含參函數(shù)單調(diào)性

1、含參數(shù)函數(shù)單調(diào)性 基礎(chǔ)知識總結(jié)和邏輯關(guān)系一、函數(shù)的單調(diào)性求可導函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：1) 確定函數(shù)的 f (x)的定義區(qū)間；2) 求 f (x)，令 f (x)0 ,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；3) 把函數(shù) f (x)的無定義點的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù) f(x)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；4) 確定 f (x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號，由f(x)的符號判定函數(shù) f x 在每個相應小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個基本步驟1)求導數(shù) f(x)；2)求方程 f (x)0 的所有實數(shù)根；3)檢驗 f(x)在方程 f(x)0 的根

2、左右的符號，如果是左正右負(左負右正) ，則 f(x)在這個根處取得極大(小)值 三、求函數(shù)最值1)求函數(shù) f (x)在區(qū)間(a,b)上的極值；2)將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a), f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值四利用導數(shù)證明不等式1)利用導數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式我們知道函數(shù)在某個區(qū)間上的導數(shù)值大于(或小于)0 時，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增(或遞減)因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu)造函數(shù)，用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達到證明不等式的目的即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性具體有如下幾種形式： 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該函

3、數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增 （減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來證明不等式成立把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達到證明不等式的目的2）利用導數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式導數(shù)的另一個作用是求函數(shù)的最值 因而在證明不等式時，根據(jù)不等式的特點，有時可以構(gòu) 造函數(shù)，用導數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r不等式都成立，可得 該不等式恒成立從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題含參函數(shù)的單調(diào)性，核心是三個步驟，四個流程：1） 第一步：先求定義域，再求導；2） 第二步：準確求出導數(shù)f（X）之后，按以下四個流程依次走：【注意題目本

4、 身給定的參數(shù)范圍】流程：最高次項系數(shù)如果含參數(shù)，分 “0；0；0”三種情況依次討論該系數(shù)。（不含參就直接略過）“0”時，求出參數(shù)的值，代回f （x），寫 出不含參數(shù)的f （x）的最簡潔、直觀的形式；“0”或“0”時，把最高次項系 數(shù)外提，化簡變形（含因式分解）到最簡潔、直觀的形式，能直接看出根來。流程：接流程，判斷方程f （x） 0是否有根。如果方程f （x） 0沒有任何實根，說明f （x） 0或f （x） 0恒成立，f （x）恒定單增或單減，直接寫結(jié)論；如果方程f （x） 0有實根，全部求出來，寫明”，x2”然后進入流程。流程：判斷由得出的根是否在定義域內(nèi)。（i）定義域內(nèi)沒有根，寫出f （

5、x），肯定有f （x） 0或f（X）0，說明函數(shù)f（X）在定義域內(nèi)恒定單增或單減，直接寫出結(jié)論； （ii）定義域內(nèi)有且只有一 個根，對這個唯一的根進行列表，判斷f（X）單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間； （iii）定義域內(nèi)有兩根（包含兩等根或兩異根），那么就進入流程。流程：在流程中確定二次函數(shù)型f （x） 0在定義域內(nèi)有兩根xpX2的情況下，討論兩根大?。ā啊?，“”，“ ”）。然后列表，依據(jù)表格寫出結(jié)論。3)第三步：(3)寫綜上所述。對參數(shù)的所有可能取值都要寫出，對應結(jié)論相同 的時候，參數(shù)范圍必須合并。【題】討論函數(shù)f(x) xekx(k 0)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】*Ik【題】討論函數(shù) f (x) l

6、n(1 x) x x2的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】*【點評】求單調(diào)區(qū)間的步驟(1)確定函數(shù)的定義域，(2) 求出f (x)，令f(x) o，求出根，求出在定義域內(nèi)所有的根，(3)把函數(shù)的間斷點在橫坐標上從小到大排列起 來，把定義域分成若干個小區(qū)間，(4)確定f(x)在每個區(qū)間的正負號，求出相應的單調(diào)區(qū)間?！绢}】判斷函數(shù)f(x) x24x alnx的單調(diào)性?！倦y度】*2【題】求函數(shù)f(x) x3ax2x 1的單調(diào)區(qū)間。4【難度】*【題】、求函數(shù)f(x) ex(x2ax 1)(x2,a R)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】*1【題】求函數(shù)f (x) ?x2aln x(a R)的單調(diào)區(qū)間 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導數(shù)證明該

7、函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增 （減）【難度】*【題】討論函數(shù)f(x) kx22x ln(2x 1)的單調(diào)性?！倦y度】*kx【題】討論函數(shù)f(x)e的單調(diào)性。x1【難度】*【題】討論函數(shù)f(x)2xa的單調(diào)性。(x1)2【難度】*【題】求函數(shù)f(x)ex(x2ax1)(x1,aR)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】*【題】求函數(shù)f(x)ex(x2ax1)(x3,aR)的單調(diào)區(qū)間?！倦y度】*3 利用導數(shù)研究含參變量函數(shù)的最值問題利用導數(shù)研究含參變量函數(shù)最值的基本思路和大致步驟：通常是先討論函數(shù)的單調(diào)性，必要時畫出函數(shù)的示意圖，然后進行最 值的討論?！绢}】已知函數(shù)f x x k ex1求f x的單調(diào)

8、區(qū)間；2求f x在區(qū)間0,1上的最小值. .【解析】：(1 1), k 1減k 1,(2 2)k 1, f xk7mina e時f (x)maxf (a) ln ak2, f xmin(1 k)e31 k2，fXmink 1e【難度】*【題】已知函數(shù)f (x)ax21(a0),g(x) x3bx當a2. . .、 t-f-ti_t、 才.4b時，求函數(shù)T (x)g(X)的單調(diào)區(qū)間，開求其在區(qū)間,1上的最大值. .【難度】*a,2a, (a 0)，試求f(x)在此區(qū)間上的最大值【難度】*(1)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)(2)求f (x)在區(qū)間a,2a上的最值. .【答案】：【題】已知函數(shù)

9、f (x)1X332x23x 1，給定區(qū)間【題】已0,函數(shù)f (x)aln xxa e時f (x)maxf (a) ln ae a2時，f (x)maxf (x)minf (a) lnaf(2a)ln2a2(i)(i)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；若f (x)的最小值為 1 1,求 a a 的取值范圍. .【答案】：a a 2 2 時，f(X)在0,)上單調(diào)遞增2 a、0 0 a a 2 2 時，f (x)在0,.)上單調(diào)遞減f (x)在,)上單調(diào)遞增a a 2 2【難度】*【題】 已知函數(shù)：f(x) x (a 1)1 nx-(a R), ,當x 1,e時，求f(x)2 a e時，f (x)maxf

10、(e)aef (x)rIn 2anin11丿2e2a 2時，f(X)maxf(e)aef (x)min 1f(a)In a【難度】*【點評】f (X)minf(2a)【題】已知函數(shù)f(x)In 2a21 XIn (ax 1) ,x 0,a0 x的最小值；【答案】當1 a e時，f Xmina alln a 1a當a e時，f Xmine a 1e【難度】*23【題】已知函數(shù)f(x) 3x 1(a 0),g(x) x9x,若f(x) g(x)上的最大值為28. .求實數(shù)k的取值范圍【難度】*32【題】已知函數(shù)f x ax3x bx(其中常數(shù)a,b R)，g x f x f x為奇函數(shù) (1)(1

11、)求f x的表達式；討論g x的單調(diào)性，并求g x在區(qū)間1,2上的最大值與最 小值. .【答案】f x13x2xgx在1,2上最大值為34 24，最小值一33【難度】*【題】設f (x)13_x12_x2ax. .322(1(1)若f(x)在(3,)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍;16(2(2)當0 a 2時，f(x)在1,4上的最小值為 一，求3f(x)在該區(qū)間上的最大值。1【答案】a的取值范圍是(,910f (x)在該區(qū)間上的最大值為一3【難度】 *【題】已知函數(shù)f(x) Inx(i)(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)(2)求函數(shù)f(x)在(0,a,( a 0)上的最大值. .(0,22)【答案】 當大值為In a2a時，f (x)在(0, a,( a 0)上的最22a；22時，f (x)在(0, a,( a 0)上的最大值為In 212【難度】*23【題】設函數(shù)f(x) 1(1 a)x x x,其中a 0：(1) 討論f (x)在其定義域上的單調(diào)性；(2)x 0,1時，求f(X)取得最大值和最小值時X的值 【難度】*32【題】已知函數(shù)f(x) x ax