2019-2020年高中數(shù)學(xué)第三章直線與方程章末知識(shí)整合新人教A版必修2

1、2019-2020 年高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程章末知識(shí)整合 新人教 A版必修 2專題一 直線的傾斜角和斜率直線的傾斜角和斜率是直線方程中最基本的兩個(gè)概念，它們從“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面 刻畫了直線的傾斜程度.1.傾斜角a與斜率k的對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)a豐90時(shí)，k= tana；當(dāng)a= 90時(shí)，k不 存在.2 .單調(diào)性：當(dāng)a由 0 90T180 (不含 180 )變化時(shí)，k由 0 逐漸增大到+8(不 存在)，然后由8(不存在)逐漸增大到 0.V2y3.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(x1,V1),B(x2,V2)的直線的斜率k=工(X1X2)，注意當(dāng)X1=X2時(shí)，直X2X1線斜率不存在.已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A 1 , 1)

2、 ,B(1 , 1) ,C(2 , 3 + 1).(1) 求直線AB BC,AC的斜率和傾斜角；(2) 若DABO的邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD斜率k的取值范圍.當(dāng)直線ax+y+ 2 = 0 的傾斜角為鈍角時(shí):kwkpA,而kpA= 2，解析：kAB= i（ 1）=0, AB 傾斜角為 0 .J3+11廠kBC=21=3, BC 傾斜角為 60 .kAc=算-1= 33,AC傾斜角為 30 .如題圖，當(dāng)D在AB上變化時(shí)，斜率k的取值范圍為33，3 .k由kcA增大到kcB,?跟蹤訓(xùn)練1.若直線ax+y+ 2= 0 與連接點(diǎn)A 2，3），B（3，2）的線段有交點(diǎn)，貝 Ua的取值范圍解析：容易發(fā)現(xiàn)，

3、直線ax+y+ 2= 0 過(guò)定點(diǎn)P（0，- 2），因此，要使直線與線段AB始終有交點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)直線繞P點(diǎn)在PA PB之間旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線ax+y+ 2= 0 與連接點(diǎn)A（ 2,3）、耳 3 , 2）的線段有交點(diǎn)，而ax+y+ 2 = 0 的斜率k=a,當(dāng)直線由PB開始繞P點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)（不與y軸重合），到PA為止，直線與線段AB始終有交點(diǎn)，此時(shí)，斜率的變化為：當(dāng)直線ax+y+4所以aw 3;55即：一a2解析：設(shè)直線I2的傾斜角為即x 3y+10= 0.即 24x 7y 120 = 0.專題二兩直線的平行與垂直兩直線平行或垂直的判定方法:直線11:y=k1X+b1,I1:Ax+By+ Ci=0

4、,形式12：y=k2x+b212:Ax+By+C2= 0平行k1=k2且b工bAR A2B1= 0 且A1C2A2C1工 0垂直kk2= 1A1A2+BB2= 0如果直線ax+ 2y+ 2 = 0 與直線 3xy 2= 0 平行，那么系數(shù)a等于（）答案:一OO,-3 卩|,+O2 .過(guò)點(diǎn)A（8 , 6） 引三條直線I1,I2,13,它們的傾斜角之比為124,若直線I2的方程是y=4x，求直線I1,I3的方程.則 tana=3,41 COStan2 sina41 2= 13 = 3,22tanatan 2a=1tan23 2X4242=7 .故直線11的方程為41y 6=3（x 8） ,13的方

5、程為y 6 =247（X 8） ,32A. 6 B . 3 C . 2 D. 323解析：由題意嚴(yán)(一2X3=0，得 a 6.ax (-2)3X2豐0,答案：A?跟蹤訓(xùn)練3.已知直線li經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,a) ,B(a 1, 3)，直線12經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(1 , 2) ,D( 2,a+ 2).若Ii/12,求a的值；(2)若11丄12,求a的值.解析：直線I2的斜率為k2,則,2(a+2)ak2 1( 2)3a(1)若11/12,則11的斜率k1= 3,又k1= 1 ,a= 3.3 a(2)若I1丄|2,當(dāng)k2= 0 時(shí)，此時(shí)a= 0，且ki= 1,不合題意.當(dāng)k2豐0 時(shí)，丨1的斜率存在，且k1= 1,

6、由k2k2 1,可得a 3.專題三直線方程的五種表示形式直線方程的五種形式各有優(yōu)劣，在使用時(shí)要根據(jù)題目條件靈活選擇，注意每一種方程形 式的適用條件，必要時(shí)對(duì)特殊情況進(jìn)行討論.過(guò)點(diǎn)P( 1, 0) , Q0, 2)分別作兩條互相平行的直線，使它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為 1,求這兩條直線的方程.解析：當(dāng)兩條直線的斜率不存在時(shí)，兩條直線的方程分別是x 1,x 0,它們?cè)趚軸上截距之差的絕對(duì)值為 1，適合題意.當(dāng)兩條直線斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則兩條直線的方程分別為yk(x+1) ,y 2 kx.2令y 0，得x 1 與xk.2由題意 | 1 +kl 1,即k 1.直線的方程為yx+ 1,yx+

7、 2, 即xy+ 1 0,xy+ 2 0.綜上可知，適合題意的直線方程為x= 1,x= 0 或xy+1 = 0,xy+ 2= 0.?跟蹤訓(xùn)練4 .求過(guò)點(diǎn)P(1，2)的直線，且使A(2，3)，B(0， 5)到它的距離相等的直線方程.解析：x= 1 顯然符合條件；當(dāng)A(2 , 3) , B0， 5)在所求直線的同側(cè)時(shí)，kAB= 4，二y2 = 4(x 1),即 4xy 2= 0.綜上，符合題意的直線方程為x= 1 或 4xy 2= 0.5.已知直線Ax+By+C= 0,(1) 系數(shù)為什么值時(shí)方程表示通過(guò)原點(diǎn)的直線.(2) 系數(shù)滿足什么關(guān)系時(shí)與坐標(biāo)軸都相交.(3) 系數(shù)滿足什么條件時(shí)只與x軸相交.(

8、4) 系數(shù)滿足什么條件時(shí)是x軸.解析：(1)把原點(diǎn)(0 , 0)代入Ax+By+C= 0，得C= 0;(2) 此時(shí)斜率存在且不為零即AM0且BM0;(3) 此時(shí)斜率不存在，且不與y軸重合，即 B= 0 且CM0;(4)A=C= 0,且BM0.專題四距離問(wèn)題兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線間的距離是高考考查熱點(diǎn)，公式見(jiàn)下表：距離類別條件公式兩點(diǎn)間A(X1，y，B(X2，y2)|AB=的距離yj(X2X1)2+(y2y1)2點(diǎn)到直線P(x。，yo)|Ax+By+q的距離I:Ax+By+C=0d兩平行直I1：Ax+By+C=0| G線的距離I2:Ax+By+C2=0H-!-Ld=VA+直線I在兩

9、坐標(biāo)軸上的截距相等，且P(4 , 3)到直線的距離為3,2，求直線I的方程.解析：當(dāng)所求直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)其方程為y=kx,由點(diǎn)到直線的距離公式可得3 2|4k 3|1 +k2，解得k= 6 3 14，故所求直線的方程為y= ( 6314)x.當(dāng)直線不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求方程為a+a=1， 即x+ya= 0.由題意可得 -=3 2,解得a= 1 或a= 13.2匚故所求直線方程為x+y 1 = 0 或x+y 13= 0. ?跟蹤訓(xùn)練6 .直線x+y+ 2 = 0 上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為(B)A. 1 B. 2C. 3 D . 2解析：直線x+y+ 2= 0 上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值即

10、原點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.7 .已知兩平行直線分別過(guò)點(diǎn)(1 , 0)和(0 , 5),且距離為 5 ,則它們的方程是解析：設(shè)兩條直線的方程分別為y=k(x 1)和y 5=kx.即kxyk= 0 和kxy+ 5= 0,| k 5|5則由題意得一2= 5,解得k= 0 或k=pk +112即y= 0 和y= 5 或 5x 12y 5= 0 和 5x 12y+ 60= 0.答案：y= 0 和y= 5 或 5x 12y 5= 0 和 5x 12y+ 60= 0專題五對(duì)稱問(wèn)題在解析幾何中，對(duì)稱問(wèn)題有兩大類，一類是中心對(duì)稱，一類是軸對(duì)稱.1.中心對(duì)稱.(1)兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)R(X1,y1),P(a,b)

11、,則R(X1,y”關(guān)于Ra,b)對(duì)稱的點(diǎn)為R(2aX1, 2by，即P為線段RF2的中點(diǎn).特別地，F(xiàn)(x,y)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P( x,y).(2)兩直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱， 設(shè)直線l1,12關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，這時(shí)其中一條直線上任一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)dmin=2.P對(duì)稱的點(diǎn)在另外一條直線上必有I1/I2,且P到I1,I2的距離相等.2.軸對(duì)稱.(1) 兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)R,F2關(guān)于直線I對(duì)稱，則直線RP2與I垂直，且RP2的中點(diǎn) 在I上.(2) 兩直線關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)I1,I2關(guān)于直線I對(duì)稱.三條直線I,I1,I2共點(diǎn)，且I上任意點(diǎn)到I1,丨2的距離相等，并且I1,I2中一條直線上任意一點(diǎn)關(guān)于I對(duì)稱的點(diǎn)在另外一

12、 條直線上；I1/I2/I且I1到I的距離等于丨2到I的距離.已知直線I:y= 3x+ 3,試求：(1)點(diǎn)P(4 , 5)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo);直線y=x 2 關(guān)于直線I對(duì)稱的直線11的方程;(3)直線I關(guān)于點(diǎn)A(3 , 2)對(duì)稱的直線方程.線PP垂直于I，即 P點(diǎn)的坐標(biāo)為(一 2, 7).11過(guò)y= 3x+ 3 與y=x 2 的交點(diǎn)，設(shè)其方程為(y 3x 3) +入(yx+ 2) = 0.I上點(diǎn)(0 , 3)到y(tǒng)x+ 2= 0 的距離d=I1的方程化為(1 +入)y (3 +入)x+ 2 入一 3 = 0,點(diǎn)(0 , 3)到I1的距離為| (1+ 入)X3+ 2 入3|5 入 |5 2d

13、(1 + 入)1 2+( 3+ 入)22 入2+ 8 入 + 102,5 2 入2+ 8 入+ 10=入2X2，解得入=,41722符合條件的直線方程為V- x = 0 ,444即 7x+y+ 22= 0.設(shè)直線I關(guān)于點(diǎn)A(3 , 2)對(duì)稱的直線為丨3,則直線I上任一點(diǎn)P(X1,y1)關(guān)于點(diǎn)A的解析：(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,y)，則PP的中點(diǎn)M在I上，且直y+5=3X+4+ 3,X5解得,=2,y = 7.(2)由已知，要求的直線|3 + 2| _2 =對(duì)稱點(diǎn)P3（X3,y3）定在直線13上，反之也成立.=3, 2解得，y1+y3ch =2，代入1的方程后，得 3X3-y3-

14、17= 0.點(diǎn)關(guān)于直線I: 3x+ 4y- 1 = 0 對(duì)稱，則有42x+y2X3+ 2- X4-1=0,消去xo，得 2x+ 11y+ 16= 0.Xl+X3x1= 6 x3,Iy1= 4 y3,即13的方程為3x-y- 17= 0.?跟蹤訓(xùn)練2x+y 4= 0 關(guān)于直線1: 3x+ 4y 1 = 0 對(duì)稱的直線I的方程.解析：解法設(shè)直線I上的動(dòng)點(diǎn)Rx,y），直線m上的點(diǎn)Qxo, 4-2x0），且P、Q兩t- x+Xoy-( 4 2X0)43,x-Xo解法二 由m2x+y 4 = 0 知A(2 ,0),B（0 , 4）為m上的點(diǎn)，設(shè)A、B關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)為A(a,b)、B(a,b)，則有ra+2 b*3X2+4X21=0,解得8b=-54a= 5，ab2 =4,4廠5，5；a+0b+43X一2+4X一21=0,b- 44a318a解得b即B185 ,4518 45-55)211.、42(18、 I 的方程為y+ 5=- 11X+ 5 ,即 2x+ 11y+ 1