兩點分布、超幾何分布、正態(tài)分布

1、兩點分布、超幾何分布、正態(tài)分布X01P1 - pp重溫教材掃清盲點X服從兩點分布.基礎(chǔ)知識導(dǎo)航1 .兩點分布如果隨機變量X的分布列為其中0<p<1,則稱離散型隨機變量E(X) = p, D(X)=p(1 p).2 .超幾何分布般地，設(shè)有N件產(chǎn)品，其中有M(MWN)件次品.從中任取n(n&N)件產(chǎn)品，用X表示取出 的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么小 n k CmCn MP(X=k戶CN (k=0,1,2,，m).X01mP.0 . n-0CmCn-M cN-1 xn-1CmCn-m cN八m八n一mCmCn-m cN其中 m=minM, n,且 n&N, M<N,

2、n, M, NCN*.如果一個隨機變量X的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量 X服從超幾何分布.3 .正態(tài)分布 1(1)正態(tài)曲線：函數(shù)狐(x) = k - , xC (一0°, +OO),其中頭數(shù)以和(T為參數(shù)(o> 0, M2 TtCT代R).我們稱函數(shù) 冊(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.正態(tài)曲線的性質(zhì)：曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線 x=解寸稱；1曲線在x= N處達到峰值、疔；曲線與x軸之間的面積為1;當(dāng)b一定時，曲線的位置由N確定，曲線隨著N的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；當(dāng)N一定時，曲線的形狀由 b確定，越小，曲線越“瘦高”，表示

3、總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.（3）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a, b（a<b）,隨機變量X滿足P（a<X&b）=b冊x）dx,則稱隨機變量X 'a服從正態(tài)分布，記作XN（山，）.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值P（四0<X< 葉 3=0.682_6;P（四2 o< X< 葉 23 = 0.954_4;P（四3 o< X< 什 3$ = 0.997_4.4.判斷下列結(jié)論的正誤（正確的打錯誤的打“X”）（1）拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量.服從兩點分布.（X）（2

4、）某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù) X服從兩點分布.（X）從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.（，）（4）正態(tài)分布中的參數(shù) 小和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù) 以是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布 的標準差.（，）（5）一個隨機變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.（，）（6）正態(tài)曲線關(guān)于直線x=以對稱，從而在關(guān)于x=以對稱的區(qū)間上概率相等.（，）2（7）對于正態(tài)分布 XN（ 6），總有P（x<廠a） = P（x>葉a）. （V）（8）XN（月（2）,發(fā)生在（L3仿 葉3 3,之外的概率為

5、0,稱之不可能事件.（X）（9）正態(tài)總體（1,9）在區(qū)間（0,1）和（一1,0）上的概率相等.（X）（10）隨機變量分布列為X12Pp2p是兩點分布.（X）核心考點深化突破考點典例領(lǐng)航考點一 兩點分布、超幾何分布命題點1 .求兩點分布的分布列2 .求超幾何分布列例1 (1)設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù), 則P(X= 0)等于()A. 0B.2c.33D.3解析：設(shè)X的分布列為即“X=0”表示試驗失敗,“X=1”表示試驗成功，設(shè)失敗率為p,則成功率為2P.由p +2PX01PP2p=1,則p=1,故應(yīng)選C.3答案：C2個球，至少得到1個白X的分布列及期望

6、.(2)一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球.已知從袋中任意摸出球的概率是9.9求白球的個數(shù)；從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為 X,求隨機變量解：記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A,設(shè)袋中白千的個數(shù)為x,-C2o x 7 一 .則P(A) = 1 -d = 9，得到x=5.故白球有5個.C5C5 kX服從超幾何分布，P(X=k)= 03, k=0,1,2,3.C10于是可得其分布列為X0123P112512_512112x01PP2P型.變式巡航1.若將本例(1)改為強化訓(xùn)練提升者能,求X的成功率.解：p+p2=1, (p>0),p=52 1一.X 的成功率 P

7、(x= 1)= ("5 -1)2 = 3 產(chǎn).222.將本例(2)改為：隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休” 已經(jīng)成為人們越來越關(guān)注的話題，為了了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學(xué) 習(xí)小組從某社區(qū)隨機抽取了 50人進行調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：年齡20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)人數(shù)45853年齡45,50)50,55)55,60)60,65)65,70人數(shù)67354年齡在25,30), 55,60)的被調(diào)查者中贊成人數(shù)分別是 3人和2人，現(xiàn)從這兩組的被調(diào)查者中 各隨機選取2人，進行跟蹤調(diào)查.求從年齡在25,3

8、0)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成的概率；求選中的4人中，至少有3人贊成的概率；若選中的4人中，不贊成的人數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：設(shè)“年齡在25,30)的被調(diào)查者中選取的2人都贊成”為事件A,c23所以P(A戶普而設(shè)“選中的4人中，至少有3人贊成”為事件B,八2 C3c2C1所以 p(b)=5c+CC-2 31- 2X的可能取值為0,1,2,3,2 2,c c3c21所以 p(x=0)=c5cTBP(X=1) =c3c2c2+cic2c1cc25'C2c2+C3c2c2C1P(X = 2) =CC1330'P(X=3) =-2-1-1 C2c2C1 2 2 c

9、5c2115.X0123P121311053015一,_1213122所以 e(x戶ox而+”5+2乂30+ 3x-=-考點二正態(tài)分布命題點1.利用正態(tài)密度曲線性質(zhì)求概率2.利用正態(tài)分布求隨機變量例2 (1)(2017山西四校聯(lián)考)設(shè)隨機變量XN(3, (2),若P(X>m) = 0.3,則P(X>6m)=解析：因為 P(X>m)=0.3, XN(3,己所以 m>3, P(X<6m) = P(X<3(m3) = P(X> m) = 0.3所以 P(X>6m)=1 P(X<6m) = 0.7.答案：0.7云南省2016年全省高中男生身高統(tǒng)計調(diào)

10、查數(shù)據(jù)顯示：全省100 000名高中男生的身高服從正態(tài)分布N(170.5,16).現(xiàn)從云南省某校高三年級男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第1組157.5,162.5),第2組162.5,167.5),第6組182.5, 187.5,如圖是按上述分組方式得到 的頻率分布直方圖.試評估該校高三年級男生在全省高中男生中的平均身高狀況； 求這50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人數(shù)； 身高排名(從高到低)在全省130名之內(nèi)，其身高最低為多少? 參考數(shù)據(jù)：若 1N(內(nèi) 自，則P(0(K

11、乒葉3 = 0.682 6, P(四2o< 口 吐 2 = 0.954 4,P(四3o< 口 吐 3 = 0.997 4.解：由頻率分布直方圖知，該校高三年級男生平均身高為 + 175X 0.2+180X 0.1+185X0.1= 171.5(cm),160X 0.1 + 165X 0.2+170X 0.3171.5 cm> 170.5 cm,故該校高三年級男生的平均身高高于全省高中男生身高的平均值.由頻率分布直方圖知，后兩組頻率和為0.2, 人數(shù)和為0.2X50=10,即這50名男生中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人數(shù)為10.P(170.5 3X 4&l

12、t;170.5+ 3X 4) = 0.997 4,1 0.997 4一. .P(£> 182.5)=2= 0.001 3,又 0.001 3X 100 000= 130.身高在182.5 cm以上(含182.5 cm)的高中男生可排進全省前130名.方法引航在高考中主要考查正態(tài)分布的概率計算問題，其解決方法如下：第一步，先弄清正態(tài)分布的均值是多少；第二步：若均值為 內(nèi)則根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得 P(X>盟=0.5, P(X< 歸0.5, P(X<葉 c尸P(X>四c1j(c>0痔結(jié)論；第三步，根據(jù)這些結(jié)論、題目中所給條件及對稱性，對目標概率進行轉(zhuǎn)化

13、求解即可.,說明：關(guān)于正態(tài)總體在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率問題，要熟記 P(四(<X<葉丹，P(四2(<X<葉2 o), P(3 KX0葉3 N勺值，充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與 x軸之間的面積為1來解題. 跟蹤巡航強化訓(xùn)練提升號能1. (2017江西八校聯(lián)考)在某次數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生成績 己服從正態(tài)分布N(100,9)(*0),若七 在(80,120)內(nèi)的概率為0.8,則士在(0,80)內(nèi)的概率為()A. 0.05B. 0.1C. 0.15D. 0.2解析：選 B.由題意得，P(80<3100)=P(100< 3120)=0.4, P(0< 3100)=

14、 0.5, . . P(0< <80)=0.1.2.在某次大型考試中，某班同學(xué)的成績服從正態(tài)分布 N(80,52),現(xiàn)已知該班同學(xué)中成績在80 85分的有17人.試計算該班成績在90分以上的同學(xué)有多少人.解：依題意，由8085分的同學(xué)的人數(shù)和所占百分比求出該班同學(xué)的總數(shù)，再求 90分以上 同學(xué)的人數(shù).二.成績服從正態(tài)分布 N(80,52), 尸80,戶5,廣戶75,葉卡85.于是成績在(75,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的68.26%.1.由正態(tài)曲線的對稱性知，成績在(80,85內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的2*68.26%= 34.13%設(shè)該班有x 名同學(xué)，則 xX 34.13%=17,解得 x

15、= 50.又 廠 2 戶8010=70, 葉2 戶 80+ 10=90,丁成績在(70,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的95.44%.丁成績在(80,90內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的47.72%.丁成績在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的 50% 47.72%= 2.28%.即有50 X 2.28%= 1（人），即成績在 90 分以上的同學(xué)僅有 1智能提升返航 特色展示體酸高考人.=易錯警示不能正確理解正態(tài)曲線的對稱性典例已知隨機變量 己滿足正態(tài)分布N（內(nèi)己,且P（<1） = 2, P（卻2） = 0.4,則P（0<<1） =1_錯解由 P(02) = 0.4, . P( 32)=10.4=0.6

16、, . . P(0< &1) = 2P( 32) = 0.3.錯因P(0<31)是 P(32)的一半.1正解由p(g1)=2得尸1,隨機變量 陰艮從正態(tài)分布N(1,，)，.曲線關(guān)于x= 1對稱.= P(<2)=0.6,P(0< 01) = 0.6 0.5= 0.1.答案0.1 警示正態(tài)曲線關(guān)于直線x=p對稱，從而在關(guān)于x=以對稱的區(qū)間上概率相同.P（X<a）=1 P（Xa）, P（X< 廠a） = P（X> 葉a）.高考真題體驗10 000個點，則落入陰影部分（曲線C1. （2015高考湖南卷）在如圖所示的正方形中隨機投擲 為正態(tài)分布N（0,1

17、）的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（A. 2 386B.C. 3 413D. 4 772附：若XN（內(nèi)自，則P(L(<X< 葉 3=0.682 6,P(廣 2(<X< 葉 2，= 0.954 4.解析：選 C.由 P(1<X& 1) = 0.682 6,彳4 P(0<X& 1) = 0.341 3,則陰影部分的面積為 0.341 3, 0 341 3.故估計落入陰影部分的點的個數(shù)為10 000X 0347= 3 413,故選C.2. (2015高考山東卷)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機 取一件，其長度

18、誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機變量 己服從正態(tài)分布 N" (2),則P(廠o< 什3=68.26%, P(廠2o<仁亞 + 2 4 = 95.44%.)A. 4.56%B. 13.59%C. 27.18% D. 31.74%解析：選B.由正態(tài)分布的概率公式知 P(-3<3) = 0.682 6, P(6<M 6) = 0.954 4,小P( 6< M6P(-3<3)0.954 4- 0.682 6小生故 P(3<6):-42=2= 0.135 9: 13.59%,故選 B.3. (2014高考課標全國卷I )從某企業(yè)生產(chǎn)的某

19、種產(chǎn)品中抽取 500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì) 量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)7和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的 中點值作代表)；由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值Z服從正態(tài)分布N(內(nèi)弁，其中以近似為樣本平均數(shù)X ,，近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求 P(187.8<Z<212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用的結(jié)果，求 E(X).附：150=12.2.若 ZN(p, (2),貝 U P(MZ< 什 3 =

20、0.682 6, P(廠 2KZ< 葉 2 = 0.954 4.解：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù) T和樣本方差s2分別為7 = 170X 0.02+ 180X0.09+ 190X 0.22+200X 0.33 +210X 0.24 + 220X 0.08 + 230X 0.02 =200,s2 = ( 30)2 X 0.02+ ( 20)2 X 0.09+ ( 10)2 X 0.22 + 0 X 0.33 + 102 X 0.24 + 202 X 0.08 + 302X0.02= 150.(2)由(1)知，ZN(200,150),從而 P(187.8<Z<212.2

21、)=P(20012.2<Z<200+ 12.2)= 0.682 6.由知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標伯:位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 6,依題意知XB(100,0.682 6),所以E(X)= 100X 0.682 6= 68.26.4. (2016高考天津卷)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1,2,3 的人數(shù)分別為3,3,4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4"，求事件A發(fā)生的概率；設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22、解：(1)由已知，得P(A) = CCC產(chǎn)=3.所以，事件A發(fā)生的概率為3.C1033隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.P(X=0) =C2+C2+C24C10:15,P(X=1) =c3c3+ c1c415, P(X=2)=c3c4-C20-415.所以，隨機變量X的分布列為X012P415715415C20隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X) = 0X* + 1X2 + 2X = 1. 151515課時規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1 .設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,9),若P(X>c+ 1)=P(X<c1),則c等于()A. 1B. 2C. 3D. 4 .c+1 + c- 1解析：選B.

23、 v尸2,由正態(tài)分布的定義知其圖象關(guān)于直線x = 2對稱，于是2= 2,c= 2.2 .正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(一1,0)上取值的概率分別為 m, n,則()A. m>nB, m<nC, m=nD,不確定解析：選C.正態(tài)總體N(1,9)的曲線關(guān)于x=1對稱，區(qū)間(2,3)與(一1,0)到對稱軸距離相等，故 m= n. 3. 一批產(chǎn)品共50件，次品率為4%,從中任取10件，則抽到1件次品的概率是()BC.Dc2c48 A.-TJ0- C50解析：選A.50件產(chǎn)品中，次品有50X4% = 2件，設(shè)抽到的次品數(shù)為 X,則抽到1件次品的cc9概率是 P(X=1)=C2rc解

24、析： 尸2, 嚴2, E(2X- 1) = 2E(X)1=2X( 2)1 = 5.答案：57.從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機變量X的分布列為.C50224.設(shè)XN(世，(2), YN(味 )，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所小，下列結(jié)論中正確的是()A. P(Y> )>P(Y> 3)B. P(X<(2)&P(XW a)C.對任意正數(shù) t, P(X>t)>P(Y>t)D.對任意正數(shù) t, P(X<t)>P(Y<t)1解析：選D.由圖象知，3< 0 (n< c2, P(Y>盤)

25、 = 2，1P(Y> 內(nèi))>2,故 P(Y> )<P(Y> 以)，故 A 錯;因為5<%所以P(X< ®)>P(X< d),故B錯;對任意正數(shù)t,P(X>t)<P(Y>t),故 C 錯;對任意正數(shù)t,P(X<t)>P(Y<t)是正確的，故選 D.5.設(shè)隨機變量士服從正態(tài)分布 N(3,4),若 P(&2a 3)=P(>a+ 2),則 a=()3A.77B.37C.88D.7解析：選B.因為士服從正態(tài)分布N(3,4),且P(E< 2a 3)=P(0 a+2),所以2a 3+a +

26、 2 = 6,7. a 3.-26.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)是，、_1_x+2 e(xC R),則 E(2X1)=8C2C1c26C2解析：P(X=0)= d = 0.1, P(X=1)= c5 =10= 0.6, P(X = 2) = c5 = 0.3.答案：0.1 0.6 0.38.已知某次英語考試的成績 X服從正態(tài)分布N(116,64),則10 000名考生中成績在140分以 上的人數(shù)為.解析：由已知得11= 116, d= 8.P(92<XW140)=P(四3o<X< 葉 3)=0.997 4,一 一 1.P(X>140) = 2(1 0.997 4)=

27、0.001 3, 成績在 140分以上的人數(shù)為 13.答案：139.甲、乙兩人參加某電視臺舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功.已 知在6道備選題中，甲能答對其中的4道題，乙答對每道題的概率都是|.3(1)求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；設(shè)甲答對題目的個數(shù)為自求己的分布列.-1 _2 C1C241解：(1)設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件 A, B,則P(A)=C4C2=1，C620 52 322 2 2 1127P(B)=(1-2) +C2(1-) (-) =27+ 9=27, 333 , 1712

28、8則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是 1 P(A B) = 1 P(A)P(B) = 15X27=135.一1_2.J-13由題意知己的可能取值是1,2.P(Q 1) = =5，P(E= 2)= 4 C3 4=5,則己的分布列為12P145510.盒內(nèi)有大小相同的9個球，其中2個紅色球，3個白色球，4個黑色球.規(guī)定取出1個紅 色球得1分，取出一個白色球得0分，取出1個黑色球得1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個球.(1)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；(2)求取出的3個球得分之和恰好為1分的概率;設(shè)己為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求 己的分布列.解：(1)P=1 C|= 172.記”取出1個紅色球，2

29、個白色球”為事件B, “取出2個紅色球，1個黑色球”為事件C,122 1則 P(B+C)=P(B) + P(C)=CCC3 + CCcJ=42. C9C942(3)己可能的取值為0,1,2,3,士服從超幾何分布,c3c6 k P(Q k) = -ClTc3c6P(Q 2戶百="C35C3C6 15,k=0,1,2,3.故 P(2= 0) = C9=王，P(e 1)=-CT=28;3 c、c31荷，P(± 3)=C9=84.己的分布列為:012351531p1，P21281484B組能力突破1 .某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布， 其密度函數(shù)為 冊,

30、4x)(xCR),則下列命題中不正確的是()A .該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?80分B.分數(shù)在120分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同C.分數(shù)在110分以上的人數(shù)與分數(shù)在50分以下的人數(shù)相同D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標準差為 10解析：選B.由密度函數(shù)知，均值(期望)尸80,標準差 戶10,又正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對稱，故分數(shù)在100分以上的人數(shù)與分數(shù)在60分以下的人數(shù)相同，所以B是錯誤的.2.已知 XN(山(2)時，P(o<X0 葉 3=0.682 6, P(四一2(KX0 葉2) = 0.954 4, P(廠3o<X< 葉 3 3 = 0.997 4,則32e(

31、x4)22 dx =()A. 0.043B. 0.021 5C. 0.341 3D. 0.477 2解析：選B.由題意知，尸1,戶 1,P(3<X< 4)=2X P( _ 2<X04) P( 1 <X0 3) =2 X (0.99740.954 4)= 0.021 5.故選 B.一 一.a + a 13.已知隨機變量 己服從正態(tài)分布N(2,9),若P( >3)=a,P(1< 口3) = b,則函數(shù)f(a)=一 a十1的值域是 一2a+b=1,解析：易知正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對稱，所以P(>3)=P( 1)=a,則有3? 0©> 0, b> 011.1 a.3_1.,<a<2.f(a) = a 01 = +1)07 一1，令 t=a+1C(1，)，函數(shù) f(a)= g(t)= t發(fā) -1 在 t3e(1,3)