chapter7自旋與全同粒子系

1、2022-3-16閆友房 量子物理11 1 電子自旋電子自旋 2 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋算符和自旋波函數(shù) 3 3 簡單塞曼效應(yīng)簡單塞曼效應(yīng) 4 4 兩個角動量耦合兩個角動量耦合 5 5 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 6 6 全同粒子的特性全同粒子的特性 7 7 全同粒子體系波函數(shù)全同粒子體系波函數(shù) Pauli Pauli 原理原理 8 8 兩電子自旋波函數(shù)兩電子自旋波函數(shù) 9 9 氦原子（微擾法）氦原子（微擾法）第七章第七章 自旋與全同粒子自旋與全同粒子2022-3-16閆友房 量子物理2一、一、Stern-Gerlach Stern-Gerlach 實驗實驗 二、光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)

2、二、光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu) 三、電子自旋假設(shè)三、電子自旋假設(shè) 四、回轉(zhuǎn)磁比率四、回轉(zhuǎn)磁比率1 1 電子自旋電子自旋2022-3-16閆友房 量子物理31、實驗描述Z處于處于 S S 態(tài)的氫原子態(tài)的氫原子2、結(jié)論I 氫原子有磁矩 因在非均勻磁場中發(fā)生偏轉(zhuǎn) S 態(tài)的氫原子束流，經(jīng)非均勻磁場發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。NS一、一、Stern-Gerlach Stern-Gerlach 實驗實驗II 氫原子磁矩只有兩種取向 即空間量子化2022-3-16閆友房 量子物理4coszUM BMB 原子在 Z Z 方向受力為：coszzBUFMzz 若原子磁矩可任意取向，則 coscos 可在 （-1-1，

3、+1+1）之間連續(xù)變化，感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶。但是實驗結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線對應(yīng) coscos = -1 = -1 和 +1+1 ，處于 S 態(tài)的氫原子 =0=0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。3、討論原子磁矩在外磁場方向（z方向）的勢能為：2022-3-16閆友房 量子物理53p3s93583p3/23p1/23s1/2D1D296589058 鈉原子光譜中的一條亮黃線 5893，用高分辨率的光譜儀觀測，可以看到該譜線其實是由靠的很近的兩條譜線組成。 其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能

4、得到解釋。二、光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)二、光譜線精細(xì)結(jié)構(gòu)2022-3-16閆友房 量子物理6 Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè):（1）每個電子都具有自旋角動量，它在空間任何方向 上的投影只能取兩個數(shù)值：S（2）每個電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動量的關(guān)系：SeMSc自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：()2S zBeMMC G Sc Bohr 磁子三、電子自旋假設(shè)三、電子自旋假設(shè)2zS 2022-3-16閆友房 量子物理71、電子回轉(zhuǎn)磁比率2LeMLc 軌道角動量與軌道磁矩的關(guān)系是：S zzMeSc 2、軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：2

5、ec可見電子回轉(zhuǎn)磁比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍。四、回轉(zhuǎn)磁比率四、回轉(zhuǎn)磁比率2022-3-16閆友房 量子物理82 2 電子的自旋算符和自旋波函數(shù)電子的自旋算符和自旋波函數(shù)一、自旋算符一、自旋算符 二、含自旋的狀態(tài)波函數(shù)二、含自旋的狀態(tài)波函數(shù) 三、自旋算符的矩陣表示與三、自旋算符的矩陣表示與 Pauli Pauli 矩陣矩陣 四、含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度四、含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度 五、自旋波函數(shù)五、自旋波函數(shù) 六、力學(xué)量平均值六、力學(xué)量平均值2022-3-16閆友房 量子物理9 自旋角動量是純量子概念，它不可能用經(jīng)典力學(xué)來解釋。 自旋角動量也是一個力學(xué)量，但是它和其他力學(xué)量有著根本

6、的差別。通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動量的函數(shù)( , )FF r p 而自旋角動量則與電子的坐標(biāo)和動量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個自由度（第四個變量）。 與其他力學(xué)量一樣，自旋角動量也是用一個算符描寫，記為S自旋角動量自旋角動量 軌道角動量軌道角動量 的異同點的異同點與坐標(biāo)、動量無關(guān)rp不適用同是角動量滿足同樣的角動量對易關(guān)系一、自旋算符一、自旋算符2022-3-16閆友房 量子物理10L由于自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取 /2 兩個值，所以 ,xyzS S S的本征值都是 /2/2，其平方為 /2/22 22S算符的本征值是2222234xyzSSSS仿照自

7、旋量子數(shù) s s 只有一個數(shù)值自旋角動量 軌道角動量LLiLS,xyzxyzyzxyzxzxyzxyLLiLSSiSLLiLSSiSLLiLSSiSSSiS22(1)Ll l2223(1)4Ss s12s2022-3-16閆友房 量子物理11 因為自旋是電子內(nèi)部運動自由度，所以描寫電子運動除了用(x,y,z)(x,y,z)三個坐標(biāo)變量外，還需要一個自旋變量(S SZ Z），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：( , , , )zx y z St 1222( , )( , , )( , )( , , )r tx y ztr tx y zt 寫成列矩陣12( , )( , )r tr t 若已知電子處

8、于 S Sz z = = /2 /2 或 S Sz z = - = - /2/2 的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為：1122120( , )( , )0r tr t二、含自旋的狀態(tài)波函數(shù)二、含自旋的狀態(tài)波函數(shù)由于 S SZ Z 只取 /2/2 兩個值， 所以上式可寫為兩個分量：規(guī)定列矩陣 第一行對應(yīng)于Sz = /2， 第二行對應(yīng)于Sz = -/2。2022-3-16閆友房 量子物理121、 S SZ Z 的矩陣形式 電子自旋算符（如 S SZ Z ）是作用于電子自旋波函數(shù)上的，既然電子波函數(shù)表示成了 2 21 1 的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應(yīng)該是 2 22 2 矩陣。2zabScd 因

9、為1/21/2 描寫的態(tài)，S SZ Z有確定值 /2/2，所以1/21/2 是 S SZ Z 的本征態(tài)，本征值為 /2/2，即有：矩陣形式11( , )( , )0022abr tr tcd10ac三、自旋算符的矩陣表示與三、自旋算符的矩陣表示與 Pauli Pauli 矩陣矩陣1110ac11222zS 2022-3-16閆友房 量子物理13同理對1/2 處理，有2200( , )( , )22abr tr tcd01bd最后得 S SZ Z 的矩陣形式10012zSS SZ Z 在自身表象中是對角矩陣，對角矩陣元是其本征為值 /2/2。2220bd 2022-3-16閆友房 量子物理142

10、、Pauli 算符（1） Pauli 算符的引進(jìn)2S 2xxS分量形式2SSi Si 因為 S Sx x,S,Sy y,S,Sz z 的本征值都是 /2/2，所以x x,y y,z z的本征值都是1 1； x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是 1 1 。即：2221xyz 2 2 2xyyxzyzzyxzxxzyiii 令2yyS2zzS對易關(guān)系：分量形式：2022-3-16閆友房 量子物理15（2）反對易關(guān)系000 xyyxyzzyzxxz 證：由對易關(guān)系2yzzyxi 2yyzyzyyxi 2zyzyyxi 對易關(guān)系式右乘y 2yzyzxyi 0 xyyx xyyx xy

11、yxzyzzyxzxxzyiii 左乘yy y2 2=1=1二式相加同理可證yzzy zxxz 22xyyxxyzi 又2022-3-16閆友房 量子物理16（3）Pauli算符矩陣形式根據(jù)定義：1010010122zzzS求 Pauli 算符的其他兩個分量令xabcd zxxz aba bcdc d 00ad00 xbc由力學(xué)量算符厄密性得得：b=cb=c* * (或 c=bc=b* * )10100101ababcdcd*000000 xxbbcccb*00 xcc2022-3-16閆友房 量子物理17這里有一個相位不定性，習(xí)慣上取 =0=0，得到：0110 x從自旋算符與 Pauli 矩

12、陣的關(guān)系得：0 11 02xS*00 xcc*22200| |0000| |xcccIccc2| |1c 令：c = expic = expi (為實），則002yiSi10012zS00yii1001z00ixiee0110 x1001001100yzxyzxiiiii 2022-3-16閆友房 量子物理181、歸一化 電子波函數(shù)表示成矩陣形式后，波函數(shù)的歸一化時必須同時對自旋求和和對空間坐標(biāo)積分，即1*2212122( , )| 1( , )r tdddr t 2、幾率密度221212( , )|( , )( , )r tr tr t 表示t t時刻在r r點附近單位體積內(nèi)找到電子的幾率表

13、示t t時刻r r點處單位體積內(nèi)找到自旋 S Sz z= = /2 /2 的電子的幾率表示t t時刻r r點處單位體積內(nèi)找到自旋 S Sz z= /2/2 的電子的幾率1( , )r t d在全空間找到 S Sz z= = /2/2 的電子的幾率2( , )r t d在全空間找到 S Sz z= /2/2 的電子的幾率四、含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度四、含自旋波函數(shù)的歸一化和幾率密度2022-3-16閆友房 量子物理19波函數(shù)12 一般情況下，1 12 2 ，二者對(x,y,zx,y,z)的依賴是不一樣的。這是因為，通常自旋和軌道運動之間是有相互作用的，所以電子的自旋狀態(tài)對軌道運動有影響。但

14、是，當(dāng)這種相互作用很小時，可以將其忽略，則1 1,2 2 對 (x,y,zx,y,z) 的依賴一樣，即函數(shù)形式是相同的。此時可以寫成如下形式：( , )( , ) ()zzr S tr tS五、自旋波函數(shù)五、自旋波函數(shù)其中 是 S Sz z 的本征函數(shù)，稱為自旋波函數(shù)。()zS求：自旋波函數(shù)()zS解：SZ 的本征方程()()2zzzSSS 1122()()2zzzSSS1122()()2zzzSSS 2022-3-16閆友房 量子物理20 因為 S Sz z 是 2 22 2 矩陣，所以在 S S2 2, S, Sz z 為對角矩陣的表象內(nèi)，1/21/2, , -1/2-1/2 都應(yīng)是 2

15、21 1 的列矩陣。1212aa代入本征方程得：1122100122aaaa 11112220aaaaaaa由歸一化條件確定 a a1 1所以1210 二者是屬于不同本征值的本征函數(shù)，彼此應(yīng)該正交112210100 1201 1234aa1*11101|110aaaa同理2022-3-16閆友房 量子物理21引進(jìn)自旋后，任一自旋算符的函數(shù)G G在S Sz z表象表示為22矩陣11122122GGGGG算符G G在任意態(tài)中對自旋求平均的平均值11121111122*121221222211222GGGGGGGGGG*1111112222112222GGGG算符G G在態(tài)中對坐標(biāo)和自旋同時求平均的

16、平均值是：11121*1221222GGGG ddGG *1111112222112222GGGGd六、力學(xué)量平均值六、力學(xué)量平均值2022-3-16閆友房 量子物理223 3 簡單塞曼效應(yīng)簡單塞曼效應(yīng)一、實驗現(xiàn)象一、實驗現(xiàn)象 二、氫、類氫原子在外場中的附加能二、氫、類氫原子在外場中的附加能 三、求解三、求解 Schrodinger Schrodinger 方程方程 四、簡單塞曼效應(yīng)四、簡單塞曼效應(yīng)2022-3-16閆友房 量子物理23塞曼效應(yīng)塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生 分裂的現(xiàn)象。該現(xiàn)象在1896年被 ZeemanZeeman 首先 觀察到。簡單塞曼效應(yīng)簡單塞曼效應(yīng)：

17、在強(qiáng)磁場作用下，光譜線的分裂現(xiàn)象。 復(fù)雜塞曼效應(yīng)復(fù)雜塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場較弱，軌道-自旋相互作用不 能忽略時，將產(chǎn)生復(fù)雜塞曼效應(yīng)。一、實驗現(xiàn)象一、實驗現(xiàn)象2022-3-16閆友房 量子物理24取外磁場方向沿 Z Z 向，則磁場引起的附加能（CGSCGS 制）為：()(2)2LSeUMMBLSBc (2)2zzeLSBcSchrodingerSchrodinger 方程考慮強(qiáng)磁場忽略自旋軌道相互作用，體系Schrodinger方程：22( )(2)22zzeBVrLSEc 二、氫、類氫原子在外磁場中的附加能二、氫、類氫原子在外磁場中的附加能2022-3-16閆友房 量子物理25根據(jù)上節(jié)分析，沒有自

18、旋軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：12110 代入 S S 方程2112( )(2)0022zzeBV rLSEc11002zS2112( )()0022zeBV rLEc 最后得 1 1 滿足的方程2211( )()22zeBV rLEc 同理得 2 2 滿足的方程2222( )()22zeBV rLEc 12220 或2022-3-16閆友房 量子物理261、 當(dāng) B=0B=0 時（無外場），是有心力場問題，方程退 化為不考慮自旋時的情況。其解為：12( )(,)nlmnllmRr Y I.對氫原子情況2( )eVrr II. 對類氫原子情況如 LiLi，NaNa，等堿金屬原子，核外電子對核庫

19、侖場有屏蔽作用，此時能級不僅與 n n 有關(guān)，而且與 有關(guān)，記為 E En n 則有心力場方程可寫為：三、求解三、求解 Schrodinger Schrodinger 方程方程4222neEn 22( )2nlmnlmVrE2022-3-16閆友房 量子物理27由于（2）當(dāng) B B 0 0 時（有外場）時所以在外磁場下， n n m m 仍為方程的解，此時同理( )(,)( )(,)znlmznllmnlzlmLL Rr YRr L Y ( )(,)nllmnlmmRr Ym 22( )()22znlmnlmeBVrLEc22( )()22nlmnlmnlmeBVrmEc(1)2nlnlmnl

20、mnlmeBEmEc(1)22nlzeBEEmSc，(1)22nlze BEEmSc ，2022-3-16閆友房 量子物理28(1)22(1)22nlznlmnlze BEmScEe BEmSc ，1、分析能級公式可知：在外磁場下，能級與 n,l,mn,l,m 有關(guān)。原來 m m 不同、能量相同的簡并現(xiàn)象被外磁場消除了。2、外磁場存在時，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于 S S 態(tài)時，l = 0, m = 0l = 0, m = 0 的原能級 E Enlnl 分裂為二。00002222nznlmnnze BEScEEe BESc ，這正是 Stern GerlachStern Gerlach 實

21、驗所觀察到的現(xiàn)象。四、簡單塞曼效應(yīng)四、簡單塞曼效應(yīng)2022-3-16閆友房 量子物理293、光譜線分裂2p1sSz= /2Sz= - /2m+10- 1m+10- 100(a) 無外磁場無外磁場(b) 有外磁場有外磁場2022-3-16閆友房 量子物理30I. B = 0B = 0 無外磁場時電子從 E En n 到 E En n 的躍遷的譜線頻率為：0nln lEE II. B B 0 0 有外磁場時 nlmn l mEE 1(1)( 1)22nln le Be BEmEmcc 0()22nln lEEe Be Bmmmcc根據(jù)上一章選擇定則可知：0,11ml ；所以譜線角頻率可取三個值：0

22、0022e Be Bcc，S Sz z= = /2 /2 時，取 + +；S Sz z= = /2 /2 時，取 。無磁場時的一條譜線被分裂成三條譜線2022-3-16閆友房 量子物理31一、總角動量一、總角動量 二、耦合表象和無耦合表象二、耦合表象和無耦合表象4 4 兩個角動量的耦合兩個角動量的耦合2022-3-16閆友房 量子物理32設(shè)有 J J1 1,J J2 2 兩個角動量，分別滿足如下角動量對易關(guān)系：111JJi J二者是相互獨立的角動量，所以相互對易，即12,0JJ其分量對易關(guān)系可寫為：證：同理，對其他分量成立。1、二角動量之和構(gòu)成總角動量12JJJ一、總角動量一、總角動量222J

23、Ji J121211122122,xyxxyyxyxyxyxyJJJJJJJJJJJJJJ12120 0()zzzzzi Ji JiJJi J ,xyzJJi J,yzxJJi J,zxyJJi J2022-3-16閆友房 量子物理332, 0 xJ J 證：同理，對其他分量亦滿足。凡是滿足角動量定義 J J i J 的力學(xué)量都滿足對易關(guān)系：2,0, ,JJx y z2、2222222,xxyzxxxyxzxJJJJJJJJJJJJ0,yyxyxyzzxzxzJJJJJJJJJJJJ 0yzzyzyyzi J Ji J Ji J Ji J J 2022-3-16閆友房 量子物理34證：同理可證

24、222,0JJ 由上面證明過程可以看出，若對易括號將 J J1 12 2 用 J J1 1 代替，顯然有如下關(guān)系：2122,0,0JJJJ3、22,0,1,2iJJi22222112121,2,JJJJJJJ2222211211212121,2,xxyyzzJJJJJJJJJ JJ222121121121002,2,2,xxyyzzJJJJJJJJJ0這是因為1212121,0 xxyyzzJJJJJJJ2022-3-16閆友房 量子物理35證：同理可證4、2,0,1,2ziJJi222211211121,0zzzzzJJJJJJJJJ22,0zJJ2, 0 xJ J 22,0,1,2iJJi

25、2,0,1,2ziJJi12JJJ22212,zJJJJ兩兩對易兩兩對易221122,zzJJJJ討論：討論：2022-3-16閆友房 量子物理36這四個角動量算符有共同的正交歸一完備的本征函數(shù)系，記為：兩兩對易22212,zJJJJ1、本征函數(shù)122212121212|, ,|, ,(1)|, ,|, ,|, ,zj jj mJj jj mj jj jj mJj jj mmj jj m二、耦合表象和無耦合表象二、耦合表象和無耦合表象耦合表象基矢221122,zzJJJJ兩兩對易這四個角動量算符也有共同的完備的本征函數(shù)系，記為：11221122|,|,|,j m j mj mj m無耦合表象基

26、矢2022-3-16閆友房 量子物理37由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即：稱為矢量耦合系數(shù)或Clebsch-GorldonClebsch-Gorldon 系數(shù)因為12zzzJJJ所以12mmm于是上式求和只需對 m m2 2 進(jìn)行即可?？紤]到 m m1 1= m-m= m-m2 2，則：或：共軛式12121122112212|, ,|,|, ,m mjjj mj mjmj mjmjjj m2121222122212|, ,|,|, ,mjjj mj mmjmj mmjmjjj m1121121112112|, ,|,|, ,mjjj mj mjmmj mjmmjjj m1

27、121211211121,|,|,|mjjj mjjj mjmjmmjmjmm2022-3-16閆友房 量子物理381212,|, ,j jm mjjj mjjj m 式左將上式左乘j 用耦合表象基矢 |j|j1 1,j,j2 2,j,m,j,m 展開：C-GC-G系數(shù) 實數(shù)性112212121122|,|, , ,|,jmj mjmjjj mjjj mj mjm*12112212|, ,|, ,jmjjj mj mjmjjj m12112212|, ,|, ,jmjjj mj mjmjjj m共軛式112211221212,|,|,|j mj mjmj mjmjjj mjjj m 左乘上式，

28、并注意無耦合表象基矢的正交歸一性：112211221122,|,m mm mj mjmj mjm112212,|,j mjmj mjmjjj m 1212112212,|, ,|, ,jjj mjjj mj mjmjjj m 2022-3-16閆友房 量子物理401122112212,|,m mm mj mjmj mjmjjj m 1212112212,|, ,|, ,jjj mjjj mj mjmjjj m 112212112212,|,|, ,jjmmj mjmj mjmjjj mj mjmjjj m 112212112212,|, ,|, ,jmj mjmjjj mj mjmjjj m對

29、 m m2 2=m=m2 2 情況，得：11112212112212,|, ,|, ,m mjmj mjmjjj mj mjmjjj m 考慮到上式兩個C-G系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系： m m2 2=m-m=m-m1 1 和 m m2 2=m-m=m-m1 1 最后得：11112112112112,|, ,|, ,m mjmj mjmmjjj mj mjmmjjj m 上式與下式一起反映了C-G系數(shù)的幺正性和實數(shù)性。1121121112112,|,|, ,j jmjjj mj mjmmj mjmmjjj m 2022-3-16閆友房 量子物理413、j j 的取值范圍（ j j 與

30、 j j1 1, j j2 2 的關(guān)系）（1）對給定 j j1 1、j j2 2 ，求 j jmaxmaxm = j, j-1,., -j+1, -j mm = j, j-1,., -j+1, -j mmax max = j= j；m m1 1 = j = j1 1, j, j1 1-1,., -j-1,., -j1 1+1, -j+1, -j1 1 (m (m1 1) )maxmax = j = j1 1； m m2 2 = j = j2 2, j, j2 2-1,., -j-1,., -j2 2+1, -j+1, -j2 2 (m (m2 2) )maxmax = j = j2 2；再考慮

31、到 m=mm=m1 1+m+m2 2 ，則有：m mmaxmax=(m=(m1 1) )maxmax+(m+(m2 2) )maxmax=j=j=j=jmaxmax ，于是：j jmaxmax=j=j1 1+j+j2 2因為 m mm m1 1 m m2 2 取值范圍分別是：2022-3-16閆友房 量子物理42 另一方面，對于一個 j j 值，|j|j1 1,j,j2 2,j,m,j,m 基矢有 2j+12j+1個，那末 j j 從 j jminmin 到 j jmaxmax 的所有基矢數(shù)則由下式給出：等差級數(shù)求和公式j(luò)max=j1+j2 由于無耦合表象基矢和耦合表象基矢是相互獨立的，等式兩

32、邊基矢數(shù)應(yīng)該相等，所以耦合表象基矢 |j|j1 1,j,j2 2,j,m,j,m 的數(shù)亦應(yīng)等于 (2j(2j1 1+1)(2j+1)(2j2 2+1)+1) 個。從無耦合表象到耦合表象的變換由下式給出：2212min12(21)(21)jjjjj（+1）min12jjj1121121112112|, ,|,|, ,mjjj mj mjmmj mjmmjjj mmaxmin2222maxmin12min(21)(1)(1)jjjjjjjj 由于基矢|j|j1 1m m1 1, |j, |j2 2m m2 2 對給定的j j1 1 j j2 2分別有 2j2j1 1+1+1和2j2j2 2+1+1

33、個，所以無耦合表象的基矢|j|j1 1,m,m1 1,j,j2 2,m,m2 2=|j=|j1 1,m,m1 1|j|j2 2,m,m2 2 的數(shù)目為(2j(2j1 1+1)( 2j+1)( 2j2 2+1)+1)個 。（2）求 j jminmin2022-3-16閆友房 量子物理43（3）j j 的取值范圍 由于 j j 只取 00 的數(shù)，所以當(dāng) j j1 1 j j2 2 給定后，j j 的可能取值由下式給出： j = jj = j1 1+j+j2 2, j, j1 1+j+j2 2-1, j-1, j1 1+j+j2 2-2, ., |j-2, ., |j1 1 - j - j2 2|.

34、|.該結(jié)論與舊量子論中角動量求和規(guī)則相符合。j j1 1, j, j2 2 和 j j 所滿足的上述關(guān)系稱為三角形關(guān)系，表示為(j(j1 1, j, j2 2, j), j)。求得 j, mj, m 后， J J2 2, J, Jz z 的本征值問題就得到了解決。本征矢為：221212|, ,(1)|, ,Jjjj mj jjjj m1212|, ,|, ,zJjjj mmjjj m1121121112112|, ,|,|, ,mjjj mj mjmmj mjmmjjj m2022-3-16閆友房 量子物理44 作為一個例子下面列出了電子自旋角動量 j j2 2 = 1/2 = 1/2 情況下

35、幾個 C-G C-G 系數(shù)公式。221111111111112211122221211112222121jmmjmjmjjjjmjmjjj 將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得：11111111111211111111111 1 11 1122| , ,| , ,| , ,22212 2 2212 221111 1 11 112| , ,| , ,| , ,22212 2 2212 22jmjmjjmj mj mjjjmjmjjmj mj mjj 122111,|, ,22j mmmjj m2022-3-16閆友房 量子物理45一、復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）一、復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作

36、用）二、有自旋軌道相互作用的情況二、有自旋軌道相互作用的情況5 5 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)2022-3-16閆友房 量子物理461、無耦合表象類氫原子 HamiltonHamilton 量220( )2HV r 對類氫原子在不考慮核外電子對核電得屏蔽效應(yīng)情況下，勢場可寫為：2( )ZeV rr 因為 H H0 0，L L2 2，L Lz z 和 S Sz z 兩兩對易，所以它們有共同完備的本征函數(shù)（無耦合表象基矢）：( , ,)( )( ,)|, ,lslsnlm mnllmmlsrRr Yn l m m 可見電子狀態(tài)由 n n，l l，m ml l，m ms s 四個量子數(shù)確定，能級公式2

37、422,1,2,3,2nZ eEnn 不計電子自旋時，能級是 n n2 2 度簡并，考慮電子自旋后，因 m ms s 有二值，故 E En n 是 2n2n2 2 度簡并。一、復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）一、復(fù)習(xí)類氫原子能譜（無自旋軌道作用）2022-3-16閆友房 量子物理472、耦合表象電子總角動量JLS 因為 L L2 2，S S2 2 ，J J2 2，J Jz z 兩兩對易且與 H H0 0 對易，故體系定態(tài)也可寫成它們的共同本征函數(shù)：( ,)( )( ,)|, ,nljmznlljmzrsRr usn lj m 耦合表象基矢耦合表象基矢( ,)( ,)lsnljmznlm mz

38、rsrs 與電子狀態(tài)由 n n，l l，j j，m m 四個量子數(shù)確定，通過一幺正變換相聯(lián)。2022-3-16閆友房 量子物理481、HamiltonHamilton 量 基于相對論量子力學(xué)和實驗依據(jù)，L-S L-S 自旋軌道作用可以表示為：2211( )2dVHL Sr L Sc r dr 稱為自旋稱為自旋軌道耦合項軌道耦合項二、有自旋軌道相互作用的情況二、有自旋軌道相互作用的情況于是體系 HamiltonHamilton 量220( )( )2HHHV rr L S 2022-3-16閆友房 量子物理49 由于 H H 中包含有自旋-軌道耦合項，所以 L Lz z，S Sz z與 H H

39、不再對易。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù) m ml l，m ms s 都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)。 現(xiàn)在好量子數(shù)是 l l, j j, m m ，這是因為其相應(yīng)的力學(xué)量算符 L L2 2, J J2 2, J Jz z 都與 H H 對易的緣故。證：2222()2JL SLSL S222222113224L SJLSJL所以 L L2 2,J J2 2,J Jz z 都與 HH對易從而也與 H H 對易。因為所以顯然有2,0JL S,0zJL S2,0L L S2022-3-16閆友房 量子物理502、微擾法求解0()HHE因為 H H0 0 的本征值是簡并的，因此需要使用簡并微擾

40、法求解。 H H0 0 的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和無耦合表象波函數(shù)。為方便計，我們選取耦合表象波函數(shù)作為零級近似波函數(shù)。 之所以方便，是因為微擾 H H在耦合表象中矩陣是對角化的，而簡并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級波函數(shù)使得 H H對角化。這樣就可以省去求解久期方程的步驟。令：|, , ,ljmljmCn l j m展開系數(shù)滿足如下方程：(1),0l j mljmnl lj jm mljmljmHEC 矩陣元,11,|, ,22l j mljmHn ljmHn lj m 下面我們計算此矩陣元本證方程2022-3-16閆友房 量子物理51其中：*22200|( ) |( )(

41、)nlnlnlnlrnlRr R r drRr r dr,11, ,| , , ,22l j m ljmHn lj mHn lj m *2011( ),| , ,22nlnlRr R r drlj mL S lj m2221131|( ) |,| , ,2242nlrnllj mJLlj m21311|( ) | (1)(1),| , ,2422nlrnlj jl llj mlj mnljl lj jm mH 213|( ) | (1)(1)24l lj jm mnlrnlj jl l 213|( )| (1)(1)24nljHnlrnlj jl l 2022-3-16閆友房 量子物理52(1

42、)0nljnl lj jm mljmljmHEC (1)0nljnljmHEC (1)(1)213| ( )| (1)(1)24nnljnljEEHnlrnlj jl l所以能量一級修正為：代入關(guān)于 C Cljm ljm 的方程得：為書寫簡捷將 l l j j m m用 ljmljm 代替(1)0nl jnl j mHEC (1)0nljnHE 由于 C Cljmljm00 ，于是213|( )| (1)(1)24nljHnlrnlj jl l 2022-3-16閆友房 量子物理53（2）精細(xì)結(jié)構(gòu)對給定的 n n, 值，j=j= 1/21/2 有二值（ =0 =0 除外）具有相同 n,n, 的

43、能級有二個由于 (r)(r) 通常很小，所以這二個能級間距很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因。212123212212212232211, 0, 12, 1, 22, 1, 22, 0, 2SjlnPjlnPjlnSjln 58905896鈉原子鈉原子 2P 項的精細(xì)結(jié)構(gòu)項的精細(xì)結(jié)構(gòu) 由上式給出的能量一級修正可知，L-S L-S 耦合使原來的簡并能級發(fā)生分裂，簡并部分消除。這是因為 E Enljnlj(1)(1) 仍與 m m 無關(guān)，同一 j j 值，m m 可取 2j+12j+1個值，還有 2j+1 2j+1 度簡并。（1）簡并性3、光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)2022-3-16閆友房 量子物理54222222

44、00( )( )( ) ( )2nlnlRrZerRrr r drdrcr24222332122()(1)eZac a n l lle,原能級分裂為：2(0)41,2()2(21)nnl jlcZnEEnll n, j= +1/2j= 1/22(0)41,2()2(21)(1)nnl jlcZnEEnll 21137ec2( )ZeV rr 例: 鈉原子 2p2p 項精細(xì)結(jié)構(gòu)，求 222223111( )22dVZerc r drc r解：2022-3-16閆友房 量子物理554、零級近似波函數(shù) 波函數(shù)的零級近似取為 nljmnljm 對不同 m m 的線性組合，也可以就直接取為 nljmnl

45、jm 因為微擾 HamiltonHamilton 量 H H在該態(tài)的矩陣元已是對角化的了。 上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的 Dirac 符號后并用非耦合表象基矢表示出來。 上述討論適用于 00 的情況，當(dāng) =0=0 時，沒有自旋軌道耦合作用，因而能級不發(fā)生移動。11111 1 11 1122| , , ,| , , ,| , , ,22212 2 2212 22lmlmn llmn l mn l mll11111 1 11 1122| , , ,| , , ,| , , ,22212 2 2212 22lmlmn llmn l mn l mll2022-3-16閆友房 量子物理56一、

46、全同粒子和全同性原理一、全同粒子和全同性原理 二、波函數(shù)的對稱性質(zhì)二、波函數(shù)的對稱性質(zhì) 三、波函數(shù)對稱性的不隨時間變化三、波函數(shù)對稱性的不隨時間變化 四、四、FermiFermi子和子和 BoseBose子子6 6 全同粒子的特性全同粒子的特性2022-3-16閆友房 量子物理571、全同粒子質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子。2、經(jīng)典粒子的可區(qū)分性 經(jīng)典力學(xué)中，固有性質(zhì)完全相同的兩個粒子，是可以區(qū)分的。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度。位置軌道速度可判斷哪個是第一個粒子哪個是第二個粒子。1212一、全同粒子和全同性原理一、全同粒子和全同性原理20

47、22-3-16閆友房 量子物理583、微觀粒子的不可區(qū)分性微觀粒子運動服從量子力學(xué)用波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊區(qū)粒子是不可區(qū)分的。4、全同性原理 全同粒子所組成的體系中，二全同粒子互相代換不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理是量子力學(xué)的基本原理之一。2022-3-16閆友房 量子物理591、HamiltonHamilton 算符的對稱性N N 個全同粒子組成的體系，其 HamiltonHamilton 量為：22121(, )(, )(,)2 ,NNijNiiijiijiiiH qqqqqtU q tV qqqr si其中為第 個粒子的坐標(biāo)和自旋。1212(, )(, )jiNijNH qqqqq

48、tH qqqqqt表明，N N 個全同粒子組成的體系的 HamiltonHamilton 量具有交換對稱性，交換任意兩個粒子坐標(biāo)（q qi i ,q qj j ) 后不變。二、波函數(shù)的對稱性質(zhì)二、波函數(shù)的對稱性質(zhì)調(diào)換第 i i 和第 j j 個粒子，體系 Hamilton 量不變。即：2022-3-16閆友房 量子物理602、對稱和反對稱波函數(shù)12(, )ijNiqqqqqtt將方程中（q qi i,q,qj j ) 調(diào)換，得：12(, )jiNiqqqqqtt1212(, )(, )ijNjiNH q qqqqtq qqqqt表明：q qi i ,q,qj j 調(diào)換前后的波函數(shù)都是Shrod

49、inger 方程的解。根據(jù)全同性原理：1212(, )(, )ijNjiNqqqqqtqqqqqt和描寫同一狀態(tài)。因此，二者相差一常數(shù)因子。考慮全同粒子體系的含時 ShrodingerShrodinger 方程1212(, )(, )ijNijNH qqqqqtqqqqqt1212(, )(, )jiNjiNH qqqqqtqqqqqt2022-3-16閆友房 量子物理611212(, )(, )jiNijNqqqqqtqqqqqt再做一次（q qi i,q,qj j ) 調(diào)換1212(, )(, )ijNjiNq qqqqtq qqqqt211 12121(, )(, )ijNjiNq qq

50、qqtq qqqqt 引入粒子坐標(biāo)交換算符：22 ( , )( , )( , )( , )( , )1ijijijiji ji ji ji ji j 212(, )ijNqqqqqt二粒子交換后波函數(shù)不變，稱為對稱波函數(shù)。12121(, )(, )ijNjiNqqqqqtqqqqqt 二粒子交換后波函數(shù)變號，稱為反對稱波函數(shù)。 交換算符的本征值 對應(yīng)于對稱波函數(shù)，本征值 對應(yīng)于反對稱波函數(shù)。( , )( , )( , )iji jj ii j 1 1 2022-3-16閆友房 量子物理62 全同粒子體系波函數(shù)的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠(yuǎn)是對稱的；初始時刻是反對稱的

51、，以后時刻永遠(yuǎn)是反對稱的。證： 方法 I 設(shè)全同粒子體系波函數(shù) s s 在 t t 時刻是對稱的，由體系哈密頓量是對稱的，所以 H H s s 在 t t 時刻也是對稱的。sssiHtt 中左端的是對稱的。在 t+dtt+dt 時刻，波函數(shù)變化為ssdtt對稱對稱 二對稱波函數(shù)之和仍是對稱的。依次類推，在以后任何時刻，波函數(shù)都是對稱的。同理可證：t t 時刻是反對稱的波函數(shù) a a ，在 t t 以后任何時刻都是反對稱的。三、波函數(shù)對稱性的不隨時間變化三、波函數(shù)對稱性的不隨時間變化因為等式兩邊對稱性是一樣的，所以 ShrodingerShrodinger 方程2022-3-16閆友房 量子物理

52、63方法 II ,0ijH全同粒子體系哈密頓量是對稱的結(jié)論： 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱（或反對稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對稱（或反對稱）態(tài)上。 是守恒量，即交換對稱性不隨時間改變。ij 2022-3-16閆友房 量子物理64 實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數(shù)的交換對稱性是完全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯(lián)系。1、BoseBose 子 凡自旋為 整數(shù)倍（s=0s=0，1 1，2 2，) 的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換 2 2 個粒子總是對稱的，遵從 BoseBose 統(tǒng)計，故稱為 BoseBose

53、子。如： 光子（s=1s=1）； 介子（s=0s=0）。四、四、Fermi Fermi 子和子和 Bose Bose 子子2、FermiFermi 子 凡自旋為 半奇數(shù)倍（s=1/2s=1/2，3/23/2，)的粒子，其多粒子波函數(shù)對于交換 2 2 個粒子總是反對稱的，遵從 FermiFermi 統(tǒng)計，故稱為FermiFermi子。如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2s=1/2）等粒子。2022-3-16閆友房 量子物理653、由“基本粒子”組成的復(fù)雜粒子如： 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所討論的過程中，內(nèi)部狀態(tài)保持不變，即內(nèi)部自由度完全被凍結(jié)，則全同概念仍然適用，可以作為一類全同粒子來處理

54、。241122HH eBose例 如 ： （ 氘 核 ） 和（粒 子 ） 是子偶數(shù)個 Fermi 子組成Bose 子組成331121HH eFerm i例 如 ： （ 氚 核 ） 和是子奇數(shù)個 Fermi子組成奇數(shù)個 Fermi子組成2022-3-16閆友房 量子物理66一、一、2 2 個全同粒子波函數(shù)個全同粒子波函數(shù) 二、二、N N 個全同粒子體系波函數(shù)個全同粒子體系波函數(shù) 三、三、Pauli Pauli 原理原理7 7 全同粒子體系波函數(shù)與全同粒子體系波函數(shù)與 Pauli Pauli 原理原理2022-3-16閆友房 量子物理671、對稱和反對稱波函數(shù)的構(gòu)成（1） 2 個全同粒子 Hami

55、ltonHamilton 量222212120102()()()()22HVqVqHqHq 001110222)()()()()iiiiiiHHqqqHqqq 對 全 同 粒 子 是 一 樣 的 ，設(shè) 其 不 顯 含 時 間 ， 則（2） 單粒子波函數(shù)()(1,2.)inqn稱為單粒子波函數(shù)。一、一、2 2 個全同粒子波函數(shù)個全同粒子波函數(shù)2022-3-16閆友房 量子物理68（3）交換簡并粒子1 1在 i i 態(tài)，粒子2 2在 j j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：ijE驗證：1212(,)(,)HqqEqq粒子2 2在 i i 態(tài)，粒子1 1在 j j 態(tài)，則體系能量和波函數(shù)為：1221(,)

56、()()ijijEqqqq010212010212()()(,)()()()()ijHqHqqqHqHqqq01121022()()()()()()ijijHqqqqHqq1212()()()()iijjijqqqq 1212()()()(,)ijijqqEqq1212(,)()()ijqqqq狀態(tài)(q1,q2) 和 (q2,q1)能量是簡并的，由于兩種狀態(tài)是通過交換得到的，故稱為交換簡并。2022-3-16閆友房 量子物理69（4）滿足對稱條件波函數(shù)的構(gòu)成 全同粒子體系要滿足對稱性條件，而 (q(q1 1,q,q2 2) ) 和 (q(q2 2,q,q1 1) ) 僅當(dāng) i=ji=j 二態(tài)相

57、同時，才是一個對稱波函數(shù)；當(dāng) i i j j 二態(tài)不相同，既不是對稱波函數(shù)，也不是反對稱波函數(shù)。所以 (q(q1 1,q,q2 2) ) 和 (q(q2 2 ,q ,q1 1) ) 不能用來描寫全同粒子體系。構(gòu)造具有對稱性的波函數(shù)121221121221(,)(,)(,)(,)(,)(,)SAqqcqqqqqqcqqqq 顯然 S S(q(q1 1,q,q2 2) ) 和 A A(q(q1 1,q,q2 2) ) 都是 H H 的本征函數(shù)，本征值皆為：ijEc c 為歸一化系數(shù)2022-3-16閆友房 量子物理70(5) S S 和 A A 的歸一化首先證明若單粒子波函數(shù)是正交歸一化的， 則

58、(q(q1 1,q,q2 2) ) 和 (q(q2 2,q,q1 1) ) 也是正交歸一化的。證：*121212(,)(,)qqqqdq dq同理：*212112(,)(,)1qqqqdq dq而同理：*111222()()()()1iijjqqdqqqdq*121212()()()()ijijqqqqdq dq*211212(,)(,)qqqqdq dq*211212()()()()ijijqqqqdq dq*111222()()()()0jiijqqdqqqdq*122112(,)(,)0qqqqdq dq2022-3-16閆友房 量子物理71*121SSdq dq考慮 S S 和 A A

59、 歸一化2*12122112(,)(,)(,)(,)cqqqqqqqq 221100122ccc 則歸一化的 S S1212211(,)(,)(,)2Sqqqqqq 同理對 A A 有：1212211(,)(,)(,)2Aqqqqqq 2*1221122112(,)(,)(,)(,)cqqqqqqqqdq dq *1221212112(,)(,)(,)(,)qqqqqqqqdq dq 2022-3-16閆友房 量子物理72,1212211(,)(,)(,)2SAqqqqqq 上述討論是適用于二粒子間無相互作用的情況，當(dāng)粒子間有互作用時，1212(,)()()ijq qqq但下式仍然成立1212

60、12122121(,)(,)(,)(,)(,)(,)H q qq qEq qH q qqqEqq歸一化的 S S A A 依舊因 H H 的對稱性成立2121(,)()()ijqqqq2022-3-16閆友房 量子物理731、 ShrodingerShrodinger 方程的解 上述對2 2個全同粒子的討論可以推廣到 N N 個全同粒子體系，設(shè)粒子間無互作用，單粒子 H H0 0 不顯含時間，則體系0102001()()()()NNnnHHqHqHqHq011102220()()()()()()()()()iiijjjNkNkkNHqqqHqqqHqqq 1212(,)()()()ijkNij