2016-2017年安徽省皖西南十校聯(lián)考高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版）

1、2016-2017學年安徽省皖西南十校聯(lián)考高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）若集合A=x|x2+x60，集合B=x|2x4，則AB等于（）AB（2，3）C（3，4）D（2，4）2（5分）已知等差數(shù)列an中，a5=9，且2a3a2=6，則a1等于（）A2B3C0D13（5分）已知命題p：x（0，+），3xcosx0，則下列敘述正確的是（）Ap：x（0，+），3xcosx0Bp：x（0，+），3xcosx0Cp：x（，0，3xcosx0Dp是假命題4（5分）已知cossin=cos（x+

2、）cosx+，則sin2x等于（）ABCD5（5分）已知向量，滿足|=1，|=2，|=2，則與的夾角的余弦值為（）ABCD6（5分）“b1”是“直線l：x+3y1=0與雙曲線的左支有交點”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件7（5分）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜求積”公式為若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為（）AB2C3D8（5分）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A6B9C12D

3、189（5分）已知變量x、y滿足約束條件若的最大值為2，則的最小值為（）ABCD10（5分）已知函數(shù)f（x）=1+2cosxcos（x+3）是偶函數(shù)，其中（0，），則下列關于函數(shù)g（x）=cos（2x）的正確描述是（）Ag（x）在區(qū)間上的最小值為1Bg（x）的圖象可由函數(shù)f（x）向上平移2個單位，在向右平移個單位得到Cg（x）的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象先向左平移個單位得到Dg（x）的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象先向右平移個單位得到11（5分）已知點A是拋物線M：y2=2px（p0）與圓C：x2+（y4）2=a2在第一象限的公共點，且點A到拋物線M焦點F的距離為a，若拋物線M上一動點到其準線與到

4、點C的距離之和的最小值為2a，O為坐標原點，則直線OA被圓C所截得的弦長為（）A2B2CD12（5分）已知函數(shù)f（x）=x26x3，g（x）=，實數(shù)m，n滿足mn0，若x1m，n，x2（0，+），使得f（x1）=g（x2）成立，則nm的最大值為（）A4B2C4D2二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）已知橢圓的左右頂點分別為A、B，上頂點為C，若ABC是底角為30°的等腰三角形，則=14（5分）若函數(shù)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是15（5分）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且，則S7=16（5分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為的正方形

5、，AA1=3，E是AA1的中點，過C1作C1F平面BDE與平面ABB1A1交于點F，則CF與平面ABCD所成角的正切值為三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（10分）已知向量=（sinx，cosx），=（3，1）（1）若，求sin2x6cos2x的值；（2）若f（x）=，求函數(shù)f（2x）的單調(diào)減區(qū)間18（12分）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且6Sn=3n+1+a（nN+）（1）求a的值及數(shù)列an的通項公式；（2）設bn=（1an）log3（an2an+1），求的前n項和為Tn19（12分）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且

6、=（1）若b=sinB，求a；（2）若a=，ABC的面積為，求b+c20（12分）在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC與BD的交點為M，又PA=AB=4，AD=CD，CDA=120°，點N是CD的中點（1）求證：平面PMN平面PAB；（2）求二面角APCB的余弦值21（12分）已知右焦點為F2（c，0）的橢圓C：+=1（ab0）過點（1，），且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點（1）求橢圓C的方程；（2）過點（，0）作直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為M，點A是橢圓C的右頂點，求直線MA的斜率k的取值范圍22（12分）設函數(shù)f（x）=mln

7、x+（m1）x（1）若f（x）存在最大值M，且M0，求m的取值范圍（2）當m=1時，試問方程xf（x）=是否有實數(shù)根，若有，求出所有實數(shù)根；若沒有，請說明理由2016-2017學年安徽省皖西南十校聯(lián)考高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1（5分）（2016秋安徽期末）若集合A=x|x2+x60，集合B=x|2x4，則AB等于（）AB（2，3）C（3，4）D（2，4）【分析】化簡集合A，根據(jù)交集的定義寫出AB即可【解答】解：集合A=x|x2+x60=（，3）（2，+），集合B=x

8、|2x4=（2，4），則AB=（2，4）故選：D【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題目2（5分）（2016秋安徽期末）已知等差數(shù)列an中，a5=9，且2a3a2=6，則a1等于（）A2B3C0D1【分析】由已知結合等差數(shù)列的性質(zhì)求得a4，進一步求得公差，再由等差數(shù)列的通項公式求得a1【解答】解：在等差數(shù)列an中，由2a3a2=6，得a4=6，a5=9，d=a5a4=3，a1=a43d=63×3=3故選：B【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎的計算題3（5分）（2016秋安徽期末）已知命題p：x（0，+），3xcosx0，則下列敘述正確的是（）Ap

9、：x（0，+），3xcosx0Bp：x（0，+），3xcosx0Cp：x（，0，3xcosx0Dp是假命題【分析】根據(jù)已知中原命題，寫出命題的否定，并判斷其真假，可得答案【解答】解：命題p：x（0，+），3xcosx0，命題p為：x（0，+），3xcosx0；當x0時，3x1，1cosx1，3xcosx0，故p是真命題，即¬p是假命題故選：D【點評】本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，全稱命題，分類討論思想，難度中檔4（5分）（2016秋安徽期末）已知cossin=cos（x+）cosx+，則sin2x等于（）ABCD【分析】利用誘導公式、兩角和與差的余弦公式以及二倍角

10、公式對已知等式進行化簡，然后求sin2x的值【解答】解：cossin=cos（）=cos=，cos（x+）cosx+=sinxcosx+=sin2x+，=sin2x+，sin2x=故選：A【點評】本題考查兩角和與差的三角函數(shù)、誘導公式，考查計算能力5（5分）（2016秋安徽期末）已知向量，滿足|=1，|=2，|=2，則與的夾角的余弦值為（）ABCD【分析】由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得與的夾角的余弦值【解答】解：向量，滿足|=1，|=2，再根據(jù)|=2=，則則與的夾角的余弦值cos，=，故選：C【點評】本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎題6（5分）（2016秋安徽期末）“b1”

11、是“直線l：x+3y1=0與雙曲線的左支有交點”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由題意可得，解得b，再由充分必要條件的定義，即可得到結論【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=±x，由直線l：x+3y1=0與雙曲線的左支有交點，可得，解得b，則b1，推得b，反之，不成立故“b1”是“直線l：x+3y1=0與雙曲線的左支有交點”的充分不必要條件故選：A【點評】本題考查充分必要條件的判斷，注意運用定義，同時考查雙曲線的性質(zhì)：漸近線方程，屬于中檔題7（5分）（2016秋安徽期末）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三

12、角形面積的“三斜公式”，設ABC三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜求積”公式為若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，則用“三斜求積”公式求得ABC的面積為（）AB2C3D【分析】根據(jù)正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，則由（a+c）2=12+b2得a2+c2b2=4，利用公式可得結論【解答】解：根據(jù)正弦定理：由a2sinC=4sinA得ac=4，則由（a+c）2=12+b2得a2+c2b2=4，則故選A【點評】本題主要考查類比推理的應用，要求正確理解類比的關系，比較基礎8（5分）（2016秋安徽期末）如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體

13、積為（）A6B9C12D18【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是長方體和三棱柱的組合體，結合圖中數(shù)據(jù)求出它的體積即可【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是上部為長方體，下部為三棱柱的組合體，畫出幾何體的直觀圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，計算其體積為V組合體=V三棱柱+V長方體=故選：C【點評】本題考查了空間幾何體三視圖的應用問題，也考查了空間想象能力和體積公式的應用問題，是基礎題9（5分）（2016秋安徽期末）已知變量x、y滿足約束條件若的最大值為2，則的最小值為（）ABCD【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求出最優(yōu)解，轉化求解a，然后求解目標函數(shù)的最小值【解答】解：變

14、量x、y滿足約束條件的可行域如圖：表示經(jīng)過可行域內(nèi)一點（x，y）與點P（1，0）的直線的斜率，當取直線x=a與3xy3=0的交點A（a，3a3）時，取最大值2，即，得a=5，則取點（5，2）時，取最小值故選：D【點評】本題考查線性規(guī)劃的應用，目標函數(shù)的幾何意義是解題的關鍵，考查轉化思想以及數(shù)形結合思想的應用10（5分）（2016秋安徽期末）已知函數(shù)f（x）=1+2cosxcos（x+3）是偶函數(shù)，其中（0，），則下列關于函數(shù)g（x）=cos（2x）的正確描述是（）Ag（x）在區(qū)間上的最小值為1Bg（x）的圖象可由函數(shù)f（x）向上平移2個單位，在向右平移個單位得到Cg（x）的圖象可由函數(shù)f（x）

15、的圖象先向左平移個單位得到Dg（x）的圖象可由函數(shù)f（x）的圖象先向右平移個單位得到【分析】利用函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，誘導公式，得出結論【解答】解：函數(shù)f（x）=1+2cosxcos（x+3）是偶函數(shù)，其中（0，），3=，=，f（x）=1+2cosxcos（x+）=12cos2x=cos2x=cos（2x）=cos（2x），函數(shù)g（x）=cos（2x）=cos（2x），故函數(shù)f（x）的圖象先向左平移個單位得到y(tǒng)=cos2（x+）=cos（2x）=g（x）的圖象，故選：C【點評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換規(guī)律，誘導公式，屬于基礎題11（5分）（2016邯鄲二

16、模）已知點A是拋物線M：y2=2px（p0）與圓C：x2+（y4）2=a2在第一象限的公共點，且點A到拋物線M焦點F的距離為a，若拋物線M上一動點到其準線與到點C的距離之和的最小值為2a，O為坐標原點，則直線OA被圓C所截得的弦長為（）A2B2CD【分析】求得圓的圓心和半徑，運用拋物線的定義可得A，C，F(xiàn)三點共線時取得最小值，且有A為CF的中點，設出A，C，F(xiàn)的坐標，代入拋物線的方程可得p，由拋物線的定義可得a，求得C到直線OA的距離，運用圓的弦長公式計算即可得到所求值【解答】解：圓C：x2+（y4）2=a2的圓心C（0，4），半徑為a，|AC|+|AF|=2a，由拋物線M上一動點到其準線與到

17、點C的距離之和的最小值為2a，由拋物線的定義可得動點到焦點與到點C的距離之和的最小值為2a，可得A，C，F(xiàn)三點共線時取得最小值，且有A為CF的中點，由C（0，4），F(xiàn)（，0），可得A（，2），代入拋物線的方程可得，4=2p，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直線OA：y=2x的距離為d=，可得直線OA被圓C所截得的弦長為2=故選：C【點評】本題考查圓的弦長的求法，注意運用拋物線的定義和三點共線和最小，同時考查弦長公式和點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題12（5分）（2016秋安徽期末）已知函數(shù)f（x）=x26x3，g（x）=，實數(shù)m，n滿足mn0，若x1m，n，x2（0，+），使

18、得f（x1）=g（x2）成立，則nm的最大值為（）A4B2C4D2【分析】利用導數(shù)法可得當x=1時，g（x）取最小值2，由f（x）=x26x3在x=3時，取最大值6，令f（x）=2，則x=5，或x=1，數(shù)形結合可得答案【解答】解：g（x）=，g（x）=，當0x1時，g（x）0，g（x）為減函數(shù)，當x1時，g（x）0，g（x）為增函數(shù)，故當x=1時，g（x）取最小值2，由f（x）=x26x3在x=3時，取最大值6，令f（x）=2，則x=5，或x=1，作兩個函數(shù)的圖象如圖所示：由圖可得：nm的最大值為1（5）=4，故選：A【點評】本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形

19、結合思想，難度中檔二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（5分）（2016秋安徽期末）已知橢圓的左右頂點分別為A、B，上頂點為C，若ABC是底角為30°的等腰三角形，則=【分析】利用已知條件列出a，b關系式，最后求解即可【解答】解：由題意得CAB=30°，則tanCAB=，可得離心率為e=，所以故答案為：【點評】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力14（5分）（2016秋安徽期末）若函數(shù)有零點，則實數(shù)a的取值范圍是（，3）【分析】利用分段函數(shù)，通過x的范圍，分別求解函數(shù)的零點，推出a的范圍即可【解答】解：當x1時，無零點；當x1時，函數(shù)是減函數(shù)，有

20、零點，即，解得a3故答案為：（，3）【點評】本題考查分段函數(shù)的應用，函數(shù)的零點問題，考查計算能力15（5分）（2016秋安徽期末）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且，則S7=120【分析】利用數(shù)列的遞推關系式判斷an+1是公比為2的等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的和即可【解答】解：由已知得，則an+1是公比為2的等比數(shù)列，a2+1=2，a1+1=1，解得S7=120故答案為：120【點評】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列求和，考查轉化思想以及計算能力16（5分）（2016秋安徽期末）在長方體ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為的正方形，AA1=3，E是AA1的中點，過C1作C1F平面BD

21、E與平面ABB1A1交于點F，則CF與平面ABCD所成角的正切值為【分析】連結AC、BD，交于點O，當C1F與EO垂直時，C1F平面BDE，從而FAA1，進而CAF是CF與平面ABCD所成角，由C1A1FEAO，求出AC，由此能求出CF與平面ABCD所成角的正切值【解答】解：連結AC、BD，交于點O，四邊形ABCD是正方形，AA1底面ABCD，BD平面ACC1A1，則當C1F與EO垂直時，C1F平面BDE，F(xiàn)平面ABB1A1，F(xiàn)AA1，CAF是CF與平面ABCD所成角，在矩形ACC1A1中，C1A1FEAO，則=，A1C1=2AO=AB=2，AE=，A1F=，AF=，tan=CF與平面ABCD

22、所成角的正切值為故答案為：【點評】本題考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（10分）（2016秋安徽期末）已知向量=（sinx，cosx），=（3，1）（1）若，求sin2x6cos2x的值；（2）若f（x）=，求函數(shù)f（2x）的單調(diào)減區(qū)間【分析】（1）根據(jù)向量平行，求出tanx的值，從而求出代數(shù)式的值即可；（2）求出f（2x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性解出f（2x）的遞減區(qū)間即可【解答】解：（1）=（sinx，cosx），=（3，1），3sinxcosx=0，解得：

23、tanx=，故sin2x6cos2x=；（2）f（x）=3sinxcosx=2sin（x），f（2x）=2sin（2x），由2k+2x2k+，解得：k+xk+，kN，故函數(shù)的遞減區(qū)間是k+，k+，kN【點評】解決此類問題的關鍵是熟練掌握向量的數(shù)量積的運算，以及三角函數(shù)的有關性質(zhì)18（12分）（2017百色一模）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且6Sn=3n+1+a（nN+）（1）求a的值及數(shù)列an的通項公式；（2）設bn=（1an）log3（an2an+1），求的前n項和為Tn【分析】（1）等比數(shù)列an滿足6Sn=3n+1+a（nN+），n=1時，6a1=9+a；n2時，6an=6（SnSn

24、1），可得an=3n1，n=1時也成立，于是1×6=9+a，解得a（2）由（1）代入可得bn=（1+3n）=（3n+1）（3n2），因此=利用“裂項求和”方法即可得出【解答】解：（1）等比數(shù)列an滿足6Sn=3n+1+a（nN+），n=1時，6a1=9+a；n2時，6an=6（SnSn1）=3n+1+a（3n+a）=2×3nan=3n1，n=1時也成立，1×6=9+a，解得a=3an=3n1（2）bn=（1an）log3（an2an+1）=（1+3n）=（3n+1）（3n2），=的前n項和為Tn=+=【點評】本題考查了等比數(shù)列的定義通項公式、數(shù)列遞推關系、對數(shù)運算

25、性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19（12分）（2016秋安徽期末）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且=（1）若b=sinB，求a；（2）若a=，ABC的面積為，求b+c【分析】（1）由正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式可得：3sinCcosA=2sinC，結合sinC0，可求cosA=，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinA，結合已知，利用正弦定理可得a的值（2）由已知利用三角形面積公式可求bc=3，進而利用余弦定理即可解得b+c的值【解答】解：（1）=由正弦定理可得：，整理可得：3sinCcosA=2sin（A+B）=2sinC，sin

26、C0，cosA=，可得：sinA=，b=sinB，由正弦定理可得：a=（2）sinA=，ABC的面積為=bcsinA=×bc，bc=3，a=，cosA=，由余弦定理可得：6=b2+c2bc=（b+c）22bcbc=（b+c）210，b+c=4【點評】本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題20（12分）（2017百色一模）在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC與BD的交點為M，又PA=AB=4，AD=CD，CDA=120°

27、;，點N是CD的中點（1）求證：平面PMN平面PAB；（2）求二面角APCB的余弦值【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理先證明MN平面PAB即可證明平面PMN平面PAB；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角APCB的余弦值【解答】證明：（1）ABC是正三角形，AB=BC，在ACD中，AD=CD，則ABDCDB，M為AC的中點，點N是CD的中點，MNAD，又PA平面ABCD，PAADCDA=120°，DAC=30°，BAC=60°，BAD=90°，即ABAD，又PAAC=A，AD平面PADMN平面PABMN平面PMN，平面PMN平

28、面PAB（2）BAD=BAC+CAD=90°，ABAD，分別以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立如圖的空間直角坐標系，B（4，0，0），C，P（0，0，4）由（1）可知，為平面PAC的法向量，設平面PBC的一個法向量為，則，即，令z=3，得x=3，則平面PBC的一個法向量為，設二面角APCB的大小為，則由題意值二面角APCB是銳二面角，則二面角APCB余弦值為【點評】本題主要考查空間面面垂直的判斷以及二面角的求解，建立坐標系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關鍵綜合考查學生的運算和推理能力21（12分）（2017百色一模）已知右焦點為F2（c，0）的橢圓C：+=1（ab0）過點（1，），且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點（1）求橢圓C的方程；（2）過點（，0）作直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為M，點A是橢圓C的右頂點，求直線MA的斜率k的取值范圍【分析】（1）由橢圓C：+=1（ab0）過點（1，），且橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點，求出a，b，c，橢圓方程可求；（2）線l過點（，0）且斜率不為零，故可設其方程為x=my+，和橢圓方程聯(lián)立，把MA的斜率用直線l的斜率表示，由基本不等式求得范圍【解答】解：（1）橢圓C過點（1，），+=1，（1分）橢圓C關于直線x=c對稱的圖形過坐標原點，a=2c，