第一節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1、第八章多元函數(shù)微分學第一節(jié) 多兀函數(shù)的基本概念教學目的：了解平面點集的相關概念； 理解并掌握多元函數(shù)的概念,重點：會求簡單的二元函數(shù)的極限，會證明簡單的二元函數(shù)的極 限不存在問題.了解二元函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)以及二元初等函 數(shù)連續(xù)的性質(zhì).理解并掌握多元函數(shù)的概念，會求簡單的二元函數(shù)的極限，難點：會證明簡單的二兀函數(shù)的極限不存在問題.二元函數(shù)的極限不存在問題的證明.教學方法：啟發(fā)式講授教學過程：一、多維空間的點集(區(qū)域)1n維歐氏空間Rn=( X X2，Xn) | X|,X2，,Xn亡R.2、Rn中兩點P =(xx2，Xn)與Q =(yi,y2：八，yn)的距離|PQ|1、(yi-X)2.3、鄰域(1

2、)點P的：的鄰域U(P,、) =Q| |PQ 卜:、.簡記為U(P).點P的：的去心鄰域U(P,、)二Q| 0叫 PQI：.E .E的內(nèi)點集E 二P|P 為 E 的內(nèi)點.P為E的邊界點：_U(P):* PU(P)簡記為U (P).4、集合ERn中的點P(1)P為E的內(nèi)點：U(P)-U(P),U(P) E -且U(P).E的邊界；:E =P | P 為 E 的邊界點.0 0(3)P為E的聚點：-U(P), U(P) E =,但P不一定在E內(nèi). 例如：點集(x,y) | x?+ y?= 0 or x?+ y?二4,x?+ y?= 4和 0 為點集的邊界，x?y?_4面上的每一個點都是聚點(極限點)

3、 .結(jié)論：內(nèi)點是聚點；邊界點不一定是聚點；聚點也不一定是邊界點.例如：集合E的孤立點是邊界點但不是聚點.5、點集ERn(1)開集E:E R?且一P E均有U(P) E，則E為開集.(x,y) |1 vx?+y?11LIU(O,K)(5)連通集E:E中任意兩點均可用(x,y)|x2y2_3，(x,y)|仁x22 2 2(x,y)| x +y 3,( x,y)仆x (x,y)|x|蘭3,(x,y川c|x|3(x,y)|1：x 3, y R都是連通集.(x, y) | x - 3不具有連通性.6、區(qū)域DRn(1)開區(qū)域D:連通開集，簡稱區(qū)域 例如(x,y)|1x +y 4為區(qū)域,(x,y)|x2+y

4、2=1, x2+y2=4， 邊界上的點都是聚點，但邊界 點都不是內(nèi)點閉區(qū)域D : DD ;:D,其中D為開區(qū)域例如(x,y)|1乞x2 y2乞4為閉區(qū)域，邊界為(x,y)|x2十y2=1, x2+y2=4，邊界上的點都是聚點且又都是內(nèi) 占八、 例如：點集E=(x, y) | x2+ y2= 0 or x2+ y2二1為閉區(qū)域，(0, 0)為E的點，但(0,0)為邊界點，且(0,0)不是聚點.(x,y)|x| v1,yR是無界區(qū)域.(x, y)|x| 1, R是無界閉區(qū)域2 2(x,y)|1 cx+y 4是有界區(qū)域二、多元函數(shù)的概念它的邊界1、【定義】：P =(為公2，xn) DRn,|r R

5、(存在惟y R)按法則f與P對應，稱y為P的函數(shù)(定義在D上的 一個 n 元(實值)函數(shù).其中集合D為非空集合.記作f：D U RnT R或y = f ( X)= f (X2，Xn) , X乏D.(1)D稱為函數(shù)的定義域，記作D(f ).XX2，Xn稱為函數(shù)的自變量,y = f(XX2，Xn)稱為函數(shù) 的因變量y|y = f(P),P D稱為函數(shù)的值域，記作f(D).說明：1.二元或二元以上的函數(shù)均稱為多元函數(shù)2.二元函數(shù)z二f(x, y)定義域為：曲面z二f(x, y)在xoy平面上的投影.3.Rn-實n維空間，R2-實 2 維空間.J 2222例 1(1 )求f (X, y) =Jx +y

6、 -1 +1 n(9 -x- y )的定義域.所以f (x, y) = Jx2+y2_1 +|n(9x2y2)的定義域為Qx,y)|x2y20 xy2-1 _01蘭x2+y2v9f221口D=j(x, y) |x +y；且xI42 2(4)求f(x,y)=arcSin(3X-y )Jx-y2的定義.fe-x2n I2-y0J.5)求函數(shù)f (x, y)y2豈4且x y2l1(3)f (x, y)二-1x提示：r1iD(f) = (x,y)|-x1.(6)f (x, y) = J1 x2+-1-的定義域為1D =(x, y) lx? +y2 A：且 |X 1說明： 1) 在未加說明情況下，函數(shù)的

7、定義域均指自然定義域.如z = In(x y)定義域是(x, y) | x y Of,z = arcsin(x2y2)定義域是：(x, y)|x2y20答(d).丿二 x+yn0且x + y1 二選(d).Jn (x + y)0例 3 復合函數(shù)(1)已知(2)已知f (x, y) =2x 3y ,則 f (x y,2(x y) y-y2,則 f(x y,Y)xf (x, y) =x2= (x + y)2+3x.y心x(3)已知f(x y,f)=x2-y2,則 f(x,y)=x2口1 y提示:f(x y,-y= (x + y)20 =(x + y)1X1Vx(4)已知f (x y, x - y)

8、二x2、多元函數(shù)(1)二元函數(shù)：常寫成z二三元函數(shù)：-寸、則f (x, y) =xy.n =2時，函數(shù)uf(x, y).n =3時，函數(shù)u二f(P)稱為二元函數(shù)二f(P)稱為二元函數(shù)y1、多元函數(shù)極限常寫成u二f (x, y,z).(3)多元函數(shù)：n_2時，函數(shù)u二f(P)稱為多元函數(shù). 另外，n=1時，函數(shù)u=f(P)稱為一元函數(shù).3、 二元函數(shù)圖形-( x, y, z) |z = f (x, y), (x, y)：= D. 表現(xiàn)為空間中的一個曲面.【定義】：設區(qū)域D D(f),PoD*(F0為區(qū)域D的聚點, 可以不在區(qū)域D內(nèi))，A是一個常數(shù).若-；0, 0S.t0 A,L 0).其中 r=

9、|P0P|.PP0(2)特別情況：n=2 時,極限為二兀函數(shù)極限，常稱為二重極限，記作lim f(x,y)二AXXoy yo(=|PoP|- (x-Xo)2(y-y。)2).例 4 求證lim(x2+y2)siny)o證明：所以lim(x2+y2)sin =0.強0 x2y2(3)P Po必需具有任意性.多元函數(shù)極限的存在，是指P在D內(nèi)以任何方式趨近于Po時，函數(shù)f(P)都無限接近于A.反過來，如果當P以不同方式趨近于R時，函數(shù)f (P)趨近于不 同的值，212 =0.x yX+Qsin#：抵0,?。?-0 =x22yo,當o(x2+y2)sinp2x + y2 -y Sin1x2y2 x2y

10、2:.一(x-0)2(y-0)2OVE.:：時，恒另證： 因為xm/xJy2),又因為y 0sinx2y2所以lim (x2+ y2)s iny那末就可以斷定這函數(shù)的極限不存在.還句話說：要說極限不存在，只需舉一個反例就夠了.例 5 討論lim2xy2的收斂性Hx+y解:令y = kx,貝Vlim:；0 xxy2y2x +kxk1+k2極限值隨k的變化而變化所以極限limx )0y)02xy2是發(fā)散的.x+ y例 6 證明下列極限不存在2Ix y lim33:馮x-yk變化.lim旦: 異0 x yk變化.結(jié)果隨(2):limx 0 yJ02x yr_= limx -yx3y31-klim旦y

11、 ?xyxyxk -1=limlimx：2x yx：oky土x -x結(jié)果隨其極限值隨k的不同而變化，2、二重極限計算多元函數(shù)極限同樣具有一元函數(shù)極限類似的運算法則和性質(zhì)（四則運算、 復合函數(shù)的極限、 兩個重要極限、 等價無窮小、 夾逼原 理仍成立），但羅必達法則不再成立 例 7 計算下列極限解：（1）limM門2x故極限不存在.(2)=limx=02sin (xy)xylim(x,y) )(0,1)xys iny -limM =2 xy1吧廠I2.2因為sinix2y2y2寧且（側(cè)o,i）xy所以（x,y）m（o,i）xysinxy(3)lim -:訂xy 1-1=lim( . xy 11)=

12、2y o(4)x2lim(11)x y=lim(1yxx-lim1， 二0,1：uy .!=e x2=e1= e(5)lim上泌上y2):S (x2y2)2e二limx0y0(6)1lim(1 sin xy)x= lim(1 si nxy)y 1x_0y_12(sinx2y )222lim122exy1 sin xyysin xy xysin xylimx于xy=133x v(7)lim二2心0 x十vy)0巳叫(x y)(1盧x)0 x -y)0 xxyx2y21xyx2y22口x3+ y3且lim(x y)=0, 故lim22=0.xm0 xmsx2+y2(根據(jù)：有界變量與無窮小量的積還是

13、無窮小量)x3+y3x3+ y3x3(1+k3)x(1+k3)0lim22= lim22= lim22lim20 x + y忑x+yXTx (1 + k )XT(1 + k )計算為什么不正確？(因為只考慮了一種方式向原點趨進.)寸x(1 k3)(8)求于是=0 解:2y22lim一4y：x2y2_ 1nxlm：X4y4yixy.nx1 - ys in -例 8 (06.7)設f (x, y)y- ,x 0,y . 0,1 xy arctan x(i)g(x) = lim f(x,y); ( n)lim兇(x).：x_0 1 - ysin(i)g(x)二lim一f (x,y) = lim y)

14、1 xyarcta n x兀xsin1y(1-二x ) +xarcta nxxy二lim -1y)111-二Xx arcta nxy11-二X(U)limgg =1迎一-)x 30 x )0 x arctanx0,取右，則當 0卩6時5恒有 |f (x, y)-6蘭5P =名故lim(4x+y)=6.2四、多元函數(shù)的連續(xù)性1.【定義】：1)設f(P) = f(x,y)則f (P)在點P處連續(xù)：叫f(P)= f(P。).其中，區(qū)域D D(f), PD且F0為D的聚點2)f (P)在點P間斷：f (P)在點R處不連續(xù).3)f (P)在D內(nèi)連續(xù)：f (P)在區(qū)域D內(nèi)每一點連續(xù).2 21(x y )s

15、in22,x y例 10 函數(shù)f(x, y)=x2y2= 0,在(0,0)點連續(xù).例 11 函數(shù)f(x, y)=0,xy2 2 ix +yx2y2x2+ y2= 0.-0,在(0,0)點間斷.I0,(函數(shù)在原點處的極限不存在)x2+ y2=0.例 12 函數(shù)f(x, y)=sin在圓周x2十y2-1義，因此f (x, y)在此圓周上的每一點都間斷.(注意：多元函數(shù)的間斷點可以是一條曲線) 顯然，例10 中的函數(shù)f (x,y)在整個R2內(nèi)連續(xù).f (x, y) = J1 -x2- y2在閉區(qū)域(x, y) | x2+ y2.結(jié)論：多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 數(shù)均為連續(xù)函數(shù). y2=1上沒有定而

16、函數(shù)2乞1上連續(xù).(分母不為零)及復合函的.從而在定義區(qū)域內(nèi)有一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)lim f (P) = f (P0),pJP如:lim(x y )2xy 2=2lim1arcsin(x,y)=(0,2)lim(x,y) :(1,0)x2y2.3=arcs in =23五、有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)【性質(zhì) 1】(有界性)：設u =f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則u在D上必有界.【性質(zhì) 2】(最大值和最小值定理)：設u二f (P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則U在D上必有最大值和最小值.【性質(zhì) 3】(介值定理)：設u二f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，a,b是u取得的兩個不同的函數(shù)值，

17、則u在D上取得介于a,b之間的任何值.加xy 1 -1例 14l i mXTxyyT$1xy 1 T l imx 0y)01xy 1 Txy購(兇 1 1)_=11 1 0 0 11 2小結(jié)：1多元函數(shù)：n 一 2時,函數(shù)u二f(P)稱為多元函數(shù)另外,n =1時，函數(shù)u二f (P)稱為一元函數(shù)一元函數(shù)圖象為平面圖證明：設a二f(pjb = f(Fb),連續(xù)折線L:P =P(t),：乞t乞- 連接巳，巳由于對于任一a,b,因u二fP(t) C：,訂,故存在t CjP,使得f(P) =fP(t ) =c，而P Lu D. 六、初等函數(shù)1 多元初等函數(shù)(1) 多元多項式:遲 aii,i2,y,nx1

18、ilx- xnn也，,243 2例如：3x yz 5y z -8xz.(2) 多元初等函數(shù)：多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則 運算和復合步驟所構(gòu)成的可用一個式子表示的函數(shù)稱為多元初等函 數(shù).22、 In(xy) cos (x y)例如：sin(3x y) +-3-x z +4y2、性質(zhì)(1) 一切多元初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的設u二f(P)在區(qū)域D內(nèi)為初等函數(shù)，RD,則Pimof(PHf(P).注：F0為D(f)的內(nèi)點時也有f(p)二f(p。).例 13 求lim-一yy ; xyx亠V解：因f (x, y)為初等函數(shù)，D(f)二(x, y)|x =0, y =0,xy而(1,2)是D(f)的內(nèi)點，所以有x ylimlimx1XVx-1y 2y21+2形.二兀函數(shù)圖形- ( x, y, z) |z = f (x, y), (x, y)三 D 表現(xiàn)為空