滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第15章軸對(duì)稱圖形與等腰三角形知識(shí)例題講解與練習(xí)

1、第15章 軸對(duì)稱圖形與等腰三角形【知識(shí)剖析】一、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱1、軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè) 圖形叫做軸對(duì)稱圖形.這條直線叫做對(duì)稱軸.2、軸對(duì)稱：如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖 形成軸對(duì)稱.這條直線叫做對(duì)稱軸.折疊后重合的點(diǎn)叫做對(duì)稱點(diǎn).3、軸對(duì)稱性質(zhì)與判定：(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸垂直平分任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的所連線段(2)如果兩個(gè)圖形各對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的所連線段被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這 條直線對(duì)稱.4、軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系關(guān)系軸對(duì)標(biāo)圖形M制對(duì)象不同兩個(gè)圖形一個(gè)圖形感更

2、不忖畫個(gè)圖形的特殊住置關(guān)系一個(gè)具有特殊形狀的圖潞對(duì)停點(diǎn)N不時(shí)時(shí)你點(diǎn)分別在兩個(gè)國加上對(duì)稱點(diǎn)在同一個(gè)圖形上對(duì)稱軸位 置不同廝個(gè)圖褥J4軸時(shí)稱,其時(shí) 濟(jì)軸可造在兩個(gè)圉形的 外那，也可能拜過兩個(gè)陽 域的內(nèi)部或它們的公共 邊(或公共點(diǎn))軸時(shí)稱圖垠幽 對(duì)棟軸一定籌 過這個(gè)圖形的 內(nèi)部時(shí)稼軸激 量不同只力條對(duì)稱軸未必只療雜聯(lián)系(“定義中都有條直紋，林要沿著這條直線折疊(2)把成軸對(duì)林的陶個(gè)圖照弄成一個(gè)整體.它就是一 個(gè)軸對(duì)稱困把一個(gè)軸對(duì)稱因巖沿劉林岫分成礴個(gè) 圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條了查戈成釉對(duì)稱例1、把一張長方形紙片按如圖、圖的方式從右向左連續(xù)對(duì)折兩次后得到圖，再在圖 中挖去一個(gè)如圖所示的三角形小孔，則重

3、新展開后得到的圖形是(3A . 1 ： ：| ： ： ： C, ： D. 洶例2、如圖，把一個(gè)長方形紙片沿 EF折疊后，點(diǎn)D C分別落在D/、C的位置.若/ EFB=65 , 則/ AED等于().A 、 70 B 、 65 C 、 50 D 、 25例3、如圖，在折紙活動(dòng)中，小明制作了一張ABC氏片，點(diǎn)D、E分別在邊AB AC上，將 ABC沿著DE折疊壓平，A與A/重合，若/ A=75 ,則/ 1 + Z 2=().A 、 150 B 、 210 C 、 105 D 、 75例4、已知點(diǎn)M (a+1, 2a-3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)在第一象限，則a的取值范圍是 例5、若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為 P

4、i (2a+b, -a+1),關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為 P2 (4-b , b+2), 貝U a+b的值為.例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中.(1)請(qǐng)寫出 AB*頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并求 ABC的面積；(2)在圖中作出 ABC關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形 ABQ;(3)已知點(diǎn)A與點(diǎn)A2 (-3, 2)關(guān)于直線l成軸對(duì)稱，請(qǐng)畫出直線 l及 ABC關(guān)于直線l對(duì) 稱的圖形4 A2B2C2,并直接寫出直線l的函數(shù)解析式；(4)若點(diǎn)P (m, n)是/ ABC中AB邊上一點(diǎn)，請(qǐng)表示其在 A2BC2中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).、線段的垂直平分線1、定義：經(jīng)過線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線2、性質(zhì)定理：線段垂

5、直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等.直線l垂直平分AR點(diǎn)P在l上PA=PB143、逆定理：與線段兩端距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在AB的垂直平分線上4、三角形三邊垂直平分線的性質(zhì) ：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三 個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.例7、如圖，在 ABC中，/ BAC=100 , DF、EG分別為 AB和 AC的垂直平分線，求/ DAE 的度數(shù).例8、如圖，AB=CD線段AC的垂直平分線與線段 BD的垂直平分線相交于點(diǎn) E,垂足分別為N M.求證：/ ABE=/ CDE.例9、如圖，在四邊形 ABCM, AD/ BC對(duì)角線AC的中點(diǎn)為Q過點(diǎn)O作AC的垂線分

6、別與AD BC相交于點(diǎn)E、F,連接AF.求證：AE=AF.例10、如圖，已知在 ABC中，/ ACB=90 , 線段BD的垂直平分線上，BD的垂直平分線交 段AF的垂直平分線上.D是BC延長線上一點(diǎn)， E是AB上一點(diǎn)，且在BD于點(diǎn)G, DE交AC于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)E在線1、2、T AE=AC、等腰三角形定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形性質(zhì)：(1)等腰三角形 兩個(gè)底角相等.簡稱“等邊對(duì)等角推論：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等，每一個(gè)內(nèi)角等于 60。.(2)等腰三角形頂角的平分線 垂直平分底邊.(等腰三角形的 頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高三線合一)3、判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么

7、這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等.簡稱“等角對(duì)等邊”.四、等邊三角形ZB=ZC1、定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形2、性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等；三個(gè)角都相等，每一個(gè)內(nèi)角等于60。3、判定：(1)定義法：三邊都相等的三角形是等邊三角形(2)推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形(3)推論2:有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形五、直角三角形30 ,那么它所對(duì)的直含30。角的直角三角形性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 角邊等于斜邊的一半.在Rt 豌口中/ZA=30fl例11、如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC / A=20 ,線段AB的垂直平分線交 AB于點(diǎn)D, 交AC于點(diǎn)E,連接BE

8、則/ CBE等于（）.A 、 80B 、 70 C 、 60D 、 50例 12、如圖，已知梯形 ABED勺周長是 20cm, /ABC=60 , CD/ AB, AC/ DE,且 AB=AC=AD=DE. 計(jì)算 DCE勺周長.例13、如圖，在 ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn) D在BC上,BD=BE / BADhBCE AD與CE相 交于點(diǎn)F,試判斷 AFC的形狀，并說明理由.例 14、如圖，在 ABC中，AB=AC BC=6 AD! BC于點(diǎn) D,貝U BD=例15、如圖，已知 ABC為等邊三角形，點(diǎn) D、E分別在 BC AC邊上，且 AE=CD AD與BE 相交于點(diǎn)F.(1)求證： ABE A

9、CAtD(2)求/ BFD的度數(shù).例 16、如圖，/ AOEW BOE=15 , EF/ OB ECOB 若 EC=1,貝U EF=A,例17、如圖， ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由 A向C運(yùn)動(dòng)(與C不重合)，Q是CB延長線上一動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由 B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)(Q不與B重合)，過P作PE AB于E,連接 PQ交AB于D.(1)當(dāng)/ BQD=30時(shí)，求 AP的長.(2)在運(yùn)動(dòng)過程中線段 ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果發(fā)生改變，請(qǐng)說明理由.六、角的平分線1、性質(zhì)：角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。匚平分/加回點(diǎn)?在戊：上pm

10、oa,pn_LobPlkPN2、判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上fm_Lo& fn_Loe,點(diǎn)F在/gB的平分級(jí)上.3是的3的平分線3、三角形三條角平分線的性質(zhì) ：三角形三條內(nèi)角平分線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的 距離相等.例 18、如圖，在 ABC中，/C=90 ,BC=ACAD是/ BAC的平分線，DU AB于點(diǎn) E.若 AB=10cmg 求 DBE的周長.例 19、如圖，PML BD于點(diǎn) M PNI AD于點(diǎn) N, BD=AD PM=PN.求證：OB=OA.例20、如圖，/ B=Z C=90 , M的BC的中點(diǎn)，DM平分/ ADC若連接 AM 則AM是否平

11、分/ BAD并說明理由.例21、如圖，在 ABC中，請(qǐng)證明：(1)若 AD為/ BAC的平分線，則 SBD : SCD = AB ： AC(2)設(shè)D為BC上的一點(diǎn)，連接 AD,若Svbd ： SyCD = AB： AC ,則AD為/ BAC的平分線.例 22、如圖，在 RtABC中，/ ACB=90 , AB=5, BC=3 AC=4,點(diǎn) P 是/ BAC / ABC的平 分線的交點(diǎn)，試求點(diǎn) P到AB邊的距離.例23、如圖，在 ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，D已AB于點(diǎn)E, DFL AC于點(diǎn)F,請(qǐng)你添加一個(gè) 條件，使AD EF,并進(jìn)行證明.【綜合練習(xí)】一、選擇題1、在下列交通標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的

12、有（）.A A A A.4 個(gè) B.3 個(gè) C.2 個(gè) D.1 個(gè)2、在等腰三角形 ABC中，AC=2BC其周長為60,則BC的長為（）A.15B.12C.15或12 D. 以上都不正確3、如圖，每組中的兩個(gè)圖形，成軸對(duì)稱的是（）.A. (1) (2) (3) B. (1) (2) (4)C. (1) (3) (4)D. (2)(4)4、已知點(diǎn)P (-1-2a , 5)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)和點(diǎn) M ( 3, b)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)相同，則A (a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為().A. (1,-5) B. (1,5) C. (-1 , 5) D. (-1,-5)5、如圖，在 ABC中，DE垂直平分

13、AC 垂足為 E,交AB于D, AB=11cm BC=7cm則 BCD 的周長為().A.16cmB.22cm C.18cm D.25cm（第5題）（第7題）（第9題）6、已知/ AOB=30，點(diǎn)P在/AOB的內(nèi)部，點(diǎn) Pi與點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱，點(diǎn) B與點(diǎn)P關(guān)于OA 對(duì)稱，則 PiOP是（）.A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形7、如圖，口人口4EBC均是等邊三角形，AE, BD分別與CD CE交于點(diǎn) M N,有如下結(jié)論：AAC總 DCtBCM=CNAM=DN.其中正確的結(jié)論有（）個(gè).A.3B.2C.1D.08、到 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是 ABC的（）.A.三條中線

14、的交點(diǎn)B三條角平分線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)9、如圖，AB=AC, BD=BQ 若/ A=40 ,則/ ABD等于（）.A.20B.30C.35D.4010、如圖，折疊直角三角形紙片，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)E處.已知BC=12, / B=30 ,則DE的長是（）.A.6B.4C.3D.2（第10題）（第11題）（第12題）11、如圖，BF, CF是 ABC的兩個(gè)外角的平分線，交點(diǎn)為 F,若/ A=50 ,則/ BFC的度數(shù) 是（）.A.50 B.60C.40D.6512、如圖，在 RtABC中，/ B=90 , ED是AC的垂直平分線，交 AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E. 若/

15、 BAE=10 ,則/ C的度數(shù)為（）.A.30 B.40C.50D.60二、填空題13、如圖，在 ABC中，/A=90 , /C=75 , AC=12cm ED直平分 BC,貝U BE等于 cm.（第13題）（第14題）（第15題）14、在一次夏令營活動(dòng)中，小明同學(xué)從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60方向的C處.他先沿正東方向走了 200m到達(dá)B地，再沿北偏東30。方向走，恰能到達(dá)目的地 C,那么，由此可知B、C兩地相距m.15、如圖，在 ABC中，AB=AC / BAC與/ ACB的平分線相交于點(diǎn) D.若/ ADC=130 ,則/ BAC=.16、如圖，在等腰 ABC中，AB=AC CH A

16、B,垂足為 E, AD是/ BAC的平分線.若AB=5cm CE=24 cm, BC=6cm 貝U AD=cm.520、如圖，/ ABC=60 , AD垂直平分線段（第20題）（第16題）（第17題）17、如圖，在RtABC中，CD是斜邊 AB上的高，如果/ A=30 , BD=1cm那么/ BCD= BC=cm AD=cm.18、在 ABC中，AB=AC AB的垂直平分線與 AC所在的直線相交所得的銳角為50 ,則/ B等于.19、如圖，在 ABC中，/ C=90 , AD平分/ BAC AD=BD=2CD點(diǎn)D到AB的距離等于 5cm, 貝U BC=? / CAD=.BC于點(diǎn)D, / ABC的平分線BE交AD于點(diǎn)E,連接EC則/ AEC的度數(shù)是三、解答題21、如圖，在直線 AB一側(cè)有C、D兩點(diǎn)，在AB上找一點(diǎn)P,使PC+PD勺長最短，找出此點(diǎn)并說明理由22、如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , / C=30 , AD) BC于 D, / ABC的平分線分別交 AD, AC于點(diǎn)F, E.求證： AEF是等邊三角形.23、如圖，在 ABC中，AC=BC / ACB=90 , D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長線于 E,1口一,且AE = BD .求證：BD是/ ABC的平分線.224、如圖， ABC是等邊三角形， D是 ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 BD=