矩陣的各種運算詳解

1、一、矩陣的線性運算H+萬=(%+%)油股=注：只有兩個矩陣是同型矩陣時,定義i設有兩個mxh矩陣4二(4)和B=(%)，矩陣/與E的和記作乂+3,規(guī)定為乜1+如%十尢曰VVV,>1«V%】+力施1十b裁口口居%+士理_才能進行矩陣的加法運算.兩個同型矩陣的和，即為兩個矩陣對應位置元素相加得到的矩陣.設矩陣*二氣力記=''，稱-乂為矩陣力的負矩陣,顯然有火+(如。.由此規(guī)定矩陣的減法為/+(-歷.定義2數(shù)t與矩陣A的乘積記作媯或做,規(guī)定為數(shù)與矩陣的乘積運算稱為數(shù)乘運算.矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.它滿足下列運算規(guī)律:設一二都是同型矩陣，尢是

2、常數(shù)，則(2)1+一二-j；*C)；(3).!(4)小-1-1-(5)一£(一”,由4流(8)”+。旺注：在數(shù)學中，把滿足上述八條規(guī)律的運算稱為線性運算二、矩陣的相乘如VVV,b弓定義3設用92%洵%，髭四:矩陣工與矩陣B的乘積記作AB,規(guī)定為其中記號妣常讀作左乘B或3右乘A.注：只有當左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能進行乘法運算若©=見,則矩陣C的元素1即為矩陣/的第i行元素與矩陣S的第）列對應元素乘積的和.即=的'匕打+魚網(wǎng)矩陣的乘法滿足下列運算規(guī)律（假定運算都是可行的）：(1)(2)(3)(4)(明呢;(AiS)C=AC+BC,電+町=04+%

3、k幽(啞=即班注：矩陣的乘法一般不滿足交換律A例如，設-24<1-3,8=BAAB=而于是-3-叭1兒%期且放=02-3414、心2-3-16io-32、16，,可能是零矩陣,故不能從AB=0必然推出A-0從上例還可看出：兩個非零矩陣相乘或u.此外，矩陣乘法一般也不滿足消去律，即不能從AC=BC必然推出A=B,例如，設2Va1、d1、=BC.定義4如果兩矩陣相乘，有AB=BA,則稱矩陣A與矩陣B可交換.簡稱A與B可換.注：對于單位矩陣E,容易證明%4收=4吐44與二，微界1或簡寫成艮4=A可見單位矩陣區(qū)在矩陣的乘法中的作用類似于數(shù)11.更進一步我們有命題1設E是一個n階矩陣，則3是一個數(shù)

4、量矩陣的充分必要條件是3與任何n階矩陣A可換。命題2設兒3均為n階矩陣，則下列命題等價：（1）AB=BA,（2）,4-5-才二（3）二-一:一（4）-二二-一上一三、線性方程組的矩陣表示設有線性方程組口內+用兩+陽4三處：的內+%勺+%。=%,若記心西+小沃+小怨。=4，,線性方程組（1）可表示為矩陣形式:AX=b則利用矩陣的乘法(2)其中矩陣力稱為線性方程組（1）的系數(shù)矩陣.方程（2）又稱為矩陣方程.如果方=與0=1，2，'''”）是方程組（1）的解，記列矩陣%C2協(xié)£,這時也稱。是矩陣方程（2）的解；反之，如果列矩陣0是矩陣方程（2）的解，即有矩陣等式成立

5、，則工=即。=勺°=以刈也是線性方程組（1）的解.這樣，對線性方程組（1）的討論便等價于對矩陣方程（2）的討論.特別地，齊次線性方程組可以表示為出=0,將線性方程組寫成矩陣方程的形式，不僅書寫方便，而且可以把線性方程組的理論與矩陣理論聯(lián)系起來，這給線性方程組的討論帶來很大的便利四、矩陣的轉置定義6把矩陣工的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，稱為4的轉置矩陣，記作乂,（或二）.即若41的q1J區(qū)二叼1%n«7矩陣的轉置滿足以下運算規(guī)律的州備井，.（假設運算都是可行的）：(2)五、方陣的哥定義5設方陣力=（娟加,規(guī)定上T對=及入mF媯自然數(shù)#稱為力的次哥.方陣的哥滿足以下運算規(guī)律（

6、假設運算都是可行的）：.-產(chǎn)注：一般地,M切褪黃小那，用為自然數(shù)命題3設4出均為n階矩陣，得網(wǎng)則有（陶加=/覘咒網(wǎng)為自然數(shù)，反之不成六、方陣的行列式定義7由H階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變，稱為方陣A的行列式，記作網(wǎng)或ddq注：方陣與行列式是兩個不同的概念，口階方陣是個數(shù)按一定方式排成的數(shù)表，而月階行列式則是這些數(shù)按一定的運算法則所確定的一個數(shù)值（實數(shù)或復數(shù)）方陣W的行列式I川滿足以下運算規(guī)律（設A.B為R階方陣,1fc為常數(shù)）：一??；斗廣一二（3）|例并因,進一步闡=|同=|耶|七、對稱矩陣定義8設4為外階方陣，如果*=4即4=%（ij=122加則稱為對稱矩陣.顯然，對稱矩陣

7、A的元素關于主對角線對稱.例如電61y-t6go1L,J05j均為對稱矩陣.如果/=一兒則稱工為反對稱矩陣八、共輾矩陣定義9設，=（4）為復（數(shù)）矩陣，記_工=“其中%表示4的共軻復數(shù)，稱I為A的共軻矩陣.共軻矩陣滿足以下運算規(guī)律（設兒E為復矩陣比為復數(shù),且運算都是可行的）：（1）二一二一（2）二.'.'I.（3）5三例題選講:矩陣的線性運算例1（講義例1）已知A=-10勺1例2（講義例2）已知23D-1543f-2132-302-5-24、97T6一P1J,求34-28注：n階數(shù)量矩陣IA=3、-2-3、例3（講義例3）若s=14),。A是一個1X3矩陣，B是3X1矩陣，因此

8、AB有意義，BA也有意義；但AB=(1,0,4)1=lxl+0xl+4x0=l)員4=1(1,。<1x11x01x40,4)-1x11x01x4=0x10x00x4I1504：0400,ai例5設Ian）,B=I（這種記法表示主對角線以外沒有注明的元素均為零），則例6（講義例4）某地區(qū)有四個工廠I、n、山、W，生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，矩陣A矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價格（元）及單位利潤表示一年中各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量A=IIIIIIV單位價格單位利潤總收入總利潤（元，矩陣C表示各工廠的總收入及總利潤InnrNC21白乳總收入總利潤其中%f如+4題+U畫（j=L2MJ=L2）即匕種產(chǎn)品的數(shù)

9、量，如及九/二以3）分別其中，1,23,4；k=1,2,3）是第i個工廠生產(chǎn)第是第1fc種產(chǎn)品的單位價格及單位利潤，立及品的分別是第i個工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總收入及總利潤.則矩陣兒瓦。的元素之間有下列關系%+白口片】十陽%出田11+町向1+%看電如+%與1+04自11十厘4山1+/3務1C=AB.例7（講義例例8（講義例5)6)求與矩陣00;0100001000、01口/可交換的一切矩陣.證明：如果CA二4G,CB二EC,則有Q4+加=母+助（AB）C=例9（講義例7)解矩陣方程1、22、c1V丫為二階矩陣10(1)設11（講義例8）12（講義例13設(-2AB-6因此地月=(1,2,已知（23,9)(2-2&g