（教案3）12應(yīng)用舉例

1、課題: 1.2解三角形應(yīng)用舉例授課類(lèi)型：新授課教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題過(guò)程與方法：本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了相關(guān)內(nèi)容后的第三節(jié)課，學(xué)生已經(jīng)對(duì)解法有了基本的了解，這節(jié)課應(yīng)通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力。除了安排課本上的例1，還針對(duì)性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，重過(guò)程，重討論，教師通過(guò)導(dǎo)疑、導(dǎo)思讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并在教學(xué)過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的探

2、索精神。教學(xué)重點(diǎn)能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題教學(xué)過(guò)程.課題導(dǎo)入創(chuàng)設(shè)情境提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問(wèn)題。.講授新課范例講解例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,

3、此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile)學(xué)生看圖思考并講述解題思路教師根據(jù)學(xué)生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理，AC= = 113.15根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = 0.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile例2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿

4、BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。師：請(qǐng)大家根據(jù)題意畫(huà)出方位圖。生：上臺(tái)板演方位圖（上圖）教師先引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生積極思考解題方法，讓學(xué)生動(dòng)手練習(xí)，請(qǐng)三位同學(xué)用三種不同方法板演，然后教師補(bǔ)充講評(píng)。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因?yàn)?sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 R

5、tACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸

6、行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？師：你能根據(jù)題意畫(huà)出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos化簡(jiǎn)得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,又因?yàn)閟inBAC =BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.課堂練習(xí).課時(shí)小結(jié)解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出