信號與系統(tǒng)課后習(xí)題與解答第一章

1、若是離散時(shí)間信f f(t)只取1, 2, 3, 4值1-1分別判斷圖1-1所示各波形是連續(xù)時(shí)間信號還是離散時(shí)間信 號是否為數(shù)字信號？432 10圖1-2解信號分類如下:信號連續(xù)離散模擬：幅值、時(shí)間均連 量化：幅值離散，時(shí)間 抽樣：時(shí)間離散，幅值 數(shù)字：幅值、時(shí)間均離續(xù)(例見圖1 2(a) 連續(xù)(例見圖1 2(b) 連續(xù)(例見圖1 2(c) 散(例見圖1 2(d)圖1-1所示信號分別為號量號號號號 士口 I 士口士口士口 上口 組續(xù)>>>> 連連離離離離(a)(b)(c)(d)(e)(f) 1-2分別判斷下列各函數(shù)式屬于何種信號？(重復(fù) 1-1題所示問)(1) e at

2、sin( t)；(2) enT;(3) cos(n )；(4) sin(n 0)( 0為任意值)；21(5)-。2解由1-1題的分析可知：(1)連續(xù)信號；(2)離散信號；(3)離散信號，數(shù)字信號；(4)離散信號；(5)離散信號。1-3分別求下列各周期信號的周期T：(1) cos(10t) cos(30t);(2) ej10t；(3) 5sin(8t)2;(4) ( 1)n u(t nT) u(t nT T)(n為整數(shù))。n 0解判斷一個(gè)包含有多個(gè)不同頻率分量的復(fù)合信號是否為一個(gè)周期信號，需要考察各分量信號的周期是否存在公倍數(shù)，若存在，則該復(fù)合信號的周期極為此公倍數(shù)；若不存在，則該復(fù)合信號為非周

3、期信號。(1)對于分量cos(10t)其周期T1 ;對于分量cos(30t),其周期T2 。由于一5155為、T2的最小公倍數(shù)，所以此信號的周期 T(2)由歐拉公式 ej t cos( t) jsin ( t)即 ej10t cos(10t) jsin (10t)得周期T - -o10521 cos(16t)25 25(3)因?yàn)?5sin(8t) 25 一 一 cos(16t)222所以周期T 。168(4)由于1,2nT t (2n 1)T原函數(shù)n為正整數(shù)1,(2n 1)T t (2n 2)T圖1-31-4對于教材例1-1所示信號，由f(t)求f(-3t-2),但改變運(yùn)算順序，先求f(3t)

4、或先求f(-t), 討論所得結(jié)果是否與原例之結(jié)果一致。解原信號參見例1-1 ,下面分別用兩種不同于例中所示的運(yùn)算順序，由f(t)的波形求得f(-3t-2)的波形。兩種方法分別小于圖1-4和圖1-5中。圖1-4圖1-51-5已知f(t),為求f(to at)應(yīng)按下列那種運(yùn)算求得正確結(jié)果(式中to,a都為正值)?(1) f ( at)左移 to ；(2) f(at)右移 to；(3) f (at)左移”； a(4) f( at)右移 t0。a解(1)因?yàn)閒( at)左移to,得到的是f a(t to)f( at at。)，所以采用此種運(yùn)算不行。(2)因?yàn)閒(at)右移to,得到的是f a(t to

5、)f (at at。)，所以采用此運(yùn)算不行。(3)因?yàn)閒(at)左移紋，得到的是f a(t左)f(at to),所以采用此運(yùn)算不行。 aa(4)因?yàn)閒( at)右移城，得到的是f a(t與 f(to at),所以采用此運(yùn)算不 aa行。1-6繪出下列各信號的波形：1 、(1) 1 -sin( t) sin(8 t)；(2) 1 sin( t) sin(8 t)。解(1)波形如圖1-6所示(圖中f(t) 1 -sin( t) sin(8 t) 2f(t)(2)波形如圖所示 1-7 (圖中 f(t) 1 sin( t) sin(8 t)1-7繪出下列各信號的波形：，_4、(1) u(t) u(t T

6、) sin(t);T4 、(2) u(t) 2u(t T) u(t 2T) sin( -t) 0解sin(土 t)的周期為To T2(1)波形如圖1-8 (a)所示(圖中u(t) u(t T) sin(4rt) )0在區(qū)間0,T ,內(nèi)，包 含有sin(4t)的兩個(gè)周期。Tf(t)f(t)(a)(b)圖1-84(2)波形如圖1-8 (b)所小(圖中 u(t) 2u(t T) u(t 2T) siWt)。在區(qū)間 T,2T 內(nèi)是 sin(；t),相當(dāng)于將sin(；t)倒像。1-8試將教材中描述圖1-15波形的表達(dá)式（1-16）和（1-17）改用階越信號表示。 解表達(dá)式（1-16）為當(dāng) 0 t t0t

7、o）當(dāng) t0 tf(t)ateat a(te e這是一個(gè)分段函數(shù)。若借助階越信號，則可將其表示為f(t) e at u(t) u(t t°) eat ea(tt0)u(t表達(dá)式(1-17)為t1(1 eat)(09dl a 11(1 eat) -(1 ea(tt0) (t0 aat0) e atu(t) e a(t t0)u(ttt。)t )t°)借助階越信號，可將其表示為tf( )d1at-(1 e )u(t) u(t t°) a1at 1a(t t°) i(1 e ) 一 1 e u(t aat0)1(a eat)u(t) -1 ea(tt0)u(t

8、 t°) aa1-9粗略繪出下列各函數(shù)式的波形圖：(1) f(t) (2 e t)u(t);(2) f(t) (3e t 6e2t)u(t)；(3) f(t) (5e t 5e3t)u(t)；(4) f(t) e tcos(10 t)u(t 1) u(t 2)圖1-9(1)信號波形如圖1-9 (a)所示(2)信號波形如圖1-9 (b)所示(3)信號波形如圖1-9(4)信號波形如圖1-9(c)所示。(d)所示。在區(qū)間1 , 2包含cos(10 t)的5個(gè)周期1-10寫出如圖所示各波形的函數(shù)式。圖1-10(c)解(a)由圖1-10 (a)可寫出11-t ( 2 t 0)2.1f112t(

9、0 t 2)0(其它)于是 f(t) 1 M u(t 2) u(t 2) 2(b)由圖1-10 (b)可寫出0 (t 0)f(t)1(0t1)2(1t2)3 t 2于是 f(t) u(t) u(t 1) 2u(t 1) u(t 2) 3u(t 2) u(t) u(t 1) u(t 2)實(shí)際上，可看作三個(gè)階越信號u(t), u(t 1), u(t 2)的疊加，見圖1-11,因而可直接 寫出其函數(shù)表達(dá)式為u u(t)“ u(t-1)U u(t-2)t 01t 0t圖1-11f(t) u(t) u(t 1) u(t 2)(c)由圖1-10 (a)可寫出f(t)Esin -t (0 t T)0(其它)

10、于是 f(t) Esin t u(t) u(t T) T1-11繪出下列各時(shí)間函數(shù)的波形圖:(1) tetu(t)；(2) e(t1)u(t 1) u(t 2)；(3) 1 cos( t)u(t) u(t 2)；(4)(5)u(t) 2u(t 1) u(t 2)； sin a(t t0)(6)a(t to)'d .一e t sin tu(t) o dt圖 1-12(2)(3)(4)信號波形如圖信號波形如圖信號波形如圖1-12(b)1-12(c)1-12(d)所示,所示,所示,圖中圖中圖中f(t) f(t) f(t)e1(t1)u(t 1) u(t 2)。cos( t)u(t) u(t

11、2)。u(t) 2u(t 1) u(t 2)。(5)信號波形如圖1-12(e)所示,圖中f(t)sin a(t to)a(t to)，信號關(guān)于t to偶對稱。(6)因?yàn)閠 sin tu (t)e t sin tu(t) e t cos tu (t)t sin t (t)e t sin tu(t)t .1cos tu(t)cost 2e tu(t)所以該信號是衰減正弦波。其波形如圖1-12(f)所示，圖中f(t) e tsin tu(t) dt1-12繪出下列各時(shí)間函數(shù)的波形圖，注意它們的區(qū)間:(1) tu(t) u(t 1)；(2) t u(t 1);(3) tu(t) u(t 1) u(t

12、1);(4) (t 1)u(t 1);(5) (t 1)u(t) u(t 1);(6) tu(t 2) u(t 3)；(t 2)u(t 2) u(t 3)0圖1-13(2)信號波形如圖1-13(b)所示, (3)信號波形如圖1-13(c)所示, (4)信號波形如圖1-13(d)所示, (5)信號波形如圖1-13(e)所示, (6)信號波形如圖1-13 所示, (7)信號波形如圖1-13(g)所示,圖中 f (t) t u(t 1)。圖中 f(t) tu(t) u(t 1) u(t 1)圖中 f(t) (t 1)u(t 1)。圖中 f(t) (t 1)u(t) u(t 1) o圖中 f(t) t

13、u(t 2) u(t 3)。圖中 f(t) (t 2)u(t 2) u(t 3)1-13繪出下列各時(shí)間函數(shù)的波形圖，注意它們的區(qū)別:(1) f1 (t)sin(t)u(t);(2) f2(t)sin(t to)u(t);(3) f3(t)sin(t)u(tto);(4) f1(t)sin(tto)u(tto)。to圖1-14(d)(2)信號波形如圖1-14(b)所示(3)信號波形如圖1-14(c)所示。(4)信號波形如圖1-14(d)所示。1-14應(yīng)用沖激函數(shù)的抽樣特性，求下列表示式的函數(shù)值:(1) f(t to) (t)dt ;(2) f(to t) (t)dt;(3) (t to)u(t

14、0)dt；2(4) (t to)u(t 2to)dt;(5) (e t t) (t 2)出；(6) (t sint) (t )dt；6 e jt (t) (t to) dto解有沖激信號的抽樣特性f(t) (t to) dt f(to)得(1) f(t to) (t)dt f( to)(2) f(to t) (t)dt f (to)(3)設(shè) too ,則(tto )u(t"2) dtu to _2' u 彳(4)設(shè) to。，則(tto)u(t2to) dtu( to)o(5) (e t t) (t 2)出 e2 21(6) (t sin t) (t ) dt sin 一 66

15、66 2(7) e j t (t) (t to) dt 1 e j b此題的(3)、(4)兩小題還可用另一種方法求解：(3)沖激(t to)位于b處，階越信號ut ：始于因而(t to)u t， (t to)則原式二 (t t0) dt 12to)始于2to ,也就是說在to處，u(tto)(4)沖激仍位于to ,而u(t(t to)u(t 2to) 0則原式二0dt 01-15電容C1和C2串聯(lián)，以階越電壓源v(t) Eu串聯(lián)接入，試分別寫出回路中的 電流i(t),每個(gè)電容兩端電壓vC1(t)、vC2(t)的表達(dá)式。i(t) + 0 oC-CViL1(t);12代)1II,v4)LL1LL2

16、C2-0 0圖1-15圖1-16解 由題意可畫出如圖1-15所示的串聯(lián)電路，兩電容兩端的電壓分別為 VC1(t), VC2(t),則回路電流C1C2 dv(t) CiC E (t)其中，生-為C1、C2的串聯(lián)等效電容值。 C1 C2 dt C1 C2C1C2再由電容的電流和電壓關(guān)系，有VC1(t) J i(t)dt，E u(t)C1C1C2VC2(t)； t i(t)dt J1： u(t)C2C1C21-16電感L1與L2并聯(lián)，以階越電流源i(t)山(t)并聯(lián)接入，試分別寫出電感兩端電壓v(t)、每個(gè)電感支路電流iL1(t)、iL2(t)的表示式。解 由題意可畫出圖1-16所示并聯(lián)電路，兩條電

17、感支路的電流分別為iL1(t)和iL2(t), 則電感兩端電壓v(t)LL di(t)L1 L2 dtL1 L2L1 L2其中工為LL1L2L2的并聯(lián)等效電感值。再由電感的電流和電壓關(guān)系，有iL1(t) v(t)dt u(t) L1L1L2iL2(t)L2v(t)dtLiIL1L2u(t)1-17分別指出下列各波形的直流分量等于多少？(1)全波整流 f(t) |sin( t)；(2) f(t) sin2( t);(3) f (t) cos( t) sin( t);(4)升余弦 f(t) K1 cos( t) o解(1) sin( t)的周期為2-, |sin( t)的周期為一，因而f(t)的直

18、流分量1 T1.12fD T 0 f(t)dt 0 sin( t)dt - cos( t)|0( 1 1)一211(2) f(t) sin ( t) cos(2 t)由于cos(2 t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為0,因而 2 21f(t)的直流分量fD - o222 .一(3) f(t)的兩個(gè)分室cos( t)和sin( t)的周期均為 ,因而的周期也為 o但由于cos( t)和sin( t)在一個(gè)周期內(nèi)的均值都為0,所以f(t)的直流分量fD 0。(4) f(t)與(2)中f(t)類似，所以fD K ,理由同(2)。1-18粗略繪出圖1-17所示各波形的偶分量和奇分量(c)(d)圖 1-17解(

19、a)信號f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如圖1-18 (a)、(b)、(c)所示。(b)因?yàn)閒(t)是偶函數(shù)，所以f(t)只包含偶分量，沒有奇分量，即fe(t) f(t), fo(t)0(c)信號f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量fe(t)、fo(t)如圖1-19 (a)、(b)、(d)信號f(t)的反褶f( t)及其偶、奇分量fe(t)、 fo(t)如圖1-20 (a)、(b)、圖 1-209 fo (t)1-19繪出下列系統(tǒng)的仿真框圖：(1) -d-r (t)aOr b。e bi -d-e(t) ;dtdt(2) dyr(t) ai r(t) aor(t)

20、b0e(t) bi e(t) dt出dt解(1)選取中間變量q(t),使之與激勵(lì)滿足關(guān)系:dq) a°q(t)&t)dte(t) a0q(t),易畫出如圖1-21 (a)所示的方框圖。再將代a°q(t)bq"(t)aoq'(t)b0q(t) bq"(t)a。b0q(t)bq'(t)將此式改寫成ddt入原微分方程，有r'(t) aor(t) boq'(t)對比兩邊，可以得到q(t)與r(t)之間的關(guān)系式:r(t)b0q(t) b1q'(t)將此關(guān)系式在圖1-21 (a)中實(shí)現(xiàn)，從而得到系統(tǒng)的仿真框圖，如圖1-

21、21 (b)所示圖 1-22ao圖 1-21(2)方法同(1)。先取中間變量q(t),使q(t)與e(t)滿足:q"(t) aq。) a°q(t)e(t)將式代入原微分方程后，易看出q(t)與r(t)滿足：r(t) b°q(t) “q'(t)將、式用方框圖實(shí)現(xiàn)，就得到如圖1-22所示的系統(tǒng)仿真框圖 bi1-20判斷下列系統(tǒng)是否為線性的、時(shí)不變的、因果的?(1) r(t) det);dt(2) r(t) e(t)u(t);(3) r(t) sine(t)u(t)；(4) r(t) e(1 t)；(5) r(t) e(2t)；(6) r(t) e2；t . r

22、(t)e( )d ；5t(8) r(t)e( )d 。解(1)由于de1(t) j(t) h(t)172dte2(t)r2(t)de2(t)dt而 C1e1(t) C2e2(t)C1rl (t) C2r2(t)C1 de r2(t) C2 de2dtdt所以系統(tǒng)是線性的。當(dāng)e(t) r(t)膽8,而激勵(lì)為e(t 1)時(shí)，響應(yīng)為dtr(t to)de(t M)de(t 3)dtd(t t0)所以系統(tǒng)是時(shí)不變的。由r(t) de®可知，響應(yīng)r(t)只與此時(shí)的輸入e(t)有關(guān)，與這之前或之后的輸入都無 dt關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。(2)由于e1(t)Mt) e(t)u(t)e2(t)2(t)

23、 e2(t)u(t)而 Ce1(t) C2e2(t)Cei(t)u(t) C2O(t)u(t)CE(t) C2r2(t)所以系統(tǒng)是線性的。由于當(dāng) e1(t)u(t 1) u(t 1)時(shí)，r1(t) u(t) u(t 1)而 e2(t) e1(t 1) u(t) u(t 2)時(shí)，摟 u(t) u(t 2) "t 1),即當(dāng)激勵(lì)延遲1個(gè)單位時(shí)，響應(yīng)并未延遲相同的時(shí)間單位，所以系統(tǒng)是時(shí)變的。由r(t) e(t)u(t)可知，系統(tǒng)只與激勵(lì)的現(xiàn)在值有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。(3)由于e1(t) r1 (t) sine1(t)u(t) e2 (t) r2 (t) sine2 (t)u(t) 而C1

24、e1 (t) C2e2(t)r(t) sin C1e1(t)u(t) C2e2(t)u(t)C1r1(t) C2r2(t)C1sine1(t)u(t) C2sine2(t)u(t)所以系統(tǒng)是非線性的。當(dāng)激勵(lì)為e1(tt0 )時(shí)，響應(yīng) r(t)sin e1 (t)u(t)sin e1 (tt0)u(t t0) r(tt0 )所以系統(tǒng)是時(shí)變的。由r(t) sine(t)u(t)可知，響應(yīng)只與激勵(lì)的現(xiàn)在值有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。( 4)由于e1(t) r1 (t) e1(1 t) e2 (t) r2 (t) e2(1 t) 而C1e1 (t) C2e2(t)r(t)C1e1(1 t) C2e2(1

25、t)C1r1 (t) C2r2(t)所以系統(tǒng)是線性的。由于當(dāng)e1(t)u(t) u(t 1.5)時(shí)，r1(t) u(t 0.5) u(t 1)而當(dāng)e2(t)e1(t0.5) u(t 0.5) u(t 2) 時(shí)，r2(t)u(t 1) u(t 0.5) r1(t 0.5)所以系統(tǒng)是時(shí)變的。令 r (t) e(1 t) 中 t 0 ，則有，說r (0) e(1) 明響應(yīng)取決于將來值(0時(shí)刻輸出取決于 1時(shí)刻輸入)，所以系統(tǒng)是非因果的。( 5)由于e1(t)r1 (t)e1(2t)e2 (t)r2 (t)e2 (2t)而C1e1 (t) C2e2(t)C1e1(2t)C2e2(2t)C1r1(t)

26、C2r2(t)所以系統(tǒng)是線性的由于當(dāng)e1(t)u(t) u(t 1)時(shí)，r1 (t)u(t) u(t 0.5)而當(dāng)e2(t)e1(t1) u(t 1) u(t 2) r2(t)u(t 0.5) u(t 1)r1 (t 1)所以系統(tǒng)是時(shí)變的。對于r(t) e(2t)，令t 1,有r(1) e(2),即響應(yīng)先發(fā)生，激勵(lì)后出現(xiàn)，所以系統(tǒng)是 非因果的。( 6)由于e1(t)r1 (t)e12(t)2 e2 (t)r2 (t)e22 (t)而2C1e1 (t) C2e2(t)r(t)C1e1(t) C2e2(t)2C1r1(t) C2r2(t)所以系統(tǒng)是非線性的。由于 e1(t)r1(t) e2(t)2

27、e2(t) 0。 to)/)e2(t to) (t t。)所以系統(tǒng)是時(shí)不變的。由r(t) e2知，輸出只與現(xiàn)在的輸入值有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的(7)由于te1(t)r(t)e，)dte2(t)二 e2( )dtt而C©(t) C2e2(t)Ciei( )dC2e?( )dCji(t) C2 r2(t)所以系統(tǒng)是線性的。,tt a t to由于 e(t to)r( to)d ° e(a)da r(t t。)所以系統(tǒng)是時(shí)不變的。t由r(t)e( )d可知，t時(shí)刻的輸出只與t時(shí)刻以及t時(shí)刻之前的輸入有關(guān)，所以系統(tǒng)是因果的。(8)由于5tei(t)r1(t)e1( ) d5te2(t

28、)Mt)e2( )d5t而 Ge(t) C2a(t)C©()Ciri(t) C2r2(t)所以系統(tǒng)是線性的。5t由于 e(t to) e(to)dC2e2( )dto a5tCi5te( a) daei( )dC25(t to)e(a)da5te2( )d )r(t to)所以系統(tǒng)是時(shí)變的5t5對于 r(t) e( )d，令t i,有 r(i) e( )d即輸出與未來時(shí)刻的輸入有關(guān)，所以系統(tǒng)是非因果的i-2i判斷下列系統(tǒng)是否是可逆的。若可逆，給出它的逆系統(tǒng)；若不可逆，指出使該 系統(tǒng)產(chǎn)生系統(tǒng)輸出的兩個(gè)輸入信號。(D r(t) e(t 5)；(2) r(t) de(t)；dt(3) r(t)e