雙曲線部分性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、一、雙曲線的定義1、第一定義：|PF1 PF2當(dāng)|MF1|MF2|=2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F2所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)|MF1|-|MF2|=-2a時(shí)，曲線僅表示焦點(diǎn)F1所對(duì)應(yīng)的一支；當(dāng)2a=F2|時(shí)，軌跡是一直線上以F2為端點(diǎn)向外的兩條射線；當(dāng)2a|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在。當(dāng)a=0時(shí)，軌跡為兩定點(diǎn)連線中垂線。2、 第二定義：動(dòng)點(diǎn)到一定點(diǎn)F的距離與它到一條定直線I的距離之比是常數(shù)e(e1)二、 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(cb2a2，其中|F1F2|=2c,焦點(diǎn)位置看誰(shuí)的系數(shù)為正數(shù))22 22焦點(diǎn)在x軸上： 冷_爲(wèi)=1(a0,b0)；焦點(diǎn)在y軸上： 厶卑=1(a0,b0)a2b2a2b222mx - ny

2、 =1,(mn：0)；與橢圓共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為：2yb22y2=2a 0)。注意：(1)距離之差的絕對(duì)值。(2) 2av|FiF2|焦點(diǎn)不確定時(shí)：2與雙曲線篤a2與雙曲線篤a2b三、特殊雙曲線：等軸雙曲線：2 2形式：x - y等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的比例中項(xiàng)。共軛雙曲線：(以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線)有共同的漸近線；2、共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；3、離心率倒數(shù)的平方和等于1。四、幾何性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線五、相關(guān)性質(zhì)：1、點(diǎn)與雙曲線的位置關(guān)系：2、中點(diǎn)弦的存在性3、以PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右

3、支；外切：P在左支)2 2若P)(X0,y。)在雙曲線 冷-與=1(a0,b0) 上,則過(guò)R的切線方程是X0Xyoya =1共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是=1共漸進(jìn)線(y = _2x)a1、4、1、22x y2_2a k b -k的雙曲線系方程是=12xa2b2y_2:k . b2)(實(shí)虛軸相等，即a=b)=人(九式0);2、離心率e =;3、兩漸近線互相垂直， 為y=x；XX若Po(xo,yo)在雙曲線b2 2xy22=1(a0,b0)夕卜，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切ab點(diǎn)為P1、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是X0，X -y02ya b=1.2x5、雙曲線-aS丄F1PF2tan 26、以焦點(diǎn)

4、弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線 相交.7、點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處 的內(nèi)角計(jì)1(a0,b0)的焦點(diǎn)角形的面積為2 2x y,8、設(shè)雙曲線一2 =1(a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P(異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上任意a b點(diǎn)，在PF1F2中，記NF1PF2= ,ZPF1F2 = P上F1F2P=丫 ,則有Sn廠=-=e-(sin -sin -) a2 2x y9、已知雙曲線二2=1(ba0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP 0Q.a b11114a2b2a2b2(1)二 =石-土；(2) lOPf+IOQf的最小值為冷冬；(3)SPQ的最小值是 一2|OP|2|OQ

5、|2a2b2ba2b2-a2552 21, Fi、F2是乙日的焦點(diǎn)，其上一點(diǎn)p到Fi的距離等于9則P到焦點(diǎn)F2的距離.1716 202.雙曲線x2-y2=8的左焦點(diǎn)F有一條弦P(在左支上，若|PQ=7, F是雙曲線的右焦點(diǎn)，則PFQ勺周長(zhǎng)是2 2 23-過(guò)點(diǎn)(2，刀且與雙曲線；用有公共漸近線的雙曲線方程是;-4=14.已知F1,F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)F|且垂直于x軸的直線與雙曲線的左支交于AB兩點(diǎn)若=ABF2是正三角形，那么雙曲線的離心率為.325.過(guò)點(diǎn)A(0,2)可以作4條直線與雙曲線X2 J =1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)42 26.過(guò)點(diǎn)P(4,4且與雙曲線話一9=1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條

6、2 27.若-1上點(diǎn)p滿足| PF1| | PF2 |=64(或.F1PF2),求SF1PF2=16.39163L動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線斜率之積為正常數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為？39.若B(-5,0),C(5,0)是三角形ABC的頂點(diǎn)，且sin B -si nCsi nA,求頂點(diǎn)A的軌跡510.圓M與圓C1: (x 4)2y2夕卜切，與圓C2 :(x 4)2 y2=2內(nèi)切，求M軌跡11.已知雙曲線的漸近線方程是y=|,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且焦距是10,貝眥雙曲線的方程為12求與2x2y8有公共焦點(diǎn)的雙曲線，使它們交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形面積最大為8 22 213求與x24y64有公共焦點(diǎn)，且漸近線為X-. 3y=0的雙

7、曲線為-y136122 2x y14.一一=1左支一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線l距離為d,若d,| PF1|,| PF2|成等比，求e范圍a b2215. C:二 =1右頂點(diǎn)為A x軸上一點(diǎn)Q(2a,0),若C上一點(diǎn)P使APPQ二0,求e范圍a2b245 516.漸近線方程為yx,貝吐亥雙曲線的離心率e為一或一33 416已知雙曲線的右頂點(diǎn)為E雙曲線的左準(zhǔn)線與該雙曲線的兩漸近線的交點(diǎn)分別為A B兩點(diǎn)， 若/AEB=60, 貝貝亥雙曲線的離心率e=217.設(shè)e1,62分別為具有公共焦點(diǎn)F1與F2的橢圓和雙曲線的離心率，P為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足PF1PF 0,貝ye?e2的值為2(辛2)18.已知中心在原

8、點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為(.3,0).(1)求雙曲線C的方程；若直線：y=kx+m(kM0m豐(與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN的垂直平分 線過(guò)點(diǎn)A(0,1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.2 2 2解析：(1)設(shè)雙曲線方程為x2書=1(a0,b0).雙曲線C的方程為xy2=1.a b3聯(lián)立y=kx+m整理得(13k2)x26kmx3m23=0.551-3 k2工0直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，22=12(m+13k)0可得m23k21且k2設(shè)M(X!,yi),N(X2,沁,MN的中點(diǎn)為B(xo,y).將代入，得m24m0,二mv0或m4.又3k2=4m+1O(kz0)即m-

9、419.已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為(J3,0)2(1)求雙曲線C的方程；y2=13(2)若直線I : y =kx2與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且OA OB 2(其中O為原點(diǎn)).求k的取值范圍.(-1,-1.(3,1)3319直線I:y =kx 1與雙曲線C：2x2- y2=1的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。(I)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(n)是否存在實(shí)數(shù)k,使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在，求 出k的值。若不存在，說(shuō)明理由。解:(I)將直線I 的方程 y 二 kx 1 代入雙曲線 C 的方程 2x2- y2= 1 后,整理得則Xl+X2=6kmTak2，X0=Xl+X23 kmTak2，yo=kxo+m=m213k由題意,AB丄MN,kAB=3km13k2-k(2Qm豐0)整理得3k2=4m+1(k2-2)x22kx 2 =0. 依直線解得 k 的取值范圍是-2 k02k門為X22: 01 -k2-21 -k2解得一、2 k：1 k 2：k.63 -k2k或k，但2：k：-174k故直線AB的方程為x y 022三三. 三三一二二設(shè)C x