高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)(教)案(第24講)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

1、題目 第四章三角函數(shù)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)高考要求 了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(x+)的簡圖，理解A.、的物理意義 知識點歸納 1. 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像2.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是，的遞增區(qū)間是，的遞減區(qū)間是。3.函數(shù)最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點都是該圖象的對稱中心。4.由ysinx的圖象變換出ysin(x)的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換利用圖象的變換作圖象時，提

2、倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn).無論哪種變形，請切記每一個變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少.途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將ysinx的圖象向左(0)或向右(0)平移個單位，再將圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0)，便得ysin(x)的圖象途徑二：先周期變換(伸縮變換)再平移變換先將ysinx的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?0),再沿x軸向左(0)或向右(0平移個單位，便得ysin(x)的圖象5. 由yAsin(x)的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（x+）的題型，有時從尋找“五點”中的第一零點（，0）作為突破口

3、，要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個零點的位置.6.對稱軸與對稱中心：的對稱軸為，對稱中心為；的對稱軸為，對稱中心為；對于和來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。7. 求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)。利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；8. 求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。9.五點法作y=Asin（x+）的簡圖：五點取法是設(shè)x=x+，由x取0、2來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點作圖.題型講解 例1 把函數(shù)y=cos（x+）的圖象向左平移個單位，所

4、得的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是A.B.C.D.解：先寫出向左平移4個單位后的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解.向左平移個單位后的解析式為y=cos（x+），則cos（x+）=cos（x+），cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）sinxsin（+）.sinxsin（+）=0，xR.+=k.=k0.k.k=2.=.答案：B例2 試述如何由y=sin（2x+）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象.解：y=sin（2x+）另法答案：（1）先將y=sin（2x+）的圖象向右平移個單位，得y=sin2x的圖象；（2）再將y=sin2x上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得y=s

5、inx的圖象；（3）再將y=sinx圖象上各點的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到y(tǒng)=sinx的圖象.例3 求函數(shù)y=sin4x+2sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間.解：y=sin4x+2sinxcosxcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）+sin2x=sin2xcos2x=2sin（2x）.故該函數(shù)的最小正周期是；最小值是2；單調(diào)遞增區(qū)間是0，.點評：把三角函數(shù)式化簡為y=Asin（x+）+k（0）是解決周期、最值、單調(diào)區(qū)間問題的常用方法.例4 已知電流I與時間t的關(guān)系式為（）右圖是（0，）在一個周期內(nèi)的

6、圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求的解析式；（）如果t在任意一段秒的時間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么的最小正整數(shù)值是多少？ 解:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算能力和邏輯推理能力（）由圖可知 A300設(shè)t1，t2， 則周期T2（t2t1）2（） 150 又當(dāng)t時，I0，即sin（150·）0，而， 故所求的解析式為 （）依題意，周期T，即，（>0） 300942，又N*，故最小正整數(shù)943 點評:本題解答的開竅點是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言其中，讀圖、識圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑 例5 （1）y=cosx+cos（x+）的最大值是_；（2）y=2sin（3x）的

7、圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_.解：（1）y=cosx+cosxsinx=cosxsinx=（cosxsinx）=sin（x）.所以ymax=.（2）T=，相鄰對稱軸間的距離為.答案： 例6 （1）已知f（x）的定義域為0，1），求f（cosx）的定義域；（2）求函數(shù)y=lgsin（cosx）的定義域.分析：求函數(shù)的定義域：（1）要使0cosx1，（2）要使sin（cosx）0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角.解：（1）0cosx12kx2k+，且x2k（kZ）.所求函數(shù)的定義域為xx2k，2k+且x2k，kZ.（2）由sin（cosx）02kcosx2k+（kZ）.又1cosx1，0cos

8、x1.故所求定義域為xx（2k，2k+），kZ.點評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線.例7 求函數(shù)y=sin6x+cos6x的最小正周期，并求x為何值時，y有最大值.分析：將原函數(shù)化成y=Asin（x+）+B的形式，即可求解.解：y=sin6x+cos6x=（sin2x+cos2x）（sin4xsin2xcos2x+cos4x）=13sin2xcos2x=1sin22x=cos4x+.T=.當(dāng)cos4x=1，即x=（kZ）時，ymax=1.例8 判斷下面函數(shù)的奇偶性：f（x）=lg（sinx+）.分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點對稱，然后

9、再看f（x）與f（x）的關(guān)系.解：定義域為R，又f（x）+f（x）=lg1=0，即f（x）=f（x），f（x）為奇函數(shù).評述： 定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要（但不充分）條件.例9 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）y=sin（）；（2）y=sin（x+）.分析：（1）要將原函數(shù)化為y=sin（x）再求之.（2）可畫出y=|sin（x+）|的圖象.解：（1）y=sin（）=sin（）.故由2k2k+3kx3k+（kZ），為單調(diào)減區(qū)間；由2k+2k+3k+x3k+（kZ），為單調(diào)增區(qū)間.遞減區(qū)間為3k，3k+，遞增區(qū)間為3k+，3k+（kZ）.（2）y=|sin（x+）|的圖象的增區(qū)間為k+

10、，k+，減區(qū)間為k，k+.例10已知函數(shù)f（x）=，求f（x）的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域.剖析：此題便于入手，求定義域、判斷奇偶性靠定義便可解決，求值域要對函數(shù)化簡整理.解：由cos2x0得2xk+，解得x+（kZ）.所以f（x）的定義域為x|xR且x+，kZ.因為f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且f（x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù).又當(dāng)x+（kZ）時，f（x）=3cos2x1，所以f（x）的值域為y|1y或y2.評述：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力.小結(jié)：1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函

11、數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的.2.作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域.3.對于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個函數(shù)的圖象.4.求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化.5.求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤.6.函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來比較大小.7.判斷y=Asin（x+）（0）的單調(diào)區(qū)間，只需求y=Asin（x+）的相反

12、區(qū)間即可，一般常用數(shù)形結(jié)合.而求y=Asin（x+）（0）單調(diào)區(qū)間時，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎?，再設(shè)法求之.學(xué)生練習(xí) 1.在（0，2）內(nèi)，使sinxcosx成立的x的取值范圍是A.（，）（，）B.（，）C.（，）D.（，）（，）答案：C2.如果函數(shù)f（x）=sin（x+）（02）的最小正周期是T，且當(dāng)x=2時取得最大值，那么A.T=2，=B.T=1，= C.T=2，=D.T=1，=解析：T=2，又當(dāng)x=2時，sin（·2+）=sin（2+）=sin，要使上式取得最大值，可取=.答案：A3.設(shè)函數(shù)f（x）=A+Bsinx，若B0時，f（x）的最大值是，最小值是，則A=_，B=_.解析

13、：根據(jù)題意，由可得結(jié)論.答案： 14.已知函數(shù)y=tan（2x+）的圖象過點（，0），則可以是A.B.C.D.解析：將（，0）代入原函數(shù)可得，tan（+）=0，再將A、B、C、D代入檢驗即可.答案：A5.函數(shù)y=sin（2x）+sin2x的最小正周期是A.2B.C.D.4解析：y=cos2xsin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=.答案：B6.若f（x）sinx是周期為的奇函數(shù)，則f（x）可以是A.sinxB.cosxC.sin2xD.cos2x答案：B7.函數(shù)y=2sin（2x）（x0，）為增函數(shù)的區(qū)間是A.0， B.， C.，D.，解析：由y=2sin（2x）

14、=2sin（2x）其增區(qū)間可由y=2sin（2x）的減區(qū)間得到，即2k+2x2k+，kZ.k+xk+，kZ.令k=0，故選C.答案：C8.把y=sinx的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)_的圖象；再把所得圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，而縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)_的圖象.解析：向左平移個單位，即以x+代x，得到函數(shù)y=sin（x+），再把所得圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，即以x代x，得到函數(shù)：y=sin（x+）.答案：y=sin（x+） y=sin（x+）9.函數(shù)y=lg（cosxsinx）的定義域是_.解析：由cosxsinx0cosxsinx.由圖象觀察，知2kx2k+（kZ）

15、.答案：2kx2k+（kZ）10. f（x）=2cos2x+sin2x+a（a為實常數(shù)）在區(qū)間0，上的最小值為4，那么a的值等于 A.4B.6C.4D.3解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1.x0，2x+，.f（x）的最小值為2×（）+a+1=4.a=4.答案：C11.函數(shù)y=的定義域是_.解析：sin0sin02k2k6k3x6k（kZ）.答案：6k3x6k（kZ）12.函數(shù)y=tanxcotx的最小正周期為_.解析：y=2cot2x，T=.答案：13.求函數(shù)f（x）=的最小正周期、最大值和最小值.解：f（x）=（1+sinxcosx）=sin

16、2x+，所以函數(shù)f（x）的最小正周期是，最大值是，最小值是.14.已知x,，函數(shù)y=cos2x-sinx+b+1的最大值為,試求其最小值.解：y=2（sinx+）2+b，又1sinx，當(dāng)sinx=時，ymax=+b=b=1；當(dāng)sinx=時，ymin=.15.求使=sin（）成立的的區(qū)間.解：=sin（）=（sincos）sincos=sincossincos2k+2k+（kZ）.因此4k+，4k+（kZ）.16.關(guān)于函數(shù)f（x）=sin2x（）|x|+，有下面四個結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)為f（x）是奇函數(shù) 當(dāng)x2003時，f（x）恒成立 f（x）的最大值是 f（x）的最小值是A.1B.2C.3

17、D.4解析：顯然f（x）為偶函數(shù)，結(jié)論錯.對于結(jié)論，當(dāng)x=1000時，x2003，sin21000=0，f（1000）=（）1000，因此結(jié)論錯.又f（x）=（）|x|+=1cos2x（）|x|，1cos2x1，1cos2x.故1cos2x（）|x|，即結(jié)論錯.而cos2x，（）|x|在x=0時同時取得最大值，所以f（x）=1cos2x（）|x|在x=0時可取得最小值，即結(jié)論是正確的.答案：A17.定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若f（x）的最小正周期是，且當(dāng)x0，時，f（x）=sinx，則f（）的值為A.B.C.D.解析：f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.答案：D1

18、8.函數(shù)y=xcosxsinx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)A.（，）B.（，2） C.（，）D.（2，3）答案：B19.函數(shù)y=sin4x+cos2x的最小正周期為A.B.C.D.2解析：y=sin4x+cos2x=（）2+=+=cos4x+.故最小正周期T=.答案：B20.y=5sin（2x+）的圖象關(guān)于y軸對稱，則=_.解析：y=f（x）為偶函數(shù).答案：=k+（kZ）21.函數(shù)y=xsinx+cosx在下面哪個區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)A.（，）B.（，2） C.（，） D.（2，3）答案：C22.為了使y=sinx（0）在區(qū)間0，1上至少出現(xiàn)50次最大值，則的最小值是A.98B.C.D.100解析：49×T1，即×1，.答案：B23.若f（x）具有性質(zhì)：f（x）為偶函數(shù)，對任意xR，都有f（x）=f（+x），則f（x）的解析式可以是_.（只寫一個即可）答案：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等.24.給出下列命題：正切函數(shù)的圖象的對稱中心是唯一的；y=|sinx|、y=|tanx|的周期分別為、；若x1x2，則sinx1sinx2；若f（x）是R上的奇函數(shù)，它的最小正周期為T，則f（）=0.其中正確命題的序號是_.答案：25.當(dāng)（0，）時