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積為a.V=4r：baa_2a2-x2dx=8二b.a2-x2dx=8二ba=2二2a2b04注可考慮選取y為積分變量，請讀者自行完成.例46過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線，該切線與曲線y=lnx及x軸圍成平面圖形D.（1）求D的面積A;圖56計(jì)算，如圖56所示.解（1）設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0,則曲線y=lnx在點(diǎn)（%,ln%