【解析版】廣東省湛江市2013屆高三4月高考測試（二）數(shù)學(xué)（理）試題

1、2013年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）已知集合A=x|x1，B=x|x24，則AB=（）Ax|x2Bx|2x2Cx|x1Dx|1x2考點：交集及其運算；一元二次不等式的解法專題：不等式的解法及應(yīng)用分析：集合A與集合B的公共元素構(gòu)成集合AB，由此利用集合A=x|x1，B=x|x24=x|2x2，能求出集合AB解答：解：集合A=x|x1，B=x|x24=x|2x2，AB=x|1x2故選D點評：本題考查集合的交集及其運算，是基礎(chǔ)題解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答2（5分）復(fù)數(shù)的虛部是（）

2、A.1BC.1D.考點：復(fù)數(shù)的基本概念；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算專題：計算題分析：利用復(fù)數(shù)的除法運算把給出的復(fù)數(shù)化簡為a+bi（a，bR）的形式即可得到答案解答：解：由=所以復(fù)數(shù)的虛部是1故選C點評：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，復(fù)數(shù)的除法，采用分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題3（5分）如果命題“（pq）”是真命題，則（）A命題p、q均為假命題B命題p、q均為真命題C命題p、q中至少有一個是真命題D命題p、q中至多有一個是真命題考點：復(fù)合命題的真假專題：計算題分析：可知pq是假命題，由復(fù)合命題的真假可知：命題p，q中至少有一個是假命題，進(jìn)而可得答案解答：解：由題

3、意可知：“（pq）”是真命題，pq是假命題，由復(fù)合命題的真假可知：命題p，q中至少有一個是假命題，即命題p，q中至多有一個是真命題，故選D點評：本題考查復(fù)合命題的真假，屬基礎(chǔ)題4（5分）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（0，+）上單調(diào)遞增的是（）Ay=x2By=x3Cy=xDy=tanx考點：函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：先判斷函數(shù)的奇偶性，再考查函數(shù)在（0，+）上單調(diào)性，從而得出結(jié)論解答：解：由于函數(shù)y=x2是偶函數(shù)，故不滿足條件由于函數(shù)y=x3是奇函數(shù)，且在（0，+）上單調(diào)遞增，故滿足條件由于函數(shù)y=x是奇函數(shù)，但在（0，+）上單調(diào)遞減，故不滿足條件由于函數(shù)

4、 y=tanx是奇函數(shù)，故不滿足條件故選B點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題5（5分）運行如圖的程序框圖，輸出的結(jié)果是（）A510B1022C254D256考點：程序框圖專題：圖表型分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計算并輸出m值模擬程序的運行過程，用表格對程序運行過程中各變量的值進(jìn)行分析，不難得到最終的輸出結(jié)果解答：解：程序在運行過程中各變量的值如下表示：mn是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前22/第一圈2+223是第二圈2+22+234是第五圈2+22+23+25+267是第六圈2+22+23+26+278是第七圈2+22+23+27

5、+289否 則程序運行后輸出的結(jié)果是 2+22+23+27+28=510故選A點評：本題主要考查了直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)有兩種形式：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后循環(huán)，直到型循環(huán)是先循環(huán)后判斷，屬于基礎(chǔ)題6（5分）函數(shù)f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數(shù)是（）A4B5C6D7考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析：令函數(shù)值為0，構(gòu)建方程，即可求出在區(qū)間0，4上的解，從而可得函數(shù)f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數(shù)解答：解：令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0x=1或x2=k+，kZ，x0，4，則x20，16，k可取的值

6、有0，1，2，3，4，方程共有6個解，函數(shù)f（x）=（x1）cosx2在區(qū)間0，4上的零點個數(shù)為6個，故選C點評：本題考查三角函數(shù)的周期性以及零點的概念，屬于基礎(chǔ)題7（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，若直線x=ma （m1）上存在一點P，使F2PF1是底角為30的等腰三角形，則m的取值范圍是（）A1m2Bm2C1mDm考點：橢圓的簡單性質(zhì)專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析：利用F2PF1是底角為30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=ma上一點，可建立方程，由此可求橢圓的離心率的范圍解答：解：F2PF1是底角為30的等腰三角形|PF2|=|F2F1|P為直

7、線x=ma上一點，所以PF2A=60cos60=，即e=（0，1）m（1，2）故選A點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題8（5分）（2008海南）某幾何體的一條棱長為，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，則a+b的最大值為（）ABC4D考點：簡單空間圖形的三視圖專題：計算題；壓軸題分析：設(shè)棱長的線段是長方體的對角線，由題意所成長方體的三度，求出三度與面對角線的關(guān)系，利用基本不等式即可求出a+b的最大值解答：解：結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算如圖設(shè)長方體的高寬高分別為m

8、，n，k，由題意得，n=1，所以（a21）+（b21）=6a2+b2=8，（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2ab8+a2+b2=16a+b4當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號故選C點評：本題是基礎(chǔ)題，考查長方體的對角線與三視圖的關(guān)系，長方體的三度與面對角線的關(guān)系，基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查空間想象能力，計算能力，?？碱}型二、填空題（共7小題，每小題5分，滿分30分）9（5分）（2012廣東）曲線y=x3x+3在點（1，3）處的切線方程為2xy+1=0考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程專題：計算題分析：先求出導(dǎo)函數(shù)，然后將x=1代入求出切線的斜率，利用點斜式求出直線的方程，最后化成一般式即

9、可解答：解：y=3x21令x=1得切線斜率2所以切線方程為y3=2（x1）即2xy+1=0故答案為：2xy+1=0點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率、考查直線的點斜式，屬于基礎(chǔ)題10（5分）已知，則=考點：函數(shù)的值專題：計算題分析：求出f（）的值，然后求解的值即可解答：解：因為函數(shù)，所以f（）=1，所以=f（1）=21=故答案為：點評：本題考查函數(shù)值的求法，注意分段函數(shù)的定義域，考查計算能力11（5分）不等式|x23x+1|1的解集為（0，1）（2，3）考點：絕對值不等式的解法專題：計算題；不等式的解法及應(yīng)用分析：直接利用絕對值不等式的解法，求解即可解答：解：不等式

10、|x23x+1|1的解集等價于1x23x+11的解集，即，解得：x1或x2；解得：0x3，所以原不等式的解集為：（0，1）（2，3）故答案為：（0，1）（2，3）點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力12（5分）已知an的前n項之和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則Sn=考點：數(shù)列的求和專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列分析：由Sn=2an+1，得Sn=2（Sn+1Sn），化簡后可判斷Sn為以1為首項、為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可求得Sn解答：解：由Sn=2an+1，得Sn=2（Sn+1Sn），即3Sn=2Sn+1，又a1=1，所以Sn0，則，所以Sn為以1為首

11、項、為公比的等比數(shù)列，所以，故答案為：點評：本題考查數(shù)列遞推式、數(shù)列前n項和，考查等比數(shù)列的定義、通項公式，屬中檔題13（5分）四位學(xué)生，坐在一排有7個位置的座位上，有且只有兩個空位是相鄰的不同坐法有480種（用數(shù)字作答）考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題專題：計算題分析：7個座位，四人就座恰有兩個座位相鄰也就是說，有兩個空座位是連在一起，還有一個空座位沒和其他空座位連一起，所以，可以把這三個空座位分成兩組，2個相鄰的，1個單一放置的然后把四個人排好，把座位插空到四個人產(chǎn)生的5個空檔里，求出滿足要求的不同坐法的種數(shù)即可解答：解：可以把這三個空座位分成兩組，2個相鄰的，1個單一放置的而：四個人的坐法

12、（不考慮空座位）共有A44=4321=24 種，再把兩組不同的空座位插入到四個人產(chǎn)生的5個空檔里，有 A52=54=20種 所以滿足題意的不同坐法有 2420=480 種故答案為：480點評：此題主要考查用排列組合及簡單的計數(shù)原理問題，用插空法求解是題目的關(guān)鍵，有一定的靈活性，需要同學(xué)們很好的理解14（5分）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C的參數(shù)方程是（0，2，為參數(shù)），若以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)方程是=4cos考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程專題：直線與圓分析：先求出曲線C的普通方程，再利用x=cos，y=sin代換求得極坐標(biāo)方程解

13、答：解：由得，兩式平方后相加得（x2）2+y2=4，（4分）曲線C是以（2，0）為圓心，半徑等于的圓令x=cos，y=sin，代入并整理得=4cos即曲線C的極坐標(biāo)方程是=4cos （10分）故答案為：=4cos點評：本題主要考查極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程及直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化普通方程化為極坐標(biāo)方程關(guān)鍵是利用公式x=cos，y=sin，=15（幾何證明選講選做題）如圖，點A、B、C都在O上，過點C的切線 交AB的延長線于點D，若AB=5，BC=3，CD=6，則線段AC的長為考點：與圓有關(guān)的比例線段；余弦定理專題：計算題分析：利用切割線定理求出DB，利用余弦定理求出DBC的余弦值，然后利用余弦定理求解A

14、C即可解答：解：由切割線定理可知，DC2=DBDA，因為AB=5，CD=6，解得DB=4，由余弦定理可知cosDBC=，在ABC中，AC2=BC2+AB22ABBCcosABC=9+25235=，所以AC=故答案為：點評：本題考查切割線定理的應(yīng)用，余弦定理的應(yīng)用，考查計算能力三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16（12分）某市甲、乙兩校高二級學(xué)生分別有1100人和1000人，為了解兩校全體高二級學(xué)生期 末統(tǒng)考的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從這兩所學(xué)校共抽取105名高二學(xué)生的數(shù)學(xué) 成績，并得到成績頻數(shù)分布表如下，規(guī)定考試成績在120，150為優(yōu)秀甲校

15、：分組70，80）80，90）90，100）100，110）110，120）120，130）130，140）140，150）頻數(shù)23101515x31乙校：分組70，80）80，90）90，100）100，110）110，120）120，130）130，140）140，150）頻數(shù)12981010y3（1）求表中x與y的值；（2）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2x2列聯(lián)表，問是否有99%的把握認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀 與所在學(xué)校有關(guān)？（3）若以樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從乙?？傮w中任取 3人（每次抽取看作是獨立重復(fù)的），求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望（注：概率值可用分?jǐn)?shù)表示）甲校乙?？傆媰?yōu)秀非優(yōu)秀總計考點：

16、離散型隨機變量及其分布列；獨立性檢驗；離散型隨機變量的期望與方差專題：概率與統(tǒng)計分析：（1）根據(jù)條件知道從甲校和乙校各自抽取的人數(shù)，做出頻率分布表中的未知數(shù)；（2）根據(jù)所給的條件寫出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表做出觀測值，把觀測值同臨界值進(jìn)行比較，得到?jīng)]有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)（3）由題意知的可能取值為0，1，2，3結(jié)合變量對應(yīng)的事件和B（3，），寫出變量的概率，做出變量的分布列，再求出變量的期望值解答：解：（1）由分層抽樣知，甲校抽取了105=55人成績，乙校抽取了10555=50人成績x=6，y=7；（2）22列聯(lián)表如下：甲校乙校總計優(yōu)秀102030非優(yōu)秀453075總計

17、5550105K2=6.1096.635，沒有99%的把握認(rèn)為認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)（3）由題意知，乙校優(yōu)秀的概率為，的可能取值為0，1，2，3又B（3，），且P（=k）=C（）k（）3k，（k=0，1，2，3）分布列為：隨機變量的E=np=3=點評：本題主要考查離散型隨機變量的期望與方差、獨立性檢驗的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確運算出觀測值，理解臨界值對應(yīng)的概率的意義，屬于基礎(chǔ)題17（12分）如圖，已知平面上直線l1l2，A、B分別是l1、l2上的動點，C是l1，l2之間一定點，C到l1的距離CM=1，C到l2的距離CN=，ABC內(nèi)角A、B、C所對 邊分別為a、b、c，ab，且bcos

18、B=acosA（1）判斷三角形ABC的形狀；（2）記ACM=，f（）=，求f（）的最大值考點：已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析：（1）利用正弦定理，結(jié)合結(jié)合bcosB=acosA，得sin2B=sin2A，從而可三角形ABC的形狀；（2）記ACM=，表示出f（）=，利用輔助角公式化簡，即可求f（）的最大值解答：解：（1）由正弦定理可得：結(jié)合bcosB=acosA，得sin2B=sin2Aab，ABA，B（0，），2B+2A=，A+B=，即C=ABC是直角三角形；（2）記ACM=，由（1）得BCN=AC=，BC=f（）=cos+=cos（），=時，f（）的最大值為點評：本

19、題考查正弦定理的運用，考查三角形形狀的判定，考查輔助角公式的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題18（14分）如圖，在長方體ABCD一A1B1C1D1中，AA1=2，AD=3，E為CD中點，三棱 錐A1AB1E的體積是6（1）設(shè)P是棱BB1的中點，證明：CP平面AEB1；（2）求AB的長；（3）求二面角BAB1E的余弦值考點：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定專題：空間角；空間向量及應(yīng)用分析：（1）因為P是棱BB1的中點，可想到取AB1的中點M，由三角形中位線知識證明四邊形PCEM是平行四邊形，由此可得PCEM，然后利用線面平行的判定即可得到結(jié)論；（2）題目給出了三棱錐A1AB1E

20、的體積是6，借助于等積法可求AB的長度；（3）以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面法向量所成角的余弦值求二面角的余弦值解答：（1）證明：取AB1的中點M，連結(jié)PM，ME則PMBACE，即四邊形PCEM是平行四邊形，所以PCEM又EM平面AEB1，PC平面AEB1CP平面AEB1；（2）解：由題意點E到平面AB1A1的距離是AD=3，所以，即AB=6；（3）解：以A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz則A（0，0，0），B1（6，0，2），E（3，3，0），設(shè)平面AB1E的法向量為由，得，取x=1，得y=1，z=3所以由平面ABB1的一

21、個法向量為并設(shè)二面角BAB1E的大小為，則cos=所以二面角BAB1E的余弦值為點評：本題考查了線面平行的判定，關(guān)鍵是尋求定理成立的條件，常借助于三角形的中位線處理訓(xùn)練了等積法求點到面的距離或線段的長度，考查了利用平面法向量求二面角的余弦值，是中檔題19（14分）已知a2，（注：e是自然對數(shù)的底）（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析：（1）確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，再分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）

22、由題意，存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，等價于對任意x1e，e2及x22，0，f（x）ming（x）min，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，即可求得實數(shù)a的取值范圍解答：解：（1）由題意可得f（x）的定義域為（0，+），a2，a11當(dāng)a10，即a1，x（0，1）時，f（x）0，f（x）是減函數(shù)，x（1，+）時，f（x）0，f（x）是增函數(shù)；當(dāng)0a11，即1a2，x（0，a1）（1，+）時，f（x）0，f（x）是增函數(shù)，x（a1，1）時，f（x）0，f（x）是減函數(shù)；綜上所述，當(dāng)a1時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（1，+）；當(dāng)1a2時，f（x

23、）的單調(diào)減區(qū)間是（a1，1），單調(diào)增區(qū)間是（0，a1），（1，+）；（2）由題意，存在x1e，e2，使得對任意的x22，0，f（x1）g（x2）恒成立，等價于對任意x1e，e2及x22，0，f（x）ming（x）min，由（1），當(dāng)a2，x1e，e2時，f（x）是增函數(shù)，f（x）min=f（e）=g（x）=x（1ex），對任意的x22，0，g（x）0g（x）是奇函數(shù)，g（x）min=g（0）=1a2點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題20（14分）已知拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是拋物線的焦點，設(shè)A（x1，y

24、1），B（x2，y2）是C上異于 原點O的兩個不重合點，OA丄OB，且AB與x軸交于點T（1）求x1x2的值；（2）求T的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點A在C上運動時，動點R滿足：，求點R的軌跡方程考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；圓錐曲線的軌跡問題專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（1）利用數(shù)量積公式，結(jié)合A，B在拋物線上，即可求x1x2的值；（2）分類討論，確定OA的方程與拋物線聯(lián)立，即可求T的坐標(biāo)；（3）利用動點R滿足：，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用點差法，結(jié)合AB的中點M（），點T（4，0）都在直線AB上，即可求點R的軌跡方程解答：解：（1）由OA丄OB，可得x1x2+y1y2=0，代入上式得=0y1y20，y1y2=16，x1x2=16；（2）設(shè)T（t，0），當(dāng)x1x2時，A，B，T三點共線，=（y2y1）t=y2x1y1x2=4（y1y2）y1y2，t=4當(dāng)x1=x2時，OAOB，此時AOB為等腰直角三角形，x1=x2=t，直線OA的方程式為y=x與拋物線聯(lián)立，解得t=x1=4T的坐標(biāo)是（4，0）；（3）設(shè)R（x，y），由F（1，0），得（x11，y1）+（x21，y2）=（x1，y）即，兩式相減可得（y1y2）（y1+y2）=4（x1x2）當(dāng)x1x2時，AB的中點M（），點T（4，0）都