第21講《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》

1、 概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第二十一講第二十一講主講教師：李俊海主講教師：李俊海河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院 利用樣本方差利用樣本方差 S S 2 2是是 2的一個無偏估計，的一個無偏估計，且且 (n- -1)S2/ 2 2n- -1 的結(jié)論。的結(jié)論。8.3.1 單個正態(tài)總體方差的單個正態(tài)總體方差的 2 檢驗檢驗 設(shè)設(shè) X1, X2, , Xn 為來自總體為來自總體 N( , 2) 的樣的樣本，本， 和和 2 2未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為未知，求下列假設(shè)的顯著性水平為 的檢驗。的檢驗。思路分析思路分析: 1. H0: 2 = 02；H1: 2 02 8.3 正態(tài)總體方差的檢驗

2、正態(tài)總體方差的檢驗 當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H0: 2 = 02成立時，成立時，S2 2和和 0 02 2應(yīng)應(yīng)該比較接近，即比值該比較接近，即比值 S S 2 2/ / 0 02 2應(yīng)接近于應(yīng)接近于1 1。所以。所以, ,這個比值過大或過小這個比值過大或過小 時，應(yīng)拒絕原假設(shè)。時，應(yīng)拒絕原假設(shè)。 合理的做法是合理的做法是: 找兩個合適的界限找兩個合適的界限 c1 和和 c2 , 當(dāng)當(dāng) c1(n- -1)S2/ 02 02 同理，當(dāng)同理，當(dāng) H0: 2 = 02成立時，有，成立時，有， . )1( 212020nSnH 的的拒拒絕絕域域為為所所以以，. )() 1(21202nSnP此檢驗法也稱此檢驗

3、法也稱 2 2 檢驗法檢驗法。3*. H0: 2 02；H1: 2 02 (同同2.)例例1：某公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑某公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑 (單位單位: cm) 服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差服從正態(tài)分布，并稱其標(biāo)準(zhǔn)差 0=0.048 ?，F(xiàn)隨機(jī)抽取現(xiàn)隨機(jī)抽取5個部件，測得它們的直徑為個部件，測得它們的直徑為 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44.取取 =0.05，問，問:(1). 能否認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑能否認(rèn)為該公司生產(chǎn)的發(fā)動機(jī)部件的直徑 的標(biāo)準(zhǔn)差確實為的標(biāo)準(zhǔn)差確實為 = 0?(2). 能否認(rèn)為能否認(rèn)為 0?解解: (1). 的問題就是檢驗的問題就是檢

4、驗 H0: 2 = 02; H1: 2 02.其中，其中，n=5， =0.05， 0=0.048.故，故，拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè) H0 ，即認(rèn)為部件直徑標(biāo)準(zhǔn)即認(rèn)為部件直徑標(biāo)準(zhǔn)差不是差不是 0.048 cm。 經(jīng)計算，得經(jīng)計算，得 S2=0.00778,. 0.484)0.975()2/1 ( 11.143)0.025()2/( 242124212nn，分分布布表表，得得查查. 11.14351.13048. 000778. 0) 1(51)( 2202Sn算算得得故，故，拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè) H0，即認(rèn)為部件的直徑標(biāo)準(zhǔn)即認(rèn)為部件的直徑標(biāo)準(zhǔn)差超過了差超過了 0.048 cm。 (2). 的問題是檢

5、驗的問題是檢驗 H0: 2 02 ; H1: 2 02.，分分布布表表，得得查查 488. 9)0.05()( 24212n. 9.48851.131)( 202Sn而而 該檢驗主要用于上節(jié)中實施兩該檢驗主要用于上節(jié)中實施兩樣本樣本 t 檢檢驗之前，討論驗之前，討論 1 12 2 = = 2 22 2 的的假設(shè)是否合理。假設(shè)是否合理。8.3.2 兩正態(tài)總體方差比的兩正態(tài)總體方差比的 F 檢驗檢驗1. H0: 12 = 22；H1: 12 22. 設(shè)設(shè)X1, X2, , Xm和和Y1, Y2, , Yn 分別為抽自分別為抽自正態(tài)總體正態(tài)總體 N( 1, 12)和和 N( 2, 22)的樣本的樣本

6、, 欲檢驗欲檢驗 當(dāng)當(dāng) H0: 12= 22 成立時成立時, 12/ 22=1, 作為其作為其估計，估計，S12/S22也應(yīng)與也應(yīng)與 1 相差不大。相差不大。當(dāng)當(dāng)該值過分該值過分地大或過分地小時，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。地大或過分地小時，都應(yīng)拒絕原假設(shè)成立。 合理的思路是：找兩個界限合理的思路是：找兩個界限c1和和c2, 當(dāng)當(dāng) c1 S12/S22 22 同理，當(dāng)同理，當(dāng) H0: 12 = 22成立時，有成立時，有 S12/S22 Fm- -1, n- -1， . )(1 1,2221nmFSSP . 1, 122210nmFSSH 的的拒拒絕絕域域為為所所以以，例例2：甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)

7、從甲乙兩甲乙兩廠生產(chǎn)同一種電阻，現(xiàn)從甲乙兩廠的產(chǎn)品中分別隨機(jī)地抽取廠的產(chǎn)品中分別隨機(jī)地抽取1212個和個和1010個樣品個樣品, ,測得它們的電阻值后，測得它們的電阻值后，計算出樣本方差分別計算出樣本方差分別為為S12=1.40，S22=4.38。3. H0: 12 22；H1: 12 22結(jié)論同結(jié)論同 2 2。 以上檢驗都用到了以上檢驗都用到了F分布，因此稱上述檢分布，因此稱上述檢驗為驗為 F 檢驗檢驗。 假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻假設(shè)兩廠生產(chǎn)的電阻的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布的電阻的阻值分別服從正態(tài)分布 N( 1, 12)和和 N( 2, 22)。在顯著性水平在顯著性水平 = 0.10下下, ,

8、是否可接受：是否可接受： (l).(l). 1 12 2 = = 2 22 2；(2).(2). 1 12 2 2 22 2. . 解：解：(1). 的問題是檢驗的問題是檢驗 H0: 12 = 22；H1: 12 22.其中，其中，m=12, n=10, =0.10, S12=1.40, S22=4.38, S12/S22 =0.32。利用第六章學(xué)過的利用第六章學(xué)過的 )2/(1)2/1 (1 1,1 1,mnnmFF及及P237的附表的附表5，有，有 Fm- -1, n- -1(1- - /2) = F11, 9(0.95) = 1/F9, 11(0.05) = 1/(2.90) = 0.3

9、4.因因 S12/S22 = 0.32 0.34，所以，所以，無須再考慮無須再考慮Fm- -1, n- -1( /2)的值，就可得到拒絕的值，就可得到拒絕 12 = 22的的結(jié)論。結(jié)論。 查查P237 附表附表5，因，因查不到查不到 F11, 9(0.10)，改，改用用F10, 9(0.10)和和F12, 9(0.10)的平均值近似之，得的平均值近似之，得 F11, 9(0.10)=F10, 9(0.10)+F12, 9(0.10)/2 2.42+2.38/2 = 2.40.因因 S12/S22 = 0.32 22. . 110 1122221，檢檢驗驗的的拒拒絕絕域域為為FSS 在前面的討論

10、中，我們總假定總體的分在前面的討論中，我們總假定總體的分布形式是已知的。例如，假設(shè)總體分布為正布形式是已知的。例如，假設(shè)總體分布為正態(tài)分布態(tài)分布 N( , 2), 總體分布為區(qū)間總體分布為區(qū)間 (a, b) 上的上的均勻分布，等等。均勻分布，等等。 然而，在實際問題中，然而，在實際問題中，我們所遇到的總我們所遇到的總體服從何種分布往往并不知道體服從何種分布往往并不知道。需要我們先。需要我們先對總體的分布形式提出假設(shè)，如：總體分布對總體的分布形式提出假設(shè)，如：總體分布是正態(tài)分布是正態(tài)分布N( , 2)，總體分布是區(qū)間總體分布是區(qū)間(a, b)上均勻分布等，然后利用數(shù)據(jù)上均勻分布等，然后利用數(shù)據(jù)

11、(樣本樣本) 對這一對這一假設(shè)進(jìn)行檢驗，看能否獲得通過。假設(shè)進(jìn)行檢驗，看能否獲得通過。8.4 擬合優(yōu)度檢擬合優(yōu)度檢驗驗 這是一項非常重要的工作這是一項非常重要的工作,許多學(xué)者視它為近代統(tǒng)計學(xué)的許多學(xué)者視它為近代統(tǒng)計學(xué)的開端。開端。 解決這類問題的方法最早由英國統(tǒng)計學(xué)解決這類問題的方法最早由英國統(tǒng)計學(xué)家家 K. Pearson (皮爾遜皮爾遜) 于于1900年在他發(fā)表的年在他發(fā)表的一篇文章中給出一篇文章中給出, 該方法后被稱為該方法后被稱為 Pearson 2檢驗法，簡稱檢驗法，簡稱 2檢驗檢驗。 設(shè)設(shè)F(x)為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本為一已知的分布函數(shù)，現(xiàn)有樣本X1, X2, , Xn，但我

12、們并不知道樣本的總體但我們并不知道樣本的總體 分分布是什么?，F(xiàn)在試圖檢驗布是什么。現(xiàn)在試圖檢驗 H0：總體總體 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x) ； (1) 對立假設(shè)為對立假設(shè)為 H1：總體：總體 X 的分布函數(shù)非的分布函數(shù)非F(x)。如果如果 F(x) 形式已知，但含有未知參數(shù)形式已知，但含有未知參數(shù) 或參或參數(shù)向量數(shù)向量 =(1, 2, r ) ，則記其為，則記其為F(x, )。這種檢驗通常稱為這種檢驗通常稱為擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗。 不妨設(shè)總體不妨設(shè)總體 X 是連續(xù)型分布。檢驗思想是連續(xù)型分布。檢驗思想與步驟如下與步驟如下:(1). 將總體將總體 X 的取值范圍分成的取值范圍分成

13、k 個互不重疊的個互不重疊的 小區(qū)間小區(qū)間 I1, I2, , Ik，. ( ( (12101212101kkkkkaaaaaaaIaaIaaI，(2). 計算各子區(qū)間計算各子區(qū)間 Ii 上的理論頻數(shù)。上的理論頻數(shù)。如果總體的分布函數(shù)為如果總體的分布函數(shù)為F(x, )，那么每個，那么每個點落在區(qū)間點落在區(qū)間 Ii 上的概率均為上的概率均為,k.,iaFaFpiii21 ),(),()(1)(inpn 個點中，個點中，理論上理論上有有n pi ( )個點落在個點落在 Ii 上上, (稱為理論頻數(shù)稱為理論頻數(shù))。當(dāng)分布函數(shù)中含有未知。當(dāng)分布函數(shù)中含有未知參數(shù)參數(shù) 時，理論頻數(shù)也未知，要用時，理論頻

14、數(shù)也未知，要用來估計來估計 n pi ( )，其中，其中 為為 的極大似然估。的極大似然估。(3). 計算各子區(qū)間計算各子區(qū)間 Ii 上的實際頻數(shù)上的實際頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , Xn Ii ， i=1, 2, , k . 計數(shù)符號，取集計數(shù)符號，取集合中元素的個數(shù)合中元素的個數(shù))2( )()(122，kiiiinpnpf(4). 計算理論頻數(shù)與實際頻數(shù)的偏差平方和。計算理論頻數(shù)與實際頻數(shù)的偏差平方和?？梢宰C明：在可以證明：在 H0 成立，且成立，且 n時時, 和和式式中中的的影影響響力力。頻頻數(shù)數(shù)比比較較大大的的那那些些項項在在理理論論去去除除的的其其目目的的是是：縮縮小

15、小每每一一項項用用 )( inp)3( 212，k-r- 1 22是是參參數(shù)數(shù)個個數(shù)數(shù)。是是子子區(qū)區(qū)間間數(shù)數(shù)，分分布布，的的由由度度為為統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的分分布布收收斂斂到到自自即即rkrk(5). H0 的顯著性水平為的顯著性水平為 的檢驗的拒絕域為的檢驗的拒絕域為)4( )( 212，k-r- 注意注意：該檢驗方法是在：該檢驗方法是在 n 充分大時使用充分大時使用的，因而，使用時要注意的，因而，使用時要注意 n 必須足夠地大必須足夠地大, 以及以及 npi 不能太小不能太小這兩個條件。這兩個條件。 在實用上，在實用上，一般要求一般要求 n 50，以及所有以及所有npi 5。如果初始子區(qū)間劃分

16、不滿足后一個如果初始子區(qū)間劃分不滿足后一個條件條件, 則適當(dāng)?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使則適當(dāng)?shù)貙⒛承┳訁^(qū)間合并，可使 npi 滿足上述要求。滿足上述要求。例例1：為檢驗棉紗的拉力強(qiáng)度為檢驗棉紗的拉力強(qiáng)度 X (單位單位: 千克千克) 服服從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機(jī)抽取從正態(tài)分布，從一批棉紗中隨機(jī)抽取300條進(jìn)條進(jìn)行拉力試驗，結(jié)果列在表行拉力試驗，結(jié)果列在表8.2中。給定中。給定 = 0.01,檢驗假設(shè)檢驗假設(shè) H0：拉力強(qiáng)度：拉力強(qiáng)度 X N(, 2) .解：解：本例中，并未給出各觀測值本例中，并未給出各觀測值 Xi 的具體值的具體值,只給出了各觀測值的取值范圍，這樣的數(shù)據(jù)只給出了各觀測值的取

17、值范圍，這樣的數(shù)據(jù)稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。稱為區(qū)間數(shù)據(jù)。樣本均值樣本均值與與樣本方差樣本方差可通過可通過下列式計算：下列式計算：. 211 21 1221211kiiiikiiiiXnaannSaannX，.26. 01 41. 1 ),( 22222SnnXN，為為極大似然估計極大似然估計的的和和，對正態(tài)總體對正態(tài)總體 (1). 先將數(shù)據(jù)先將數(shù)據(jù) Xi 分成分成13組，每組落入一個區(qū)組，每組落入一個區(qū) 間，區(qū)間的端點為：間，區(qū)間的端點為： . 18. 2 78. 0 64. 0 1312210aaaaa，(2). 計算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間的理論頻數(shù)。計算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間的理論頻數(shù)。因分布中含有兩個未知參數(shù)

18、，所以，理論因分布中含有兩個未知參數(shù)，所以，理論頻數(shù)只能近似地估計。落入第頻數(shù)只能近似地估計。落入第 i 個子區(qū)間個子區(qū)間Ii 的理論頻數(shù)的估計為的理論頻數(shù)的估計為 ， 其中其中 .13 2 1 26. 041. 126. 041. 1) ( 12 ，iaappiiiiipn，因因0.46 1.85 1.85 0.46 131221pnpnpnpn。見見表表最最后后兩兩組組合合并并成成一一組組我我們們將將前前兩兩組組和和所所以以，均均大大于于，而而8.3)( 5 113pnpn(3). 計算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間上的實際頻數(shù)計算數(shù)據(jù)落入各子區(qū)間上的實際頻數(shù) fi 。 fi = X1, X2, , X

19、n Ii ， i=1, 2, , 10 . .15.22 122kiiiipnpnf(4). 計算檢驗統(tǒng)計量的值計算檢驗統(tǒng)計量的值因為因為 k =10，r =2，所以上述，所以上述 2分布的自分布的自由度為由度為 k- -r- -1=7。由由.48.18)(15.22212rk(5). H0 的顯著性水平為的顯著性水平為 的檢驗的檢驗 于是，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為棉紗拉力強(qiáng)于是，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為棉紗拉力強(qiáng)度不服從正態(tài)分布。度不服從正態(tài)分布。 孟德爾在關(guān)于遺傳問題的研孟德爾在關(guān)于遺傳問題的研究中，用豌豆做實驗。豌豆有黃究中，用豌豆做實驗。豌豆有黃和綠兩種顏色，在對它們進(jìn)行兩和綠兩種顏色，在對它們進(jìn)

20、行兩代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌代雜交之后，發(fā)現(xiàn)一部分雜交豌豆呈黃色，另一部分呈綠色。其豆呈黃色，另一部分呈綠色。其數(shù)目的比例大致是數(shù)目的比例大致是 3:1。 2檢驗的一個著名應(yīng)用例子是孟德爾豌豆檢驗的一個著名應(yīng)用例子是孟德爾豌豆實驗。奧地利生物學(xué)家孟德爾在實驗。奧地利生物學(xué)家孟德爾在1865年發(fā)表的年發(fā)表的論文，事實上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺論文，事實上提出了基因?qū)W說，奠定了現(xiàn)代遺傳學(xué)的基礎(chǔ)。他的這項偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地傳學(xué)的基礎(chǔ)。他的這項偉大發(fā)現(xiàn)的過程有力地證明了統(tǒng)計方法在科學(xué)研究中的作用。因此，證明了統(tǒng)計方法在科學(xué)研究中的作用。因此，我們有必要在這里將這一情況介紹給大家。我們有必要在

21、這里將這一情況介紹給大家。 這只是一個表面上的統(tǒng)計規(guī)律。但它啟這只是一個表面上的統(tǒng)計規(guī)律。但它啟發(fā)孟德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象。發(fā)孟德爾去發(fā)展一種理論，以解釋這種現(xiàn)象。他大膽地假定存在一種實體，即現(xiàn)在我們稱他大膽地假定存在一種實體，即現(xiàn)在我們稱為為“基因基因”的東西，決定了豌豆的顏色。這的東西，決定了豌豆的顏色。這基因有黃綠兩個狀態(tài)，一共有四種組合：基因有黃綠兩個狀態(tài)，一共有四種組合： 孟德爾把他的實驗重復(fù)了多次，每次都孟德爾把他的實驗重復(fù)了多次，每次都得到類似結(jié)果。得到類似結(jié)果。(黃黃, 黃黃)，(黃黃, 綠綠)，(綠綠, 黃黃)，(綠綠, 綠綠). (黃黃, 黃黃)，(黃黃, 綠綠

22、)，(綠綠, 黃黃)，(綠綠, 綠綠). 孟德爾認(rèn)為孟德爾認(rèn)為, 前三種配合使豆子呈黃色前三種配合使豆子呈黃色,而第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的而第四種配合使豆子呈綠色。從古典概率的觀點看，黃色豆子出現(xiàn)的概率為觀點看，黃色豆子出現(xiàn)的概率為3/4，綠色豆，綠色豆子出現(xiàn)的概率為子出現(xiàn)的概率為1/4。這就解釋了黃綠顏色豆。這就解釋了黃綠顏色豆子之比為什么總是接近子之比為什么總是接近 3:1 這個觀察結(jié)果。這個觀察結(jié)果。 孟德爾這個發(fā)現(xiàn)的深遠(yuǎn)意義是他開辟了孟德爾這個發(fā)現(xiàn)的深遠(yuǎn)意義是他開辟了遺傳學(xué)研究的新紀(jì)元。下面的例子就是用遺傳學(xué)研究的新紀(jì)元。下面的例子就是用 2檢驗來檢驗孟德爾提出黃綠顏色豌豆

23、數(shù)目之檢驗來檢驗孟德爾提出黃綠顏色豌豆數(shù)目之比為比為 3:1的論斷。的論斷。例例2：孟德爾豌豆試驗中，發(fā)現(xiàn)黃色豌豆為孟德爾豌豆試驗中，發(fā)現(xiàn)黃色豌豆為25粒粒, 綠色豌豆綠色豌豆11粒，試在粒，試在 =0.05下下, 檢驗豌豆檢驗豌豆黃綠之比為黃綠之比為3:1。解：解：定義隨機(jī)變量定義隨機(jī)變量 X. , 0, 1豌豌豆豆為為綠綠色色豌豌豆豆為為黃黃色色，X我們要檢驗我們要檢驗，記記 . 01 21XPpXPp . 4/14/3 210ppH，：(1). 將將 (- -, ) 分成兩個區(qū)間分成兩個區(qū)間 . 0.5 ( ) 0.5(21，II(2). 計算每個區(qū)間上的理論頻數(shù)，這里計算每個區(qū)間上的理

24、論頻數(shù)，這里 n = 25+11=36, 不存在要估計的未知參數(shù)不存在要估計的未知參數(shù), 故故 . 94)/1 (36 274)/3(3621npnp，(3). 實際頻數(shù)為，實際頻數(shù)為，f1=25， f2=11 .(4). 計算統(tǒng)計量的值計算統(tǒng)計量的值.592. 0 9)911(27)2725( 222122iiiinpnpf.841. 3)05. 0()( 0.592 0.05 2 21212k-k，因因為為(5). H0 的顯著性水平為的顯著性水平為 的檢驗的檢驗 所以，接受原假設(shè)，即認(rèn)為豌豆的黃綠所以，接受原假設(shè)，即認(rèn)為豌豆的黃綠之比為之比為 3:1 。例例3：某醫(yī)院一年中出生的嬰兒共計某醫(yī)院一年中出生的嬰兒共計1521人人,其中男嬰其中男嬰802人，女嬰人，女嬰719人。給定人。給定 =0.05，試問：能否認(rèn)為男嬰、