三角形證明中考題

1、第一章 三角形的證明測試卷（源于中考的試題）參考答案與試題解析一.選擇題（共9小題）1. （2013?郴州）如圖，在 RtAACB 中，/ACB=90°, Z A=25 °, D 是 AB 上一點.將 RtAABC 沿 CD 折疊，使點落在AC邊上的B處，則/ADB等于（）B. 30C. 35°D. 40°解答： 解：.在 RtACB 中，Z ACB=90 °, Z A=25 °,/ B=90 - 25 =65 °,ACDB W CDB 反折而成，ZCB D=ZB=65 °, / CBD是AB D的外角，/ ADB

2、 = Z CB D - / A=65 - 25 =40 °, 故選D.2. （2012?濰坊）輪船從B處以每小時50海里的速度沿南偏東 30°方向勻速航行，在 B處觀測燈塔A位于南偏東75。方向上，輪船航行半小時到達 C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60。方向上，則C處與燈塔A的距離是（海里.C. 50D. 25解答：解：根據(jù)題意，/ 1 = / 2=30°, / ACD=60 °,/ ACB=30 +60 =90 °,/ CBA=75 - 30 =45 °,AABC為等腰直角三角形,BC=50 >0.5=25,AC=BC=25

3、 （海里）.故選D.A. 3.5B. 4.20. 5.8D. 73. （2011?貴陽）如圖，4ABC中，Z 0=90 °, AC=3 , Z B=30 °,點P是BC邊上的動點，則 AP長不可能是（）A解答:解：根據(jù)垂線段最短，可知 AP的長不可小于3;. ABC 中，Z 0=90°, A0=3 , Z B=30 °,AB=6 ,.AP的長不能大于6. 故選D.4. （2012?銅仁地區(qū)）如圖，在 4ABC中，/ABC和/ACB的平分線交于點 E,過點E作MN / BC交AB于M , 交AC于N,若BM+0N=9 ,則線段 MN的長為（）考點：等腰三角

4、形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).分析： 由/ ABC、/ A0B的平分線相交于點 E, / MBE= / EBC , / E0N= / E0B ,利用兩直線平行， 內(nèi)錯角相等, 利用等量代換可 / MBE= / MEB , / NEC= / ECN ,然后即可求得結(jié)論.解答： 解：/ABC、/ACB的平分線相交于點 E, . / MBE= / EBC, / ECN= / ECB , MN / BC,Z EBC= ZMEB , / NEC= / ECB ,Z MBE= Z MEB , / NEC= / ECN ,BM=ME , EN=CN ,MN=ME+EN , 即 MN=BM+CN . BM+C

5、N=9MN=9 , 故選 D .5. （2011?恩施州）如圖，AD是ABC的角平分線，DFAB,垂足為F, DE=DG , AADG AAED的面積分別 為50和39,則4EDF的面積為（）C. 7D. 3.5考點：角平分線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：計算題；壓軸題.分析： 作DM=DE交AC于M ,作DN XAC ,利用角平分線的性質(zhì)得到 DN=DF ,將三角形EDF的面積轉(zhuǎn)化為三 角形DNM的面積來求.解答： 解：作 DM=DE交AC于M,作DN ± AC , DE=DG , DM=DE ,DM=DG , AD >AABC 的角平分線， DFAB,DF=DN ,

6、在 RtDEF 和 RtADMN 中，irDN=DF1DME RtADEF RtADMN （HL）, AADG和AED的面積分別為 50和39, 1 Samdg=Saadg Saadm =50 39=11,Sa dnm =Sadef=Sa mdg 士XU=5.5故選B.點評:本題考查了角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線，將所求的三角 形的面積轉(zhuǎn)化為另外的三角形的面積來求.6. （2012?廣州）在 RtAABC 中，/C=90°, AC=9 , BC=12 ,則點 C 至U AB 的距離是（）A.逛B.絲C, 9D, 3-5254解答：解：根據(jù)題意畫

7、出相應(yīng)的圖形，如圖所示:BC=12 ,根據(jù)勾股定理得：AB=VacJ=15,過C作CD LAB ,交AB于點D,又 Saabc=AC?BC=AB?CD ,32. e_MBC9XL236則點C到AB的距離是在.故選A57. （2007?蕪湖）如圖，在 4ABC 中 AD ± BC, CE XABAE=4 ,則CH的長是（）,垂足分別為 D、E, AD、CE交于點H,已知EH=EB=3 ,A. 1B. 2C. 3D. 4解答： 解：在 4ABC 中，AD ± BC, CEXAB ,/ AEH= / ADB=90 ° / EAH+ / AHE=90 °, /

8、DHC+ / BCH=90 °, / EHA= / DHC （對頂角相等），/ EAH= / DCH （等量代換）； 在 4BCE 和 HAE 中ZBEC=ZHEAZBCE=ZHAE ,BE=HE=3AAEHACEB （AAS ）;AE=CE ; EH=EB=3 , AE=4 ,CH=CE - EH=AE - EH=4 - 3=1 . 故選 A .8. （2011?泰安）如圖，點O是矩形ABCD的中心，E是AB上的點，沿CE折疊后，點B恰好與點O重合，若BC=3 ,A. |23C.二;解答： 解：ACEO是CEB翻折而成,BC=OC , BE=OE，/ B= / COE=90

9、76;, EOXAC , O是矩形ABCD的中心， OE是AC的垂直平分線， AC=2BC=2 >3=6,AE=CE ,在 RtAABC 中，AC2=AB2+BC2,即 62=AB2+32,解得 AB=3-73, 在 RtAAOE 中，設(shè) OE=x,則 AE=3近一x,AE2=AO2+OE2,即（3-。x） 2=32+x2,解得 x=；/3, . AE=EC=3 始-住2V5.故選A.IDC9. （2012?深圳）如圖，已知:/ MON=30。，點Al、A2、A3在射線 ON上，點Bl、B2、B3在射線 OM A2B2A3、 A3B3A4均為等邊三角形，若 OA1=1,則4A6B6A7的

10、邊長為（）,AA1B1A2>A. 6B. 12C. 32D. 64解答：解：AibiAz是等邊三角形， A1B1=A2B1, Z3=Z 4=712=60 °,/ 2=120°, / MON=30 °,/ 1=180 - 120 - 30 =30 °,又 / 3=60°,7 5=180°-60°-30 =90 °, / MON= 71=30 °,OA1=A1B1=1,A2B1=1 ,AA2B2A3> AA3B3A4 是等邊三角形, / 11 = / 10=60°, / 13=60

11、76;, Z4=Z 12=60°, .A1B1/A2B2/A3B3, B1A2/B2A3, / 1 = /6=/7=30 °, / 5=/8=90 °, . A2B2=2B1A2, B3A3=2B2A3,A3B3=4B1A2=4,A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2=16,以此類推：A 6B6=32B1A2=32.故選：C.二.填空題（共8小題）10. （2011?懷化）如圖，在4ABC中，AB=AC , / BAC的角平分線交 BC邊于點D, AB=5 , BC=6,貝U AD= 4考點：勾股定理；等腰三角形的性質(zhì).分析：首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：等

12、腰三角形的三線合一，求出出AD的長.解答： 解：AB=AC , AD是/BAC的角平分線，DB=DC= CB=3 , AD ± BC,2在 RtAABD 中， ad2+bd2=ab 2,AD=_ #4,DB=DC=CB, ADXBC,再利用勾股定理求故答案為：4.點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，做題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證出4ADB是直角三角形.11 . （2011?衡陽）如圖所示，在 4ABC中，/B=90°, AB=3 , AC=5 ,將4ABC折疊，使點 C與點A重合，折痕 為DE,則4ABE的周長為7 .考點：翻折變換（折疊問題）；勾股定

13、理. 專題：壓軸題；探究型.AE=CE ,進而求出 4ABE的周長.分析：先根據(jù)勾股定理求出 BC的長，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出解答:解：.在4ABC 中，Z B=90 °, AB=3 , AC=5 ,bc=Ja/2 _ 福7# _ 3之4,AADE >ACDE 翻折而成,AE=CE , . AE+BE=BC=4 ,AABE 的周長=AB+BC=3+4=7 .故答案為：7.點評：本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小 不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.12. （2010?濱州）如圖，等邊 4ABC的邊長為6, AD是B

14、C邊上的中線， M是AD上的動點，E是AC邊上一點, 若AE=2 , EM+CM 的最小值為 _2折_.考點：軸對稱-最短路線問題；勾股定理.專題：壓軸題；動點型.分析:解答:要求EM+CM的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化EM , CM的值，從而找出其最小值求解.解：連接BE,與AD交于點M.則BE就是EM+CM的最小值.取CE中點F,連接DF.等邊4ABC的邊長為6, AE=2 ,CE=AC - AE=6 - 2=4,CF=EF=AE=2 ,又AD是BC邊上的中線，DF是 BCE的中位線，BE=2DF , BE / DF ,又£為AF的中點，M為AD的中點，ME是4ADF的中位線，

15、DF=2ME ,BE=2DF=4ME ,BM=BE ME=4ME ME=3ME ,4. BE=BM .在直角 ABDM 中，BD，BC=3, DM*AD=2應(yīng)222be=m4A二訴 EM+CM=BEEM+CM的最小值為2VY.點評：考查等邊三角形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用.考點： 專題： 分析：解答:點評:C考點：等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：壓軸題.分析:解答:根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知/ACB=60。，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出/E的度數(shù).解：4ABC是等邊三角形，./ACB=60 °, Z ACD=120 °,CG=

16、CD ,點評:./CDG=30 °, /FDE=150°, DF=DE ,/ E=15°.故答案為：15.本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補兩角和為180。以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中.15. （2005?綿陽）如圖，在 4ABC 中，BC=5cm, BP、CP 分別是 Z ABC 和 / ACB 的角平分線，且 PD/ AB, PE/AC, 則APDE的周長是 5 cm.13. （2013?泰安）如圖，在 RtAABC中，/ACB=90 °, AB的垂直平分線 DE交AC于E,交BC的延長線于 F,若2 .含30度角的直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì).

17、壓軸題.根據(jù)同角的余角相等、等腰 4ABE的性質(zhì)推知Z DBE=30 °,則在直角4DBE中由30度角所對的直角邊是 斜邊的一半”即可求得線段BE的長度.解：. /ACB=90 °, FDXAB ,/ ACB= / FDB=90 °, / F=30°,Z A=Z F=30。（同角的余角相等）.又AB的垂直平分線 DE交AC于E,/ EBA= Z A=30 °,直角 ADBE 中，BE=2DE=2 .故答案是：2 .本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、含30度角的直角三角形.解題的難點是推知/EBA=30°.14. （2013?黔西南州）如

18、圖，已知 ABC是等邊三角形，點 B、C、D、E在同一直線上，且 CG=CD , DF=DE ,則 / E= 15 度.考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).專題：壓軸題.分析：分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得4DBP和4ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得BD=PD , CE=PE,那么4PDE的周長就轉(zhuǎn)化為 BC邊的長，即為 5cm.解答： 解：,BP、CP分別是/ ABC和/ACB的角平分線， . / ABP=/PBD, /ACP=/PCE, PD/ AB , PE/ AC , . / ABP=/BPD, /ACP=/CPE,/ PBD= / BPD, / PCE=

19、/ CPE, BD=PD , CE=PE, APDE 的周長=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm . 答：APDE的周長是 5cm.點評：此題主要考查了平行線的判定，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識點.本題的關(guān)鍵是將4PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長.16. （2008?陜西）如圖，梯形 ABCD 中，AB / DC, ZADC+ / BCD=90 °,且 DC=2AB ,分別以 DA, AB , BC 為 邊向梯形外作正方形，其面積分別為Si, S2, S3,則S1, S2, S3之間的關(guān)系是S2=S1+S3 .考點：勾股定理.專題：壓軸題.分析： 過點A作AE

20、/ BC交CD于點巳得到平行四邊形 ABCE和RtADE ,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理, 不難證明三個正方形的邊長對應(yīng)等于所得直角三角形的邊.解答： 解：過點 A作AE / BC交CD于點E, AB / DC ,四邊形AECB是平行四邊形，AB=CE , BC=AE , / BCD= / AED , / ADC+ / BCD=90 °, DC=2AB ,AB=DE , Z ADC+ ZAED=90 °,Z DAE=90 °,那么 AD2+AE2=DE2, Si=AD2, S2=AB2=DE2, S3=BC2=AE2. S2=Si+S3.點評：本題的關(guān)鍵在于通過

21、作輔助線把梯形的問題轉(zhuǎn)換為平行四邊形和直角三角形的問題，然后把三個正方形的 邊長整理到一個三角形中進行解題.17. （2005?十堰）如圖中的螺旋由一系列直角三角形組成，則第n個三角形的面積為考點：勾股定理.專題：規(guī)律型.分析：根據(jù)勾股定理，逐一進行計算，從中尋求規(guī)律，進行解答.解答：解：根據(jù)勾股定理：第一個三角形中：OA12=1 + 1 , S1=1X1及；第二個三角形中：OA22=OA12+1=1 + 1+1 , S2=OA1M*71 + 1ML;第三個三角形中：OA32=OA22+1=1 + 1+1+1 , S3=OA 2 M e=/i+l+l M2第n個三角形中：Sn=Vn>1

22、2-p- L-i點評：本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，要注意圖中三角形的面積的變化規(guī)律.三.解答題（共5小題）18. （2013?溫州）如圖，在 4ABC中，/C=90°, AD平分/ CAB ,交CB于點D,過點D作DELAB于點E. （1）求證：ACDAED;考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；含 30度角的直角三角形.分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD=DE ,根據(jù)HL定理求出另三角形全等即可;（2）求出Z DEB=90 °, DE=1 ,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出即可.解答： （1）證明：AD 平分/CAB, DEXAB , ZC=90°

23、,CD=ED , /DEA=/C=90 °, 在 RtAACD 和 RtA AED 中IfAD=ADCD=DH RtAACD RtA AED （HL）;(2)解：DC=DE=1 , DE LAB, / DEB=90 °, / B=30 °,BD=2DE=2 .點評：本題考查了全等三角形的判定，角平分線性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.19. (2013?沈陽)如圖， 4ABC 中，AB=BC , BEAC 于點 E, AD，BC 于點 D, / BAD=45 °, AD 與 BE 交于點 F,連接CF.(1)

24、求證：BF=2AE ;(2)若CD= 求AD的長.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.專題：證明題；壓軸題.分析：(1)先判定出4ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD ,再根據(jù)同角的余角相等求出ZCAD= ZCBE,然后利用 箱邊角”證明4ADC和4BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 BF=AC ,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AF ,從而得證；(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出CF,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF,然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解.解答： (1)證明：A

25、D ±BC, Z BAD=45 °, AABD是等腰直角三角形，AD=BD , BEX AC , AD ±BC, / CAD+ / ACD=90 °,/ CBE+ / ACD=90 °,/ CAD= / CBE,rZCAD=ZCBB在 ADC 和 4BDF 中，研二BD,LZADC=ZBDF=90flAADCABDF (ASA),BF=AC , AB=BC , BEX AC ,AC=2AE , BF=2AE ;(2)解： AADCABDF,df=cd=M,在 RHCDF 中，cf=,Df2+CI)2W。(9)2=2, BEXAC , AE=EC

26、 ,AF=CF=2 ,AD=AF+DF=2+ 也.點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股 定理的應(yīng)用，以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的 關(guān)鍵.20. (2007?福州)如圖，直線 AC/ BD,連接AB,直線AC、BD及線段AB把平面分成、四個部 分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分.當動點 P落在某個部分時，連接 PA, PB,構(gòu)成ZPAC, /APB, /PBD三 個角.(提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0。角)(1)當動點 P落在第部分時，求證： / APB= / PAC+

27、/ PBD ;(2)當動點P落在第部分時，/ APB= / PAC+Z PBD是否成立？(直接回答成立或不成立)(3)當動點P落在第 部分時，全面探究 ZPAC, /APB, ZPBD之間的關(guān)系，并寫出動點 P的具體位置和相應(yīng) 的結(jié)論.選擇其中一種結(jié)論加以證明.心 廿 圖1圖2圖3考 平行線的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì).點專動點型；探究型.題分 (1)如圖1,延長 BP交直線 AC于點E,由AC / BD,可知/ PEA= / PBD ,由/ APB= / PAE+Z PEA,可知 析 / APB= / PAC+ / PBD;:(2)過點P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；(3)根據(jù)P的不同位置

28、，分三種情況討論.解 解：(1)解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E.答 . AC/BD, . . / PEA= / PBD . ZAPB= / PAE+/PEA, ZAPB= / PAC+/PBD ;口 力 圖1圖2圖3圖4圖5圖6解法二：如圖2過點P作FP/ AC , /PAC=/APF. AC / BD , FP/ BD ./FPB=/ PBD.ZAPB= / APF+/ FPB=/ PAC+ / PBD ;解法三：如圖3,. AC / BD ,ZCAB+ / ABD=180 °,/ PAC+ / PAB+ / PBA+ / PBD=180 °,又/APB+ / P

29、BA+ / PAB=180 °, ZAPB= / PAC+ /PBD .(2)不成立.(3) (a)當動點P在射線BA的右側(cè)時，結(jié)論是/ PBD= / PAC+ / APB .(b)當動點P在射線BA上，結(jié)論是 / PBD= / PAC+ / APB .或 / PAC= / PBD+ / APB 或 / APB=0 °,/ PAC= / PBD (任寫一個即可).(c)當動點P在射線BA的左側(cè)時，結(jié)論是 / PAC=Z APB+ / PBD.選擇(a)證明：如圖4,連接PA,連接PB交AC于M . AC / BD ,/ PMC= / PBD.又 / PMC= / PAM+

30、/ APM (三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和) ZPBD= / PAC+ ZAPB .選擇(b)證明：如圖5.點P在射線BA上，Z APB=0度. AC/BD, ZPBD= Z PAC.ZPBD= / PAC+ ZAPB或 / PAC= / PBD+ / APB或/APB=0 °, /PAC=/PBD.選擇(c)證明：如圖6,連接PA,連接PB交AC于F. AC/BD, ZPFA=Z PBD. /PAC=/APF+ / PFA, /PAC=/APB+ ZPBD .點此題考查了角平分線的性質(zhì)；是一道探索性問題，旨在考查同學們對材料的分析研究能力和對平行線及角平分 評線性質(zhì)

31、的掌握情況.認真做好(1) (2)小題，可以為(3)小題提供思路.21. （2013?撫順）在 RtAABC 中，/ACB=90 °, / A=30 °,點 D 是 AB 的中點，DELBC,垂足為點 E,連接 CD.(1)如圖1, DE與BC的數(shù)量關(guān)系是DE二Qbc2(2)如圖2,若P是線段CB上一動點(點P不與點B、C重合)，連接DP,將線段DP繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段DF,連接BF,請猜想DE、BF、BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)若點P是線段CB延長線上一動點，按照(2)中的作法，請在圖 3中補全圖形，并直接寫出 者之間的數(shù)量關(guān)系.DE、 BF、 BP考點： 分析：圖口30度角的直角三角形.解答:全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含(1)由/ ACB=90 °, / A=30。得至ij / B=60。，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到DB=DC ,則可判斷4DCB為等邊三角形，由于 DEBC, DE=¥WbC;2(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得至ij / PDF=6