2016-2017屆湖南省婁底市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版）

1、2016-2017學(xué)年湖南省婁底市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1設(shè)集合A=x|0x4，B=xN|1x3，則AB=（）Ax|1x3Bx|0x4C1，2，3D0，1，2，32已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有實根b，且z=a+bi，則復(fù)數(shù)z等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i3已知等比數(shù)列，則“a10”是“a20170”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件4下列說法正確的是（）A“若a1，則a21”的否命題是“若a1，則a21”B在A

2、BC中，“AB”是“sin2Asin2B”必要不充分條件C“若tan，則”是真命題Dx0（，0）使得34成立5在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角的大小為（）A30°B45°C60°D90°6已知實數(shù)a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log0.31.8，那么它們的大小關(guān)系是（）AcabdBabcdCcbadDcadb7函數(shù)f（x）=（x2）（ax+b）為偶函數(shù)，且在（0，+）單調(diào)遞增，則f（2x）0的解集為（）Ax|x2或x2Bx|2x2Cx|x0或x4Dx|0x48在自然界中存在著大量的周期函數(shù)，比如聲

3、波若兩個聲波隨時間的變化規(guī)律分別為：y1=3sin（100t），y2=3cos（100t+），則這兩個聲波合成后（即y=y1+y2）的聲波的振幅為（）ABCD39下列四個圖中，函數(shù)y=的圖象可能是（）ABCD10已知=（cos23°，cos67°），=（2cos68°，2cos22°），則ABC的面積為（）A2BC1D11如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為S為（）（注：圓臺側(cè)面積公式為S=（R+r）l）A17+3B20+5C22D17+512已知aR，若f（x）=（x+）ex在區(qū)間（0，1）上只有一個

4、極值點，則a的取值范圍為（）Aa0Ba1Ca1Da0二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知，則tan=14已知向量夾角為45°，且，則=15設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是16“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教偉烈亞利將孫子算經(jīng)中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2017這2016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則此

5、數(shù)列的項數(shù)為三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17（10分）在銳角ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2（） 求角A 的大??；（） 求ABC 的面積18（12分）某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄如下：甲運動員得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙運動員得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39（）用十位數(shù)作莖，畫出原始數(shù)據(jù)的莖葉圖；（）用分層抽樣的方法在乙運動員得分十位數(shù)為2、3、4的比賽中抽取一個容量為

6、5的樣本，從該樣本中隨機抽取2場，求其中恰有1場的得分大于40分的概率19（12分）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=5，k=10時，分別有S=和S=（1）試求數(shù)列an的通項公式；（2）令bn=3nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn20（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADC=BAD=90°，AB=AD=1，CD=2，平面SAD平面ABCD，平面SDC平面ABCD，SD=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE交SB于點F（1）求證：EFCD；（2）求三棱錐SDEF的體積21（12分）已知函數(shù)f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若關(guān)于x的方程|

7、f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)xR時，不等式f（x）g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍22（12分）已知aR，函數(shù)f（x）=lnxax+1（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的零點x1，x2（x1x2），求實數(shù)a的取值范圍；（3）在（2）的條件下，求證：x1+x222016-2017學(xué)年湖南省婁底市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，有且只有一項符合題目要求.1設(shè)集合A=x|0x4，B=xN|1x3，則AB=（）Ax|1x3Bx|0x4C1，

8、2，3D0，1，2，3【分析】由A與B，求出兩集合的交集即可【解答】解：A=x|0x4，B=xN|1x3=1，2，3，AB=1，2，3，故選：C【點評】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵2（2014陳倉區(qū)校級二模）已知方程x2+（4+i）x+4+ai=0（aR）有實根b，且z=a+bi，則復(fù)數(shù)z等于（）A22iB2+2iC2+2iD22i【分析】把b代入方程，化簡利用復(fù)數(shù)相等的條件，求a、b即可得到復(fù)數(shù)z【解答】解：把實根b，代入方程x2+（4+i）x+4+ai=0，得方程b2+（4+i）b+4+ai=0所以b2+4b+4=0且b+a=0，所以b=2，a=2 所以z=22

9、i故選A【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算，復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題3（2017天心區(qū)校級一模）已知等比數(shù)列，則“a10”是“a20170”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】利用通項公式求解得出a2017=a1q2016，利用充分必要條件的定義求解【解答】解：a10，q=0a2017=a1q20160，“a10”是“a20170”的充分條件；a2017=a1q20160，a10，“a10”是“a20170”的必要條件；等比數(shù)列，則“a10”是“a20170”的充要條件故選：C【點評】本題綜合考查了充分必要條件的概念，數(shù)列的通項公式的運用，屬于容易題4

10、下列說法正確的是（）A“若a1，則a21”的否命題是“若a1，則a21”B在ABC中，“AB”是“sin2Asin2B”必要不充分條件C“若tan，則”是真命題Dx0（，0）使得34成立【分析】A，命題的否定既要否定條件又要否定結(jié)論；B，在ABC中，“AB”aba2b2（2RsinA）2（2RsinB）2sin2Asin2B，反之亦然；C，若tan，則+k；D，x0（，0）使得34成立；【解答】解：對于A，命題的否定既要否定條件又要否定結(jié)論，故錯；對于B，在ABC中，“AB”aba2b2（2RsinA）2（2RsinB）2sin2Asin2B，反之亦然，應(yīng)是充要分條件，故錯；對于C，若tan，

11、則+k，故正確；對于D，x0（，0）使得34成立，故錯；故選：C【點評】本題考查了命題真假的判定，涉及到了大量的基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題5在正方體ABCDA1B1C1D1中，異面直線A1B與AD1所成角的大小為（）A30°B45°C60°D90°【分析】由A1BD1C，得異面直線A1B與AD1所成的角為AD1C【解答】解：A1BD1C，異面直線直線A1B與AD1所成的角為AD1C，AD1C為等邊三角形，AD1C=60°故選：C【點評】本題考查兩異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)6已知實數(shù)a=1.70.3，b=0.90.1

12、，c=log25，d=log0.31.8，那么它們的大小關(guān)系是（）AcabdBabcdCcbadDcadb【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷a，b與1的大小，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷c，d與0及1的大小，然后判定選項【解答】解：d=log0.31.8log0.31=0，c=log25log24=2，0b=0.90.10.90=1，1.71a=1.70.31.70=1d0b1a2c故選：A【點評】在比較含有指數(shù)式與對數(shù)式的大小時，一般步驟是先引入0把所要比較的數(shù)區(qū)分，然后在指數(shù)式中與1比較大小，理論依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性7（2014威海一模）函數(shù)f（x）=（x2）（ax+b）為偶函數(shù)，且在（0，+

13、）單調(diào)遞增，則f（2x）0的解集為（）Ax|x2或x2Bx|2x2Cx|x0或x4Dx|0x4【分析】根據(jù)二次函數(shù)f（x）的對稱軸為y軸求得b=2a，再根據(jù)函數(shù)在（0，+）單調(diào)遞增，可得a0再根據(jù)函數(shù)在（0，+）單調(diào)遞增，可得a0，f（x）=ax24a再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（2x）0的解集【解答】解：函數(shù)f（x）=（x2）（ax+b）=ax2+（b2a）x2b為偶函數(shù)，二次函數(shù)f（x）的對稱軸為y軸，=0，且a0，即 b=2a，f（x）=ax24a再根據(jù)函數(shù)在（0，+）單調(diào)遞增，可得a0令f（x）=0，求得 x=2，或x=2，故由f（2x）0，可得 2x2，或2x2，解得 x0，或x4，故

14、f（2x）0的解集為 x|x0或x4，故選：C【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題8（2016秋婁底期末）在自然界中存在著大量的周期函數(shù)，比如聲波若兩個聲波隨時間的變化規(guī)律分別為：y1=3sin（100t），y2=3cos（100t+），則這兩個聲波合成后（即y=y1+y2）的聲波的振幅為（）ABCD3【分析】利用和差化積公式即可得出【解答】解：y=y1+y2=3sin（100t）+3cos（100t+）=3sin（100t）+3×cos（100t）sin（100t）=3×cos（100t）+sin（100t）=3sin（100t+

15、），則這兩個聲波合成后（即y=y1+y2）的聲波的振幅為3故選：D【點評】本題考查了和差化積公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題9下列四個圖中，函數(shù)y=的圖象可能是（）ABCD【分析】構(gòu)造函數(shù)y=，則函數(shù)為奇函數(shù)，其則圖象關(guān)于原點對稱，根據(jù)圖象得平移即可得到答案【解答】解：設(shè)y=，則函數(shù)為奇函數(shù)，其則圖象關(guān)于原點對稱，當(dāng)x1時，y0，當(dāng)0x1時，y0，而y=的圖象是由y=的圖象向左平移一個單位得到的，故選：C【點評】本題考查了函數(shù)圖象的變化，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的平移，屬于中檔題10已知=（cos23°，cos67°），=（2cos68°，2cos22°

16、），則ABC的面積為（）A2BC1D【分析】根據(jù)題意，利用，的坐標(biāo)，可得，的模，由數(shù)量積公式，可得的值，進(jìn)而由cosB=，可得cosB，由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可得B，最后由三角形面積公式，計算可得答案【解答】解：根據(jù)題意，=（cos23°，cos67°），則=（cos23°，sin23°），有|=1，由于，=（2cos68°，2cos22°）=2（cos68°，sin68°），則|=2，則=2（cos23°cos68°+sin23°sin68°）=2×cos45

17、6;=，可得：cosB=，則B=135°，則SABC=|sinB=；故選：D【點評】本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，關(guān)鍵是由余弦函數(shù)的和角公式求出，注意角B是向量、的夾角，屬于中檔題11如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為S為（）（注：圓臺側(cè)面積公式為S=（R+r）l）A17+3B20+5C22D17+5【分析】由已知可得該幾何體是一個圓臺和一個半球形成的組合體，其表面積由半球面，圓臺的側(cè)面，圓臺的下底面組成，進(jìn)而得到答案【解答】解：由已知可得該幾何體是一個圓臺和一個半球形成的組合體，圓臺的上底面半徑r=2，下底面半徑R=3，母線l=，故

18、圓臺的側(cè)面積為：（R+r）l=5，圓臺的下底面面積為：R2=9，半球的半徑為2，故半球面的面積為：222=8，故組合體的表面積S=5+9+8=17+5，故選：D【點評】本題考查的知識點是圓臺的體積和表面積，球的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔12（2016河南模擬）已知aR，若f（x）=（x+）ex在區(qū)間（0，1）上只有一個極值點，則a的取值范圍為（）Aa0Ba1Ca1Da0【分析】求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用極值、函數(shù)單調(diào)性，即可確定a的取值范圍【解答】解：f（x）=（x+）ex，f（x）=（）ex，設(shè)h（x）=x3+x2+axa，h（x）=3x2+2x+a，a0，h（x）0在（0，1）

19、上恒成立，即函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，h（0）=a0，h（1）=20，h（x）在（0，1）上有且只有一個零點x0，使得f（x0）=0，且在（0，x0）上，f（x）0，在（x0，1）上，f（x）0，x0為函數(shù)f（x）在（0，1）上唯一的極小值點；a=0時，x（0，1），h（x）=3x2+2x0成立，函數(shù)h（x）在（0，1）上為增函數(shù)，此時h（0）=0，h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函數(shù)f（x）在（0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值；a0時，h（x）=x3+x2+a（x1），x（0，1），h（x）0在（0，1）上恒成立，即f（x）0，函數(shù)f（x）在（

20、0，1）上為單調(diào)增函數(shù)，函數(shù)f（x）在（0，1）上無極值綜上所述，a0故選：A【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知，則tan=【分析】由已知求出sin的值，結(jié)合的范圍可求出cos的值，則答案可求【解答】解：由，得，又，故故答案為：【點評】本題考查了三角函數(shù)的化簡求值，考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題14（2012新課標(biāo)）已知向量夾角為45°，且，則=3【分析】由已知可得，=，代入|2|=可求【解答】解：，=1=|2|=解得故答案為：3【點評】本題主要考查了向

21、量的數(shù)量積 定義的應(yīng)用，向量的數(shù)量積性質(zhì)|=是求解向量的模常用的方法15設(shè)實數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是$frac15，1【分析】由約束條件作出可行域，利用的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點與定點（3，1）連線的斜率得答案【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，A（2，0），聯(lián)立，解得B（2，6）的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點（3，1）連線的斜率，的取值范圍是frac15，1【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題16“中國剩余定理”又稱“孫子定理”.1852年英國來華傳教偉烈亞利將孫子算經(jīng)中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合180

22、1年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將2至2017這2016個數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列an，則此數(shù)列的項數(shù)為134【分析】由能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)，運用等差數(shù)列通項公式，以及解不等式即可得到所求項數(shù)【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被15整除余1的數(shù)，故an=15n14由an=15n142017得n135.4，當(dāng)n=1時，此時a1=1，不符合，故此數(shù)列的項數(shù)為1351=134故答案為：134【點評】本題考查數(shù)

23、列模型在實際問題中的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項公式的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明或推理、驗算過程.17（10分）（2016河西區(qū)二模）在銳角ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，已知a=，b=3，sinB+sinA=2（） 求角A 的大??；（） 求ABC 的面積【分析】（）銳角ABC 中，由條件利用正弦定理求得 sinB=3sinA，再根據(jù)sinB+sinA=2，求得sinA的值，可得角A 的值（） 銳角ABC 中，由條件利用余弦定理求得c的值，再根據(jù)ABC的面積為bcsinA，計算求得結(jié)果【解答】解：（）銳角ABC

24、 中，由條件利用正弦定理可得=，sinB=3sinA，再根據(jù)sinB+sinA=2，求得sinA=，角A=（） 銳角ABC 中，由條件利用余弦定理可得a2=7=c2+96ccos，解得c=1 或c=2當(dāng)c=1時，cosB=0，故B為鈍角，這與已知ABC為銳角三角形相矛盾，故不滿足條件當(dāng)c=2時，ABC 的面積為bcsinA=32=【點評】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18（12分）某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄如下：甲運動員得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙運動員得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15

25、，37，25，36，39（）用十位數(shù)作莖，畫出原始數(shù)據(jù)的莖葉圖；（）用分層抽樣的方法在乙運動員得分十位數(shù)為2、3、4的比賽中抽取一個容量為5的樣本，從該樣本中隨機抽取2場，求其中恰有1場的得分大于40分的概率【分析】（）由某賽季甲乙兩名籃球運動員每場比賽得分的原始記錄作出莖葉圖，（）根據(jù)題意列舉出基本事件的個數(shù)，求出相應(yīng)的概率即可【解答】解：（）由題意得莖葉圖如圖：，（）用分層抽樣的方法在乙運動員得分十位數(shù)為2、3、4的比賽中抽取一個容量為5的樣本，則得分十位數(shù)為2、3、（4分）別應(yīng)該抽取1，3，1場，所抽取的賽場記為A，B1，B2，B3，C，從中隨機抽取2場的基本事件有：（A，B1），（A，

26、B2），（A，B3），（A，C），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C），（B2，B3），（B2，C），（B3，C）共10個，記“其中恰有1場的得分大于4（0分）”為事件A，則事件A中包含的基本事件有：（A，C），（B1，C），（B2，C），（B3，C）共4個，答：其中恰有1場的得分大于4（0分）的概率為【點評】本題考查概率的求法，考查列舉法計算概率，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，19（12分）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=5，k=10時，分別有S=和S=（1）試求數(shù)列an的通項公式；（2）令bn=3nan，求數(shù)列bn的前n項和Tn【分析】（1）經(jīng)過分析，程序框圖為當(dāng)型循

27、環(huán)結(jié)構(gòu)，按照框圖題意分析求出an的通項（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到bn，Tn=3×1+32×3+3n1（2n3）+3n（2n1），進(jìn)而可求3Tn，2Tn，從而可求數(shù)列bn的前n項和Tn【解答】（本題滿分為12分）解：（1）由已知可得an是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則有：Sk=5=（+）=（）=，Sk=10=（+）=（）=，解得：或（舍去），則an=a1+（n1）d=1+（n1）2=2n1（6分）（2）Tn=3×1+32×3+3n1（2n3）+3n（2n1），3Tn=32×1+33×3+3n（2n3）+3n+1（2n1），則2Tn=32（3

28、2+33+3n）+3n+1（2n1）=3n+1（2n1）+可得：Tn=3+（n1）3n+1（12分）【點評】本題考查程序框圖，數(shù)列的概念及簡單表示方法，數(shù)列的求和，通過對知識的熟練把握，分別進(jìn)行求值，屬于中檔題20（12分）如圖，在直角梯形ABCD中，ADC=BAD=90°，AB=AD=1，CD=2，平面SAD平面ABCD，平面SDC平面ABCD，SD=，在線段SA上取一點E（不含端點）使EC=AC，截面CDE交SB于點F（1）求證：EFCD；（2）求三棱錐SDEF的體積【分析】（1）由CDAB，知CD平面SAB，由此能證明CDEF（2）推導(dǎo)出EF平面SAD，由此能求出三棱錐SDEF

29、的體積【解答】證明：（1）在直角梯形ABCD中CDAB，AB平面SAB，CD平面SAB，CD平面SAB，又平面CDEF平面SAB=EF，CDEF（6分）解：（2）CDAD，平面SAD平面ABCD，CD平面SAD，CDSD，同理ADSD，由（1）知EFCD，EF平面SAD，EC=AC，ADC=EDC=90°，ADCEDC，ED=AD，在RtSDA中，AD=1，SD=，SAD=60°，又ED=AD=1，E為SA中點，EF=，SED的面積為，三棱錐SDEF的體積V=（12分）【點評】本題考查線線平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要 認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培

30、養(yǎng)21（12分）已知函數(shù)f（x）=x21，g（x）=a|x1|（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)xR時，不等式f（x）g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【分析】（1）將方程變形，利用x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，從而可求實數(shù)a的取值范圍；（2）將不等式分離參數(shù)，確定函數(shù)的值域，即可求得實數(shù)a的取值范圍【解答】解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x21|=a|x1|，變形得|x1|（|x+1|a）=0，顯然，x=1已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，a0（6分）（2）當(dāng)xR時，不等式f（x）g（x）恒成立，即（x21）a|x1|（*）對xR恒成立，