一元二次方程的解法

1、一元二次方程的解法 一、知識要點(diǎn)： 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)內(nèi)容，也是今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基 礎(chǔ)，應(yīng)引起同學(xué)們的重視。 一元二次方程的一般形式為：ax2（2為次數(shù)，即X的平方）+bx+c=0, (a0)，它是只含一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程。 解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解法： 1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 二、方法、例題精講： 1、直接開平方法： 直接開平方法就是用直接開平方

2、求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n0)的 方程，其解為x=m± . 例1解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以此方程也可用直接開平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× (3x+1)2=5 3x+1=±(注意不要丟解) x= 原方程的解為x1=,x2= （2）解： 9x2-24x+16=11 (3x-4)2

3、=11 3x-4=± x= 原方程的解為x1=,x2= 2配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a0) 先將常數(shù)c移到方程右邊：ax2+bx=-c 將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2+x=- 方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2 方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2= 當(dāng)b2-4ac0時(shí)，x+ =± x=(這就是求根公式) 例2用配方法解方程 3x2-4x-2=0 解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-4x=2 

4、;將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：x2-x= 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：x2-x+( )2= +( )2 配方：(x-)2= 直接開平方得：x-=± x= 原方程的解為x1=,x2= . 3公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a, b, c的值代入求根公式x=-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a) , (b2-4ac0)就可得到方程的根。 例3用公式法解方程 2x2-8x=-5 解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

5、0;a=2, b=-8, c=5 b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 x=(-b±(b2-4ac)(1/2)/(2a) 原方程的解為x1=,x2= . 4因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等于零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0 

6、;(3) 6x2+5x-50=0 (選學(xué)） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學(xué)） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項(xiàng)式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) x-5=0或x+2=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程) x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) x=0或2x+3=0 (轉(zhuǎn)化成兩個一元一次方程) x1=0，x2=-是原方程的解。 

7、;注意：有些同學(xué)做這種題目時(shí)容易丟掉x=0這個解，應(yīng)記住一元二次方程有兩個解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時(shí)要特別注意符號不要出錯) 2x-5=0或3x+10=0 x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （4 可分解為2 ·2 ，此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小結(jié)： 一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，一般要先將方程

8、寫成一般形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)。 直接開平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用于任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數(shù)，而且在用公式前應(yīng)先計(jì)算判別式的值，以便判斷方程是否有解。 配方法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中要求掌握的三種重要的數(shù)學(xué)方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)方法：換元法，配方法，待定系數(shù)法）。 例5用適當(dāng)?shù)姆椒ń?/p>

9、下列方程。(選學(xué)） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先應(yīng)觀察題目有無特點(diǎn)，不要盲目地先做乘法運(yùn)算。觀察后發(fā)現(xiàn)，方程左邊可用平方差公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。 （2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

10、 2(x+2)+3(x-3)2(x+2)-3(x-3)=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 x-(-3)(x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) =(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 x= x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5

11、m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 2x-(m+2)2x-(m+3)=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 x1= ,x2= 例6求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學(xué)） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同類項(xiàng)化成一般形式后再做將會比較繁瑣，仔細(xì)觀察題目，我們發(fā)現(xiàn)如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實(shí)際上是運(yùn)用換元的方法） 解：3(x+1)+2(x-4)(x+1)+(x-4)=0 即 (5x-5)

12、(2x-3)=0 5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 x-1=0或2x-3=0 x1=1,x2=是原方程的解。 例7用配方法解關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可變形為 x2+px=-q (常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊) x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方) (x+)2= (配方) 當(dāng)p2-4q0時(shí)，0（必須對p2-4q進(jìn)行分類討論） x=- ±= x1= ,x2= 當(dāng)p2-4q

13、<0時(shí)，<0此時(shí)原方程無實(shí)根。 說明：本題是含有字母系數(shù)的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應(yīng)隨時(shí)注意對字母取值的要求，必要時(shí)進(jìn)行分類討論。 練習(xí)： （一）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?#160;1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列關(guān)于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 練習(xí)參考答案： （一

14、）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式） (2x+3)+6(2x+3)-1=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 2x+9=0或2x+2=0 x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 x-( +b) x-( -b)=0 (x- a)(x-a)=0 x-( +b)=0或x-( -b) =

15、0 x- a=0或x-a=0 x1= +b，x2= -b是 x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 測試 選擇題 1方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2多項(xiàng)式a2+4a-10的值等于11，則a的值為（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)之和等于零，那么方程必有一個根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、&#

16、177;1 4 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。 A、b0且c=0 B、b=0且c0 C、b=0且c=0 D、c=0 5 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、無實(shí)根 7 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平

17、方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不對 9 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案與解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1分析：移項(xiàng)得：(x-5)2=0，則x1=x2=5, 注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實(shí)數(shù)根，

18、一定是兩個。 2分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側(cè)為a+b+c, 且具僅有x=1時(shí)， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當(dāng)x=1時(shí)，方程成立，則必有根為x=1。 4分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零， 則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時(shí)，存在公因式x，所以 c=0. 另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！ 5分析：原方程變?yōu)?x2-3x-10=0, 則(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-