大一高數(shù)復(fù)習(xí)資料(免費(fèi))

1、x 3 x-3limx3 x 3高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)(高中函數(shù)部分相關(guān)知識(shí))()鄰域(去心鄰域)()第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列極限的證明()K題型3已知數(shù)列 &n,證明limxn = ax一 .K證明3君N語(yǔ)言1 .由Xn -a| < g化簡(jiǎn)得n > g(名)，N - g ；2 .即對(duì)V名：>0, 5N = g(名當(dāng)n >N時(shí)，始終有不等式 Xn -a <右成立，lim 乂 = aX ”二第三節(jié) 函數(shù)的極限 X T X0時(shí)函數(shù)極限的證明()K題型3已知函數(shù)f(X ),證明lim f(X )= AX >X0K證明3 E6語(yǔ)言1 由

2、|f (x)-A < 8化簡(jiǎn)得 0< X Xo| <g(E ), .、. =g ;2,即對(duì) Vs >0 , 36 =g(z ),當(dāng) 0<xx0 <6 時(shí)，始終有不等式 f (x )A <名成立，lim f x = Ax )x0 X T g時(shí)函數(shù)極限的證明()K題型3已知函數(shù)f (x ),證明lim f (x )= AX .K證明3 e-X語(yǔ)言1 .由 f(X ) A < &化簡(jiǎn)得 XAg(a),X = g ；2 .即對(duì)V名A 0 ,三X = g (當(dāng)X A X時(shí)，始終有不等式f(X ) A < W成立，lim f x = AX ”二

3、第四節(jié) 無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮小與無(wú)窮大的本質(zhì)()函數(shù)f (x )無(wú)窮小=lim f(x)=0函數(shù)f (x )無(wú)窮大 w lim f (x )=°°無(wú)窮小與無(wú)窮大的相關(guān)定理與推論()(定理三)假設(shè) f(x)為有界函數(shù)，g(x )為無(wú)窮小，則lim | f x g x =0(定理四)在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中，若f(x)為無(wú)窮大，則f,(X)為無(wú)窮小；反之，若f(x)為無(wú)窮小， 且f(X)#0,則f,(X)為無(wú)窮大K題型 3 計(jì)算：lim -f (x )，g (x )1 (或 xt ) x_Xg -1 .丁 f(x)<M函數(shù) f(x)在x=x0的任一去心鄰域U (x0,6 )

4、內(nèi)是有界的;(' f ( x ) < M ,函數(shù) f (x)在 xw D 上有界；)2 . lim g(x)=0即函數(shù)g(x)是xt X0時(shí)的無(wú)窮??； X )X0(lim g(x)=0即函數(shù)g(x)是xt 8時(shí)的無(wú)窮?。?X :,3 .由定理可知lm f(X ) g(X )= 0(Xmf(x)(x)j=0)第五節(jié) 極限運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則()(定理一)加減法則(定理二)乘除法則關(guān)于多項(xiàng)式 p(x)、q(x )商式的極限運(yùn)算p(x )= acxm + a1Xm，+ + am q(x )= b0xn + bXn-1 + + bn卜- n : m則有 lim -p- = a0n

5、= mx >:q xb0n mf x 0(特別地，當(dāng)lim ="=一(不定型)時(shí)，通常分子 xX0 g x 0分母約去公因式即約去可去間斷點(diǎn)便可求解出極限值，也可以用羅比達(dá)法則求解)x -33求值lim今旦 x 3 x2 -9K求解示例3解：因?yàn)閤t 3,從而可得x=3,所以原式=lim m = limx B x2 - 9 x )3x-3其中x =3為函數(shù)f(x =不一的可去間斷點(diǎn)X2 -9倘若運(yùn)用羅比達(dá)法則求解(詳見(jiàn)第三章第二節(jié))：口. x-3 0 x-311解：lim =二lim= limX )3 X2 - 9 L x >3 2x >32x 6x -9連續(xù)函數(shù)穿

6、越定理（復(fù)合函數(shù)的極限求解）（定理五）若函數(shù) f （x屬定義域上的連續(xù)函數(shù),二則0)那么,K題型3 求值：lim J-x-3 x p x -9K求解示例3 lix 3. x 3x2 -9 一 頻 x2 -9第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則及兩個(gè)重要極限夾迫準(zhǔn)則（P53） （ ）第一個(gè)重要極限：lim sinx =1x Q xVx = 0, , sinx <x <tanx limsinx /二 1 x數(shù)a,使得f（x）成為在R上的連續(xù)函數(shù)？K求解示例3f 0- =e20- = e1 =e1 ,4f （0+）=a +0+=af 0 = a2 .由連續(xù)函數(shù)定義 lim f（x）= limf（x）= f

7、（0）=e x10 x ）0a = e第九節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)零點(diǎn)定理（）K題型 3證明：方程 f（x）= g（x）十C至少有一個(gè)根 介于a與b之間K證明 3（特別地，limX及S = i)1.（建立輔助函數(shù)）函數(shù) 中（x ）= f （x g（x ）C在 閉區(qū)間1a, bl上連續(xù)；單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則x -x0(P57) ( )第二個(gè)重要極限:lim1 1xx->: =（一般地，limf (x )(x)= lim f( x)1mgx),其中l(wèi)im f 僅)>0 )2. 平（a）卬（b）<0 （端點(diǎn)異號(hào)）3. .由零點(diǎn)定理，在開(kāi)區(qū)間 （a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn) 使得 巴盯=0,即

8、f（D-gK）_C = 0（0<<1）4. 這等式說(shuō)明方程f（x）=g（x）+C在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一個(gè)根K題型2x+3、x*3 求值：lim xB12x +1 JK求解示例3第七節(jié)無(wú)窮小量的階（無(wú)窮小的比較）等價(jià)無(wú)窮?。ǎ︰ sinU tanU arcsinU arctanU ln（1 U）1 U e -11 , , 2,2. U 1 cosU2（乘除可替，加減不行）K題型3求值：limx 0In 1 x 廣 xln 1 xx2 3x第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義（P83) ( )K求解示例3第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)連續(xù)的定義（）間斷點(diǎn)的分類(lèi)

9、（P67）e +1 x < 0-K題型 3已知函數(shù) f(x)=， 一在 x= 0ax + b ' x > 0處可導(dǎo)，求a , bK求解示例30. f 0- =e° 1 =e° 1 = 21 . | 口0)=e =1,' Jf. 0 =a f 0 =bf 0 =e0 1 =2,-f_ 0)=f. 0)=a=12 .由函數(shù)可導(dǎo)定義 «'f 0r尸 f 0 = f 0 = b = 2 a = 1,b = 2K題型 3求y=f（x ）在x = a處的切線與法線方程第一類(lèi)間斷點(diǎn)（左右極限存在）跳越間斷點(diǎn)（不等）國(guó)去間斷點(diǎn)（相等）第二類(lèi)間斷

10、點(diǎn)）無(wú)窮間斷點(diǎn)（極限為8）（或：過(guò)y = f （x ）圖像上點(diǎn)a, f （a fl處的切線與法線方 程）K求解示例31. y'= f'（x ）, y'|xm= f '（a ）（特別地，可去間斷點(diǎn)能在分式中約去相應(yīng)公因式）3設(shè)函數(shù)f (x )= *2xex < 0,應(yīng)該怎樣選擇x - 02 .切線方程：y f(a)=f'(aj(x a)法線方程： y _f a =_1 x-a f a第二節(jié) 函數(shù)的和（差）、積與商的求導(dǎo)法則函數(shù)和（差）、積與商的求導(dǎo)法則（）1.線性組合（定理一）：（.工u二l- v） - . u l -v特別地，當(dāng)a =P =1時(shí)，有

11、（u 土丫）=5±2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則（定理二）：(uv) = u V uv3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則（定理三）：u v -uv第三節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（）3求函數(shù)f，（x ）的導(dǎo)數(shù)K求解示例由題可得f（x ）為直接函數(shù)，其在定于域 D1單調(diào)、可導(dǎo)，且 f （x ）#0; f,（x ） =-復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（）3 設(shè) y =in(earcsinG +7x2702 卜求 y'K求解示例3第四節(jié) 高階導(dǎo)數(shù) f C %x 產(chǎn)f x )1n(或d_ dx3求函數(shù)y =ln（1 +x ）的n階導(dǎo)數(shù)y=(1+x)=(1)Y1+x,第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱

12、函數(shù)的求導(dǎo)（等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)）（）3試求：方程 y=x+ey所給定的曲線 C :y = y（x旺點(diǎn)（1 -e,1 ）的切線方程與法線方程y = x +ey兩邊對(duì)x求導(dǎo)' + (ey )化簡(jiǎn)得 y' = 1 +ey yy L1 -e切線方程:法線方程:11 -e1-1 =x -1 e1 - eT = _ 1 -e x 7 , e參數(shù)方程型函數(shù)的求導(dǎo)設(shè)參數(shù)方程產(chǎn)）=弋）求立'求 dx2業(yè)擊JLdx第六節(jié) 變化率問(wèn)題舉例及相關(guān)變化率（不作要求）第七節(jié) 函數(shù)的微分基本初等函數(shù)微分公式與微分運(yùn)算法則（）第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié) 中值定理引理（費(fèi)馬引理）（）羅爾定理（）K題

13、型3現(xiàn)假設(shè)函數(shù)f （x）在0,n上連續(xù)，在（0,江）上可導(dǎo)，試證明：3 e（o,jr卜使得 f （U ）cosU + f'（W ）sinU = 0成立K證明31 .（建立輔助函數(shù)）令 中（x）= f （x）sin x 顯然函數(shù) x（ x ）在閉區(qū)間10, n 上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間 （0,n）上可導(dǎo)；2,又.邛（0）= f （0）sin0 =0即 003. .由羅爾定理知3 （0,n ）,使得 f （X ）cost + f網(wǎng)nC = 0成立 拉格朗日中值定理（）K題型證明不等式：當(dāng) x>1時(shí)，ex > e xK證明31 .（建立輔助函數(shù)）令函數(shù) f （x）= ex,則對(duì)X/x&g

14、t;1, 顯然函數(shù)f（x ）在閉區(qū)間11, x上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間（1, x） 上可導(dǎo)，并且f . x =ex；2 .由拉格朗日中值定理可得，三七三【1,x】使得等式 x 1.e e =（x -1 ）e 成立，又 e">>e1,ex e1x 1 ）e1 = e x e ,化簡(jiǎn)得ex > e x,即證得：當(dāng) x a 1時(shí)，ex > e xK題型3證明不等式：當(dāng) x>0時(shí)，ln（1 + x）cxK證明31 .（建立輔助函數(shù)）令函數(shù) f（x）=ln（1 + x）,則對(duì) Vx0,函數(shù)f（x ）在閉區(qū)間0,x】上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間一.1（0,H ）上可導(dǎo)，并且f （x）=

15、;1 x2 .由拉格朗日中值定理可得，mt乏0,x使得等式1一in 1 x - in 1 0= x - 0fcz,化簡(jiǎn)得in(1 +x)=x ,又二已正0,x】，11f ( j )=7 <1 , . ln(1 + x)< 1 x = x,即證得：當(dāng)x ,1時(shí)，ex >e x第二節(jié) 羅比達(dá)法則運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本步驟（1, 等價(jià)無(wú)窮小的替換（以簡(jiǎn)化運(yùn)算）)2.判斷極限不定型的所屬類(lèi)型及是否滿足運(yùn)用羅比達(dá) 法則的三個(gè)前提條件取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式）取對(duì)數(shù)獲得乘積式（通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算將指數(shù)提前）第三節(jié) 泰勒中值定理（不作要求）第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性和曲線的凹

16、凸性連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（）K題型a ,屬于兩大基本不定型（0,2）且滿足條件,0 二X試確定函數(shù)f （x）=2x3-9x2 + 12x-3的單調(diào)區(qū)間f x進(jìn)行運(yùn)算：limx a g xf x-limx R g x（再進(jìn)行1、2步驟，反復(fù)直到結(jié)果得出）B. 不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型）0 笛型（轉(zhuǎn)乘為除，構(gòu)造分式）K求解示例31 . .函數(shù)f（x班其定義域 R上連續(xù)，且可導(dǎo)f x）=6x2 -18x 122 .令 f /6x -1 x -2 =）0 ,解得：x1 =1,x2 = 23 .（三行表）K題型3 求值：lim xa In xx_0K求解示例3（一般地，lim x以l

17、n x f = 0 ,其中 a , P w R）8 g型（通分構(gòu)造分式，觀察分母）K題型3求值：lim 一X 0 sin x xK求解示例300dimL x_0x -sin xx201-cosx 0 rlim=limx 0 2x L x 01 -cosxsinx2x00型（對(duì)數(shù)求極限法）K題型3 求值：lim xx x 0K求解示例3解：設(shè)丫 =xx,兩邊取對(duì)數(shù)得：ln y =lnxx. ln x= xln x =1 xrQ,一 一In ¥對(duì)對(duì)數(shù)取xr 0時(shí)的極限：lim ln y =lim - =limx 0x 01 L x 0x極大值極小值4. .函數(shù)f（x ）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

18、*,12,十大單調(diào)遞減區(qū)間為1,2R證明：當(dāng)x>0時(shí)，ex > x +11 .(構(gòu)建輔助函數(shù))設(shè) 中(x)=ex x 1, (xa0)2 .(x)=ex -1 >0, ( x> 0)x)"；0)=03 .既證：當(dāng) x>0時(shí)，ex>x + 1K題型K證明3 證明：當(dāng) x>0時(shí)，ln（1+x）<x1 .(構(gòu)建輔助函數(shù)) 設(shè)中(x)=ln(1 + x)x, (x>0)1_2 . *(x)=-1<0, (x>0)1 x.x)/20i=03.既證：當(dāng) x>0時(shí)，ln(1 + x)<x1= lim x = Tim x

19、=0,從而有 lim y =lim elny x_0 1x_0x_0,x 02x(4) 1/型(對(duì)數(shù)求極限法)1X 求值：lim (cosx+sin x F x 0連續(xù)函數(shù)凹凸性（ )lim ln y=exT=e°二1（對(duì)數(shù)求極限法）3求值：limx 0ran xK求解示例3運(yùn)用羅比達(dá)法則進(jìn)行極限運(yùn)算的基本思路（ 通分獲得分式（通常伴有等價(jià)無(wú)窮小的替換）)233試討論函數(shù)y=1+3x -x的單調(diào)性、極值、 凹凸性及拐點(diǎn)2y - -3x 6x - -3x x - 2y = -6x 6 = -6 x-1y - -3x x - 2) = 0x1 = 0,x2 = 22 .令解得：1y y

20、- - 6 x -d = 0 I x = 1/3.(四行表)z/極小值極大值4.又.f(_1)=_2,f (1) = 2,f(3)=1823、4.函數(shù) y=1+3x x單調(diào)遞增區(qū)間為 (0,1),(1,2)Jax +b :令 t =，ax + b ,于是x=、單調(diào)遞增區(qū)間為(-oo,0) ,(2, +oc);_23 .函數(shù)y =1 +3x -X的極小值在 X=0時(shí)取到，為 f (0)=1,極大彳t在X =2時(shí)取到，為f (2 )=5;23 .函數(shù)y=1+3x X在區(qū)間(口,0),(0,1)上凹， 在區(qū)間(1,2) ,(2, 十力)上凸；_23 .函數(shù)y=1+3x -x的拐點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)第五

21、節(jié)函數(shù)的極值和最大、最小值函數(shù)的極值與最值的關(guān)系()設(shè)函數(shù)f (x )的定義域?yàn)?D ,如果三xM的某個(gè)鄰域U (xM尸D,使得對(duì)VxU (xM ),都適合不等式 f (x)<f (xm ),我們則稱函數(shù) f (x )在點(diǎn)，。，“乂乂)1處有極大值f (xM )；令 xM ' 'XM 1, xM 2 ,xM 3,，xMn ”>則函數(shù)f(x廣閉區(qū)間 b,b 上的最大值 M滿足：M =max" (a ),xM1,xM 2, xM3,xMn, f (b »；設(shè)函數(shù)f (x )的定義域?yàn)?D ,如果三xm的某個(gè)鄰域U (xm尸D ,使得對(duì) VxU (xm

22、 ),都適合不等式f (x)> f (Xm ),我們則稱函數(shù) f (x )在點(diǎn) xm, f (xm )1處有極小值 f (xm );令 xm - L xm1, xm 2 , xm3 ,., xmn p則函數(shù)f(x近閉區(qū)間la,b】上的最小值 m滿足：m=min(f (a ),xm1,xm2,xm3,xmn, f (b；K題型 3求函數(shù)f (x ) = 3xx3在I1,3】上的最值K求解示例31. .函數(shù)f (x心其定義域-1,3上連續(xù)，且可導(dǎo)f x = -3x2 32,令 f '(x)=_3(x1 /X +1 )=0,解得：X1 = -1,X2 =13f(X)max = f(1)

23、=2,f(XMn = f(3)=-18第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪(不作要求)第七節(jié) 曲率(不作要求)第八節(jié) 方程的近似解(不作要求)第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念()原函數(shù)的概念：假設(shè)在定義區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為F'(x),即當(dāng)自變量 xw I時(shí)，有F'(x)= f( X或 dF(x)= f(xdx成立，則稱 F(x)為 f(x)的一個(gè) 原函數(shù)原函數(shù)存在定理：()如果函數(shù)f(x )在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必 存在可導(dǎo)函數(shù) F (x)使得F'(x)= f (x),也就是說(shuō)： 連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)(可導(dǎo)必連續(xù)) 不定積分的

24、概念()在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng) C 的原函數(shù)稱為 f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分，即表 示為：f x dx = F x C(f稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達(dá)式，x則稱為積分變量)基本積分表()不定積分的線性性質(zhì)(分項(xiàng)積分公式)()第二節(jié) 換元積分法第一類(lèi)換元法(湊微分)()(dy = f '(X卜dx的逆向應(yīng)用) 一 1K題型3求122dxa2 x2K求解示例311111 x 1 x斛： -2dx = 2dx = - 2d =一 arctan- Ca x 1T a1T a a a 1 a1 a一. .1K題型 1求f . dx ,2x

25、 1K求解示例3第二類(lèi)換元法(去根式)()(dy = f'(x >dx的正向應(yīng)用)對(duì)于一次根式(a # 0,b w R )：則原式可化為t對(duì)于根號(hào)下平方和的形式（a >0）：22弋a(chǎn) +x :令 x = atant（<t < 一）,22x1 x ” .八e sin xdx 二萬(wàn) e sinx cosx）+C第四節(jié)有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)（）對(duì)于有理函數(shù),當(dāng)P（x）的次數(shù)小于Q（x）的次x 于是t = arctan ,則原式可化為 asect ； a對(duì)于根號(hào)下平方差的形式（a>0）：a. Ja2 -x2 :令 x = asint （ - <t <

26、; ）,22mm_jP x p x =a0xaxamnnjQ x q x = b0xnhx -'七 十 bn數(shù)時(shí)，有理函數(shù)P（x）的次數(shù)大于x于是t =arcsin ,則原式可化為 a cost ； ab. Jx2 a2 ：令 x = asect ( 0 <t < ),2一 一a于是t =arccos一,則原式可化為 atant ； x,1,K題型 1求i dx （一次根式）,2x 1K求解示例3_P x Q （x ）的次數(shù)時(shí)，有理函數(shù)是假分式有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（Ei P x將有理函數(shù) Q x因式的多項(xiàng)式的乘積:)的分母Q（x）分拆成兩個(gè)沒(méi)有公其中一個(gè)多項(xiàng)

27、式可以表示為t -2X-1'-1t2 1'x t 221tdt = dt =t C = 2x 1 C tdx 4dt.一k次因式（x-a）；而另一個(gè)多項(xiàng)式可以表示為二次質(zhì)2l2_因式（x +px + q）, （p4q<0）；一般地:MlNl由待定系數(shù)K題型 3求f x/a2 x2 dx （三角換元）K求解示例3第三節(jié)分部積分法分部積分法（）設(shè)函數(shù)u = f（x）, v = g（x ）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其 分部積分公式可表示為：udv = uv - ： vdu分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對(duì)、募、三、指”運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函

28、數(shù)排序；就近湊微分：（ vdx =dv）使用分部積分公式：udv = uv- vdu展開(kāi)尾項(xiàng)Jvdu = Jv udx ,判斷a.若 v udx是容易求解的不定積分，則直接計(jì)算 出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有 理函數(shù)積分可以輕易求解出結(jié)果）；b.若 v udx依舊是相當(dāng)復(fù)雜，無(wú)法通過(guò)a中方法求解的不定積分，則重復(fù)、，直至出現(xiàn)容易 求解的不定積分；若重復(fù)過(guò)程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián) 立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)CK題型 3求Jex x2dxK求解示例3K題型 3 求ex sin xdxK求解示例3即：Q x)= Q1 x Q2 xnmx + n = m.x + I mJ一. b c則參數(shù)p , q =一 a a則設(shè)有理函數(shù)£3的分拆和式為:Q x其中Mi M2參數(shù) A,A2,，Ak, N1 N2法（比較法）求出得到分拆式后分項(xiàng)積分即可求解,x2一 一3求dx (構(gòu)造法)x 1K求解示例3第五節(jié) 積分表的使用（不作要求）第五章 定積分極其應(yīng)用第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)定積分的定義（）（f （x ）稱為被積函數(shù)，f （ x ）dx稱為被積表達(dá)式，x則稱為積分