導(dǎo)數(shù)基本公式與運(yùn)算法則1

1、第二節(jié)導(dǎo)數(shù)基本公式與運(yùn)算法則教學(xué)目的：1.使學(xué)生掌握函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則； 2使學(xué)生掌握反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；教學(xué)重點(diǎn)：初等函數(shù)的求導(dǎo)公式、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)過(guò)程：一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理 1：若函數(shù)和在點(diǎn)都可導(dǎo)，則在點(diǎn)也可導(dǎo)，且。證明： = 所以。注 1：本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)上去。 2：本定理的結(jié)論也常簡(jiǎn)記為。定理2：若和在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)可導(dǎo)，且有。證明： = = = =即 。注 1：若取為常數(shù)，則有：； 2：本定理可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的乘積上去，例如：等。定理3：若都在點(diǎn)可導(dǎo)，且，則在點(diǎn)也可導(dǎo)，且。證明： = = =即注1：本定理也可通

2、過(guò)，及的求導(dǎo)公式來(lái)得；2：本公式簡(jiǎn)化為；3：以上定理13中的，若視為任意，并用代替，使得函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)函數(shù)公式。【例1】 設(shè)，求。解： ?！纠?】 設(shè)，求。解：?！纠?】二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則定理1：設(shè)為的反函數(shù)，若在的某鄰域內(nèi)連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)，且，則在（即點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)），且。證明： 所以 。注1：，因?yàn)樵邳c(diǎn)附近連續(xù)，嚴(yán)格單調(diào)； 2：若視為任意，并用代替，使得或，其中均為整體記號(hào)，各代表不同的意義； 3：和的“”均表示求導(dǎo)，但意義不同； 4：定理1即說(shuō)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)； 5：注意區(qū)別反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與商的導(dǎo)數(shù)公式?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)，解：由于，是的反函數(shù)，由定理1得：。注1

3、：同理可證：； 2：?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，自己做。三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題是最最常見(jiàn)的問(wèn)題，對(duì)一復(fù)合函數(shù)往往有這二個(gè)問(wèn)題：1.是否可導(dǎo)？2.即使可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)如何求？復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式解決的就是這個(gè)問(wèn)題。定理2（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）：如果在點(diǎn)可導(dǎo)，且在 點(diǎn)也可導(dǎo)，那么，以為外函數(shù)，以為內(nèi)函數(shù)，所復(fù)合的復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且，或證明： = 所以。注 1：若視為任意，并用代替，便得導(dǎo)函數(shù)：，或 或。 2：與不同，前者是對(duì)變量求導(dǎo)，后者是對(duì)變量求導(dǎo)，注意區(qū)別。 3：注意區(qū)別復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)乘積的求導(dǎo)。 4：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可推廣到有限個(gè)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)上去，如：等?！纠?】 求的導(dǎo)數(shù)。解：可看成與復(fù)合而成， 。【例4】 求（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解：是，復(fù)合而成的。所以。這就驗(yàn)證了前面§2、1的例4。由此可見(jiàn)，初等函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)必須熟悉(i)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)；(ii)復(fù)合函數(shù)的分解；(iii)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式；只有這樣才能做到準(zhǔn)確。在解題時(shí)，若對(duì)復(fù)合函數(shù)的分解非常熟悉，可不必寫(xiě)出中間變量，而直接寫(xiě)出結(jié)果?！纠?】，求。解：。【例6】，求。解： ?！纠?】，求。解： = =?！纠?】，求。解：。【例9】， 即。同理，?！纠?0】，求。解：。同理：。 小結(jié)：