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文檔簡介
1、抽象函數(shù)常見題型解法綜述趙春祥抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式,只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性,使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評析如下:一、定義域問題例1. 已知函數(shù)的定義域是1,2,求f(x)的定義域。解:的定義域是1,2,是指,所以中的滿足從而函數(shù)f(x)的定義域是1,4評析:一般地,已知函數(shù)的定義域是A,求f(x)的定義域問題,相當于已知中x的取值范圍為A,據(jù)此求的值域問題。例2. 已知函數(shù)的定義域是,求函數(shù)的定義域。解:的定義域是,意思是凡被f作用的對象都在中,由此可得所以函數(shù)的定義域是評析:這類問題的一般形
2、式是:已知函數(shù)f(x)的定義域是A,求函數(shù)的定義域。正確理解函數(shù)符號及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實質(zhì)上相當于已知的值域B,且,據(jù)此求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3. 已知定義域為的函數(shù)f(x),同時滿足下列條件:;,求f(3),f(9)的值。解:取,得因為,所以又取得評析:通過觀察已知與未知的聯(lián)系,巧妙地賦值,取,這樣便把已知條件與欲求的f(3)溝通了起來。賦值法是解此類問題的常用技巧。三、值域問題例4. 設(shè)函數(shù)f(x)定義于實數(shù)集上,對于任意實數(shù)x、y,總成立,且存在,使得,求函數(shù)的值域。解:令,得,即有或。若,則,對任意均成立,這與存在實數(shù),使得成
3、立矛盾,故,必有。由于對任意均成立,因此,對任意,有下面來證明,對任意設(shè)存在,使得,則這與上面已證的矛盾,因此,對任意所以評析:在處理抽象函數(shù)的問題時,往往需要對某些變量進行適當?shù)馁x值,這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5. 設(shè)對滿足的所有實數(shù)x,函數(shù)滿足,求f(x)的解析式。解:在中以代換其中x,得:再在(1)中以代換x,得化簡得:評析:如果把x和分別看作兩個變量,怎樣實現(xiàn)由兩個變量向一個變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情況下,給某些變量適當賦值,使之在關(guān)系中“消失”,進而保留一個變量,是實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。五、單調(diào)性問題例6. 設(shè)f(x)定義于實數(shù)集上,當時,且對于任意實數(shù)x、y
4、,有,求證:在R上為增函數(shù)。證明:在中取,得若,令,則,與矛盾所以,即有當時,;當時,而所以又當時,所以對任意,恒有設(shè),則所以所以在R上為增函數(shù)。評析:一般地,抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式,應(yīng)看作給定的運算法則,則變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與組合都應(yīng)盡量與已知式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題例7. 已知函數(shù)對任意不等于零的實數(shù)都有,試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性。解:取得:,所以又取得:,所以再取則,即因為為非零函數(shù),所以為偶函數(shù)。七、對稱性問題例8. 已知函數(shù)滿足,求的值。解:已知式即在對稱關(guān)系式中取,所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(0,2002)對稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系,知函數(shù)的圖象
5、關(guān)于點(2002,0)對稱。所以將上式中的x用代換,得評析:這是同一個函數(shù)圖象關(guān)于點成中心對稱問題,在解題中使用了下述命題:設(shè)a、b均為常數(shù),函數(shù)對一切實數(shù)x都滿足,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(a,b)成中心對稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9. 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:對任意實數(shù)m,n,總有,且當x>0時,0<f(x)<1。(1)判斷f(x)的單調(diào)性;(2)設(shè),若,試確定a的取值范圍。解:(1)在中,令,得,因為,所以。在中,令因為當時,所以當時而所以又當x=0時,所以,綜上可知,對于任意,均有。設(shè),則所以所以在R上為減函數(shù)。(2)由于函數(shù)y=f(x)在R上為減函數(shù),所以即有又,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,有由,所以直線與圓面無公共點。因此有,解得。評析:(1)要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個問題:一是f
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