浙江大學(xué)自動(dòng)控制原理第一章課件

1、2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)1作者： 浙江大學(xué) 鄒伯敏 教授 2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)2第一節(jié) 引言 如果在系統(tǒng)中一次或幾次的信號(hào)不是連續(xù)的模擬信號(hào)，而是在時(shí)間上離散的脈沖或數(shù)碼信號(hào)，這種系統(tǒng)稱(chēng)為離散化控制系統(tǒng)。 由于這些離散信號(hào)是連續(xù)函數(shù)經(jīng)采樣后形成的，故又稱(chēng)這類(lèi)系統(tǒng)為采樣控制系統(tǒng)。圖7-1 計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)3 從A/D和D/A轉(zhuǎn)換器看模擬量與數(shù)字量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，且兩者有著確定的比例關(guān)系，因而圖7-1可以簡(jiǎn)化為圖7-2圖7-2 圖7-32022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)4 采取分時(shí)處理方式，用一臺(tái)計(jì)算機(jī)控制多個(gè)被

2、控對(duì)象。圖7-42022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)51）有利于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)高精度2）有效地抑制噪聲，提高了系統(tǒng)抗擾動(dòng)的能力3）不僅能完成復(fù)雜的控制任務(wù)，而且易于實(shí)現(xiàn)修改控制器的參數(shù)4）有顯示、報(bào)警等多種功能計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)分析離散系統(tǒng)的常用方法有兩種：Z變換法和狀態(tài)空間分析法。2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)6第二節(jié) 信號(hào)的采樣與復(fù)現(xiàn) 把連續(xù)信號(hào)變成脈沖或數(shù)字序列的過(guò)程叫做采樣，把采樣后的離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的過(guò)程稱(chēng)為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。一、采樣過(guò)程)(kTf圖7-2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)7式中： *( )( )( )Tftf tt*( )() ()

3、kftf kTtkT，KT 脈沖出現(xiàn)時(shí)刻（7-2）（7-1）*( )()kfttkT圖7-2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)8*0( )() ()kftf kTtkT2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)9)(kTt )(kTfktjkkTseatP)(脈沖產(chǎn)生的時(shí)刻；KT時(shí)刻的脈沖強(qiáng)度；把窄脈沖信號(hào)當(dāng)理想脈沖信號(hào)處理是近似的，也是有條件的。二、采樣定理設(shè)用于調(diào)制器載波的窄脈沖信號(hào)為 ；如圖7-8所示。用傅立葉級(jí)數(shù)表示為22sin111jktsTeTkkTaedtkTTT（7-4）（7-5）( )TP t2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)10其中,Ta10Tak1Ta984. 0

4、1Ta935. 02101T若令則圖7-2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)11圖7-ktjkkTsseatfttftf)()()()(*ktjkktjseadejF)(212022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)12()1()2sjktkka F jeduks*1( ) ()2jutskskfta F j ukedu*1( ) ()2j tskskfta F jked*() ()SkskFja F jk若令則或2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)13圖7-10圖7-112022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)14圖7-可知，相鄰兩頻譜不重疊交叉的條件是max2smax2ssmax2s

5、香農(nóng)采樣定理圖7-12香農(nóng)定理的物理意義是：采樣角頻率若滿足，則 就含有連續(xù)信號(hào)f(t)的全部信息，通過(guò)圖7-11所示的理想濾波器，則可把原信號(hào)f(t)不失真的復(fù)現(xiàn)s)(*tfs2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)15如用理想脈沖序列采樣的離散化信號(hào)，其傅氏變換表達(dá)式*1() ()skFjF jkT二、零階保持器把采樣值按常數(shù)、線形函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持器分別稱(chēng)為零階、一階和二階保持器。圖7-132022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)16零階保持器( )是把kT時(shí)刻的采樣值恒值地保持到下一采樣時(shí)刻（K+1）T。ZOH由圖7-13(b)得脈沖響應(yīng)傳遞函數(shù)頻率特性)()()(Ttltlt

6、ghSeSGTSh1)(22)2sin(1)(TjTjheTTTjejGST2()sin()2()SjShSSGje把代入上式，得2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)17圖7-15圖7-14)(tfh2T 是一種近似的帶通濾波器由 恢復(fù)的函數(shù)比原函數(shù)在相位上要平均滯后ZOH)(tfZOH2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)18設(shè)離散化信號(hào)*0( )() ()kftf kTtkT0*)()()(kkTSekTftfLsFTSeZ 0ln1*)()()(kkzTszkTfsFzF0*)()()(kkzkTftfZzF令，則定義：變換的三種求法：2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)191

7、( )Zt1)(kTf0k120( )1( )1.kkF zZtzzz 解：例7-1 求：、級(jí)數(shù)求和法當(dāng)時(shí)，則有如果 ,則上式可寫(xiě)為：1z111)(1zzzzFateZ0a11zeaT.1)(2210zezezezFaTaTkkakT例7-2 求：，解：如果 ,則：aTaTezzzezF111)(2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)202、部分分式法例7-3 求的 的Z變換 解：)1)(1 ()1 (1111)()(11111zezzezeztfZzFaTaTaTaTetf1)(asssF11)()(sinatZjasjjasjasasF2121)(2221111)cos2(1)(sin1

8、21121)(zzaTzaTzejzejzFjaTjaT)()(assasF例7-4 求 解：2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)212、留數(shù)計(jì)算法 設(shè) 的拉氏變換為 ，且其為真有理式， 為 的極點(diǎn)，則Z變換用下式求得)(tf)(sFKPnkkPSnkTSRezzsFreszFK11)()(KPSTSkezzsFresR)(TSezzsF)(KPSPS)()(limTSpsezzsFpsR)()(lim)!1(111TSqpsqqezzsFpsdsdqR)(sF為 在 上的留數(shù)：)(sF若 含有 的一階極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)為：PS)(sF若 含有 的q階重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)為：2022-3-

9、17第七章 離散化控制系統(tǒng)22)(zF3( )(1)(2)sF sss123( )(1)(1)()3()(1)()2sTSsTSTqTszF zsssq zeszsqssq zezzzeze21)(ssF2220) 1(1limzTzezzssdsdRTSs例7-5 已知求解例7-6 試求 的Z變換解二、變換的基本性質(zhì)2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)23)()()()(22112211zFazFatfatfaZ)()()()( )()()()(2211022011022112211zFazFaZkTfaZkTfaZkTfakTfatfatfaZkkkkkk、線性定理0)(tf)()(z

10、FtfZ)()(zFZkTtfZk.)(.)()0(.)()()()()()1(1001nkkknkZnTfZTfZfZkTTfZkTfZkTnTfkTtfZ證：2、滯后定理設(shè) t0 時(shí), , ,則：式中k、T均為常量.證：2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)240)(kTnTf.)2()()0()(21ZTfZTffZkTtfZk)(zFZk考慮到nk， 則有 ：kZ延遲環(huán)節(jié)圖7-172022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)2510)()()(kknkkznTfZzFZkTtfZ10)1(1)1(1)1(0)(0)()() 1(.)()0(.) 1()(.)()0(.)()()()()(

11、kknkkkkkkkkkkknkkknznTfZzFZZTkfZTffZZTkfZkTfZTffZZkTTfZkTfZzkTnTfZzkTnTfkTtfZ3、超前定理證：0) 1()()0(TkfTff)()(ZFZkTtfZk如果，則2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)26)() 1(lim)(lim)(lim1zFznTftfzntmkkmzzmkkmmkkmzkTfTkffzFzzkTfTkfzFZfzZFzkTfTkfkTfTkfZ01100)() 1(limlim)0()() 1(lim)() 1(lim)()0()()() 1(lim)() 1()()() 1(lim)0(0f

12、zkTfTkffmkkm)()(aTatZeFetfZ4、終值定理設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，且F(z) 不含有z的二重及以上的極點(diǎn)和單位圓外的極點(diǎn)，則F(t)的終值為證：、復(fù)數(shù)移位定理2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)270)()()(kkTasatekTfetfZaTTaszeez)(1)()()()(101aTkkatzeFzFzkTfetfZ證：令，則：6、卷積定理 設(shè) , , 的Z變換分別為 , , 且當(dāng)t0時(shí), 0)()()(trtgtc)(zC)(zG)(zR)()()(0nTrTnkgkTCkn)()()(zRzGzC000)()()()(kkknkkznTrTnkgz

13、kTCzC)(tc)(tg)(tr已知?jiǎng)t證：2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)28nk 0)(Tnkg00)()()(kknznTrTnkgzCjnknj)()()()()()()(000)(zRzGzjTgznTrzjTgnTrzCjjnnnnjnj考慮到：時(shí)則：令：當(dāng)k=0時(shí),三、反變換)(zF)(*tf)(1zFZ把 反變換為 的過(guò)程叫Z的反變換，記為1、長(zhǎng)除法2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)2912)(22zzzzzF)(*tf)(zF.97531211)(4321211zzzzzzzzF*1( ) ( )( )3 ()5 (2 )7 (3 ).ftZF zttTtTtT

14、zzF)()(1()1 ()(aTaTezzezzF例7-8,求 的反變換解2、部分分式法步驟:將分母 的多項(xiàng)式分解為因式把 展開(kāi)為部分分式求各部分分式項(xiàng)的Z變換之和例7-9,已知 求)(*tf2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)30aTezzaTaTezzezzF111)(1(1)(aTezzzzzF1)(akTekTf1)(1( )( ) ( )kF zf tres F z z的所有極點(diǎn))2)(1(10)(zzzzF或k=0，1，20*)()1 ()(kakTkTtetf3、反演公式例8-10,求 的Z反變換2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)31kzkzkkkzzzzzzzzzz

15、zreszzzzreskTf21010)2()2)(1(10) 1()2)(1(10)2)(1(10)2)(1(10)(211解或0*)()21010()(kkkTttf)(zC)(zR脈沖傳遞函數(shù)定義：在零初始條件下，輸出離散化信號(hào)的Z變換 與輸入離散化信號(hào)的Z變換 之比，即2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)32)()()(zGzRzC)()()()(11*zRzGzzCztC圖7-18令.)2()2()()()()0()()()(0*TtTrTtTrtrnTtnTrtrn.)()(.)2()2()()()()0()(nTtgnTrTtgTrTtgTrtgrtC則2022-3-17第七

16、章 離散化控制系統(tǒng)33)()()0()(.) 1()()()0()(0nTrTnkggkTrTkgTrktgrkTCkn當(dāng) t=kT 時(shí)，0)(tg)()()(0nTrTnkgkTCn)()()(zRzGzCnnznTgzG0)()(考慮到 t 0, 0 k 0.866 l 采樣具有降低系統(tǒng)穩(wěn)定性作用。二、閉環(huán)極點(diǎn)與瞬態(tài)響應(yīng)的關(guān)系2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)57)()()()()(zVzUzTzRzC1)(zzzR1)()()(zzzVzUzC)(zTniiipzAzAzzC101)(niiipzzAzzAzC101)(nikiipAAkC10)()(設(shè)令則假設(shè) 無(wú)重極點(diǎn),則202

17、2-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)581、 實(shí)數(shù)極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)正實(shí)軸上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是一個(gè)單調(diào)的衰減過(guò)程，而位于圓內(nèi)負(fù)實(shí)軸上極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量是正負(fù)交替變化的衰減過(guò)程。2、 共軛極點(diǎn)設(shè)一對(duì)共額極點(diǎn)為ijiieppijiieppiijkkiijkkiikiikiiiepAepApApAkc)(ijiieAAijiieAA）（）（）（iikiikjkiikjkiiikpAepAepAkciiiicos2)(令2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)59圖7-332022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)60下面分析S平面上不同閉環(huán)極點(diǎn)與其脈沖響應(yīng)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。sjssTs22TTSeezsjs

18、21圖7-33a中示出了實(shí)部不同，虛部均為 的4對(duì)共軛極點(diǎn)和4個(gè)實(shí)極點(diǎn)。圖7-33a中所示的極點(diǎn)均映射到Z平面的正實(shí)軸上，為圖7-33b所示。在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)只采一次，因而采樣后的脈沖序列不能反映原有脈沖響應(yīng)的變化規(guī)律。2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)61圖7-34由于s21TTeTez2s即2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)62 在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)，每隔180采一次，采樣后的輸出為正負(fù)交替的脈沖序列。sAjS81sjS41BsCjS31sDjS812022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)63圖7-352022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)64在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)，

19、采樣的次數(shù)分別為8次，4次和3次，閉環(huán)極點(diǎn)盡可能配置在Z平面上單位圓內(nèi)正實(shí)軸的附近，且距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離越小越好。三、最少拍系統(tǒng)當(dāng) ，k=0 時(shí)，稱(chēng)系統(tǒng)具有無(wú)窮大的穩(wěn)定度。nnnnnnnnazazazbzbzbzbzRzCzG1111110.)()()( 離散化系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于Z平面的坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱(chēng)系統(tǒng)具有無(wú)窮大穩(wěn)定度。 最少拍系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下，以有限拍結(jié)束響應(yīng)過(guò)程，且在采樣時(shí)刻上無(wú)穩(wěn)太誤差的離散化系統(tǒng)。令2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)65nnnnnzbzbzbzbzG1110.)(nnnnzbzbzbb)1(1110.)() 1(.)()()()(1101n

20、TtbTntbTtbtbzGZkgnn0.21naaa當(dāng)則一個(gè)n階穩(wěn)定系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)共有n個(gè)脈沖序列，即在典型信號(hào)作用下，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)將在n個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束。例如二階系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：212)()()(zzzTzRzC2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)66ttr)(211)1 ()(zTzzR.43221)2()(43221121TzTzTzzzTzzzzC.)4(4)3(3)2(2)(TtTTtTTtTkcttr)(111)(zzR.212)(321121zzzzzzzc.)3(1)2(1)(2)(TtTtTtkc則： 表示系統(tǒng)的輸出在第二拍就完全跟蹤輸入 的變化。)( 1)

21、(ttr則：2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)67)( 1)(ttr 表示系統(tǒng)的輸出在第二拍就完全跟蹤輸入 的變化，但是其超調(diào)量 。 按照斜坡輸入設(shè)計(jì)的最少拍系統(tǒng)，不能滿足階躍輸入動(dòng)態(tài)響應(yīng)的性能要求。 。圖7-36%100p2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)68四、離散化系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差圖7-37)()(11)(zRzGHzE)(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim11zGHzRzzEzkeezzkss2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)69 條件：系統(tǒng)穩(wěn)定，且 不含Z=1的二重及二重以上極點(diǎn)。 )(zE1)(0zzRzRpzzsskRzzRzGHze1lim1)(1

22、1) 1(lim0101)(lim1zGHkzdefp)( 1)(0tRtr1、階躍輸入 。 靜態(tài)位置誤差系數(shù) 0 型系統(tǒng)： psskRe100sse其中 為常數(shù) pk 型和型系統(tǒng)： 2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)70tvtr021)(常量0v2、斜坡輸入 20) 1()(zTzvzR)() 1(lim1) 1()(11) 1(lim10201zGHzTvzTzvzGHzezzssvkv0)() 1(lim11zGHzTkzdefv0vksse常量vkvsskve0靜態(tài)位置誤差系數(shù) 其中 0 型系統(tǒng)： 型系統(tǒng)： 2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)71vk0sse2021)(tatr 型系統(tǒng)： 3、拋物線函數(shù)輸入 ， 320) 1(2) 1()(zzTazR)() 1(lim1) 1(2) 1()(11) 1(lim21203201zGHzTazzTazGHzezzssaka0)() 1(lim1212zGHzTkzdefa常量0a靜態(tài)加速度誤差系數(shù) 其中 2022-3-17第七章 離散化控制系統(tǒng)72 型系統(tǒng)： 0 型、 型系統(tǒng)： 0