同濟(jì)第三版高數(shù)(1.8)第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性同濟(jì)第三版高數(shù)匯總

1、 自然界中普遍存在著連續(xù)變化的現(xiàn)象。如自然界中普遍存在著連續(xù)變化的現(xiàn)象。如植物的生植物的生長(zhǎng)過程中，其高度隨時(shí)間連續(xù)地變化。氣溫隨時(shí)間的連長(zhǎng)過程中，其高度隨時(shí)間連續(xù)地變化。氣溫隨時(shí)間的連續(xù)地變化。物體的體積膨脹隨溫度的連續(xù)地變化等。續(xù)地變化。物體的體積膨脹隨溫度的連續(xù)地變化等。 反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的反映這種連續(xù)變化現(xiàn)象的數(shù)量關(guān)系的就是所謂函數(shù)的連數(shù)量關(guān)系的就是所謂函數(shù)的連續(xù)性。從幾何角度看，這種連續(xù)性。從幾何角度看，這種連續(xù)變化的函數(shù)的圖形對(duì)應(yīng)著一續(xù)變化的函數(shù)的圖形對(duì)應(yīng)著一條綿延不斷的曲線。條綿延不斷的曲線。 CC tt3691215182124OC152010525 自然界現(xiàn)象中也存在變化

2、不連續(xù)現(xiàn)象。如夜間蟲鳴自然界現(xiàn)象中也存在變化不連續(xù)現(xiàn)象。如夜間蟲鳴的音量、脈沖波電壓隨時(shí)間的變化等。反映這種不連續(xù)的音量、脈沖波電壓隨時(shí)間的變化等。反映這種不連續(xù)變化現(xiàn)象的函數(shù)圖形呈現(xiàn)出一種逐段分布的特性。變化現(xiàn)象的函數(shù)圖形呈現(xiàn)出一種逐段分布的特性。 tOV VV t 光陰荏苒，物換星移，老光陰荏苒，物換星移，老友故交相逢，往往慨嘆物是人友故交相逢，往往慨嘆物是人非。然而，熟人、鄰居數(shù)日后非。然而，熟人、鄰居數(shù)日后再見，卻不會(huì)發(fā)現(xiàn)彼此有什么再見，卻不會(huì)發(fā)現(xiàn)彼此有什么變化，這就是連續(xù)變化現(xiàn)象。變化，這就是連續(xù)變化現(xiàn)象。 因?yàn)樵谳^短的時(shí)間段內(nèi)，因?yàn)樵谳^短的時(shí)間段內(nèi)，人的相貌體形不會(huì)有太大的變?nèi)说南?/p>

3、貌體形不會(huì)有太大的變化，因而不易觀察出來，只有化，因而不易觀察出來，只有當(dāng)時(shí)間跨度較大時(shí)，變化才比當(dāng)時(shí)間跨度較大時(shí)，變化才比較明顯。較明顯。y xOy yfx2x1x1x2x1fx2fx1fx2fxx x y 曲線在一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別在于曲線在曲線在一點(diǎn)連續(xù)與不連續(xù)的差別在于曲線在該點(diǎn)處的函數(shù)值是否產(chǎn)生了該點(diǎn)處的函數(shù)值是否產(chǎn)生了“突變突變”。 設(shè)變量設(shè)變量 u 從它的初始值從它的初始值 u1 變化到終值變化到終值 u2，則終值則終值u2 與初始值與初始值 u1 之差之差 u2 - - u1 稱為變量稱為變量 u 在在 u1 處的增量處的增量，記作記作： u = u2 - - u1 . .

4、0u 0u 增量記號(hào)增量記號(hào) u 是一個(gè)整體，其是一個(gè)整體，其意義是變量意義是變量 u 發(fā)生改發(fā)生改變的量的值變的量的值 u = u 2 - - u1，增量增量 u 可以是正的，也可以可以是正的，也可以是負(fù)的是負(fù)的。不論不論 u 是正是負(fù)，都表示變量是正是負(fù)，都表示變量 u 發(fā)生了改變發(fā)生了改變, ,因此增量因此增量 u 又稱為變量又稱為變量 u 的改變量。的改變量。 當(dāng)當(dāng) u 0 時(shí)時(shí)，表示變量表示變量 u 的變化是增加的，此時(shí)的變化是增加的，此時(shí)u2 = u1 + u u1; ;； 當(dāng)當(dāng) u 0 時(shí)時(shí)，表示變量表示變量 u 的變化是增加的，此時(shí)的變化是增加的，此時(shí)u2 = u1 + u 0

5、 ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) 0，使得對(duì)，使得對(duì)于適合不等式于適合不等式 | | x - x 0| | 的一切的一切 x 都都有有 | | f( x )- f( x 0 )| | 0， 0，使得對(duì)使得對(duì)于適合不等式于適合不等式- - x - - x 0 的一切的一切x，對(duì)應(yīng)函數(shù)值，對(duì)應(yīng)函數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式| | f( x )- - f( x 0 )| | 0， 0，使得對(duì)使得對(duì)于適合不等式于適合不等式 0 x - - x 0 的一切的一切 x，對(duì)應(yīng)函數(shù)值對(duì)應(yīng)函數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式| | f( x )- - f( x 0 )| | 0 , ,a 1,

6、,x ( - - , ,+ )， 由定義可直接證明由定義可直接證明 因此對(duì)因此對(duì) x 0 ( - - , ,+ )有有 故指數(shù)函數(shù)故指數(shù)函數(shù) y = a x 在其定義域在其定義域( - - , ,+ )內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。 0lim1xxa , , 000000000 limlimlim1.xxx xxx xxxxxxxxxaaaaaaa 由于由于指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) y = a x 在其定義域在其定義域( - - , ,+ )內(nèi)單調(diào)內(nèi)單調(diào)連續(xù)，值域?yàn)檫B續(xù)，值域?yàn)? 0 , ,+ )，故故由反函數(shù)相應(yīng)的連續(xù)性知，由反函數(shù)相應(yīng)的連續(xù)性知，對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù) y = log a x 在其定義域在其定義域(

7、0 , ,+ )是連續(xù)的。是連續(xù)的。 冪函數(shù)的一般定義為冪函數(shù)的一般定義為 x = e ln x ，x ( 0 , ,+ )，故故由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知冪函數(shù)冪函數(shù) y = x 在其定義區(qū)間在其定義區(qū)間( 0 , ,+ )內(nèi)是連續(xù)的。內(nèi)是連續(xù)的。 綜上討論知：綜上討論知： 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的?；境醯群瘮?shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 初等函數(shù)是由常數(shù)及基本初等函數(shù)初等函數(shù)是由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則經(jīng)有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合過程并由一個(gè)式子所表示的函數(shù)，運(yùn)算及有限次的復(fù)合過程并由一個(gè)式子所表示的

8、函數(shù)， 由于常數(shù)及基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性由于常數(shù)及基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算的連續(xù)性可知：及連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算的連續(xù)性可知： 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其 定義區(qū)定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的間內(nèi)都是連續(xù)的。 初等函數(shù)的連續(xù)性命題給出了判別連續(xù)性的有效初等函數(shù)的連續(xù)性命題給出了判別連續(xù)性的有效方法。因?yàn)槲⒎e分所討論函數(shù)主要是初等函數(shù)，因此方法。因?yàn)槲⒎e分所討論函數(shù)主要是初等函數(shù)，因此判別給定函數(shù)的連續(xù)性可先考察其是否為初等函數(shù)，判別給定函數(shù)的連續(xù)性可先考察其是否為初等函數(shù)，若給定函數(shù)是否為初等函數(shù)，則可方便地確定其在定若給定函數(shù)是否為初等函數(shù)，

9、則可方便地確定其在定義區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。義區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性。 此外，初等函數(shù)的連續(xù)性命題給出了求初等函數(shù)此外，初等函數(shù)的連續(xù)性命題給出了求初等函數(shù)極限的簡(jiǎn)便方法，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)極限的簡(jiǎn)便方法，求初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn) x 0 處處的極限可歸結(jié)為求該函數(shù)在的極限可歸結(jié)為求該函數(shù)在 x 0 點(diǎn)點(diǎn)處處的函數(shù)值，即的函數(shù)值，即 00lim.xxf xf x 以上所講的只是初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)以上所講的只是初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，并未說在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。因?yàn)槌醯群瘮?shù)的的，并未說在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。因?yàn)槌醯群瘮?shù)的定義域未必構(gòu)成區(qū)間。定義域未必構(gòu)成區(qū)間。 是初等函數(shù)，其定義域

10、為是初等函數(shù)，其定義域?yàn)?D = x | x = 2k ，k z . . 由于由于 D 的每一點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，因而不構(gòu)成區(qū)間。的每一點(diǎn)都是孤立點(diǎn)，因而不構(gòu)成區(qū)間。對(duì)于這種孤立點(diǎn)，對(duì)于這種孤立點(diǎn)，f( x )在其鄰域內(nèi)無定義，因而在定在其鄰域內(nèi)無定義，因而在定義域內(nèi)每一點(diǎn)都不連續(xù)。義域內(nèi)每一點(diǎn)都不連續(xù)。由于初等函數(shù)的定義域可能由于初等函數(shù)的定義域可能包含孤立點(diǎn)，因而不能籠統(tǒng)地說初等函數(shù)在其定義域包含孤立點(diǎn)，因而不能籠統(tǒng)地說初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，只能說初等函數(shù)在定義區(qū)間上是連續(xù)的。內(nèi)連續(xù)，只能說初等函數(shù)在定義區(qū)間上是連續(xù)的。 cos1fxx , ,例例如如例例：求極限求極限 由于由于 x 0 =

11、 / /2是初等函數(shù)是初等函數(shù) f( x )= ln sin x 的定義區(qū)間的定義區(qū)間( 0, , )內(nèi)的點(diǎn)內(nèi)的點(diǎn)，故由初等函數(shù)的連續(xù)性有，故由初等函數(shù)的連續(xù)性有 2lim lnsin.xx 2lim lnsinlnsinln10.2xx 例例：設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 在在( - - , ,+ )內(nèi)內(nèi)連續(xù)，求連續(xù)，求: : a . . 為求為求 a 需先建立關(guān)于需先建立關(guān)于 a 的方程。的方程。由于已知由于已知 f( x )在在( - - , ,+ )內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，故故可根據(jù)函數(shù)可根據(jù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)性性建立方程。建立方程。 在在( - - , , 0 )內(nèi)，內(nèi)，函數(shù)函數(shù) cos 2x 連續(xù)。連續(xù)。 在在

12、( 0 , ,+ )內(nèi)，不論內(nèi)，不論 a 取何值，取何值，f( x )= aln( 1 + x )/ /x 均均連續(xù)，故連續(xù)，故根據(jù)給根據(jù)給定的函數(shù)定的函數(shù)連續(xù)連續(xù)性條件，性條件，在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 = 0 處有處有 ln 10cos20axxxfxxx , , , , ., . 00limlim.0 xxfffxx 由于由于 f( 0 )= cos 2 0 = 1，故由故由 得得 a = 1. . 000ln 1limlimlimxxxaxaxf xaxx, , 00limlim cos2cos01xxfxx, , 00limlim0 xxfffxx人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，人有了知識(shí)，就會(huì)具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有黃金屋。書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富知識(shí)，通過閱讀科技書籍，我們能豐