網(wǎng)格和單元的基本概念

1、精選文檔網(wǎng)格和單元的基本概念前記：首先說明，和一般的有限元或者計(jì)算力學(xué)的教材不一樣，本人也不打算去抄襲別人的著作，下面的連載是一個(gè)階段的學(xué)習(xí)或者專業(yè)感悟集大成，可以說深化淺出，也可以說淺薄之極假如你認(rèn)為淺薄，很好，說明我理解透了，也慶賀你理解透了！好了，廢話少說，書歸正傳。 無論是CSD（計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)）、CTD（計(jì)算熱力學(xué)）還是CFD（計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)）我們統(tǒng)一稱之為工程物理數(shù)值計(jì)算技術(shù)。支撐這個(gè)體系的4大要素就是：材料本構(gòu)、網(wǎng)格、邊界和荷載（荷載問題可以理解為數(shù)學(xué)物理方程的初值問題），當(dāng)然，假如把求解技術(shù)也看作一個(gè)要素，則也可以稱之為5大要素。網(wǎng)格是一門簡(jiǎn)單的邊緣學(xué)科，是幾何拓補(bǔ)學(xué)和力學(xué)的雜交

2、問題，也是支撐數(shù)值計(jì)算的前提保證。本番連載不做任何網(wǎng)格理論的探討（網(wǎng)格理論是純粹的數(shù)學(xué)理論），僅限于盡量簡(jiǎn)潔化的應(yīng)用技術(shù)揭秘。 網(wǎng)格消滅的思想源于離散化求解思想，離散化把連續(xù)求解域離散為若干有限的子區(qū)域，分別求解各個(gè)子區(qū)域的物理變量，各個(gè)子區(qū)域相鄰連續(xù)與協(xié)調(diào)，從而達(dá)到整個(gè)變量場(chǎng)的協(xié)調(diào)與連續(xù)。離散網(wǎng)格僅僅是物理量的一個(gè)“表征符號(hào)”，網(wǎng)格是有形的，但被離散對(duì)象既可以是有形的（各類固體），也可以是無形的（熱傳導(dǎo)、氣體），最關(guān)鍵的核心在于網(wǎng)格背后隱蔽的數(shù)學(xué)物理列式，因此，簡(jiǎn)潔點(diǎn)說，看得見的網(wǎng)格離散是形式，而看不見的物理量離散才是本質(zhì)核心。 對(duì)計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，網(wǎng)格剖分主要包含幾個(gè)內(nèi)容：桿系單元剖分（梁

3、、桿、索、彈簧等）、二維板殼剖分（曲面或者平面單元）、三維實(shí)體剖分（非結(jié)構(gòu)化全六面體網(wǎng)格、四周體網(wǎng)格、金字塔網(wǎng)格、結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格、混合網(wǎng)格等），計(jì)算熱力學(xué)和計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)的網(wǎng)格絕大部分是三維問題。對(duì)于CAE工程師而言，任何簡(jiǎn)單問題域最終均直接表現(xiàn)為網(wǎng)格的堆砌，工程師的任務(wù)等同于上帝造人的過程，網(wǎng)格是一個(gè)機(jī)體，承載著靈魂（材料本構(gòu)、網(wǎng)格、邊界和荷載），求解技術(shù)則是一個(gè)思維過程。 網(wǎng)格基本要素是由最基本的節(jié)點(diǎn)（node）、單元線（edge）、單元面（face）、單元體（body）構(gòu)成，實(shí)質(zhì)上，線、面、體只不過是為了讓網(wǎng)格看起來更加直觀，在分析求解過程中，線、面、體本質(zhì)上并沒有起多大的作用，數(shù)值離

4、散的落腳點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)（node）上，全部的物理變量均轉(zhuǎn)化為節(jié)點(diǎn)變量實(shí)現(xiàn)連續(xù)和傳遞。在全部的CAE環(huán)境下，網(wǎng)格的基本要素均可以直接構(gòu)成，但對(duì)于簡(jiǎn)單問題而言，這是一個(gè)在操作上很難實(shí)現(xiàn)的事情，因此，基于幾何要素的網(wǎng)格劃分技術(shù)成為現(xiàn)代網(wǎng)格剖分應(yīng)用的支點(diǎn)，和網(wǎng)格基本要素完全相同，對(duì)應(yīng)的幾何要素分別稱之為點(diǎn)（point）、線（curve）、面（surface）和實(shí)體（solid）。 數(shù)值離散求解器是不能識(shí)別幾何元素的，要對(duì)其添加“飼料”，工程師必需對(duì)幾何元素進(jìn)行“精加工”，因此，從這個(gè)意義上來說，網(wǎng)格剖分的本質(zhì)就是把幾何要素轉(zhuǎn)換為若干離散的元素組，這些元素組堆砌成形態(tài)上近似靠近原有幾何域的簡(jiǎn)潔網(wǎng)格集合體。因此

5、，這里說明白一個(gè)網(wǎng)格“加工”質(zhì)量的基本判別標(biāo)準(zhǔn)和幾何元素的擬合靠近程度，理論上，越靠近幾何元素的網(wǎng)格質(zhì)量越好，當(dāng)然，幾何靠近只是一個(gè)基本的判別標(biāo)準(zhǔn)，網(wǎng)格質(zhì)量判別有一系列簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)，后文具體闡述。 本篇將特地解釋幾個(gè)基本概念：點(diǎn)網(wǎng)格；一維線網(wǎng)格；二維三角形面網(wǎng)格、二維四邊形面網(wǎng)格；三維四周體網(wǎng)格（tetrahedra）、三維金字塔單元（pyramid）、五面體單元（prism）、三維六面體單元（hexahedra）；結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（structural grid）、非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格（nonstructural grid）、混合網(wǎng)格（blend grid）。需要特地說明的是，網(wǎng)格（grid & net）不

6、等同于單元（element），單元是基于有限元思想的一個(gè)專用名詞，而網(wǎng)格則是網(wǎng)格理論體系下的專用稱呼，當(dāng)網(wǎng)格用于有限元分析的時(shí)候，便可以轉(zhuǎn)而稱為線單元、面單元、實(shí)體單元，因此兩者的本質(zhì)差別在于，單元具有物理意義，一般具有特定的物理列式，而網(wǎng)格只是純粹幾何意義上的基本元素。 點(diǎn)網(wǎng)格主要針對(duì)CSD中的質(zhì)量單元和CTD中的點(diǎn)狀熱源，通過對(duì)幾何point直接mesh生成，應(yīng)用較為簡(jiǎn)潔，屬性也較為簡(jiǎn)潔，一般僅僅包含質(zhì)量特性或者溫度特性。值得一提的是，在考慮行波效應(yīng)的振動(dòng)分析中，質(zhì)量單元常被妙用，作為基底無限大質(zhì)量塊，奇妙地將加速度激勵(lì)轉(zhuǎn)變?yōu)榱?lì)，從而達(dá)到可以多點(diǎn)施加激勵(lì)的作用。 一維線網(wǎng)格主要針對(duì)計(jì)算

7、結(jié)構(gòu)力學(xué)問題，主要針對(duì)基本的桁架（truss）、梁（frame or beam）、索（cable）、連桿(link)和彈簧（spring）等工程單元。需要特殊說明的是，link實(shí)際上沒有具體的工程構(gòu)件對(duì)號(hào)入座（不等同于機(jī)械工程的連桿），只是一種單元節(jié)點(diǎn)物理量協(xié)調(diào)的邊界單元，常用一維線網(wǎng)格描述。對(duì)于梁系單元，理論上通過桿件軸長(zhǎng)方向的node描述其物理量變化，node越多，描述相對(duì)越精確，對(duì)于常用的梁、桿通常達(dá)到69個(gè)節(jié)點(diǎn)就具備足夠的工程精度（可以捕獲到關(guān)鍵截面位置的力學(xué)響應(yīng)）。一維單元可以依據(jù)內(nèi)力變化任憑加密局部網(wǎng)格點(diǎn)。從工程意義上來說，通過加密網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)，完全可以替代高次一維單元。需要留意的是，

8、桿系構(gòu)件的一維網(wǎng)格并不是一味的追求增加剖分節(jié)點(diǎn)，對(duì)于桁架（truss）或者拉索（cable），當(dāng)劃分成多節(jié)點(diǎn)一維網(wǎng)格時(shí)，假如構(gòu)件缺少初始剛度（一般是初始張拉剛度），則中間節(jié)點(diǎn)會(huì)由于缺少轉(zhuǎn)動(dòng)自由度約束，而形成類似鉸鏈的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致計(jì)算失敗。而彈簧或者link則只需要兩個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)便可以完全描述其物理特性，這是最簡(jiǎn)潔的一維網(wǎng)格單元。 二維網(wǎng)格主要針對(duì)CSD中的板殼單元、平面應(yīng)力單元、平面應(yīng)變單元；CTD和CFD中的二維問題也是其應(yīng)用領(lǐng)域。二維網(wǎng)格包含兩類：其一是三角形網(wǎng)格；其二是四邊形網(wǎng)格，當(dāng)然，兩種網(wǎng)格也可以混合使用。三角形網(wǎng)格為一般用于線性二維單元（線性單元只有一個(gè)積分點(diǎn)，當(dāng)然也有3積分點(diǎn)、4

9、積分點(diǎn)的高次三角形單元），因此，精度一般相對(duì)較差，同時(shí)，單元數(shù)量和節(jié)點(diǎn)數(shù)量均較高，造成計(jì)算負(fù)荷加大，但其幾何靠近的適應(yīng)性很好，因此對(duì)由簡(jiǎn)單二維曲面構(gòu)成的三維問題，有肯定的適應(yīng)性。四邊形網(wǎng)格是矩形、梯形、斜梯形等四邊形網(wǎng)格的總稱，四邊形網(wǎng)格單元簡(jiǎn)潔增加單元積分點(diǎn)分布（4積分點(diǎn)、8積分點(diǎn)、9積分點(diǎn)、16積分點(diǎn)等），因此，對(duì)應(yīng)單元的精度往往較高。但在其應(yīng)用之初，限于網(wǎng)格生成技術(shù)的緣由，對(duì)幾何域的擬合靠近不如三角形好，網(wǎng)格生成算法也較為簡(jiǎn)單，影響了其使用，現(xiàn)在的網(wǎng)格技術(shù)已經(jīng)完善解決這一問題，因此，理論上，任意簡(jiǎn)單的曲面幾何域均可以接受完全四邊形網(wǎng)格構(gòu)成。但對(duì)于很多簡(jiǎn)單工程問題，往往存在一些幾何尺度變化

10、較猛烈的區(qū)域（俗稱極短邊界、裂開面、裂開線），這些區(qū)域假如純粹用四邊形網(wǎng)格填充，會(huì)大幅度增加網(wǎng)格數(shù)量，且外形靠近也不好，因此可以接受混合三角形四邊形網(wǎng)格的剖分策略，這是一種兼顧網(wǎng)格外形、計(jì)算效率和精度的網(wǎng)格組合方式，主要以四邊形單元為主，局部填充數(shù)量極少的三角形網(wǎng)格。 三維實(shí)體網(wǎng)格是最簡(jiǎn)單的網(wǎng)格技術(shù)，主要針對(duì)計(jì)算域中的塊狀體或者空間三維狀封閉區(qū)域，填充網(wǎng)格外形包括四周體、六面體、棱柱體、四棱錐體（俗稱金字塔網(wǎng)格），目前的三維網(wǎng)格剖分技術(shù)已經(jīng)相對(duì)完善，四周體網(wǎng)格可以高效填充任意簡(jiǎn)單的空間三維域，很多網(wǎng)格生成軟件并且已經(jīng)可以做到自動(dòng)剖分、自適應(yīng)加密。最具挑戰(zhàn)性的三維六面體網(wǎng)格剖分技術(shù)仍舊處于完善進(jìn)

11、展?fàn)顟B(tài)，雖然理論上分塊（block）結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以實(shí)現(xiàn)任意外形三維空間的結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格填充，但簡(jiǎn)單的分塊技術(shù)對(duì)工程師的幾何拓補(bǔ)規(guī)劃力量是一個(gè)嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，往往進(jìn)行區(qū)域分塊會(huì)花掉工程師整個(gè)分析工作過程近80%的時(shí)間，同時(shí)，由于結(jié)構(gòu)化要求，導(dǎo)致有時(shí)候網(wǎng)格質(zhì)量難以把握，網(wǎng)格數(shù)量有時(shí)候可能比四周體單元的數(shù)量更加巨大，但結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格排序簡(jiǎn)潔明白，因此數(shù)值離散插值格外便利，往往用線形插值的求解精度就可以達(dá)到非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格非線性插值的精度，且結(jié)構(gòu)網(wǎng)格占用內(nèi)存較低（單個(gè)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格占用內(nèi)存為四周體網(wǎng)格的4倍，但但其節(jié)點(diǎn)總數(shù)大約為四周體網(wǎng)格的1/6，因此總占用內(nèi)存較低），因此，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仍舊是網(wǎng)格高端技術(shù)的象征，目前

12、，專業(yè)網(wǎng)格處理器ICEM-CFD主要以這種技術(shù)為主，在CFD和CTD計(jì)算領(lǐng)域，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格仍舊是網(wǎng)格剖分的首選。針對(duì)結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格生成技術(shù)的難點(diǎn)，非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格漸漸形成CSD領(lǐng)域的主流，非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的主要生成技術(shù)是sweep技術(shù)，sweep網(wǎng)格要求剖分區(qū)域具有sweep路徑和路徑兩端的邊界面，網(wǎng)格生成的一般挨次是先完成路徑斷面的網(wǎng)格剖分（程序自動(dòng)完成，很簡(jiǎn)潔），接下來程序往往會(huì)自動(dòng)搜尋出端面的網(wǎng)格影射關(guān)系，從而沿著sweep路徑形成三維體網(wǎng)格。針對(duì)簡(jiǎn)單幾何區(qū)域，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格也需要預(yù)先進(jìn)行幾何域分塊，但其分塊難度相對(duì)很低，一般僅需要工程師查找出具備近似sweep拓補(bǔ)特征的幾何域，直接進(jìn)行幾何

13、域剖分即可。最簡(jiǎn)潔的具備近似sweep拓補(bǔ)特征的幾何域包括圓柱體、立方體以及經(jīng)過異化（梯形化、扭曲化、楔化等）的對(duì)應(yīng)元素，這些分區(qū)塊共同構(gòu)成網(wǎng)格剖分的初始幾何子域集。值得一提的是，幾何域初始剖分過程中各個(gè)子域需要保證幾何上的連通，對(duì)于格外簡(jiǎn)單的幾何域，這樣的連通有些時(shí)候是高階復(fù)連通過程，其剖分也比較簡(jiǎn)單。 棱柱體不是網(wǎng)格主流外形，一般作為非結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格的補(bǔ)充搭配使用當(dāng)sweep端面不適合接受全四邊形網(wǎng)格填充時(shí)，可以局部接受三角形網(wǎng)格三角形網(wǎng)格沿厚度方向掃略便形成了棱柱體單元（5面體）；棱柱體網(wǎng)格另外一個(gè)重要的用途便是流場(chǎng)計(jì)算的壁面邊界層網(wǎng)格，由于流場(chǎng)壁面法向四周變量變化格外猛烈，因此往往要

14、求沿法向網(wǎng)格具有結(jié)構(gòu)化特征，利于數(shù)值離散插值，提高計(jì)算精度，而假如該區(qū)域是非結(jié)構(gòu)四周體單元，要形成結(jié)構(gòu)化排序是格外困難的，因此，一個(gè)折中的方案便是對(duì)壁面四周四周體網(wǎng)格進(jìn)行層狀化劈分處理（涉及劈層以后的局部網(wǎng)格重構(gòu)，技術(shù)難度很大），經(jīng)劈分處理得到表層網(wǎng)格便是棱柱體網(wǎng)格。金字體網(wǎng)格在CSD領(lǐng)域應(yīng)用較少，主要用于CTD和CFD計(jì)算比如某一個(gè)幾何子域接受四周體網(wǎng)格，另外的子域接受六面體結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，則在兩個(gè)子域上可以接受金字塔單元進(jìn)行過渡處理，一般“塔底”（四邊形）連接六面體網(wǎng)格，“塔尖”連接四周體網(wǎng)格。 結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格只是針對(duì)網(wǎng)格排序方式而言，簡(jiǎn)潔點(diǎn)說，當(dāng)幾何域內(nèi)部的每一個(gè)子域上，其網(wǎng)格針對(duì)

15、子域的面或者邊線，具有一一對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格排序（比如四邊形的對(duì)邊網(wǎng)格具有映射關(guān)系，且這樣的影射關(guān)系在網(wǎng)格路徑上也嚴(yán)格滿足），一個(gè)最簡(jiǎn)潔的例子，便是一個(gè)方柱體sweep六面體網(wǎng)格和結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的對(duì)比，當(dāng)路徑端面網(wǎng)格上為自由劃分四周邊形網(wǎng)格（端面的對(duì)邊方向網(wǎng)格并不具備映射關(guān)系）最終形成的sweep網(wǎng)格便是非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格沿網(wǎng)格路徑方向具有映射關(guān)系（最終全部是六面體），結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格則要求其端面網(wǎng)格也同時(shí)滿足映射關(guān)系（即使這個(gè)映射關(guān)系經(jīng)過異化，比如梯形化、扭曲化）。因此，總結(jié)來說，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在空間子域內(nèi)部滿足三維映射，而非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格最多只滿足一維映射（sweep網(wǎng)格），同時(shí)，四周體、棱柱體、金字塔網(wǎng)格也均屬于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)和積分點(diǎn)是一般CAE工程師很簡(jiǎn)潔混淆的概念，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)構(gòu)成了網(wǎng)格分布和外形，通常，這些節(jié)點(diǎn)是數(shù)值離散插值、網(wǎng)格“溝通溝通”的“基地”，而積分點(diǎn)一般位于網(wǎng)格內(nèi)部或者節(jié)點(diǎn)之間，是“基地”傳輸過來的變量信息進(jìn)行“再加工”（積分計(jì)算）的“封裝測(cè)試車間”，最終的結(jié)果是積分點(diǎn)計(jì)算結(jié)果