1.2平面的方程ppt課件

1、第二章 平面與直線 平面與直線是空間中最簡單的曲面與曲線，這一章我們將向量法和坐標法結合使用，一方面導出平面與空間直線在直角坐標系下的方程；另一方面研究點、直線、平面之間的相互位置關系與有關的度量關系。1.1平面的點法式方程1 平面的方程平面的方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平一平面，這向量就叫做該平面的法向量法矢）面的法向量法矢）法向量的特征：法向量的特征： 垂直于平面內的任一向量垂直于平面內的任一向量知知,CBAn ),(0000zyxM設平面上的任一點為設平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn,0000zzyyxx

2、MM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程 平面上的點都滿足此方程，不在平面上的平面上的點都滿足此方程，不在平面上的點都不滿足此方程，此方程稱為平面的方程，點都不滿足此方程，此方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點0000(,).Mxyz121121. 2, 1,26, 3,4.PPPPP 例已知兩點 ()和 (),求通過點 且與直線垂直的平面 的方程1122, 1,2PPP 分析:平面的方程1)一個點: ()2)法向量:1.2平面的點位式方程00,PabPa bab 在空間 確定一個平面的幾何條

3、件是多種多樣的.若給定空間一點 與不共線的向量 和則通過點 且與向量平行的平面也唯一確定.與平面 平行的任意一對不共線的向量 與 稱為平面 的一對方位向量.12. 1, 1, 52,3, 1.PPzOx 例2 求通過點 ()和 ()且垂直坐標平面的平面 的方程111122223333. ,.M x y zMxyzM xy z例3 已知不共線的三點(),(),(),求通過這三點的平面的方程即即111212121313131,0,ijkxx yy zzxxyyzzxxyyzz1112121213131310.xxyyzzxxyyzzxxyyzz平面的三平面的三點式方程點式方程. 作為三點式的特例，

4、若已知平面與x, y, z軸的交點依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點，oyPxzQR平面的截距式方程平面的截距式方程. 000 cabazyax則平面的方程為abcabzacybcx有0,abc 當時 有1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸上截距軸上截距y軸上截距軸上截距z軸上截距軸上截距. 6,0,1,: :3:2:1.Mxyza b c例4 求通過點 ()且在 軸軸 軸上的截距之比為()的平面的方程由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByA

5、x平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 1.3平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示0 DCzByAx（A,B,C不同時為零）不同時為零）不妨設不妨設0 A，那，那么么 000 zCyBADxA，為一平面，為一平面.2.1.1, ,;, ,x y zx y z定理 空間中任一平面的方程都可表示成一個關于變數的一次方程 反過來,每一個關于變數的一次方程都表示一個平面.平面一般式方程的幾種特殊情況：平面一般式方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程oxyz, 0)2( A , 0, 0DD平面通

6、過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；xoxyz平面垂直于平面垂直于 坐標面。坐標面。yOz0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.oxyzoxyzoxyzoxyz, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy., 0面面即即有有xoyz , 0, 0DD與與z軸垂直軸垂直oxyzoxyz類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA(1)過原點的平面方程是A x + B y + C z = 0(2)平行于x 軸的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 軸的平面方程是 Ax

7、 + By + D = 0.特別： D = 0時, 平面過坐標軸。(3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.(即z = k)(即y = k)(即x = k)特別： D = 0時, 平面就是坐標面。12. 2, 1,23, 2,1.PPz例5 求通過兩點 ()和 ()且平行于 軸的平面 的方程小結1 1平面的方程平面的方程1.1.平面的點法式方程平面的點法式方程2.2.平面的點位式方程平面的點位式方程3.3.平面的三點式方程平面的三點式方程4.4.平面的截距式方程平面的截距式

8、方程5.5.平面的一般式方程平面的一般式方程6.6.平面一般式方程的幾種特殊情況平面一般式方程的幾種特殊情況練習P70 4，2(2)(4)作業(yè)P70 2(1)(3) ， 5例例 2 2 求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 7 7 設平面過原點及點設平面過原點及點)2, 3, 6( ，且與平面，且與平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程. 設平面為設平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例 8 8 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個個單單位位的的平平面面方方程程. 設平面為設平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向