初中幾何各種性質(zhì)及判定

1、初中幾何各種性質(zhì)及判定相似三角形判定定理相似三角形的性質(zhì)： (1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等； (2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例；(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比；(4)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比；(5)相似三角形的面積比等于相似比的平方；(6)平行三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等,這2個(gè)三角形也可以說明相似；（7）要證明ABCA B C全等要把他們的關(guān)系聯(lián)系起來.相似三角形的傳遞性：如果ABCA¹B¹C¹，A¹B¹C¹A²B²

2、;C²，那么ABCA²B²C²相似三角形的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。）（AA）判定定理2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似。）（SAS）判定定理3：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。）（SSS）判定定理4：兩三角形三邊對(duì)應(yīng)平行，則兩三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似。）判定

3、定理5：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。）（HL）判定定理6：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形相似（相似比為1：1）（簡(jiǎn)敘為：全等三角形相似）。相似的判定定理與全等三角形基本相等，因?yàn)槿热切问翘厥獾南嗨迫切沃苯侨切蜗嗨频呐卸ǘɡ恚?#160;(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似；(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似.一定相似符合下面的情況中的任何一種的

4、兩個(gè)（或多個(gè)）三角形一定相似：1.兩個(gè)全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。2.任意一個(gè)頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。3.兩個(gè)等邊三角形兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。4.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形由于斜邊的高形成兩個(gè)直角，再加上一個(gè)公共的角，所以相似。全等三角形判定定理經(jīng)過翻轉(zhuǎn)、平移后，能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形，而該兩個(gè)三角形的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。全等三角形指兩個(gè)全等的三角形，它們的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。全等三角形是幾何中

5、全等之一。根據(jù)全等轉(zhuǎn)換，兩個(gè)全等三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后，仍舊全等。性質(zhì)：1全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。2全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。3. 能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。4全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。5全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。6全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。7全等三角形面積和周長(zhǎng)相等。8全等三角形的對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等。 溫馨提示：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形也不一定全等。判定· SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形。 · SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等

6、三角形。 · ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等。· AAS（角角邊）：兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等。· RHS（直角、斜邊、邊）（又稱HL定理(斜邊、直角邊)）：在一對(duì)直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。下列兩種方法不能驗(yàn)證為全等三角形：· AAA（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形。· SSA（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。平行四邊形性質(zhì)定理平行四邊形的定義：在同一平面內(nèi)有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的性質(zhì)：（1）平行四邊形對(duì)邊平行且相等.（2）平行四邊

7、形兩條對(duì)角線互相平分.（菱形和正方形）（3）平行四邊形的對(duì)角相等,兩鄰角互補(bǔ)。（4）連接任意四邊形各邊的中點(diǎn)所得圖形是平行四邊形.(推論）（5）平行四邊形的面積等于底和高的積.（可視為矩形）（6）平行四邊形是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形,旋轉(zhuǎn)中心是兩條對(duì)角線的交點(diǎn).（7）過平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線,將平行四邊形分成全等的兩部分圖形.（8）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形,對(duì)稱中心是兩對(duì)角線的交點(diǎn).（9）一般的平行四邊形沒有對(duì)稱軸，不是軸對(duì)稱圖形,菱形是軸對(duì)稱圖形.（10）平行四邊形ABCD中,AC、BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線,則各四邊的平方和等于對(duì)角線的平方和（可用余弦定理證明）.（11）平行四邊形對(duì)角線把平

8、行四邊形面積分成四等分.判定：（1）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（3）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；（4）兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（5）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；（6）一組對(duì)邊平行一組對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；（7）一組對(duì)邊平行一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；矩形的性質(zhì)和判定定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.性質(zhì)：1.矩形的四個(gè)叫都是直角 2.矩形的對(duì)角線相等且互相平分 3.對(duì)邊相等且平行注意：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì) .判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形； 有三個(gè)角是直角的四邊

9、形是矩形； 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形 .菱形的性質(zhì)和判定：菱形的定義：在一個(gè)平面內(nèi)，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形性質(zhì)：菱形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，還具有自己獨(dú)特的性質(zhì)：1.邊的性質(zhì)：對(duì)邊平行且四邊相等2.角的性質(zhì)：鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等 3.對(duì)角線性質(zhì)：對(duì)角線互相垂直平分且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角4.對(duì)稱性：菱形是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形菱形的面積等于底乘以高，等于對(duì)角線乘積的一半點(diǎn)評(píng)：其實(shí)只要四邊形的對(duì)角線互相垂直，其面積就等于對(duì)角線乘積的一半菱形的判定判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定：四邊相等的四邊形是菱形

10、正方形的性質(zhì)和判定定義：對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。性質(zhì)1.四個(gè)角都是直角，四條邊都相等2.兩條對(duì)角線相等且互相垂直平分3.每條對(duì)角線平分一組對(duì)角4.正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸判定1.對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。2.鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。（一個(gè)角是直角的菱形）3.有一組鄰邊相等的矩形。4.既是矩形，又是菱形的四邊形。正方形是特殊的矩形 ，也是特殊的菱形！菱形和正方形區(qū)別：內(nèi)角度數(shù)不同：正方形均為90°,菱形只是對(duì)角相等；對(duì)角線不同：正方形對(duì)角線垂直且平分且相等,菱形對(duì)角線垂直平分但不等；菱形包含正方形,即正

11、方形是特殊的菱形,是菱形的一種.等腰梯形的性質(zhì)和判定等腰梯形：一組對(duì)邊平行（不相等），另一組對(duì)邊不平行但相等的四邊形。 性質(zhì)1、等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等。2、兩腰相等，兩底平行，對(duì)角線相等 ，對(duì)角互補(bǔ)3、由托勒密定理可得等腰梯形ABCD，有AB*CD+BC*AD=AC*BD。即對(duì)角線的平方等于腰的平方與上、下底積的和。4、中位線長(zhǎng)是上下底邊長(zhǎng)度和的一半。5、兩條對(duì)角線相等。6、對(duì)角線分成的四個(gè)三角形有3對(duì)全等三角形， 1對(duì)非全等的相似三角形。7、等腰梯形的面積公式：等腰梯形的面積= （上底+下底）*高*1/2。8、特殊面積計(jì)算:當(dāng)對(duì)角線垂直時(shí)，等腰梯形的面積=(BD×

12、AC)/2。9、幾何語(yǔ)言： 四邊形ABCD是等腰梯形 A+B=180°，C+D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 。 幾何語(yǔ)言： BAD=ADC，DCB=ABC四邊形ABCD是等腰梯形（在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形）。10、BD·AC=AB·DC+AD·BC11、等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是通過兩底中點(diǎn)的直線。判定1、同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。2、一組對(duì)邊平行且不等，另一組對(duì)邊相等且不平行的四邊形是等腰梯形。3、對(duì)角線相等且能形成兩個(gè)等腰三角形的四邊形是等腰梯形。

13、4、對(duì)角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形。5、對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。 6、兩腰相等的梯形是等腰梯形；。梯形中位線定理連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線，梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半 。定理定義梯形的中位線等于梯形的上底加下底再除以二，用符號(hào)表示是L.L=（a+b）÷2已知中位線長(zhǎng)度和高，就能求出梯形的面積S梯=2Lh÷2=Lh中位線在關(guān)于梯形的各種題型中都是一條得天獨(dú)厚的輔助線。三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊（不與中位線接觸），并且等于第三邊的一半。托勒密定理托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線

14、的乘積。 原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和。 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)運(yùn)用要點(diǎn)1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià)。2.四點(diǎn)不限于同一平面。歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn)，則AD·BC+AB·CD=AC·BD梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡(jiǎn)稱梅氏定理）最早出現(xiàn)在由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯的著作球面學(xué)（Sphaerica）。即

15、任何一條直線截三角形的各邊或其延長(zhǎng)線，都使得三條不相鄰線段之積等于另外三條線段之積定理證明編輯證明一過點(diǎn)A作AGDF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.則證畢證明二過點(diǎn)C作CPDF交AB于P，則兩式相乘得證明三連結(jié)CF、AD，根據(jù)“兩個(gè)三角形等高時(shí)面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)有。AF：FB =SADF：SBDF（1），BD：DC=SBDF：SCDF（2），CE：EA=SCDE：SADE=SFEC：SFEA=（SCDE+SFEC）：（SADE+SFEA）=SCDF：SADF （3）（1）×（2）×（3）得××=×× 證明四過三頂點(diǎn)作直線DEF的垂線A

16、A，BB'，CC'，如圖：充分性證明：ABC中，BC，CA，AB上的分點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)。連接DF交CA于E'，則由充分性可得，(AF/FB)×(BD/DC)×(CE'/E'A)=1又有CE/EA=CE'/E'A，兩點(diǎn)重合。所以共線推論在ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上分別取L、M、N三點(diǎn)，又分比是=BL/LC、=CM/MA、=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點(diǎn)的充要條件是=-1。（注意與塞瓦定理相區(qū)分，那里是=1）此外，用該定理可使其容易理解和記憶：第一角元形式的梅涅勞斯定理如圖：若E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共

17、線，則(sinACF/sinFCB)(sinBAD/sinDAC)(sinCBE/sinABE)=1即圖中的藍(lán)角正弦值之積等于紅角正弦值之積。該形式的梅涅勞斯定理也很實(shí)用。證明：可用面積法推出：第一角元形式的梅氏定理與頂分頂形式的梅氏定理等價(jià)。第二角元形式的梅涅勞斯定理在平面上任取一點(diǎn)O，且EDF共線，則（sinAOF/sinFOB)(sinBOD/sinDOC)(sinCOE/sinAOE)=1 (O不與點(diǎn)A、B、C重合)定理意義使用梅涅勞斯定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來解決三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的

18、作用。梅涅勞斯定理的對(duì)偶定理是塞瓦定理。 它的逆定理也成立：若有三點(diǎn)F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線上，且滿足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，則F、D、E三點(diǎn)共線。利用這個(gè)逆定理，可以判斷三點(diǎn)共線。證明兩直線互相平行得常用的定理：1. 利用角 同位角相等 內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行2. 利用第三線 都平行或都垂直于第三線的兩直線平行3. 利用比例式 ABC中，如果4. 其它： 三角形的中位線平行且等于底邊的一半 梯形的中位線平行于兩底邊且兩底邊和的一半 平行四邊形的對(duì)邊平行且相等在三角形中證明直角的常用方法：1. 如果一個(gè)角等于其它

19、兩個(gè)角的和，那么這個(gè)角是直角2. 若一邊平方等于另外兩邊的平方和，則這邊所對(duì)的角是直角3. 若一邊中線等于這邊的一半，則這邊所對(duì)的角是直角4. 等腰三角形頂角平分線（或底邊中線）是底邊上的高5. 和直角三角形全等或相似的三角形是直角三角形6. 菱形的對(duì)角線互相垂直三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的

20、交點(diǎn)，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為21。2、重心和三角形任意兩個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。4、在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均數(shù)，即其重心坐標(biāo)為（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。5. 以重心為起點(diǎn)，以三角形三頂點(diǎn)為終點(diǎn)的三條向量之和等于零向量。外心定理三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。外心的性質(zhì)：1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為該三角形的外心。2、若O是ABC的外心，則BOC=2A（A為銳角或直角）或BOC

21、=360°-2A（A為鈍角）。3、當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，外心在三角形內(nèi)部；當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，外心在三角形外部；當(dāng)三角形為直角三角形時(shí)，外心在斜邊上，與斜邊的中點(diǎn)重合。4、計(jì)算外心的坐標(biāo)應(yīng)先計(jì)算下列臨時(shí)變量：d1，d2，d3分別是三角形三個(gè)頂點(diǎn)連向另外兩個(gè)頂點(diǎn)向量的點(diǎn)乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐標(biāo)：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。5、外心到三頂點(diǎn)的距離相等垂心定理三角形的三條高（所在直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫做三角形的垂心。垂心的性質(zhì)：1、三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6個(gè)四點(diǎn)圓。2、三角形外心O、重心G和垂心H三點(diǎn)共線，且OGGH=12。（此直線稱為三角形的歐拉線（Euler line）3、垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍。4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。定理證明已知：ABC中，AD、BE是兩條高，AD、BE相交于點(diǎn)O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F ，求證：CFAB證明：連接DEADB=AEB=90度A、