華中科技大學(xué)微積分不定積分課件

1、第五章微分法微分法:)?()( xF積分法積分法:)()?(xf互逆運(yùn)算互逆運(yùn)算不定積分 二、二、 基本積分表基本積分表 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不定積分的概念與性質(zhì) 第五章第五章 一、一、 原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)與不定積分的概念引例引例: 一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn),的作tAFsin下沿直線運(yùn)動(dòng)下沿直線運(yùn)動(dòng) ,).(tv因此問題轉(zhuǎn)化為因此問題轉(zhuǎn)化為:已知已知,sin)(tmAtv求求?)(tv在變力在變力試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

2、 結(jié)束 根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律, 加速度加速度mFta)(tmAsin定義定義 1 . 若在區(qū)間若在區(qū)間 I 上定義的兩個(gè)函數(shù)上定義的兩個(gè)函數(shù) F (x) 及及 f (x)滿足滿足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在區(qū)間在區(qū)間 I 上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù) .則稱則稱 F (x) 為為f (x) 如引例中如引例中, tmAsin的原函數(shù)有的原函數(shù)有 ,cos tmA, 3cos tmA問題問題: 1. 在什么條件下在什么條件下, 一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在 ?2. 若原函數(shù)存在若原函數(shù)存在, 它如何表示它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上連續(xù)在區(qū)間若函數(shù)I

3、xf上在則Ixf)( 存在原函數(shù)存在原函數(shù) .(下章證明下章證明)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)初等函數(shù)在定義區(qū)間上有原函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)()(的一個(gè)原函數(shù)是若xfxF定理定理 2. 的所有則)(xf原函數(shù)都在函數(shù)族原函數(shù)都在函數(shù)族CxF)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) ) 內(nèi)內(nèi) .證證: 1)的原函數(shù)是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函數(shù)是設(shè))()()2xfx)()(xfx 又知又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故故0)()(CxFx)(0為某個(gè)常數(shù)C即即0)()(C

4、xFx屬于函數(shù)族屬于函數(shù)族.)(CxF機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 即即定義定義 2. )(xf在區(qū)間在區(qū)間 I 上的原函數(shù)全體稱為上的原函數(shù)全體稱為Ixf在)(上的不定積分上的不定積分,d)(xxf其中其中 積分號(hào)積分號(hào);)(xf 被積函數(shù)被積函數(shù);xxfd)( 被積表達(dá)式被積表達(dá)式.x 積分變量積分變量;若若, )()(xfxF則則CxFxxf)(d)( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )C 稱為稱為積分常數(shù)積分常數(shù)不可丟不可丟 !例如例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos記作記作機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義:)(xf

5、的原函數(shù)的圖形稱為的原函數(shù)的圖形稱為)(xfxxfd)(的圖形的圖形的所有積分曲線組成的所有積分曲線組成)(xf的平行曲線族的平行曲線族.yxo0 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的的積分曲線積分曲線 . 例例1. 設(shè)曲線通過點(diǎn)設(shè)曲線通過點(diǎn)( 1 , 2 ) , 且其上任一點(diǎn)處的切線且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程求此曲線的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲線過點(diǎn)所求曲線過點(diǎn) ( 1 , 2 ) , 故有故有C2121C因此所求曲線為因此所求曲線為12 xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 yxo)2, 1 (ox例例2.

6、 質(zhì)點(diǎn)在距地面質(zhì)點(diǎn)在距地面0 x處以初速處以初速0v力力, 求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 解解: 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為坐標(biāo)軸, 原點(diǎn)在地面原點(diǎn)在地面, 指向朝上指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為質(zhì)點(diǎn)拋出時(shí)刻為,0t此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為此時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置為初速為初速為,0 x設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)所在位置為質(zhì)點(diǎn)所在位置為, )(txx 則則)(ddtvtx(運(yùn)動(dòng)速度運(yùn)動(dòng)速度)tvtxdddd22g(加速度加速度).0v機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 垂直上拋垂直上拋 , 不計(jì)阻不計(jì)阻 先由此求先由此求)(tv 再由此求再由此求)(tx先求先求. )(tv,ddgt

7、v由由知知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg再求再求. )(txtvttxd)()(0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為于是所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為00221)(xtvttxg由由)(ddtvtx,0vt g知知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 故故ox)0(0 xx )(txx xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本積分表基本積分表 從不定積分定義可知從不定積分定義可知:dxxfd)(xxfd)(或或Cxd)2()(xF)(xF或或Cd)(xF)(xF利用逆向思維利用逆向思維xkd) 1 ( k 為常數(shù)為常數(shù))

8、Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln時(shí)0 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arctanxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cx

9、 shxxdsh)14(2chxxeex機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xchdx2)16(Cthxxshdx2)17(Cxcoth例例3. 求求.d3xxx解解: 原式原式 =xxd34134Cx313例例4. 求求.dcossin22xxx解解: 原式原式=xxdsin21Cx cos21134xC機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)(直接積分法直接積分法)xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推論推論: 若若, )()(1xfkxfinii則則xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k機(jī)動(dòng) 目錄 上

10、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 求求.d)5(2xexx解解: 原式原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xxxddsec2Cxx tan例例7. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例8. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxx

11、xarctan313機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 不定積分的概念不定積分的概念 原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)與不定積分的定義 不定積分的性質(zhì)不定積分的性質(zhì) 基本積分表基本積分表 2. 直接積分法直接積分法:利用利用恒等變形恒等變形, 及及 基本積分公式基本積分公式進(jìn)行積分進(jìn)行積分 .常用恒等變形方法常用恒等變形方法分項(xiàng)積分分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式利用三角公式 , 代數(shù)公式代數(shù)公式 ,積分性質(zhì)積分性質(zhì)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,2chxxeex2shxxeex思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 證明證明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函數(shù)

12、都是xxex2. 若若則的原函數(shù)是,)(xfex d)(ln2xxfx提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 提示提示:3. 若若)(xf是是xe的原函數(shù)的原函數(shù) , 則則xxxfd)(ln提示提示: 已知已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4. 若若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為,sin x則則)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知已知xxfsin)(求求即即B)()(xfxsin)( ?或由題意或由題意,cos)(1Cxxf其原函數(shù)為其原函數(shù)為xxfd)(21sinCxCx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5. 求下列積分求下列積分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 6. 求不定積分求