高等數(shù)學(xué)教案多元函數(shù)的基本概念

1、§81多元函數(shù)的基本概念一、平面點集n維空間1.平面點集由平面解析幾何知道當(dāng)在平面上引入了一個直角坐標系后平面上的點P與有序二元實數(shù)組(xy)之間就建立了一一對應(yīng)于是我們常把有序?qū)崝?shù)組(xy)與平面上的點P視作是等同的這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面二元的序?qū)崝?shù)組(xy)的全體即R2RR(xy)XyR就表示坐標平面坐標平面上具片某種性質(zhì)P的點的集合稱X平面點集記作E(xy)|(xy)具有性質(zhì)P例如平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是C(xy)|x2y2r2如果我們以點P表示(xy)以|OP|表示點P到原點O的距離那么集合C可表成CP|OP|r鄰域設(shè)P0(x0y0)是xO

2、y平面上的一個點是某一正數(shù)與點P0(x0y0)距離小于的點P(xy)的全體稱為點P0的鄰域記為U(P0即U(P0,)P|PP0|或"己)(x,y)|，(xx。)2(yy。)2鄰域的幾何意義U(P0)表示xOy平面上以點Po(xoyo)為中心、0為半徑的圓的內(nèi)部的點P(xy)的全體點P。的去心鄰域記作U(P0,)即U(R)P|0|KP|)注如果不需要強調(diào)鄰域的半徑則用U(Po)表示點Po的某個鄰域點Po的去心鄰域記作U(F0)點與點集之間的關(guān)系任意一點PR2與任意一個點集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種(1)內(nèi)點如果存在點P的某一鄰域U(P)使得U(P)E則稱P為E的內(nèi)點(2)外點如

3、果存在點P的某個鄰域U(P)使得U(P)E則稱P為E的外點(3)邊界點如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點也有不屬于E的點則稱P點為E的邊點E的邊界點的全體稱為E的邊界記作EE的內(nèi)點必屬于EE的外點必定不屬于E而E的邊界點可能屬于E也可能不屬于E聚點如果對于任意給定的0點P的去心鄰域U(P,)內(nèi)總有E中的點則稱P是E的聚點由聚點的定義可知點集E的聚點P本身可以屬于E也可能不屬于E例如設(shè)平面點集E(xy)|1x2y22滿足1x2y22的一切點(xy)都是E的內(nèi)點滿足x2y21的一切點(xy)都是E的邊界點它們都不屬于E滿足x2y22的一切點(xy)也是E的邊界點它們都屬于E點集E以及它的界邊E上的

4、一切點都是E的聚點開集如果點集E的點都是內(nèi)點則稱E為開集閉集如果點集的余集Ec為開集則稱E為閉集開集的例子E(xy)|1<x2y2<2閉集的例子E(xy)|1x2y22集合(xy)|1x2y22既非開集也非閉集連通性如果點集E內(nèi)任何兩點都可用折線連結(jié)起來且該折線上的點都屬于E則稱E為連通集區(qū)域(或開區(qū)域)連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域例如E(xy)|1x2y22閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域例如E(xy)|1x2y22有界集對于平面點集E如果存在某一正數(shù)r使得EU(Or)其中O是坐標原點則稱E為有界點集無界集一個集合如果不是有界集就稱這集合為無界集例如集合(xy)|

5、1x2y22是有界閉區(qū)域集合(xy)|xy1是無界開區(qū)域集合(xy)|xy1是無界閉區(qū)域2n維空間設(shè)n為取定的一個自然數(shù)我們用Rn表示n元有序數(shù)組(xix2xn)的全體所構(gòu)成的集合即RnRRR(x1x2xn)|xiRi12nRn中的元素(xix2xn)有時也用單個字母x來表示即x(xix2xn)當(dāng)所有的xi(i12n)都為零時稱這樣的元素為Rn中的零元記為0或。在解析幾何中通過直角坐標R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立對應(yīng)因而Rn中的元素x(xix2xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量特別地Rn中的零元0稱為Rn中的坐

6、標原點或n維零向量為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系在Rn中定義線性運算如下設(shè)x(xix2xn)y(yiy2yn)為Rn中任意兩個元素R規(guī)定xy(xiyiX2乎xnyn)x(X1X2xn)這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間Rn中點x(xix2xn)和點y(yiy2yn)間的距離記作(xy)規(guī)定(x,y).(kyi)2(x2y2)2(%yn)2顯然n123時上述規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至Rn中元素x(xix2xn)與零元0之間的距離(x0)記作|x|(在R1、R2、R3中通常將|x|己作|x|)即|x|,x2x2x2采用這一記號結(jié)合向量的線性運算使得l|xy|,

7、(xiyi)2(x2V了(xnyn)2(x,y)在n維空間Rn中定義了距離以后就可以定義Rn中變元的極限設(shè)x(xix2xn)a(aia2an)Rn如果llxa|0則稱變元x在Rn中趨于固定元a記作xa顯然xaxiaix2a2xnan在Rn中線性運算和距離的引入使得前面討論過的有關(guān)平面點集的一系列概念可以方便地引入到n(n3)維空間中來例如設(shè)a(aia2an)Rn是某一正數(shù)則n維空間內(nèi)的點集U(a)x|xRn(xa)就定義為Rn中點a的鄰域以鄰域為基礎(chǔ)可以定義點集的內(nèi)點、外點、邊界點和聚點以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念二多元函數(shù)概念例1圓柱體的體積V和它的底半徑r、高h之間具有關(guān)系Vr2h這里

8、當(dāng)r、h在集合(rh)|r>0h>0內(nèi)取定一對值(rh)時V對應(yīng)的值就隨之確定例2一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系PRTV其中R為常數(shù)這里當(dāng)V、T在集合(VT)|V>0T>0內(nèi)取定一對值(VT)時P的對應(yīng)值就隨之確定例3設(shè)R是電阻Ri、R2并聯(lián)后的總電阻由電學(xué)知道它們之間具有關(guān)系RR2這里當(dāng)Ri、R2在集合(RiR2)|Ri>0R2>0內(nèi)取定一對值(RiR2)時R的對應(yīng)值就隨之確定定義1設(shè)D是R2的一個非空子集稱映射fDR為定義在D上的二元函數(shù)通常記為zf(xy)(xy)D(或zf(P)PD)其中點集D稱為該函數(shù)的定義域xy稱為自變量

9、z稱為因變量上述定義中與自變量x、y的一對值(xy)相對應(yīng)的因變量z的值也稱為f在點(xy)處的函數(shù)值記作f(xy)即zf(xy)值域f(D)z|zf(xy)(xy)D函數(shù)的其它符號zz(xy)zg(xy)等類似地可定義三元函數(shù)uf(xyz)(xyz)D以及三元以上的函數(shù)一般地把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D映射fDR就稱為定義在D上的n元函數(shù)通常記為uf(xix2xn)(xix2xn)D或簡記為uf(x)x(xix2xn)D也可記為uf(P)P(xix2xn)D關(guān)于函數(shù)定義域的約定在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)uf(x)時就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多

10、元函數(shù)的自然定義域因而對這類函數(shù)它的定義域不再特別標出例如函數(shù)zln(xy)的定義域為(xy)xy>0(無界開區(qū)域)函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域為(xy)|x2y2i(有界閉區(qū)域)二元函數(shù)的圖形點集(xyz)|zf(xy)(xy)D稱為二元函數(shù)zf(xy)的圖形二元函數(shù)的圖形是一張曲面例如zaxbyc是一張平面而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面三多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限概念類似如果在P(xy)Po(xoyo)的過程中對應(yīng)的函數(shù)值f(xy)無限接近于一個確定的常數(shù)A則稱A是函數(shù)f(xy)當(dāng)(xy)(xoyo)時的極限定義2設(shè)二元函數(shù)f(P)f(xy)的定義域為DPo(x

11、oy。)是D的聚點如果存在常數(shù)A對于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得當(dāng)P(x,y)DU(Po,)時都有|f(P)A|f(xy)A|成立則稱常數(shù)A為函數(shù)f(xy)當(dāng)(xy)(x0y0)時的極限記為(x,y%)f(X，y) "f(xy)A (x y)(x0 y0)也記作limf(P)A或f(P)A(PP0)PP0上述定義的極限也稱為二重極限例4.設(shè)f(x,y)(x2y2)sin，求證(Ji70)f(x,y)0證因為|f(x,y)0|(x2y2)sin-2-1-20|x2y2|sinp-1-2|x2y2xyxy可見>0取L則當(dāng)0.(x0)2(y0)2f(xy) 0|即P(x,y)DU(O

12、,)時總有因此limf(x,y)0(x,y)(0,0)必須注意二重極限存在是指P以任何方式趨于P0時函數(shù)都無限接近于A(2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時函數(shù)趨于不同的值則函數(shù)的極限不存在討論函數(shù)f (x, y)xy 22小x y0x2 y20在點(0 0)有無極限?0lim f(x,0) lim 0 0x 0x 0lim f (0, y) lim 0 0y 0y 0提示當(dāng)點P(xy)沿x軸趨于點(00)時2(一當(dāng)點P(xy)沿y軸趨于點(00)時limf(x,y)(x,y)(Q0)當(dāng)點P(xy)沿直線ykx有. xy .lim . lim(x,y)(0,0)x2 y2 x 0x y kx因

13、此函數(shù)f(xy)在(0 0)處無極限kx22 k2x2 1 k2極限概念的推廣多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)的情況類似例 5 求 limsna)(x,y) (0,2) x解 lim snxy)(x, y) (0,2) x. sin(xy)sin(xy)limy limlim y 1 2 2(x,y) (0,2) xy(x,y) (0,2) xy (x,y) (0,2)，四多元函數(shù)的連續(xù)性定義3設(shè)二元函數(shù)f(P) f (xy)的定義域為D P0(x0y0)為D的聚點且P0 D如果(x.)lin?x0.0)f(x,y)f(x0, y°)則稱函數(shù)f(xy)在點P0(x0y0

14、)連續(xù)如果函數(shù)f(xy)在D的每一點都連續(xù)那么就稱函數(shù)f(xy)在D上連續(xù)或者稱f(xy)是D上的連續(xù)函數(shù)二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去例6設(shè)f(x,y)sinx證明f(xy)是R2上的連續(xù)函數(shù)證設(shè)P0(x0y。)R20由于sinx在x0處連續(xù)故0當(dāng)|xx0|時有|sinxsinx0|以上述作P0的鄰域U(P0)則當(dāng)P(xy)U(P0)時顯然|f(xy)f(x0y0)|sinxsinx0|而f(xy)sinx加點P0(x0y0)連續(xù)由P0的任意性知sinx作為xy的二元函數(shù)在R2上連續(xù)證對于任意的P0(x0y0)R2因為limf(x,y)limsinxsinx°

15、;f(x0,y0)(x,y)(x0,y0)(x,y)(x。)所以函數(shù)f(x,y)sinx在點P0(x0y0)連續(xù)由P0的任意性知sinx作為xy的二元函數(shù)在R2上連續(xù)類似的討論可知一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的定義4設(shè)函數(shù)f(xy)的定義域為DP0(x0y0)是D的聚點如果函數(shù)f(xy)在點P0(xoy0)不連續(xù)則稱P0(x0y0)為函數(shù)f(xy)的間斷點例如：函數(shù)f(x,y)xy22x y0x2 y2 0x2 y2 0其定義域DR2O(00)是D的聚點f(xy)當(dāng)(xy)(00)時的極限不存在所以點O(00)是該函數(shù)的一個間斷點又如函數(shù)zsi

16、n212其定義域為D(xy)|x2y21圓周x2y21C(xy)|x2y21上的點都是D的聚點而f(xy)在C上沒有定義當(dāng)然f(xy)在C上各點都不連續(xù)所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點注間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)多元初等函數(shù)與一元初等函數(shù)類似多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而得到的V"/2例如x-2ysin(xy)ex2y2z2都是多元初等函數(shù)1y一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)

17、域內(nèi)是連續(xù)的所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P。處的極限而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)則limf(P)f(F0)pP0例7求limy(x,y)(1,2)xy解函數(shù)f(x,y)Jy是初等函數(shù)它的定義域為：D(xy)|x0y0xyP0(12)為D的內(nèi)點故存在P0的某一鄰域U(P0)D而任何鄰域都是區(qū)域所以U(P0)是f(xy)的一個定義區(qū)域因此3則f(x,y)f(1,2)I(x,y)(1,2)2一般地求limf(P)時如果f(P)是初等函數(shù)且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點則pP。f(P)在點P0處連續(xù)于是Iimpf(P)f(Po)PP0例8求lim、Xy11(x,y)(0