開(kāi)放與探索型問(wèn)題

1、(學(xué)P154)第38講開(kāi)放與探索型問(wèn)題第七章數(shù)學(xué)思想與開(kāi)放探索問(wèn)題第四篇綜合與實(shí)踐1內(nèi)容特性所謂開(kāi)放題，即為答案不唯一的問(wèn)題，其主要特征是答案的多樣性和多層次性由于這類題綜合性強(qiáng)、解題方法靈活多變，結(jié)果往往具有開(kāi)放性，因而需觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、分析和推理，同時(shí)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想2問(wèn)題類型(1)條件開(kāi)放與探索型問(wèn)題；(2)結(jié)論開(kāi)放與探索型問(wèn)題；(3)條件、結(jié)論開(kāi)放與探索型問(wèn)題；(4)過(guò)程開(kāi)放與探索型問(wèn)題3解題策略從總體上看，解開(kāi)放型題時(shí)，通過(guò)觀察、比較、分析、綜合及猜想，應(yīng)盡可能地放開(kāi)思維，大膽猜想，仔細(xì)論證，充分運(yùn)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，經(jīng)過(guò)歸納、類比、聯(lián)想等推理的手段，得出

2、正確的結(jié)論從方法上看，一般以分類討論及反演推理等方法較為常見(jiàn)(1)條件開(kāi)放型問(wèn)題：從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因，逆向推理，逐步探求結(jié)論成立的條件或把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出，逐個(gè)分析；(2)結(jié)論開(kāi)放型問(wèn)題：從剖析題意入手，充分捕捉題設(shè)信息，通過(guò)由因?qū)Ч樝蛲评砘蚵?lián)想類比、猜測(cè)等，從而獲得所求的結(jié)論；(3)條件和結(jié)論都開(kāi)放型：此類問(wèn)題沒(méi)有明確的條件和結(jié)論，并且符合條件的結(jié)論具有多樣性，需將已知的信息集中進(jìn)行分析，探索問(wèn)題成立所必須具備的條件或特定的條件應(yīng)該有什么結(jié)論，通過(guò)這一思維活動(dòng)得出事物內(nèi)在聯(lián)系，從而把握事物的整體性和一般性類型一條件開(kāi)放與探索型問(wèn)題例1(2013荊門)四邊形ABCD中，對(duì)角線A

3、C、BD相交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)條件：ADBC；ADBC；OAOC；OBOD從中任選兩個(gè)條件，能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有()A3種 B4種 C5種 D6種【思路分析】根據(jù)題目所給條件，利用平行四邊形的判定方法分別進(jìn)行分析即可【答案】組合可根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；組合可根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；可證明ADOCBO，進(jìn)而得到ADCB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；可證明ADOCBO，進(jìn)而得到ADCB，可利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊

4、形判定出四邊形ABCD為平行四邊形；故選：B.【解后感悟】判斷一個(gè)四邊形是平行四邊形的基本依據(jù)是：平行四邊形的定義及其判定定理解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢(shì)的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問(wèn)題在不同條件下的結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件1(2014溫州)請(qǐng)舉反例說(shuō)明“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，x25x5的值總是正數(shù)”是假命題，你舉的反例是x (寫出一個(gè)x的值即可)2類型二結(jié)論開(kāi)放與探索型問(wèn)題例2如圖，在AEC和DFB中，EF，點(diǎn)A、B、C、D在同一直線上，有如下三個(gè)關(guān)系式：AEDF，ABCD，CEBF.(1)請(qǐng)用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出你

5、認(rèn)為正確的所有命題(用序號(hào)寫出命題書寫形式：“如果，那么”)(2)選擇(1)中你寫出的一個(gè)命題，說(shuō)明它正確的理由 【思路分析】(1)如果作為條件，作為結(jié)論，得到的命題為真命題；如果作為條件，作為結(jié)論，得到的命題為真命題，寫成題中要求的形式即可；(2)若選擇(1)中的如果，那么，由AE與DF平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由ABDC，等式左右兩邊都加上BC，得到ACDB，又EF，利用AAS即可得到三角形ACE與三角形DBF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CEBF，得證；若選擇如果，那么，由AE與FD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，再由EF，CEBF，利用AAS可

6、得出三角形ACE與三角形DBF全等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出ACBD，等式左右兩邊都減去BC，得到ABCD，得證【答案】(1)如果，那么；如果，那么；(2)若選擇如果，那么，證明：AEDF，AD，ABCD，ABBCBCCD，即ACDB，在ACE和DBF中，ACEDBF(AAS)，CEBF；若選擇如果，那么，證明：AEDF，AD，在ACE和DBF中，ACEDBF(AAS)，ACDB，ACBCDBBC，即ABCD.EF，AD，ACDB，EF，AD，ECFB，【解后感悟】此題運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵2(201

7、3煙臺(tái))已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A，B重合)，分別過(guò)點(diǎn)A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點(diǎn)(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是_，QE與QF的數(shù)量關(guān)系是_(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明 (3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA(或AB)的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)(2)中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫出圖形并給予證明【答案】(1)AEBF，QEQF.(2)QEQF.證明：延長(zhǎng)FQ交AE于點(diǎn)D.AEBF，12.34，AQBQ，AQDBQF.QDQF.AECP，QE為斜邊FD中線QEQF(3)(2)中結(jié)

8、論仍然成立理由：延長(zhǎng)EQ，F(xiàn)B交于點(diǎn)D.AEBF，1D.23，AQBQ，AQEBQD.QEQDBFCP，F(xiàn)Q為斜邊DE中線QEQF.類型三條件、結(jié)論開(kāi)放與探索型問(wèn)題例3(2013益陽(yáng))如圖1，在ABC中，A36，ABAC，ABC的平分線BE交AC于E.(1)求證：AEBC；(2)如圖(2)，過(guò)點(diǎn)E作EFBC交AB于F，將AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0144)得到AEF，連結(jié)CE，BF，求證：CEBF；(3)在(2)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在CEAB？若存在，求出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【思路分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系進(jìn)而得出答案；(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

9、可知：EACFAB，AEAF，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；(3)分別根據(jù)當(dāng)點(diǎn)E的像E與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形，當(dāng)點(diǎn)E的像E與點(diǎn)N重合時(shí)，求出即可【答案】(1)證明：ABAC，A36， ABCC72. 又BE平分ABC，ABECBE36. BEC180CCBE72.ABEA，BECC. AEBE，BEBC.AEBC.(2)證明：ACAB且EFBC，AEAF； 由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：EACFAB，AEAF， 在CAE和BAF中，CAEBAFCEBFABAC，F(xiàn)ABEAC，AFAE，(3)存在CEAB.由(1)可知AEBC，所以，在AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，E點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑(圓弧)

10、與過(guò)點(diǎn)C且與AB平行的直線l交于M、N兩點(diǎn)，如圖：當(dāng)點(diǎn)E的像E與點(diǎn)M重合時(shí)，則四邊形ABCM為等腰梯形， BAMABC72，又BAC36. CAM36當(dāng)點(diǎn)E的像E與點(diǎn)N重合時(shí)由ABl得，AMNBAM72，AMAN，ANMAMN72MAN18027236CANCAMMAN72當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為36或72時(shí)，CEAB.【解后感悟】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵3(2013蘇州)如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，AB10cm，BC12cm.點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別從A，B，C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針?lè)较騽蛩龠\(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1

11、cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s.當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C(即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合)時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EBF關(guān)于直線EF的對(duì)稱圖形是EBF，設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(單位：s)(1)當(dāng)t_s時(shí)，四邊形EBFB為正方形；(2)若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)2.5(2)由題意得AEt，BF3t，CG1.5t.AB10，BC12，BE10t，F(xiàn)C123t.點(diǎn)F在BC上運(yùn)動(dòng)，03t12，即0t4.當(dāng)EBFFCG時(shí)， ，

12、，解得t .當(dāng)EBFGCF時(shí)， ， ，CGBFEBFCttt5 . 133t-1210514FCBFEBCGttt31231.5t10化簡(jiǎn)，得t228t800.解得t1142 ，t2142 (不合題意，舍去)0t4，t 或t142 符合題意若以點(diǎn)E，B，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，則t 或t142 .69695146951469(3)不存在，理由如下：如圖，連結(jié)BD.點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合，此時(shí)，EF是OB垂直平分線，垂足為點(diǎn)H.易知，BD2 ，BH BD .易證EHBBHFBCD，BF ，BE .AE10BE

13、.點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度的3倍，但 3，不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B與點(diǎn)O重合4161261126110611039AEBF類型四過(guò)程開(kāi)放與探索型問(wèn)題例4(2014紹興)(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，EAF45，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DGBE，連結(jié)EF，AG.求證：EFFG. (2)如圖，等腰直角三角形ABC中，BAC90，ABAC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且MAN45，若BM1，CN3，求MN的長(zhǎng)【思路分析】(1)證ADGABE，F(xiàn)AEFAG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出即可；(2)過(guò)點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CEBM.連結(jié)AE、EN.通過(guò)證明ABMACE(

14、SAS)推知全等三角形的對(duì)應(yīng)邊AMAE、對(duì)應(yīng)角BAMCAE；然后由等腰直角三角形的性質(zhì)和MAN45得到MANEAN45，所以MANEAN(SAS)，故全等三角形的對(duì)應(yīng)邊MNEN；最后由勾股定理得到EN2EC2NC2即MN2BM2NC2.【答案】(1)證明：ABEADG，ADAB， 在ABE和ADG中，ABEADG(SAS)，ADAB，ABEADG，DGBE，BAEDAG，AEAG，EAG90，在FAE和GAF中，F(xiàn)AEFAG(SAS)EFFG；AEAG，EAFFAG45，AFAF，(2)解：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CEBC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CEBM，連結(jié)AE、EN， ABAC，BAC90，BA

15、CB45， CEBC，ACEB45，在ABM和ACE中，ABMACE(SAS)ABAC，BACE，BMCE，AMAE，BAMCAE. BAC90，MAN45，BAMCAN45. 于是，由BAMCAE，得MANEAN45. 在MAN和EAN中， MANEAN(SAS) MNEN. 在RtENC中，由勾股定理，得EN2EC2NC2. MN2BM2NC2.BM1，CN3，MN21232， MN .AMAE，MANEAN，ANAN，10【解后感悟】 本題是幾何綜合題，通過(guò)觀察、比較、分析、綜合及猜想，運(yùn)用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等幾何圖形的性質(zhì)，經(jīng)過(guò)歸納、類比、聯(lián)想等推理的手段，

16、得出正確的結(jié)論(學(xué)P156)4(2013陜西)問(wèn)題探究(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線，使它們將圓面四等分；(2)如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過(guò)點(diǎn)M)，使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說(shuō)明理由問(wèn)題解決(3)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABCDBC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果ABa，CDb，且ba，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由【答案】(1)如圖所示(2)如圖，連結(jié)AC、BD相交于點(diǎn)O，作直線OM分別交AD、BC于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OM的垂線分別交A

17、B、CD于E、F兩點(diǎn)，則直線OM、EF將正方形ABCD的面積四等分 理由如下： 點(diǎn)O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心 APCQ，EBDF. 在AOP和BOE中 AOP90AOE， BOE90AOE， AOPBOE.OAOB，OAPEBO45， AOPBOE(ASA)APBEDFCQ.AEBQCFPD.設(shè)點(diǎn)O到正方形ABCD一邊的距離為d. (APAE)d (BEBQ)d (CQCF)d (PDDF)dS四邊形APOES四邊形BEOQS四邊形CQOFS四邊形POFD直線EF、PQ將正方形ABCD面積四等分21212121(3)存在當(dāng)BQCDb時(shí)，PQ將四邊形ABCD面

18、積二等分理由如下： 如圖，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)E，使AEb，延長(zhǎng)CD至點(diǎn)F，使DFa，連結(jié)EF. BECF，BECF.四邊形BCFE為平行四邊形 BCBEab， 平行四邊形BCFE為菱形 連結(jié)BF交AD于點(diǎn)M，則MABMDF. AMDM，即點(diǎn)P、M重合 點(diǎn)P是菱形EBCF對(duì)角線的交點(diǎn) 在BC上截取BQCDb，則CQABa.設(shè)點(diǎn)P到菱形EBCF一邊的距離為d.SABPSQBP (ABBQ)d (CQCD)d SCQPSCDP.當(dāng)BQb時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分2121【經(jīng)驗(yàn)積累題】【試題】(2013臨沂)如圖，矩形ABCD中，ACB30，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線A

19、C，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別與邊AB，BC所在的直線相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn).(1)當(dāng)PEAB，PFBC時(shí)，如圖1，則 的值為_(kāi)(2)現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(060)角，如圖2，求 的值；(3)在(2)的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)6090，且使APPC12時(shí)，如圖3， 的值是否變化？證明你的結(jié)論P(yáng)FPEPFPEPFPE【分析與解】(1)(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PHAB，PGBC，垂足分別為H，G.在矩形ABCD中，ABC90，PHBC.又ACB30，APHPCG30PHAPcos30 AP，PGPCsin30 PC由題意可知HPEGPF，RtPHERtPGF.32321 又點(diǎn)P在矩形ABCD對(duì)角線交點(diǎn)上，APPC. PCAPPCAPPGPHPFPE321233PFPE(3)變化證明：如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PHAB，PGBC，垂足分別為H，G.根據(jù)(2)，同理可證 又AP