高中數(shù)學必修一第一章知識點總結(jié)

1、第一章集合與函數(shù)概念1.1集合【1.1.1】集合的含義與表示(1) 集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.(2) 常用數(shù)集及其記法N表示自然數(shù)集，N “或N .表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集(3) 集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是a M，或者a f M，兩者必居其一.(4) 集合的表示法 自然語言法：用文字敘述的形式來描述集合. 列舉法：把集合中的元素一一列舉岀來，寫在大括號內(nèi)表示集合 描述法： x| x具有的性質(zhì)，其中x為集合的代表元素 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.(5) 集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集.含有無限個元素的集合叫做

2、無限集.不含有任何元素的集合叫做空集(【1.1.2】集合間的基本關(guān)系(6)子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集A匸B(或B 二 A)A中的任一元素都屬于B(1)A G A0匸A若AG B且C，則AC若AG B且B9 A，則A=B真子集A UB 豐(或 B »)B，且B中至少有一元素不屬于 A(1)A (A為非空子集)若AB且B=C，則AC 豐豐豐集合相等A = BA中的任一元素都屬 于B ,B中的任一元素 都屬于A(1) A 匸 B(2) B 匸 A(7)已知集合A有n(n _1)個元素，則它有2n個子集，它有2n -1個真子集，它有2n-1個非空子集,它有2n -2非空

3、真子集(8)交集、并集、補集【1.1.3】集合的基本運算名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集A“Bx |x A,且xE B（1）aCa = a（2）AC|0 =0（3）An B匸 A a" bub（0）并集aUbx |x A,或xw B（1）aUa = a（2）aUo =a（3）AU B ： AaUb： B£補集eu ax|xU,且 x 匡 AUPl（euA）曲2aU（&A）=U痧（aCIb）=（ uA）U（? b） 痧（aUb） =（ uA）n（2 B） ©【補充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法(1)含絕對值的不等式的解法不等式解集| x|va（a &

4、gt;0）x | a v x c a| x|>a（a >0）x | x £ a 或 x a a|ax +b |cc,| ax +b |>c（c >0）把ax +b看成一個整體，化成| x |c a ，| x A a(a >0)型不等式來求解(2)元二次不等式的解法判別式 =b2 -4ac卜>0 =0i < 0二次函數(shù)2y=ax +bx + c(a0)的圖象/1/q /O gc一元二次方程2ax +bx+c=0(a=0)的根-b 土 Jb2 -4ac "2a（其中xx?）bx x2 2a無實根ax +bx+c >0（a >

5、0）的解集 X I X £ 為或 x> x2x|x 式2aR22ax +bx+C£0(a>0)的解集X£X CX2001.2函數(shù)及其£表示【1.2.1】函數(shù)的概念（1）函數(shù)的概念 設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則 f ,對于集合 A中任何一個數(shù)x，在集合B 中都有唯一確定的數(shù) f（x）和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合 A，B以及A到B的對應(yīng)法則f ） 叫做集合 A到B的一個函數(shù)，記作f : A. B . 函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)法則. 只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).（2）區(qū)間的概念及表示法設(shè)a

6、,b是兩個實數(shù)，且a : b，滿足a豈x豈b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做 a,b;滿足 a . x : b的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做 （a,b）；滿足a _ x ： b，或a ： x _ b的實數(shù)x的 集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做 a,b）， （a,b；滿足x亠a, xa,xb, x：b的實數(shù)x的集 合分別記做a, ：）,（a, ：）,（-：,b,（,b）.注意：對于集合x| a ： x : b與區(qū)間（a, b），前者a可以大于或等于b，而后者必須a : b .（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則： f（X）是整式時，定義域是全體實數(shù). f（X）是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的

7、一切實數(shù). f（X）是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合. 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1. y = tan x 中，x = k二 （k Z）.2 零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零. 若f（x）是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集. 對于求復合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知f（x）的定義域為a,b，其復合函數(shù)fg（x）的定義域應(yīng)由不等式 a -g（x）_b 解岀. 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進行分類討論. 由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除

8、使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義.(4) 求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個 最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是 提問的角度不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值. 配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的 值域或最值. 判別式法：若函數(shù) y = f(x)可以化成一個系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程2a(y)x - b(y)x c(y) = 0，則在a(y) = 0時

9、，由于x, y為實數(shù)，故必須有2.: =b (y) -4a(y) c(y) _0，從而確定函數(shù)的值域或最值. 不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值. 換元法：通過變量代換達到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題. 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值. 數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值. 函數(shù)的單調(diào)性法.【1.2.2】函數(shù)的表示法(5) 函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系列表法：就是列岀表格來表示兩個變

10、量之間 的對應(yīng)關(guān)系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.(6) 映射的概念 設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 f ,對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有 唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合 A，B以及A到B的對應(yīng)法則f )叫做集合 A到B的映射，記作f : A_ B . 給定一個集合 A到集合B的映射，且a A,bB 如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素 a的象，元素 a叫做元素b的原象.1.3函數(shù)的基本性質(zhì)【131】單調(diào)性與最大(小)值(1) 函數(shù)的單調(diào)性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的單調(diào)性如果對于屬于定義域 I內(nèi)某 個區(qū)間上的任意兩

11、個自變量 的值X1、X2,當X1< x 2時，都 有f(x 1)vf(x 2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).yy=f(x)x f(x )/f(X )(1) 利用定義(2) 利用已知函數(shù)的 單調(diào)性(3) 利用函數(shù)圖象(在 某個區(qū)間圖象上升為增)(4) 利用復合函數(shù)oX1X2X如果對于屬于定義域 I內(nèi)某 個區(qū)間上的任意兩個自變量 的值X1、X2，當X1 < X2時，都 有f(x 1)>f(X 2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).yf(X 1)y=f(x)忙一(1) 利用定義(2) 利用已知函數(shù)的 單調(diào)性(3) 利用函數(shù)圖象(在 某個區(qū)間圖象下降為減)(4)

12、利用復合函數(shù)oX1X 2X在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù).對于復合函數(shù)y = fg(x)，令u=g(x)，若y = f(u)為增，u=g(x)為增，則y 二 fg(x)為增；若 y = f (u)為減，u 二 g(x)為減，則 y 二 fg(x)為增；若 y = f (u)為增，u=g(x)為減，則y = fg(x)為減；若y=f(u)為減，u = g(x)為增，則yy = fg(x)為減.a(2) 打“V"函數(shù)f(x)二x (a 0)的圖象與性質(zhì)xf (x)分別在(-：，-、a、 .a,二)

13、上為增函數(shù)，分別在-. a,0)、(0,、a上為減函數(shù).(3) 最大(小)值定義 一般地，設(shè)函數(shù) y = f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù) M滿足:對于任意的x I，都有f(X)乞M ；的最大值，記作(2)存在x I，使得f (x0) = M 那么，我們稱 M是函數(shù)f (x)fmax(X)二 M 一般地，設(shè)函數(shù) y= f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù) m滿足：(1)對于任意的I，都有f (x) _m ；(2)存在xo I，使得f (xO = m 那么，我們稱 m是函數(shù)f (x)的最小值，記作fmax（X）= m 【132】奇偶性(4)函數(shù)的奇偶性定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于函數(shù)f(

14、x)定義域內(nèi) 任意一個x，都有f( x)= f(x) ,那么函數(shù)f(x)叫做奇函 數(shù).圖象判定方法函數(shù)的奇偶性(1) 利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2) 利用圖象(圖象 關(guān)于原點對稱)如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi) 任意一個x，都有f( x)=f(x) 那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)(1) 利用定義(要先 判斷定義域是否關(guān)于 原點對稱)(2) 利用圖象(圖象 關(guān)于y軸對稱)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=0 奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反. 在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù)

15、)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).補充知識函數(shù)的圖象(1)作圖利用描點法作圖：確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式； 討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；畫出函數(shù)的圖象.利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象. 平移變換y = f (x)h °，左移 h 個單位 _ y=f(x 亠 h)y T(x) h：0,右移 |h|個單位y T (x h)k 0,上移k個單位y = f(x) k：0，下移 |k| 個單位f(x) k 伸縮變換y = f(X)一縮伸T y = f 仲X)y = f(x)-0A11?T y =Af (x) 對稱變換y = f (x)止 y = f(x)f (x) 出 y= f (x)原占y = f(x)原占r-f(-x)去掉y軸左邊圖象y = f