第6章 梁的應(yīng)力

1、第六章第六章 梁的應(yīng)力梁的應(yīng)力6-1 梁的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力6-4 矩形截面梁的切應(yīng)力矩形截面梁的切應(yīng)力6-5 工字形截面及其它形狀截面的切應(yīng)力工字形截面及其它形狀截面的切應(yīng)力6-6 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件6-2 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用. .純彎曲純彎曲 梁的橫截面上只有彎矩而無剪力的彎曲（橫截面上只有正應(yīng)力而無剪應(yīng)力的彎曲）。剪力剪力“Fs”切應(yīng)力切應(yīng)力“”；彎矩彎矩“M”正應(yīng)力正應(yīng)力“”2.2.橫力彎曲（剪切彎曲）橫力彎曲（剪切彎曲）aaFBAFMxFsxFaFF 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力的彎曲（橫截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力的彎曲）。一、一、

2、純彎曲和橫力彎曲的概念純彎曲和橫力彎曲的概念6-1 梁的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力二二 、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式、純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力公式（一）變形幾何關(guān)系：（一）變形幾何關(guān)系：由純彎曲的變形規(guī)律縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律。1 1、觀察實(shí)驗(yàn)：、觀察實(shí)驗(yàn)：abcdabcdMM2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：、橫向線、橫向線：仍為直線，：仍為直線，只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度只是相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度且仍與縱向線正交。且仍與縱向線正交。、縱向線、縱向線：由直線變?yōu)椋河芍本€變?yōu)榍€，且靠近上部的纖維曲線，且靠近上部的纖維縮短，靠近下部的纖維伸縮短，靠近下部的纖維伸長。長。3 3、假設(shè)：、假設(shè)：（1 1）彎曲平面假設(shè)：

3、）彎曲平面假設(shè)：梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平梁變形前原為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)面，且仍垂直于變形后的軸線，只是各橫截面繞其上的某軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度。動(dòng)了一個(gè)角度。凹入凹入一側(cè)纖維一側(cè)纖維縮短縮短突出突出一側(cè)纖維一側(cè)纖維伸長伸長 根據(jù)變形的連續(xù)性可知，梁彎曲時(shí)從其凹入一側(cè)的縱向線縮短區(qū)到其凸出一側(cè)的縱向線伸長區(qū)，中間必有一層縱向無長度改變的過渡層-稱為中中性層性層 。中間層與橫截面中間層與橫截面的交線的交線中性軸中性軸（2 2）縱向纖維假設(shè)：）縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維

4、之間無擠壓。之間無擠壓。 梁的彎曲變形實(shí)際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)梁的彎曲變形實(shí)際上是各截面繞各自的中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。動(dòng)了一個(gè)角度，等高度的一層纖維的變形完全相同。Aabcdyxd A4 4、線應(yīng)變的變化規(guī)律：、線應(yīng)變的變化規(guī)律：(1) . ydxyoo1在彈性范圍內(nèi)，ABABBA111111OOOOBAdddy)(yE（二）物理關(guān)系：（二）物理關(guān)系：由縱向線應(yīng)變的變化由縱向線應(yīng)變的變化規(guī)律規(guī)律正應(yīng)力的分布規(guī)律。正應(yīng)力的分布規(guī)律。(2) . EyEabcd EyE應(yīng)力的分布圖：應(yīng)力的分布圖：MZymaxmax中性軸的位置？中性軸的位置？中性層的曲率中性層的

5、曲率 1為梁彎曲變形后的曲率1yxMZANdAF) 1 (00zzAASSEydAEdAyE（中性軸（中性軸Z軸為形心軸）軸為形心軸）AydAzM) 2(00yzyzAAIIEyzdAEzdAyE（y軸為對(duì)稱軸，自然滿足軸為對(duì)稱軸，自然滿足）yzAAzdAyM) 3(MIEdAyEydAyEzAA2彎曲變形計(jì)算的基本公式彎曲變形計(jì)算的基本公式Z1EIM（三）、靜力方面：（三）、靜力方面： 由橫截面上的彎矩和正應(yīng)由橫截面上的彎矩和正應(yīng)力的關(guān)系力的關(guān)系正應(yīng)力的計(jì)算公正應(yīng)力的計(jì)算公式。式。zIMy彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式。 彎矩可代入絕對(duì)值，應(yīng)力的符號(hào)由變形來判斷。彎矩可代入絕對(duì)值，應(yīng)

6、力的符號(hào)由變形來判斷。 當(dāng)當(dāng)M 0時(shí)，下拉上壓；時(shí)，下拉上壓； 當(dāng)當(dāng)M 0時(shí)，上拉下壓。時(shí)，上拉下壓。梁的抗彎剛度。梁的抗彎剛度。zEI yxMZyzA將上式代入式 得：) (EyE彎曲變形計(jì)算的基本公式彎曲變形計(jì)算的基本公式Z1EIMBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K1.C 截面上K點(diǎn)正應(yīng)力2.C 截面上最大正應(yīng)力3.全梁上最大正應(yīng)力4.已知E=200GPa，C 截面的曲率半徑 FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61P

7、a107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（壓應(yīng)力）（壓應(yīng)力）解：解：xm67.5kN8/2ql M2. C 截面上截面上K點(diǎn)正應(yīng)力點(diǎn)正應(yīng)力例例BAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN3. C 截面最大正應(yīng)力截面最大正應(yīng)力C 截面彎矩mkN60CM45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN4. 全梁最大正應(yīng)力全

8、梁最大正應(yīng)力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxM45m10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMxm67.5kN8/2ql MBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K FSx90kN90kN5. C 截面曲率半徑截面曲率半徑C 截面彎矩截面彎矩mkN60CM45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEIEIM1xm67.5kN8/2ql MmaxmaxzMyImaxmaxmaxmaxzzMyMIW對(duì)梁的某一截面：對(duì)梁的某一截面：對(duì)全

9、梁（等截面）：對(duì)全梁（等截面）： maxmaxzMW6-2 梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件及其應(yīng)用ZMW幾種常見截面的幾種常見截面的 IZ 和和 WZ圓截面圓截面矩形截面矩形截面空心圓截面空心圓截面空心矩形截面空心矩形截面maxZZyIW 644ZdI323ZdW)1 (6444ZDI)1 (3243ZDW123ZbhI 62ZbhW 12123300ZbhhbI)2/()1212(03300ZhbhhbW彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的三類問題彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的三類問題 max； max MWz ; max zWM 1、強(qiáng)度校核2、設(shè)計(jì)截面尺寸 3、確定外荷載解：1)求約束反力求約束反力

10、.5 .10,5 . 2kNFkNFBYAY)(5 . 2下下拉拉、上上壓壓kNmMC （上上拉拉、下下壓壓）kNmMB4 例、例、T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的 t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于其截面形心位于C點(diǎn)，點(diǎn)，y1=52mm， y2=88mm，Iz =763cm4 ，試校核此梁的強(qiáng)度。，試校核此梁的強(qiáng)度。y 2y 1C Cz1m1m1mABCD2.5kNm-4k N m2 2）畫彎矩圖）畫彎矩圖AyFByFxkNF91kNF423 3）求應(yīng)力）求應(yīng)力B截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）MC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）zC

11、CtIyM2maxC截面截面（下拉上壓）（下拉上壓）:y 2y 1C Cz1m1m1mABCDF 2 =4kNF 1 =9kN tt2 .28maxcc2 .46maxMPa2 .281076310885 . 246zCCIyMc1maxMPa04.174 ) 4 ) 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核A1A2A3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa2.5kNm-4k N mxMB截面截面（上拉下壓）（上拉下壓）:,2 .271076310524461maxMPaIyMzBBtMPaIyMzBBc2 .461076310884462max最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上最大拉、壓應(yīng)力不在同一截面上A1A2

12、y 2y 1C CzA3A446.2MPa27.3MPa28.2MPa結(jié)論結(jié)論對(duì)Z軸對(duì)稱截面的彎曲梁，只計(jì)算一個(gè)截面一個(gè)截面：對(duì)Z軸不對(duì)稱截面的彎曲梁，必須計(jì)算兩個(gè)截面兩個(gè)截面：maxMmaxmax; MMx 2.5kNm-4k N mM一、一、 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1 1、假設(shè)：、假設(shè)： 橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向與剪力的方向相同。橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力方向與剪力的方向相同。 切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布（距中性軸等距離的各點(diǎn)切應(yīng)力大小相等）。各點(diǎn)切應(yīng)力大小相等）。2 2、公式推導(dǎo)、公式推導(dǎo)bISFzz*SzybhyQ6-4

13、6-4 矩形截面梁的切應(yīng)力矩形截面梁的切應(yīng)力式中：式中：F FS S為橫截面上的剪力；為橫截面上的剪力；S S z z* *為面積為面積A A1 1對(duì)中性軸的靜矩；對(duì)中性軸的靜矩；I Iz z橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b b為截面的寬度。為截面的寬度。 bISFzz*S對(duì)于矩形截面梁對(duì)于矩形截面梁)4(2)2(21)2(22yhbyhyyhbS*zbhzyA1(a)y將其代入上式，可得將其代入上式，可得 )4(222yhIFzS式中的式中的A=bh是橫截面的面積。由此可見，矩形截面梁是橫截面的面積。由此可見，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力是截面上平均切應(yīng)力的橫截面上的最大

14、切應(yīng)力是截面上平均切應(yīng)力的1.5倍。倍。2Smax8zF hI 在截面上、下邊緣（在截面上、下邊緣（ ）處，）處，=0，而在中性軸上而在中性軸上（y=0）的切應(yīng)力有最大值，如圖的切應(yīng)力有最大值，如圖b。即即 2hy)4(222yhIFzS此式表明矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力沿梁高按二次拋物線形規(guī)律分布此式表明矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力沿梁高按二次拋物線形規(guī)律分布。SS3322FFbhA 例題例題 一矩形截面的簡支梁如圖所示。已知一矩形截面的簡支梁如圖所示。已知：l=3m，h=160mm，b=100mm，y=40mm，F(xiàn)=3kN，求求m m截面上截面上K點(diǎn)的切應(yīng)力。點(diǎn)的切應(yīng)力。 解：解：先求出先求出m

15、 m截面上的剪力為截面上的剪力為3kN3kN，截面對(duì)中性軸的慣性矩為，截面對(duì)中性軸的慣性矩為 33440.1 0.160.341 10 m1212zbhI面積面積A*對(duì)中性軸的靜矩為對(duì)中性軸的靜矩為 33*m1024. 006. 004. 01 . 0yASz則則K點(diǎn)的切應(yīng)力為點(diǎn)的切應(yīng)力為 Mpa21. 0Pa1021. 01 . 010341. 01024. 0103I6433SbSFzzFl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*工字型工字型截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的。 1 1、腹板上的切應(yīng)力、腹板上的切應(yīng)力 1*SbISFzz 式中：式

16、中：Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到截面邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；為欲求應(yīng)力點(diǎn)到截面邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；b1為腹板為腹板的厚度。的厚度。 切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖a a所示，仍是按拋物線規(guī)律所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力分布，最大切應(yīng)力maxmax仍發(fā)生在截面的中性軸上。仍發(fā)生在截面的中性軸上。 yz808020202080406-5 6-5 工字形截面及其它形狀截面的切應(yīng)力工字形截面及其它形狀截面的切應(yīng)力 翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，其翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，其計(jì)算公式仍與矩形截面的切應(yīng)力的形式相同，即計(jì)算

17、公式仍與矩形截面的切應(yīng)力的形式相同，即 ISFzz*S 式中式中FS為橫截面上的剪力；為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積為欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；為翼緣的厚度。為翼緣的厚度。 2 2、翼緣上的切應(yīng)力、翼緣上的切應(yīng)力 yz80802020208010在整個(gè)工字型截面上切應(yīng)力的方向可用圖在整個(gè)工字型截面上切應(yīng)力的方向可用圖c c表示。表示。從圖中表示切應(yīng)力方向的許多小箭頭來看，它們好象是兩股從圖中表示切應(yīng)力方向的許多小箭頭來看，它們好象是兩股沿截面流動(dòng)的水流，沿截面流動(dòng)的水流，從上（或下）翼

18、緣的兩端開始，共同朝從上（或下）翼緣的兩端開始，共同朝向中間流動(dòng)，到腹板處匯合成一股，沿著腹板向下（或上）向中間流動(dòng)，到腹板處匯合成一股，沿著腹板向下（或上）到下（或上）翼緣處再分為兩股向兩側(cè)流動(dòng)到下（或上）翼緣處再分為兩股向兩側(cè)流動(dòng)。 對(duì)所有的薄壁桿，其橫截面上切應(yīng)力的方向，都有這個(gè)特對(duì)所有的薄壁桿，其橫截面上切應(yīng)力的方向，都有這個(gè)特點(diǎn)。這種現(xiàn)象稱為點(diǎn)。這種現(xiàn)象稱為切應(yīng)力流切應(yīng)力流。掌握了切應(yīng)力流的特性，則不。掌握了切應(yīng)力流的特性，則不難由剪力的方向確定薄壁桿橫截面上切應(yīng)力的方向。難由剪力的方向確定薄壁桿橫截面上切應(yīng)力的方向。 T T字型截面梁的切應(yīng)力字型截面梁的切應(yīng)力 T T字型截面可以看

19、成是由兩個(gè)矩形組成，下面的狹長矩形字型截面可以看成是由兩個(gè)矩形組成，下面的狹長矩形與工字形截面的腹板相似，該部分上的切應(yīng)力仍用下式計(jì)算：與工字形截面的腹板相似，該部分上的切應(yīng)力仍用下式計(jì)算： 1*SbISFzz 最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。 例例 FS = 15 kN，Iz = 8.8410-6 m4，b = 120 mm，d 20 mm， yC = 45 mm。試求 ：tmax ；腹板與翼緣交接處切應(yīng)力 ta352maxm 100392)( .ybSC, zd dd dMPa 66. 7*SmaxmaxdtzISFz35-*m 108.402Cza

20、ybbSddMPa 13. 7,S d dt tzazaISF解解： 一般一般t tmaxmax發(fā)生在發(fā)生在FSmax所在截面的中性軸處。若不計(jì)擠壓，所在截面的中性軸處。若不計(jì)擠壓，則則t tmaxmax所在點(diǎn)處于所在點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力純剪切應(yīng)力狀態(tài)狀態(tài)。梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件為 ttmax tbISFzz*maxmaxS對(duì)等直梁，有對(duì)等直梁，有6-6 梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件 ttbISFzzsmaxmaxmax1 1、校核強(qiáng)度、校核強(qiáng)度2 2、設(shè)計(jì)截面尺寸、設(shè)計(jì)截面尺寸3 3、確定外荷載。、確定外荷載。 需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：需要校核剪應(yīng)力的幾種特殊情況：(2)鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的鉚接或焊接的組