一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式

1、)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)一、線性方程一、線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.第四節(jié)第四節(jié) 一階線性微分方一階線性微分方程程 . 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方

2、程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)2. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次方程通解相比:)(xuC 常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原原未未知知函函數(shù)數(shù)新新未未知知函

3、函數(shù)數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解).(2ln)2()()(120 xfdttfxfxfx，求求滿滿足足關(guān)關(guān)系系式式、若若連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)例例 2)()( xfxf解解：yy2 02

4、 yy dxcexfy2)(xce2 2ln)0( f2ln cxexf22ln)( 則則.sin1的的通通解解求求方方程程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例2 2的的通通解解。、求求方方程程例例0)12(2)1(322 dyxyydxy)1(21422yyxyydydx 解解)1(22214214cdyeyyexdyyydyyy )ln2()1(1222cyyy 例例4 4 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線

5、段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線

6、性微分方程.二、伯努利方程二、伯努利方程時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n時時，當(dāng)當(dāng)1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn.42的的通通解解求求方方程程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22

7、Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解，得，得兩端除以兩端除以ny例例 5例例6 6 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 則則,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解為所求通解為).2(222Cxeyx ;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz 則則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代回代回將將xyz 所求通解為所求通解為.4)2sin(2Cxxyxy ;1. 3yxdxdy 解解,uyx 令令, 1 dxdudxdy則則代入原式代入原式,11udxdu 分離變量法得分離變量法得,)1l