曲線積分與曲面積分期末復習題高等數(shù)學下冊(上海電機學院)

1、第十章曲線積分與曲面積分參考答案2、選擇題1.曲線積分數(shù)，且f(0)2.3.4.5.6.7.8.9.第十章曲線積分與曲面積分答案Lf(x)exsinydxf(x)cosydy與路徑無關(guān)，其中f(x)有一階連續(xù)偏導0,則f(x)A1,A.(e2xxe)B.1(ex2xe)C.-(exe2D.0閉曲線C為xA.02閉曲線C為4xA.2為YOZ平面上A.0A.2a2設(shè)為球面A.4B.2yB.1的正向，則ydxxdyyB.2C.4D.6B.1的正向，則？Cydxxdy4x2一，2則？(xCB.設(shè)L是從O(0,0)到B(1,1)A.B.設(shè)I=I=DA.L.yds5.56其中C.0則(x21c.一4y2)

2、ds1,則曲面積分C.C.D.z2)dsD1D.2D.dS1、x2y2z2的值為BD.的直線段，則曲線積分ydsC.2C.2.2D.2L是拋物線5.5B.12yx2上點(551C.60,0)與點(1,1)之間的一段弧,551D.12如果簡單I曲線lA1A.xdx2l所圍區(qū)域的面積為，那么ydy；B.第十章曲線積分與曲面積分參考答案17 -C.1.oydxxdy;D.ydx。、一 _22210.設(shè) S: x y zA. xds 4 xdsSS1C. zds 4 zdsSS1R2(z0),S1為S在第一卦限中部分，則有B.yds4ydsSS1D.xyzds4xyzdsSS1、填空題1.設(shè) L 是以

3、(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0,2- L ydx (ey x)dy -21)為頂點的正方形邊界正向一周，則曲線積分2222,2.S為球面x2yz2a2的外側(cè)，則(yz)dydz(zx)dzdx(xy)dxdy0s3 .0y=2x2y21x2y22234 .曲線積分？(xy)ds,其中C是圓心在原點，半徑為a的圓周，則積分值為2a5 .設(shè)E為上半球面 zx2 y2 z 0 ,則曲面積分222x y z ds = 32 %226 .設(shè)曲線C為圓周x y221,則曲線積分?C x y 3x ds(x y)ds 1+ . 2C7.設(shè)C是以O(shè)(0,0),A(1,0),B(0,1)為

4、頂點的三角形邊界，則曲線積分8 .設(shè)為上半球面zJ4x2y7,則曲面積分,ds的值為8。222Q1-xyz39.光滑曲面z=f(x,y)在xoy平面上的投影區(qū)域為D,則曲面z=f(x,y)的面積是_S.1(z)2(z)2ddxy三、計算題1.ex 1 y ds ,其中L為圓周x2L2y 1,直線y x及x軸在第一象限所圍圖形的邊界。解：記線段OA方程yx,0 x2x cos,圓弧AB方程,02y sin線段OB方程y0,0則原式=e，xFds +OA2一_ds +ey ds = 2 e &dx +0OB4 ed01exdx0=2(e1)2.Lx2y2dxyxyln(xPdy,其中L為曲線ysi

5、nx,0與直線0,0x所圍閉區(qū)域D的正向邊界。解：利用格林公式,yxyln(x,x2),則故原式=(Dp、，)dxdyyy2dxdysinx2dxydy003.sinxdx03.y2dxx2dy,其中LL為圓周R2的上半部分,L的方向為逆時針。Rcost,t從0變化到Rsint故原式=qR2sin21(Rsint)R2cos2t(Rcost)dt=R30(1cos21)(sint)(1sin2t)costdt=4R34.求拋物面22、zxy被平面z1所割下的有界部分的面積。解：曲面的方程為zx2y2,(x,y)D,這里D為在XOY平面的投影區(qū)域(x,y)x2y21。故所求面積=i25、51.1

6、4rrdr065、計算(exsinyLmy)dx(excosym)dy,其中L為圓(xa)2y22_.a2(a0)的上半圓周，方向為從點A(2a,0)沿L到原點O。解：添加從原點到點P (ex sin y my), Q ex cosy m ,P excosy m,工yxxe cos yA的直線段后，閉曲線所圍區(qū)域記為D,利用格林公式(ex sin yLmy)dx(excosym)dy+(exsinymy)dx(excosym)dyOA=mdxdy2a0dx 0 0,于是便有0D，xx而(esinymy)dx(ecosym)dy=OA(exsinyLxmy)dx(ecosym)dy=6.(y2z

7、2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz,其中L為球面x2y2z21在第L卦限部分的邊界，當從球面外看時為順時針。解：曲線由三段圓弧組成，設(shè)在YOZ平面內(nèi)的圓弧AB的參數(shù)方程x0ycost,t從一變化到0。2zsint于是(y2z2)dx(z2x2)dy(x2y2)dz=sin2t(sint)coS?t(cost)dt=-AB23由對稱性即得222222222222(yz)dx(zx)dy(xy)dz3(yz)dx(zx)dy(xy)dz4LAB#7.(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy,其中為平面xyz1,x0,y0,z0所圍立體的表面的外側(cè)。解：記1為該表面在XOY平面內(nèi)的部分

8、，2為該表面在YOZ平面內(nèi)的部分，3為該表面在XOZ平面內(nèi)的部分,4為該表面在平面x y z 1內(nèi)的部分。i的方程為z 0,0y 1 x,0 x 1,根據(jù)定向，我們有(x 1)dydz (y 1)dzdx (z1同理， (x 1)dydz (y 1)dzdx 2(x 1)dydz (y 1)dzdx34的方程為z 1 x y,0 y 1(z 1)dxdy (2 x40 x 10 y 1 x由對稱性可得(x 1)dydz (y 1441)dxdy = (z 1)dxdy = dxdy10 x 10 y 1 x1(z 1)dxdy-1(z 1)dxdy-x,0 x 1,故、一 2y) dxdy -

9、5-2)dzdx 一，3故(x1)dydz(y1)dzdx(z1)dxdy24，11#ex y)dxdy,其中于是所求積分為2131228 .計算曲面積分：(xyz)dydz2ysin(zx)dzdx(3zSS為曲面xyz1的外側(cè)。解：利用高斯公式，所求積分等于(1lu Iv w 1八J123)dxdydz=60g%=89 .計算I=xydydzyzdzdxxzdxdy,其中S為x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍立s體的表面外側(cè)解：設(shè)V是x+y+z=1,x=0,y=0,z=0所圍的立體由Gass公式得：I=(xyz)dxdydzV1.1x.1xy=0dx0dy0(xyz)dz=-#83

10、2.210.計算I=xdx3zydyxydz,其中是從點A(3,2,1)到點B(0,0,0)的直線段AB解：直線段AB的方程是-；化為參數(shù)方程得:321x=3t,y=2t,z=t,t從1變至ij0,所以：32.2.I=xdx3zydyxydz03220.3.87=(3t)333t(2t)22(3t)22tdt=87t3dt#11411 .計算曲線積分I=amo(exsiny2y)dx(excosy2)dy,其中AMO是由點A(a,0)至點O(0,0)的上半圓周x2y2ax解：在x軸上連接點O(0,0),A(a,0)將AMO擴充成封閉的半圓形AMOA在線段OA,/xx(esiny2y)dx(ec

11、osy2)dyOA從而AMOAMOOAAMOA又由Green公式得：AMOA(exsiny2y)dx (ex cosy 2)dy2dxdy22x y axa212 .計算曲線積分Lz3dxx3dyy3dz其中L是z=2(x2y2)與z=3x2y2的交線沿著曲線的正向看是逆時針方向解：將L寫成參數(shù)方程：x=cost,y=sint,z=2t:02于是：z3dxx3dyy3dz=28sintdt2cos4tdt=-L004另證：由斯托克斯公式得Lz3dx x3dy y3dz= (3y2220)dydz(3z0)dxdz(3x0)dxdy? z3dx x3dy y3dz:z2,x2y21上側(cè)，則:co

12、s2 dr23xdxdyx2y2113 .設(shè)曲面S為平面x+y+z=1在第一卦限部分，計算曲面S的面積I解：S在xoy平面的投影區(qū)域為：Dxy(x,y)0y1x,0x11,dS=J3dxdy=dx0SDxyx1.3%3dy=”3(1x)dx14.計算曲線積分(xy)dx(xL22xyy)dy其中L是沿著圓(x1)2(y1)21從點A(0,1)到點B(2,1)的上半單位圓弧解：設(shè)P(x,y)xy22xyQ(x,y)xy22xy當x2y20時，y2y(x22x2xy2、2y)故:所求曲線積分在不包圍原點的區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)則:(xy)dx(xy)dy(xy)dx(xy)dyAB15.關(guān)。解:20(-

13、)dx11=-ln5-arctan22確定的值，使曲線積分x2C4xydx6x1y22ydy在XoY平面上與路徑無當起點為0,0,終點為3,1時，求此曲線積分的值。由已知，P2x4xy,Q6x12y2y；由條件得4xy3,3,10,04xy3dx226xy2ydy1x3223y2xy3,10,02616.設(shè)曲面S為球面x24被平面z=1截出的頂部，計算-dSsz解：S的方程為：z/4S在xoy平面的投影區(qū)域為:Dxy(x,y)x2y232d4x2xy-dxdy=y2r2-dr=4ln2r17.計算I=yzdydzxzdzdx(xz)dxdy,其中是x2y2(za)20za,取下側(cè)解：作輔助曲面

14、1:z=a,(x2y2a2)取上側(cè)設(shè)為x2y2(za)22a,za所圍閉區(qū)域Dxy為平面區(qū)域)yzdydz1xzdxdz(xyz)dxdydxdydz(xDxy、一23ya)dxdy=a3adxdyDxy(xy)dxdy0)Dxyx18.L為上半橢圓圓周Lydxydzdx所圍的整個曲面的外側(cè)。解：acost,取順時針方向，求bsintLydxxdy.由高斯公式，可得(112z2)dvxdy(z2zdv0bsint(0abdtabasint)acost(bcost)dt2z)dxdy,其中為錐面z#y2與z11zdz20.計算曲線積分ex)dx(3x2xe)dy,其中L是橢圓a2yb21的正向。

15、解：令Pyex,Q3xey,則設(shè)L所圍成的閉區(qū)域為D,則其面積ab。2dxdy 2 dxdy 2 ab.D從而由格林公式可得I?（yex）dx（3xey）dy22221.設(shè)為枉面xza在使得x0,0的兩個卦限內(nèi)被平面y0及yh所截卜部分的外側(cè)，試計算Ixyzdxdy。解：將分成1與2,其中221： zax一.22一.（取上側(cè)），2：z7ax（取下側(cè)），i與2在xoy面上的投影為Dxy:0xa,022.dSDyz23.xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy12xya2x2dxdyDxy2xy.a2x2dxdyDxy13,2ah.3xy(Dxy計算曲面積分Iz2dS,其中是柱面x設(shè)1為在第一卦

16、限的部分曲面。2xdydzz2dydz4T:0y2,0z2dS4計算曲面積分z2dS2/2z42dydzDyz.4yI(z2x)dydza2x2)dxdy,h-122dx0xax2y4介于0ydyz6的部分。,4y丫2yozdy.4y26z2dz02881cczdxdy,其中是旋轉(zhuǎn)拋物面z一（xy）介于20及z2之間部分的下側(cè)。解:利用高斯公式，取1:z2且x2y24。取上側(cè)，與1構(gòu)成封閉的外側(cè)曲面，所22(zx)dydzzdxdy白(zx)dydzzdxdy1(z21x)dydzzdxdy24.計算曲線積分I(11)dv2dxdydv2dxdycosx到點B解：px2xy2,Qy取小圓周,1

17、/IT?(yCx)dx25.用高斯公式計算z0,z解：p原式=yxdx2x2,1的曲線段。(yDxy2dr00.22rdz129dy22其中C是自點A2,1沿曲線x22xy充分小，取逆時針方向，則由Green公式可得：x)dy3圍成封閉曲面的外側(cè)。zx,QQz,一ydv1rdr0sin0,Rx0,-R0zrsinrsin3r2sin21x一一一dx22arctan221x2dxdyyzxdydz,其中:柱面x2zrdrddzzdzdr1及平面第十章曲線積分與曲面積分參考答案1926.計算曲面積分2Ix8z1dydz4yzdzdxy2zdxdy是曲面2、，一一y被平面z3所截下的部分，取下但I)

18、。解:2,取上側(cè)，Idv3dz1dxdyD(z)31(z1)dz,其中D(z):x2Dxy(y18)dxdy18Dxydxdy36I3827.計算曲線積分：(x3lxy)dx(x2y2)dy,其中L是區(qū)域0wxw1,0y1的邊界正向。解：利用Green公式3(xxy)dx(x2112y)dy=xdxdyxdydx28、計算曲面積分2,2,xdydzydxdz2.zdxdy，其中匯為平面方程x+y+z=1在第一卦限的上側(cè)。解：x2dydzy2dxdz2zdxdy=22xy(1x2y)dxdy或由對稱性：x2dydzy2dzdxz2dxdy,21而zdxdy，故I12或.13dSdxdydydzd

19、zdx可知。29.計管Lxcosydxysinxdy其中L是由點A(0,0)至ijB(兀，2兀)的直線段。解:AB勺方程y2xx0,dy2dxxcosydxysinxdyxcos2x4xsinxdx030、設(shè)f(x)可微，f(0)1且曲線積分)2f(x)e2xydxf(x)dy與路徑無關(guān)。求f(x)。第十章曲線積分與曲面積分參考答案解：-2fxe2x,-Qfx24 -一、一一，P因該項積分與路徑無關(guān)，所以Q,有2fxe2xfx。令yx得微分方程y2ye2x,解得ye2xxc,(2分)代入條件f(0)1得C=1從而有ye2x31、計算對面積的曲面積分y2yy12r5sin2 drDxyz2ds,:zJx2y2,其中1解：Zxx22,Zyxy_y_曲面在XOY平面上的投影為Z2Zy一.2原式=y=224sin2221232、計算曲面積分2xzdydzzdxdy,其中2是曲面z1的部分的下側(cè)。解:1且取上側(cè)，又QR3,由高斯公式2xzdydzzdxdy2xzdydzzdxdy2xzdydzzdxdy3dxdydzdxdy=rdr3dz0r2四、綜合題x1、證明在整個XOY平面上，(esinymy)d