中考專題：母子型三角形問題(蘇科版,包含答案)

1、中考專題：母子型三角形問題(蘇科版，包含答案)中考專題：例談“母子”型三角形問題中考中常出現(xiàn)兩個(gè)全等或相似的三角形組合問題，因圖形相似，可形象地 稱它們?yōu)椤澳缸印比切?求解這類問題時(shí)，關(guān)鍵是要抓住全等或相似的判定與 性質(zhì)下面以2018年中考試題為例說明.例1 (2018淄博)(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC ,其中AB AC ,在ABC的外側(cè)分別以AB，AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD , ACE ,分別取BD，CE，BC的中點(diǎn)M，N，G,連結(jié)GM，GN.小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是；位置關(guān)系是圖1圖2(2) 類比思考：如圖2,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.

2、把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中AB AC ,其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎 ？請(qǐng)說 明理由.(3) 深入研究：如圖3,小明在(2)的基礎(chǔ)上，又作了進(jìn)一步的探究.向ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD, ACE,其它條件不變，試判斷 GMN的形狀，并給與證明.9 / 9H圖3解析(1)連結(jié)BE,CD相交于H .因?yàn)锳BD和ACE都是等腰直角三角形,可得 CAD BAE , ACD ABE ?:CD BE, ADC ABE.BHC DBH BDCABDABEBDCABDADCBDCABD ADB 90CD BE 因?yàn)辄c(diǎn)M，G分別是BD，BC的中點(diǎn),-1- MG/-CD2-

3、1 NG/ BE 同理 =2從而得MG NG , MG NGNG(2)連結(jié)CD，BE相交于點(diǎn)H ,同的方法，易得MG NG , MG 連結(jié)EB，DC,延長線相交于H,同的方法，易得MG NGAEB ACDCEH ECH AEB AEC 180 ACD ACEACD 45180 ACD 4590DHE 90 ,即 MG NG.所以MGN是等腰直角三角形.點(diǎn)評(píng)本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理本題是等腰直角三角形的“母子”圖，(1)問是根據(jù)SAS證出ACD AEB ,從而封斷CD與BE既相等也垂直，最后利用三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)得出MG與NG既相等

4、也垂直；(2)(3)兩問與(1)問的方法相同， 圖形雖變，但解法不變.例2(遼陽)在ABC和ADE中，BA BC，DA DE ,且ABC ADE ,點(diǎn)E在 ABC的內(nèi)部，連接EC，EB和BD ,并且ACE ABE 90 如圖4,當(dāng) 60時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為 ,線段EA EB，EC的數(shù)量關(guān)系為D(2)如圖5,當(dāng) 90時(shí)，請(qǐng)寫出線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由； 在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若BC 2指，請(qǐng)直接寫出BDE的面積.解析（1） V BA BC,DA DE, ABC ADE 60 所以ABC , ADE都是等邊三角形.AD AE, AB AC DAE BA

5、C 60 * * ? ? ?從而得DAB EAC ,DAB EAC可得 BD CE , ABD ACE . ACE ABE 90ABD ABE DBE 90 .、222由勾股定理，得DE BD BE ,而 DE AE, EA2 BE2 EC2 . BA BC,DA DE, ABC ADE 90 所以ABC, ADE都是等腰直角三角形,可得 DAE BAC 45從而得 DAB EAC .ADAEcos DAE2 AB2 ACcos BACAD ABAE AC , DAB : EAC ?DB AB .2可得 EC AC 2 , ABD ACE .ACE ABE 90ABD ABEDBE 90. D

6、E2 BD2 BE2 .DE -2EADB -2 EC易得 2,而 2,1EA2 1EC2 BE2. . 22,即 EA2 EC2 2BE2.如圖6,因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，即D，E，C共線，AED 45 ,所以 AEC 135 .由(2)知 ADB : AEC ,. EC 亞BDADB AEC 135. ADE 90 ,. BDE 45 .由知 DBE 90 ,可得 BDE BED 45 ,BD BE ,2 DB -EC由(2)知 2,AD DE EC .在 Rt ABC 中，AB BC 2后,易得AC 2 10.設(shè) AD DE EC x , 222在 Rt ADC 中，AD DC AC

7、, 22即 x 4x 40,解得x 2衣或2衣(負(fù)根舍去)，AD DE 2 2 , .易得BDS BDE點(diǎn)評(píng)本題(1)問是等邊三角形的“母子”圖，利用三角形全等知識(shí)即可解 決;(2)問是等腰直角三角形的的“母子”圖，根據(jù) (l)的經(jīng)驗(yàn)，不難想到利用相似知識(shí)解答；(3)問是(2)的特殊情形，利用三角形相似和勾股定理知識(shí)順利解決例3 (河南)(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖 6，在 OAB 和 OCD 中，OA OB,OC OD , AOB COD 40 ,AC連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)m .填空：BD的值為AMB的度數(shù)為(2) 類比探究M0A如圖7,在0AB和OCD 中，AOB COD 90OAB OCD 30AC

8、連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M .請(qǐng)判斷BD的值以及AMB的度數(shù)，并說明理由;(3)拓展延伸在(2)的條件下，將 OCD繞點(diǎn)。在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC，BD所在直線交于點(diǎn)M ,若0D 1,0B用,請(qǐng)直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)AC的長.解析(1)AOBC0D 40 ，C0ADOB ,又 OA OB,OC0D COA DOB,. AC BD ,巴1 即BD . COA DOB ,CAO DBO設(shè)AO與MB交于點(diǎn)G,AGB AMBCAO AOB DBOAMB AOB 40 : DCO 30 , DOC 90ODOCtan30OB3tan 30同理，得OA3 ,OD OBOC OA .AOB COD 90AO

9、C BODAOC : BODACOC. BDODCAODBO同(1)問中的第問的方法，易得AMB AOB 90 由(2),知 AMB 90 , 設(shè)BD x ,貝(J AC心在 Rt COD 中, OCD 30 ,可得 CD 2OD 2;在 Rt AOB 中， OAB 30 , 可得 OB 7, AB 2OB 2 .,7當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)（如圖8）匕B圖7圖8貝（J BC BD CD x 2在Rt AMB中，由勾股定理，得 222AC2 BC2 AB2即（石x）2 （x 2）2（262,解得x 2,或x3（舍去）， AC 2 3 .當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)（如圖9）則有 BC BD CD x 2.在Rt AMB中，由勾股定理，得 222AC2 BC2 AB2即（百x）2 （x 2）2 （2月2,解得x 3,或x 2（舍去）， AC 3.3綜上知，AC的長為23或3遍.點(diǎn)評(píng) 本題(1)問是等腰三角形的“母子”圖，利用三角形全等和三角形外角關(guān)系