2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第9章92兩條直線的位置關(guān)系

1、§9.2兩條直線的位置關(guān)系最新考綱考情考向分析1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.以考查兩條直線的位置關(guān)系、兩點間的距離、點到直線的距離、兩條直線的交點坐標(biāo)為主，有時也會與圓、橢圓、雙曲線、拋物線交匯考查.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，特別是距離公式，是高考考查的重點.1.兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行：()對于兩條不重合的直線l1，l2，假設(shè)其斜率分別為k1，k2，那么有l(wèi)1l2k1k2.()當(dāng)直線l

2、1，l2不重合且斜率都不存在時，l1l2.兩條直線垂直：()如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，那么有l(wèi)1l2k1·k21.()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時，l1l2.(2)兩條直線的交點直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，那么l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解.2.幾種距離(1)兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之間的距離|P1P2|.(2)點P0(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離d.(3)兩條平行線AxByC10與AxByC20(其中C1C2)間的距離d.概念方法微思考1.假設(shè)兩條直線l1與l2垂直，那么它們的

3、斜率有什么關(guān)系提示當(dāng)兩條直線l1與l2的斜率都存在時，1；當(dāng)兩條直線中一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，l1與l2也垂直.2.應(yīng)用點到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式時應(yīng)注意什么提示(1)將方程化為最簡的一般形式.(2)利用兩平行線之間的距離公式時，應(yīng)使兩平行線方程中x，y的系數(shù)分別對應(yīng)相等.題組一思考辨析1.判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“×)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1k2l1l2.(×)(2)直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，假設(shè)直線l1l2，那么A1A2B1B

4、20.()(3)點P(x0，y0)到直線ykxb的距離為.(×)(4)直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距離.()題組二教材改編2.點(a，2)(a>0)到直線l：xy30的距離為1，那么a等于()A.B.2C.1D.1答案C解析由題意得1.解得a1或a1.a>0，a1.3.P(2，m)，Q(m，4)，且直線PQ垂直于直線xy10，那么m_.答案1解析由題意知1，所以m42m，所以m1.4.假設(shè)三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點，那么m的值為_.答案9解析由得所以點(1，2)滿足方程mx2y50，即m×12×250，所以m

5、9.題組三易錯自糾5.直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，那么m等于()A.2B.3C.2或3D.2或3答案C解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，那么有，故m2或3.應(yīng)選C.6.直線2x2y10，xy20之間的距離是_.答案解析先將2x2y10化為xy0，那么兩平行線間的距離為d.兩條直線的平行與垂直例1(2022·包頭模擬)兩條直線l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，那么a等于()A.1B.2C.0或2D.1或2答案D解析方法一直線l1：(a1)x2y10的斜率存在.又l1l2，a1或a2，又兩條直線在y軸上的截距不相等.a1或a2時滿足兩條直線

6、平行.方法二由A1B2A2B10得，(a1)a1×20，解得a1或a2.由A1C2A2C10，得(a1)×31×10.所以a1或a2.本例中，假設(shè)l1l2，那么a_.答案解析方法一×1，解得a.方法二由A1A2B1B20得(a1)×12a0.解得a.思維升華(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練1(1)直線l1：x2ay10，l2：(a1)xay0，假設(shè)

7、l1l2，那么實數(shù)a的值為()A.B.0C.或0D.2答案C解析假設(shè)a0，那么由l1l2，故2a21，即a；假設(shè)a0，l1l2，應(yīng)選C.(2)直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210垂直，那么a_.答案解析由A1A2B1B20得a2(a1)0，解得a.兩直線的交點與距離問題1.直線ykx2k1與直線yx2的交點位于第一象限，那么實數(shù)k的取值范圍是_.答案解析由方程組解得(假設(shè)2k10，即k，那么兩直線平行)交點坐標(biāo)為.又交點位于第一象限，解得<k<.2.假設(shè)P，Q分別為直線3x4y120與6x8y50上任意一點，那么|PQ|的最小值為()A.B.C.D.答案C解析因為

8、，所以兩直線平行，將直線3x4y120化為6x8y240，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.思維升華(1)求過兩直線交點的直線方程的方法先求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：點P(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.對稱問題命題點1點關(guān)于點中心對稱例2過點P(0，1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點P平分，那么直線l的方程為_.答案x4y40解析設(shè)l1與l的交點為A(a，82a)

9、，那么由題意知，點A關(guān)于點P的對稱點B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點A(4，0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40.命題點2點關(guān)于直線對稱例3入射光線經(jīng)過點M(3,4)，被直線l：xy30反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，那么反射光線所在直線的方程為_答案6xy60解析設(shè)點M(3,4)關(guān)于直線l：xy30的對稱點為M(a，b)，那么反射光線所在直線過點M，所以解得a1，b0.又反射光線經(jīng)過點N(2,6)，所以所求直線的方程為，即6xy60.命題點3直線關(guān)于直線的對稱問題例4直線2xy30關(guān)于直線xy20對稱的直線方程是_.答案x2y30解析設(shè)

10、所求直線上任意一點P(x，y)，那么P關(guān)于xy20的對稱點為P(x0，y0)，由得點P(x0，y0)在直線2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.思維升華解決對稱問題的方法(1)中心對稱點P(x，y)關(guān)于Q(a，b)的對稱點P(x，y)滿足直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決.(2)軸對稱點A(a，b)關(guān)于直線AxByC0(B0)的對稱點為A(m，n)，那么有直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.跟蹤訓(xùn)練2(1)坐標(biāo)原點(0，0)關(guān)于直線x2y20對稱的點的坐標(biāo)是()A.B.C.D.答案A解析設(shè)對稱點的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么解得即所求點的坐標(biāo)是.(2

11、)(2022·寶雞模擬)光線沿著直線y3xb射到直線xy0上，經(jīng)反射后沿著直線yax2射出，那么有()A.a，b6B.a3，bC.a3，bD.a，b6答案D解析由題意，直線y3xb與直線yax2關(guān)于直線yx對稱，所以直線yax2上的點(0，2)關(guān)于直線yx的對稱點(2，0)在直線y3xb上，所以(3)×(2)b0，所以b6，所以直線y3x6上的點(0，6)關(guān)于直線yx的對稱點(6，0)在直線yax2上，所以6a20，所以a.(3)直線l：xy20關(guān)于直線3xy30對稱的直線方程是_.答案7xy220解析由得兩直線的交點為M，該點也在所求直線上，在l上任取一點P(0，2)，設(shè)

12、它關(guān)于直線3xy30的對稱點為Q(x0，y0)，那么有解得Q(3，1)且在所求直線上.kMQ7，所求直線方程為y17(x3)，即7xy220.在求解直線方程的題目中，可采用設(shè)直線系方程的方式簡化運算，常見的直線系有平行直線系，垂直直線系和過直線交點的直線系.一、平行直線系例1求與直線3x4y10平行且過點(1，2)的直線l的方程.解題方法因為所求直線與3x4y10平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1).解由題意，可設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因為直線l過點(1，2)，所以3×14×2c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.二、垂直直線系例

13、2求經(jīng)過點A(2，1)，且與直線2xy100垂直的直線l的方程.解題方法依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解.解因為所求直線與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yc0，又直線過點A(2，1)，所以有22×1c0，解得c0，即所求直線方程為x2y0.三、過直線交點的直線系例3經(jīng)過兩條直線2x3y10和x3y40的交點，并且垂直于3x4y70的直線方程為_.解題方法可分別求出直線l1與l2的交點及所求直線的斜率k，直接寫出方程；也可以根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出所求方程，再把交點坐標(biāo)代入求解；還可以利用過交點的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解.答案4x3y90解析方法一

14、由方程組解得即兩直線的交點坐標(biāo)為，所求直線與直線3x4y70垂直，所求直線的斜率為k.由點斜式得所求直線方程為y，即4x3y90.方法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x3ym0，由方程組可解得兩直線交點坐標(biāo)為，代入4x3ym0，得m9，故所求直線方程為4x3y90.方法三由題意可設(shè)所求直線方程為(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又所求直線與直線3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直線方程為4x3y90.1.直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不能確定答案C解析直線2xym0的斜率k12，直線x2yn0的斜率k

15、2，那么k1k2，且k1k21.應(yīng)選C.2.設(shè)aR，那么“a1是“直線l1：ax2y10與直線l2：x(a1)y40平行的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析假設(shè)兩直線平行，那么a(a1)2，即a2a20，a1或2，故a1是兩直線平行的充分不必要條件.3.直線l過點(0，7)，且與直線y4x2平行，那么直線l的方程為()A.y4x7B.y4x7C.y4x7D.y4x7答案D解析過點(0，7)且與直線y4x2平行的直線方程為y74x，即直線l的方程為y4x7，應(yīng)選D.4.假設(shè)mR，那么“l(fā)og6m1是“直線l1：x2my10與l2：(3m1)xm

16、y10平行的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析由log6m1得m，假設(shè)l1：x2my10與l2：(3m1)xmy10平行，那么直線斜率相等或斜率不存在，解得m0或m，那么“l(fā)og6m1是“直線l1：x2my10與l2：(3m1)xmy10平行的充分不必要條件.應(yīng)選A.5.假設(shè)直線mx4y20與直線2x5yn0垂直，垂足為(1，p)，那么實數(shù)n的值為()A.12B.2C.0D.10答案A解析由2m200，得m10.由垂足(1，p)在直線mx4y20上，得p2，垂足坐標(biāo)為(1，2).又垂足在直線2x5yn0上，得n12.6.假設(shè)直線l1：xay6

17、0與l2：(a2)x3y2a0平行，那么l1與l2之間的距離為()A.B.4C.D.2答案C解析l1l2，a2且a0，解得a1，l1與l2的方程分別為l1：xy60，l2：xy0，l1與l2的距離d.7.點M(1，0)關(guān)于直線x2y10的對稱點M的坐標(biāo)是_.答案解析過點M(1，0)與直線x2y10垂直的直線方程為2xy2，可解得兩垂直直線的交點坐標(biāo)為N，那么點M(1，0)關(guān)于點N的對稱點坐標(biāo)為M.8.直線3x4y50關(guān)于x軸對稱的直線方程是_.答案3x4y50解析在所求直線上任取一點P(x，y)，那么點P關(guān)于x軸的對稱點P(x，y)在直線3x4y50上，所以3x4(y)50，即3x4y50.9

18、.(2022·唐山模擬)點A(3，4)，B(6，3)到直線l：axy10的距離相等，那么實數(shù)a的值為_.答案或解析由點到直線的距離公式得，解得a或.10如果兩點A(a1，a1)，B(a，a)關(guān)于直線l對稱，那么直線l的方程為_答案xy10解析直線AB的斜率為1，直線kl1，設(shè)直線l的方程為yxb，由題意知直線l過點，b，解得b1，直線l的方程為xy10.11.設(shè)一直線l經(jīng)過點(1，1)，此直線被兩平行直線l1：x2y10和l2：x2y30所截得線段的中點在直線xy10上，求直線l的方程.解方法一設(shè)直線xy10與l1，l2的交點為C(xC，yC)，D(xD，yD)，那么C(1，0).D

19、.那么C，D的中點M為.又l過點(1，1)，由兩點式得l的方程為，即2x7y50為所求方程.方法二與l1，l2平行且與它們的距離相等的直線方程為x2y0，即x2y20.由得M.(以下同方法一)方法三過中點且與兩直線平行的直線方程為x2y20，設(shè)所求方程為(xy1)(x2y2)0，(1，1)在此直線上，111(122)0，3，代入所設(shè)得2x7y50.方法四設(shè)所求直線與兩平行線l1，l2的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(x1x2)2(y1y2)40.又A，B的中點在直線xy10上，10.解得(以下同方法一)12.方程(2)x(1)y2(32)0與點P(2，2).(1)證明：對任意的

20、實數(shù)，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過同一定點，并求出這一定點的坐標(biāo)；(2)證明：該方程表示的直線與點P的距離d小于4.證明(1)顯然2與(1)不可能同時為零，故對任意的實數(shù)，該方程都表示直線.方程可變形為2xy6(xy4)0，解得故直線經(jīng)過的定點為M(2，2).(2)過P作直線的垂線段PQ，由垂線段小于斜線段知|PQ|PM|，當(dāng)且僅當(dāng)Q與M重合時，|PQ|PM|，此時對應(yīng)的直線方程是y2x2，即xy40.但直線系方程唯獨不能表示直線xy40，M與Q不可能重合，而|PM|4，|PQ|<4，故所證成立.13.假設(shè)三條直線y2x，xy3，mxny50相交于同一點，那么點(m，n)到原點的距離的最小值為()A.B.C.2D.2答案A解析聯(lián)立解得x1，y2.把(1，2