力矩__剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程

1、6.1 力矩力矩 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一一. 力矩力矩力力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài) 剛體獲得角加速度剛體獲得角加速度定義：定義：z OPrFh 力力 F 的大小與的大小與 O 點到點到 F 的的作用線間垂直距離作用線間垂直距離 h 的乘積的乘積FhFMz)(矢量式矢量式FrMz力矩是矢量力矩是矢量 反映力的大小、方向和作用點反映力的大小、方向和作用點zM在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩矢量只有兩個指向在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩矢量只有兩個指向sinFr質(zhì)點獲得加速度質(zhì)點獲得加速度改變質(zhì)點的運動狀態(tài)改變質(zhì)點的運動狀態(tài)(1) 力對點的力矩力對點的力矩更為一般的物體轉(zhuǎn)動更為

2、一般的物體轉(zhuǎn)動O .FrMO(2) 力對定軸的力矩力對定軸的力矩F rMZ力對軸的力對軸的力矩力矩為為FF/FrOA(1) 力對任意點的力矩，在通過該點力對任意點的力矩，在通過該點 的任一軸上的投影，等于該力對的任一軸上的投影，等于該力對 該軸的力矩該軸的力矩。討論討論說明說明FroMA(2) 力矩隨參考點而變力矩隨參考點而變例例 已知棒長已知棒長 L ,質(zhì)量質(zhì)量 m，在摩擦系數(shù)為，在摩擦系數(shù)為 的桌面轉(zhuǎn)動的桌面轉(zhuǎn)動 (如圖如圖)解解xLmmddgmfdd根據(jù)力矩根據(jù)力矩xgxLmMdd mgLxgxLmML 21d0 xLOmxdxRTTRMiTTr TTRMiTT例如例如TRTTRMiT在

3、定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進行計算在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩可用代數(shù)值進行計算求求 摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩摩擦力對轉(zhuǎn)軸的力矩 JM kJM zzJM 剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動定律作用在剛體上所有的外力對作用在剛體上所有的外力對定軸定軸 z 軸的力矩的代數(shù)和軸的力矩的代數(shù)和剛體對剛體對 z 軸軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量剛體繞剛體繞 z 軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動的角加速度的角加速度二二. 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律實驗證明實驗證明當當 M 為零時，為零時，當存在當存在 M 時，時，與牛頓定律比較：與牛頓定律比較：,FM 說明說明,mJ a 則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動 與與 M 成正比成正比, 而與而與J 成反比成

4、反比OiriFifiiim理論推證理論推證iiiiamfF取一質(zhì)量元取一質(zhì)量元iiiiamfFiniininamfF切線方向切線方向法線方向法線方向iiiiiiiramrfrF對固定軸的力矩對固定軸的力矩2iirm2sinsiniiiiiiiirmrfrF對所有質(zhì)元對所有質(zhì)元)(sinsin2iiiiiiiirmrfrF合內(nèi)力矩合內(nèi)力矩 = 0合外力矩合外力矩 M剛體的轉(zhuǎn)動慣量剛體的轉(zhuǎn)動慣量 JzzJM 在轉(zhuǎn)動在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)平面內(nèi)三三. 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量2iizrmJ定義式定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量不連續(xù)分布2iizrmJ質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VmrJd2dmmrz(2) 當剛體質(zhì)量一定，當剛體

5、質(zhì)量一定，J 與質(zhì)量分布有關與質(zhì)量分布有關例例 圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dmOmmRJ02d2mRmRmmR02d轉(zhuǎn)動慣量的三個要素轉(zhuǎn)動慣量的三個要素(1) J 與剛體的總質(zhì)量有關與剛體的總質(zhì)量有關例例 兩根等長、質(zhì)量均勻分布的兩根等長、質(zhì)量均勻分布的 細木棒和細鐵棒細木棒和細鐵棒 繞端點軸繞端點軸 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量LzOxdmMLxxJ02d 木鐵JJxLxLMx02d231ML質(zhì)量分布的均勻性對圓環(huán)繞質(zhì)量分布的均勻性對圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量有影響嗎中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量有影響嗎?問題問題OLxdmMz20231dMLxxJLLOxdmM2222121dMLxx

6、J/L/L結(jié)論：結(jié)論：剛體的轉(zhuǎn)動慣量有三要素：剛體的剛體的轉(zhuǎn)動慣量有三要素：剛體的質(zhì)量質(zhì)量、質(zhì)量質(zhì)量分布分布和和轉(zhuǎn)軸的位置轉(zhuǎn)軸的位置均有關均有關z(3) J 與轉(zhuǎn)軸的位置有關與轉(zhuǎn)軸的位置有關例例 質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量均勻分布的圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量ROmrdrrrsd2d smddmmrJ02drrRmd22rRmrd22RrrRm032d222Rm2121MLJz22312MLLMJJZZ例例 求均勻細棒對其一端點的轉(zhuǎn)動慣量求均勻細棒對其一端點的轉(zhuǎn)動慣量薄板垂直軸定理薄板垂直軸定理zxyyxzJJJzMLz四四. 平行軸定理平行軸定理zLCMz2MLJJz z剛體

7、繞任意軸剛體繞任意軸剛體繞通過質(zhì)心的軸剛體繞通過質(zhì)心的軸兩軸間垂直距離兩軸間垂直距離 例例 求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量221mRJzyxzJJJyxJJ 已知已知垂直軸定理垂直軸定理241mRJJyx yx z 圓盤圓盤 R C m3rmmrO解解2,mrJo環(huán)2)3(121rmJc棒，2)23(rrmJJCO棒，棒，28mrJJJOOO棒，環(huán)，C求對過圓環(huán)中心且垂直于圓求對過圓環(huán)中心且垂直于圓環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸O 的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量例例求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量例例解解 為兩個實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值為兩個實心圓柱繞

8、中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為22ddRmJ Vmdd lRd2 實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為2202dRlRJl lR421 lRRm) (2122 空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為 )(214142lRlRJ )(212122RRmzR1R2lm從半徑為從半徑為R 的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為r 的小圓盤，該的小圓盤，該系系統(tǒng)的質(zhì)量為統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤中心兩圓盤中心O 和和O相距為相距為d ，且，且(d + + r) R d O ORr挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對垂直于盤

9、面挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對垂直于盤面, 且過中心軸的且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 例例解解求求使用補償法使用補償法則填滿后的總質(zhì)量為則填滿后的總質(zhì)量為m+m/設小圓盤的質(zhì)量為設小圓盤的質(zhì)量為m/2222/rRrRmmm)(222/rRmrm2/21RmmJ）（滿2/2/21dmrmJo小oJJJ小滿m求均勻立方體求均勻立方體(邊長邊長l、質(zhì)量質(zhì)量m)繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量 例例解解設設2mlkJCk是一個無量綱的量是一個無量綱的量Cz立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為 22)21()2(mlklmJJCz分成八個相同的小立方體分成八個相同的小立方體

10、他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為228)21(）（）（小lmkJ八個相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量八個相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量=JC 即即)21(328kk61k261mlJC小JJC8FOr(1) 飛輪的角加速度飛輪的角加速度(2) 如以重量如以重量P=98N的物體掛在繩的物體掛在繩 端，試計算飛輪的角加速度端，試計算飛輪的角加速度解解 (1)JFr 2rad/s 239502098.JFrmaTmg(2)JTr ra 兩者區(qū)別兩者區(qū)別五五. 轉(zhuǎn)動定律的應用舉例轉(zhuǎn)動定律的應用舉例mgT例例求求一輕繩繞在半徑一輕繩繞在半徑 r =20cm 的飛輪邊緣，在繩端施以的飛輪

11、邊緣，在繩端施以F=98N 的的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量 J=0.5kgm2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計，計，2mrJmgr22rad/s 8212010502098.T 一個作定軸轉(zhuǎn)動的輪子，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為一個作定軸轉(zhuǎn)動的輪子，對軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=2.0kgm2 ，正以角速度正以角速度0勻速轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)對輪子加一恒定的力矩勻速轉(zhuǎn)動。現(xiàn)對輪子加一恒定的力矩 M=-7.0Nm，經(jīng)過時間經(jīng)過時間t=8.0s時輪子的角速度為時輪子的角速度為-0求求 解解例例0tJMdd 00dd0 JtMt02 JMts /rad140 R=0.2m, m=1kg, h=1.5m,

12、v0=0 。繩輪無相對滑動，繩不可繩輪無相對滑動，繩不可伸長，下落時間伸長，下落時間t=3sJ0求求 解解例例定軸定軸ORthmv0=0mgaNTGT由轉(zhuǎn)動定律得由轉(zhuǎn)動定律得 0JTR maTmg由牛頓定律得由牛頓定律得 Ra 221ath 運動學方程運動學方程22214. 1) 12(mkgmRhgtJo一不變的力矩一不變的力矩M作用在絞車的鼓輪上使輪順時針轉(zhuǎn)動，如圖作用在絞車的鼓輪上使輪順時針轉(zhuǎn)動，如圖所示。所示。Mrm1m2繩子的質(zhì)量忽略不計，繩子的質(zhì)量忽略不計， 鼓輪可看作均質(zhì)圓柱。鼓輪可看作均質(zhì)圓柱。開始時此系統(tǒng)靜止，開始時此系統(tǒng)靜止，鼓輪轉(zhuǎn)過角鼓輪轉(zhuǎn)過角 時，繩中的張力及鼓輪的角速

13、度時，繩中的張力及鼓輪的角速度求求 解解例例MTTfm1gm2g對鼓輪對鼓輪 使用轉(zhuǎn)動定律使用轉(zhuǎn)動定律 1JTrM對物體對物體使用牛頓定律使用牛頓定律amgmgmT222sincos 21121rmJ ra 2212)2()cos(sin 2rmmgrmM NNrmmmgrmMT)2()cos(sin22121 2212)2()cos(sin 2rmmgrmM t dd t dddddd2212)2()cos(sin4rmmgrmM 一根長為一根長為 l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m 的均勻細直棒，可繞軸的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置

14、求求 它由此下擺它由此下擺 角時的角時的 OlmCx解解mxggmxMdd取一質(zhì)元取一質(zhì)元CmxmxdCmgxM dmcos21mglM lgmlmglJM2cos33cos212由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律t ddddmg00d23dlcosg3 singl例例gmdx圓盤以圓盤以 0 0 在桌面上轉(zhuǎn)動在桌面上轉(zhuǎn)動, ,受摩擦力而靜止受摩擦力而靜止解解rrsmd2ddmgrfrMdddmgRMMR32d0tJMddtmRmgRdd21322d043d00gRttgRt430例例求求 到圓盤靜止所需到圓盤靜止所需時間時間取一質(zhì)元取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律摩擦力矩摩擦力矩R例例 一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，已知，轉(zhuǎn)動慣量已知，轉(zhuǎn)動慣量231mlJ ，現(xiàn)用一