數(shù)學物理方程數(shù)學物理第一章

1、1 1緒論緒論 數(shù)學物理方程是數(shù)學建模的最好例證，從中我們可以學習如何將一個實際問題通過適當?shù)暮喕图僭O，用適當?shù)臄?shù)學結構來表示，即如何建立一個實際問題的數(shù)學模型，然后求解該模型，模型的解能否解釋實際問題的現(xiàn)象。也就是說求得的解是否能夠描述實際問題，這要通過物理實驗來驗證。這一過程就是科學研究所需要的或者說必經的過程。我們從所學的三類方程中可以看到數(shù)學的抽象性而決定的數(shù)學模型應用的廣泛性，經典方程的經典解法具有的一般性和普適性。1 1緒論緒論.基基礎礎和和背背景景理理論論和和實實際際問問題題為為研研究究數(shù)數(shù)學學物物理理方方程程是是以以物物理理.解方法解方法三種典型物理方程的求三種典型物理方程的

2、求本課程主要內容：介紹本課程主要內容：介紹一、本課程的研究對象一、本課程的研究對象.工具是偏微分方程理論工具是偏微分方程理論研究方法是數(shù)學分析，研究方法是數(shù)學分析，.理方程理方程偏微分方程稱作數(shù)學物偏微分方程稱作數(shù)學物我們把描述物理現(xiàn)象的我們把描述物理現(xiàn)象的什什么么是是偏偏微微分分方方程程？.分方程分方程偏導數(shù)的等式稱作偏微偏導數(shù)的等式稱作偏微含有未知多元函數(shù)及其含有未知多元函數(shù)及其刻刻其其內內部部某某一一點點處處溫溫度度描描述述某某一一物物體體在在某某一一時時例例),(tzyxu 1 1),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 熱傳導方程熱傳導方程0

3、 02 22 22 22 22 22 22 2 zuyuxu 例例稱作拉普拉斯方程稱作拉普拉斯方程所所滿滿足足的的方方程程位位移移描描述述弦弦（桿桿）振振動動時時其其例例),(txu 3 32 22 22 22 22 2xuatu 稱作振動方程稱作振動方程所所滿滿足足的的方方程程移移描描述述梁梁的的橫橫振振動動時時其其位位例例),(txu 4 4),(txfxuatu 4 44 42 22 22 2所所滿滿足足的的方方程程和和位位函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)描描述述靜靜電電、磁磁場場的的力力函函例例vu 5 5 0 00 0yuxvyvxu.世世紀紀是是其其迅迅速速發(fā)發(fā)展展時時期期、世世紀紀。偏偏微微分分方方

4、程程誕誕生生于于2 20 01 19 91 18 8源二、數(shù)學物理方程的起年年）：首首先先給給出出弦弦振振動動方方程程（法法國國數(shù)數(shù)學學家家、物物理理學學家家1 17 74 47 72 22 22 22 22 2xuatu )()(),(xatxattxu 2 21 1并并給給出出其其解解：研研究究。拉拉等等人人對對弦弦振振動動的的深深入入這這引引起起伯伯努努利利家家族族、歐歐.斯斯方方程程出出色色工工作作，稱稱作作拉拉普普拉拉拉拉普普拉拉斯斯的的現(xiàn)現(xiàn)位位勢勢方方程程！后后來來因因為為年年歐歐拉拉在在論論文文中中首首次次出出1 17 75 52 20 02 22 22 22 22 22 2 z

5、uyuxu.、三三維維波波動動方方程程和和球球面面波波時時建建立立了了二二維維年年歐歐拉拉在在在在研研究究矩矩形形鼓鼓1 17 75 59 9)(2 22 22 22 22 22 22 22 22 2zuyuxuatu 其數(shù)學模型的不斷深入方展，作為世紀隨著物理科學發(fā)展到了19各各類類偏偏微微分分眾眾多多數(shù)數(shù)學學家家系系統(tǒng)統(tǒng)地地研研究究榮榮起起來來的的偏偏微微分分方方程程，空空前前繁繁.世世紀紀偏偏微微分分方方程程的的內內容容進進行行的的，所所以以聯(lián)聯(lián)系系著著相相應應的的物物理理模模型型究究方方法法大大多多都都性性和和求求解解方方法法。這這些些研研方方程程古古典典解解的的存存在在唯唯一一1 1

6、9 9.也稱為數(shù)學物理方程也稱為數(shù)學物理方程。究究熱熱烈烈局局面面的的第第一一人人是是世世紀紀打打開開偏偏微微分分方方程程研研Fourier1 19 9當時工業(yè)上要研究金屬冶煉和熱處理，迫切需要確定金屬內部各點的溫度如何隨時間變化！Fourier對這種熱流動問題頗有興趣.1807年想巴黎科學院提交了用數(shù)學研究熱傳導的論文。,2 22 22 2xuatu .格格性性而而遭遭到到質質疑疑卻卻在在理理論論上上因因為為缺缺乏乏嚴嚴“形形式式”風風氣氣進進行行的的世世紀紀數(shù)數(shù)學學物物理理界界流流行行的的量量法法！他他的的研研究究是是沿沿用用并并創(chuàng)創(chuàng)立立了了所所謂謂的的分分離離變變1 18 8Fourie

7、r用實驗的方法驗證了任何函數(shù)都可以展開成三角級數(shù)的形式。但他沒有給出證明和函數(shù)可以展開成級數(shù)應該具備的條件。1829年德國數(shù)學家狄里赫雷給出了嚴格的證明.19世紀對數(shù)學物理方程有重要貢獻的另外是法國兩位數(shù)學家Poisson和Laplace和英國數(shù)學家格林以及德國數(shù)學家黎曼.這三類方程及其求解構成數(shù)學物理方程的主要內容）達達朗朗貝貝爾爾的的弦弦振振動動方方程程(2 22 22 22 22 2xuatu 的位勢方程）（laplacezuyuxu0222222的的熱熱傳傳導導方方程程）（Fourierxuatu2 22 22 2 18世紀著名數(shù)學家、物理學家達朗貝爾（1717-1783歐拉（1707

8、-1783）弦振動的研究先驅弦振動的研究先驅球球面面波波研研究究先先驅驅歐歐拉拉 - -數(shù)學物理方程中的著名數(shù)學家物理學家位勢方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827） 傅立葉（法1768-1830）-熱傳導方程的研究先驅 柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）二、二、 關于偏微分方程的基本概念關于偏微分方程的基本概念.高高階階數(shù)數(shù)未未知知函函數(shù)數(shù)的的偏偏導導數(shù)數(shù)的的最最包包含含在在偏偏微微分分方方程程中中的的1.1.方程的階方程的階二二階階偏偏微微分分方方程程 2 22 22 22 22 2xuatu 四四階階偏偏微微分分方方程程 4 44 42 22 22 2xuatu

9、 一一階階偏偏微微分分方方程程組組 0 00 0yuxvyvxu.是是線線性性的的未未知知函函數(shù)數(shù)和和其其偏偏導導數(shù)數(shù)都都出出現(xiàn)現(xiàn)在在偏偏微微分分方方程程中中的的1.2 線性微分方程線性微分方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 2 22 22 22 22 2xuatu 線性的線性的 否否則則成成為為非非線線性性的的，如如0 0 xuxttuu 一一階階非非線線性性1.3半半 線性微分方程、擬線性方程線性微分方程、擬線性方程稱作半線性的；稱作半線性的；階偏導數(shù)階偏導數(shù)不含有未知函數(shù)及其低不含有未知函數(shù)及其低其系數(shù)其系數(shù)偏導數(shù)都是線性的，而偏導數(shù)都

10、是線性的，而偏分方程中所有最高階偏分方程中所有最高階,.稱稱作作擬擬線線性性的的數(shù)數(shù)及及其其低低階階偏偏導導數(shù)數(shù)，則則如如果果其其系系數(shù)數(shù)含含有有未未知知函函半線性偏微分方程半線性偏微分方程 0 03 33 3 xuxucutu組組擬線性一階偏微分方程擬線性一階偏微分方程 0 00 02 2xuucxvvtvxvuxuvtu本課遇到一二階線性偏微分方程的一般表達形式本課遇到一二階線性偏微分方程的一般表達形式),(),(),(),(yxfuyxcyuyxbxuyxa0),(),(),(),(),(),(2),(22222yxGuyxFyuyxExuyxDyuyxCyxuyxBxuyxA一階線性偏

11、微分方程的一般表達形式一階線性偏微分方程的一般表達形式二階線性偏微分方程的一般表達形式二階線性偏微分方程的一般表達形式1.4非齊次、齊次偏微分方程非齊次、齊次偏微分方程在線性偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及偏導數(shù)的非零項稱作在線性偏微分方程中，不含有未知函數(shù)及偏導數(shù)的非零項稱作非齊次項。含有非奇次項的方程稱之為非齊次方程；否則稱作非齊次項。含有非奇次項的方程稱之為非齊次方程；否則稱作齊次方程。齊次方程。),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 分分方方程程非非齊齊次次二二階階三三維維線線性性微微)(2 22 22 22 22 22 22 2yuxuatu

12、 。對象所展布的空間維數(shù)對象所展布的空間維數(shù)維數(shù)是指所研究的物理維數(shù)是指所研究的物理方程方程齊次二階二維線性微分齊次二階二維線性微分1.5偏微分方程的古典解偏微分方程的古典解m階偏微分方程在某區(qū)域的古典解是指具有直至階偏微分方程在某區(qū)域的古典解是指具有直至m階連續(xù)偏導數(shù)階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)使方程對其全體自變量在該區(qū)域成為等式。的函數(shù)使方程對其全體自變量在該區(qū)域成為等式。F非齊次項1.6偏微分方程的定解條件與定解問題偏微分方程的定解條件與定解問題偏微分方程的解有無窮多個偏微分方程的解有無窮多個而每個解都表示一特定的運動過程，而每個解都表示一特定的運動過程，為了找出我們所研究的具有實際問題要求的解，

13、必須考慮研究為了找出我們所研究的具有實際問題要求的解，必須考慮研究對象所處的周圍環(huán)境和初始狀態(tài)等其他因素對解的影響，通過對象所處的周圍環(huán)境和初始狀態(tài)等其他因素對解的影響，通過在這些方面的考慮，得到一些已知條件。這樣就有可能確定出在這些方面的考慮，得到一些已知條件。這樣就有可能確定出一個特定的解。這個特解既要滿足方程本身又要滿足所考慮的一個特定的解。這個特解既要滿足方程本身又要滿足所考慮的各種影響因素，因此也稱作定解；這些已知條件稱作定解條件。各種影響因素，因此也稱作定解；這些已知條件稱作定解條件。偏微分方程與其定解條件一起構成定解問題。偏微分方程與其定解條件一起構成定解問題。偏微分方程的定解問

14、題并不一定都有解。因此定解問題提的一偏微分方程的定解問題并不一定都有解。因此定解問題提的一定要適當。定要適當。 fufuatufuatu2 22 22 22 2.種方程的解法種方程的解法本課程主要研究下面三本課程主要研究下面三三、數(shù)學物理方程的研究方法三、數(shù)學物理方程的研究方法在數(shù)學中解決每個問題時，總是先對問題進行盡可能詳細的考在數(shù)學中解決每個問題時，總是先對問題進行盡可能詳細的考察，取得感性認識，從中找出規(guī)律性的東西，然后使用判斷和察，取得感性認識，從中找出規(guī)律性的東西，然后使用判斷和推理的方法得出數(shù)學結論。這叫做分析過程，而從數(shù)學上嚴格推理的方法得出數(shù)學結論。這叫做分析過程，而從數(shù)學上嚴

15、格論證結論的正確性叫做綜合過程。就結論是否正確，綜合過程論證結論的正確性叫做綜合過程。就結論是否正確，綜合過程是不可缺的。但對探討新結論來說，分析過程尤為重要！是不可缺的。但對探討新結論來說，分析過程尤為重要！在數(shù)學物理方程中，在數(shù)學物理方程中，我們特別強調通過分析過程推測可能得到的結論！而對結論的嚴格論證則常給予略去。這種做法并不意而對結論的嚴格論證則常給予略去。這種做法并不意味著可以取消綜合過程，而是意味著分析過程從方法到結論都味著可以取消綜合過程，而是意味著分析過程從方法到結論都能給我們一些新的結論，而驗證結論的正確性原則上沒有什么能給我們一些新的結論，而驗證結論的正確性原則上沒有什么困

16、難。困難。正因為分析過程的任務在于探求新結論，而結論的確實成立與正因為分析過程的任務在于探求新結論，而結論的確實成立與否還需另行證明，所以在分析過程的推理中，并不要求十分嚴否還需另行證明，所以在分析過程的推理中，并不要求十分嚴格，特別的不要由于某些定理的條件限制而束縛自己的思路，格，特別的不要由于某些定理的條件限制而束縛自己的思路，這是本課程中應該注意的。這是本課程中應該注意的。四、數(shù)學物理方程的基本內容和要求四、數(shù)學物理方程的基本內容和要求本課程不可能對各種的數(shù)學物理問題進行普遍的介紹，只能就本課程不可能對各種的數(shù)學物理問題進行普遍的介紹，只能就前面我們提到的三種典型方程的典型定解問題做介紹

17、！前面我們提到的三種典型方程的典型定解問題做介紹！目的：目的： 使大家初步了解怎樣把物理學、力學、和科學技術中的使大家初步了解怎樣把物理學、力學、和科學技術中的一些實際問題表達成偏微分方程的定解問題；掌握求解偏微分一些實際問題表達成偏微分方程的定解問題；掌握求解偏微分方程定解問題的一些基本方法；獲得從物理上解釋某些數(shù)學結方程定解問題的一些基本方法；獲得從物理上解釋某些數(shù)學結果的初步訓練。這也是目前數(shù)學建模所需要的能力。果的初步訓練。這也是目前數(shù)學建模所需要的能力。數(shù)學物理方程是一門同實際聯(lián)系比較緊密的數(shù)學學科，因而也數(shù)學物理方程是一門同實際聯(lián)系比較緊密的數(shù)學學科，因而也是一門綜合性比較強的學科

18、；它以解決實際問題為唯一目標，是一門綜合性比較強的學科；它以解決實際問題為唯一目標，廣泛應用物理學、力學、數(shù)學的各個分支知識；高等數(shù)學、復廣泛應用物理學、力學、數(shù)學的各個分支知識；高等數(shù)學、復變函數(shù)、積分變換等。變函數(shù)、積分變換等。 fufuatufuatu2 22 22 22 21.9數(shù)學物理方程課程所需要的基礎數(shù)學物理方程課程所需要的基礎五、數(shù)學物理方程參考書五、數(shù)學物理方程參考書1 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù) 南京工學院數(shù)學教研組南京工學院數(shù)學教研組 高等教育出版社高等教育出版社 1982年年2數(shù)學物理方程數(shù)學物理方程 歐維義歐維義 吉林科技出版社吉林科技出版社 198

19、5年年的的基基本本概概念念針針對對下下列列方方程程復復習習所所學學0 02 21 14 44 42 22 24 44 44 4 yuyxuxu)(次次？階階數(shù)數(shù)？、非非線線性性的的？齊齊次次非非齊齊回回答答下下列列方方程程是是線線性性的的四階線性齊次四階線性齊次0 02 2 xuxyxuu)(一階非線性，擬線性的一階非線性，擬線性的0 03 32 22 22 2 yuxxu)(二階線性齊次的二階線性齊次的xyuyxuxusin)( 2 22 22 22 22 22 24 4二階線性非齊次的二階線性非齊次的0 02 25 52 23 32 22 2 uyxuxuln)(三階非線性三階非線性2 2

20、方程及定解問題的物理推導方程及定解問題的物理推導AOl,弦弦，兩兩端端被被固固定定在在一一根根拉拉緊緊的的均均勻勻柔柔軟軟細細設設有有長長為為，方向的微小橫向振動時方向的微小橫向振動時垂直于垂直于當它在平衡位置附近作當它在平衡位置附近作OA2.1、弦振動方程、弦振動方程作用作用向上的力向上的力受到垂直于受到垂直于兩點，且在單位長度上兩點，且在單位長度上FOA問題分析與假設問題分析與假設. 2 21 12 2 .沿沿平面上，而且弦上的點平面上，而且弦上的點指全部運動出現(xiàn)在一個指全部運動出現(xiàn)在一個橫向橫向:；是常數(shù)是常數(shù)勻就可以設線密度處處勻就可以設線密度處處細弦：可以看成線；均細弦：可以看成線；

21、均 2.1.1、物理模型、物理模型.求求弦弦上上各各點點運運動動規(guī)規(guī)律律線傾角很?。痪€傾角很?。欢燃跋以谌魏挝恢锰幥卸燃跋以谌魏挝恢锰幥形⑿。嚎梢钥闯烧駝臃⑿。嚎梢钥闯烧駝臃?運動運動垂直于平衡位置的方向垂直于平衡位置的方向OAxuF如下圖建立坐標系如下圖建立坐標系點為坐標原點點為坐標原點軸設為平衡位置，軸設為平衡位置，.Oox數(shù)學模型建立數(shù)學模型建立3 31 12 2 .PQ段段利利用用微微元元法法：取取弦弦上上一一PxQxx PQFpT QT x .),(軸軸方方向向的的位位移移時時刻刻沿沿垂垂直直于于點點處處表表示示弦弦上上xtxtxu有伸長！那么就有有伸長！那么就有可以認為弦在震蕩中

22、沒可以認為弦在震蕩中沒由于振動是微小的，故由于振動是微小的，故xPQ 無關！無關！時間時間，即它與位置，即它與位置常數(shù)常數(shù)弦所受的張力大小恒為弦所受的張力大小恒為txT數(shù)學模型建立數(shù)學模型建立3 31 12 2 .PQFpT QT x .),(軸軸方方向向的的位位移移時時刻刻沿沿垂垂直直于于點點處處表表示示弦弦上上xtxtxuxPQ ，常常數(shù)數(shù)弦弦所所受受的的張張力力大大小小恒恒為為T！方向沿著弦的切線方向方向沿著弦的切線方向弦是柔軟的，所受張力弦是柔軟的，所受張力軸方向所受的力有軸方向所受的力有u;)(方向向上方向向上外力外力xF 1 1;,sin)(方向向下方向向下分力分力點張力點張力 T

23、TP2 2方向向上；方向向上；分力分力點張力點張力,sin)( TTQ3 3角很小，即角很小，即由于振動是微小的，傾由于振動是微小的，傾 tansin,tansin ),(tantansintxuuuxxx 2 22 21 11 1 ),(sintxxux )(1 1xu),(sintxux 無關！無關！時間時間即它與位置即它與位置tx：第二定律第二定律由由NewtonttxuxFTT sinsinxFtxTutxxTuxx ),(),(),(txxxutt ：第二定律第二定律由由NewtonttxuxFTT sinsin),(),(),(txxxuxFtxTutxxTuttxx ),(),(

24、),(txxuFxtxutxxuTttxx 具有二階連續(xù)偏導數(shù)，具有二階連續(xù)偏導數(shù)，并進一步假定并進一步假定),(,txux0 0 ),(txuFTuttxx FuTtxuxxtt ),(fuatxuxxtt 2 2),(單位長度加速度）單位長度加速度）其中：其中：(, FfTa 0 02 2弦的強迫橫振動方程則有則有如果沒有外力如果沒有外力, 0 0 Fxxttuatxu2 2 ),(弦的自由橫振動方程fuatxuxxtt 2 2),(xxttuatxu2 2 ),(理意義不同。理意義不同。只是未知函數(shù)表示的物只是未知函數(shù)表示的物電報方程等電報方程等擾動的傳播、擾動的傳播、縱振動，管道中氣體

25、小縱振動，管道中氣體小可以用來描述彈性桿的可以用來描述彈性桿的.現(xiàn)象，而是一類！現(xiàn)象，而是一類！映的是不只是一個物理映的是不只是一個物理因此，同一個方程所反因此，同一個方程所反除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翹翹的的固固定定框框架架上上，將將均均勻勻柔柔軟軟的的薄薄膜膜張張緊緊2.2、薄膜平衡方程、薄膜平衡方程薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架架的的微微翹翹的的重重力力外外，無無其其他他外外力力2.2.1、物理模型、物理模型.無關無關所說的靜態(tài)就是和時間所說的靜態(tài)就是和時間滿滿足足方方程程的的橫橫向向位位移移記記作作薄薄膜膜各各點點（),(),(),yxuyxuyxTguuyyxx 一般

26、的稱形如一般的稱形如),(yxfuuyyxx ，則有，則有如果自身重力可以忽略如果自身重力可以忽略0 0 yyxxuu.方程方程為二維為二維Poisson.(或調和方程）或調和方程）方程方程為二維為二維Laplace 方程方程三維三維方程方程三維三維LapalacePoissonzyxfuuuzzyyxx 0 00 0),(.上各點的橫向位移上各點的橫向位移一個曲面，求靜態(tài)薄膜一個曲面，求靜態(tài)薄膜除除薄薄膜膜自自身身的的于于微微翹翹的的固固定定框框架架上上，將將均均勻勻柔柔軟軟的的薄薄膜膜張張緊緊2.2、薄膜平衡方程（推導過程）、薄膜平衡方程（推導過程）薄薄膜膜形形成成作作用用，由由于于框框架

27、架的的微微翹翹的的重重力力外外，無無其其他他外外力力2.2.1、物理模型、物理模型.(平衡狀態(tài)）平衡狀態(tài)）無關無關所說的靜態(tài)就是和時間所說的靜態(tài)就是和時間。的的橫橫向向位位移移也也就就是是薄薄膜膜各各點點（),(),yxuyx.上各點的橫向位移上各點的橫向位移一個曲面，求靜態(tài)薄膜一個曲面，求靜態(tài)薄膜假設與分析假設與分析.坐坐標標面面；薄薄膜膜所所在在平平面面為為展展平平的的薄薄膜膜厚厚度度可可忽忽略略oxy).,(;yxuoxy薄薄膜膜形形成成的的曲曲面面方方程程為為，薄薄膜膜密密度度面面的的方方向向為為薄薄膜膜的的橫橫向向垂垂直直于于 ,),QRPSyx的的微微元元，記記作作在在薄薄膜膜上上

28、取取包包含含點點（SPRQoxyQRPSyx 坐坐標標面面的的投投影影區(qū)區(qū)域域記記作作在在的的微微元元點點（),xx xyuoyyy xQRPSQRSP力力）的兩側薄膜之間有拉）的兩側薄膜之間有拉微元各邊緣（空間曲線微元各邊緣（空間曲線.T力稱作張力密度力稱作張力密度沿邊緣單位長度上的拉沿邊緣單位長度上的拉.是常數(shù)是常數(shù)張力密度張力密度在薄膜微翹情況下可視在薄膜微翹情況下可視T!處的薄膜切平面內處的薄膜切平面內的張力方向是在的張力方向是在邊緣任意點邊緣任意點MM的邊緣法平面內）的邊緣法平面內）且垂直于邊緣（即點且垂直于邊緣（即點M.方向的合力為零方向的合力為零作用力沿位移作用力沿位移在薄膜平衡

29、狀態(tài)下，各在薄膜平衡狀態(tài)下，各u的邊緣法平面內）的邊緣法平面內）且垂直于邊緣（即點且垂直于邊緣（即點M水平面所夾角為銳角水平面所夾角為銳角薄膜微元四邊上張力與薄膜微元四邊上張力與yPSQR 可以看作可以看作薄膜微翹薄膜微翹,xPRQS 方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜邊邊緣緣uPRQS)(1 1方方向向的的合合力力所所受受沿沿、薄薄膜膜邊邊緣緣uPSQR)(2 2方向的合力分析：方向的合力分析：薄膜邊緣沿薄膜邊緣沿u薄薄膜膜所所受受重重力力)(3 3xx xyuoyyy xQRPSQRSP4 4 3 3 2 2 1 1 方方向向的的合合力力所所受受沿沿、uPRQS)(1 1xTTF

30、)sinsin(1 12 21 1 xTTF )tantan(1 12 21 1 xuTuTyyyyy )(xyuTyyyy 同理同理方方向向的的合合力力所所受受沿沿、uPSQR)(2 2yTTF )sinsin(3 34 42 2 yTTF )tantan(3 34 42 2 yuTuTxxxxx )(xyuTxxxx xgyF 3 33 3）重重力力（3 32 21 1FFF xgyxyuTxyuTyyyyxxxx guuTyyxx )(Tguuyyxx 如果忽略重力，有如果忽略重力，有0 0 yyxxuu2.3、熱傳導方程、熱傳導方程問題分析與假設問題分析與假設. 2 23 32 2 .

31、與與熱流強度熱流強度面流進物體的熱量面流進物體的熱量單位時間內通過單位界單位時間內通過單位界)(表表示示邊邊界界面面為為域域為為設設導導熱熱體體在在空空間間所所占占區(qū)區(qū)),(,tzyxuG 2.3.1、物理模型、物理模型熱量守恒定律：熱量守恒定律：熱傳導定律：熱傳導定律：設有一個導熱體，當此導熱體內各處溫度不一致時，熱量就要從設有一個導熱體，當此導熱體內各處溫度不一致時，熱量就要從高溫處向低溫處傳遞，試確定物體內部各點在任意時刻的溫度所高溫處向低溫處傳遞，試確定物體內部各點在任意時刻的溫度所滿足的方程滿足的方程.),(導熱體為固體導熱體為固體處的溫度處的溫度時刻時刻導熱體在導熱體在zyxt),

32、(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxut時刻溫度時刻溫度變到變到時刻的溫度時刻的溫度物體由物體由這段時間進入（流出）這段時間進入（流出）變到變到恰好等于從恰好等于從所吸收（放出）的熱量所吸收（放出）的熱量2 21 11 1ttQ.總和總和和熱源提供的熱量和熱源提供的熱量物體的熱量物體的熱量3 32 2QQ成正比。成正比。梯度梯度與溫度與溫度u),(zyxD,DSG所圍成的區(qū)域所圍成的區(qū)域內取由光滑封閉曲面內取由光滑封閉曲面在在dvzyxD的微元的微元內取包含內取包含在在),(溫度從溫度從，密度密度設物體的比熱為設物體的比熱為dvzyxzyxC),(),( 所需要熱量所需要熱量時

33、刻時刻變到變到時刻的時刻的由由),(),(2 22 21 11 1tzyxuttzyxutdvtzyxutzyxucQD ),(),(1 12 21 1 dvtzyxutzyxuc),(),(1 12 2 熱量是熱量是由于溫度改變所需要的由于溫度改變所需要的整個整個D 2 21 12 21 1ttDDttdtdvttzyxucdvdtttzyxuc),(),( 2 2QDS的熱量的熱量進入整個進入整個由曲面由曲面所指那一側所指那一側流向流向的曲面微元的曲面微元時刻內通過法向量為時刻內通過法向量為在在ndSndt,dsdtnukdQ 2 21 12 2ttsdtsdnukQ 2 21 12 2t

34、tsdtsdnukQ 2 21 12 2ttDdtvdzukzyukyxukxQ)()()(3 3Q熱源提供的熱量熱源提供的熱量.是一個熱源是一個熱源交換外物體本身就可能交換外物體本身就可能除外界對物體進行熱量除外界對物體進行熱量量）量）從單位體積內放出的熱從單位體積內放出的熱設熱源強度（單位時間設熱源強度（單位時間),(tzyxF 2 21 13 3ttDdvdttzyxFQ),(奧-高公式3 32 21 1QQQ 2 21 1ttDdtdvttzyxuc),( 2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx )()()( 2 21 1ttDdtdvtzyxF),( 2 21 1ttDd

35、tdvttzyxuc),( ),()()()(tzyxFzukzyukyxukx 2 21 1ttDdtdvtzyxF),( ttzyxuc),( 2 21 1ttDdtdvzukzyukyxukx )()()(.為常數(shù)為常數(shù)當導熱體材質均勻時，當導熱體材質均勻時，k ttzyxuc),( ),()(tzyxFzuyuxuk 2 22 22 22 22 22 2 ctzyxFzuyuxucktu),()( 2 22 22 22 22 22 2三維熱傳導方程三維熱傳導方程),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2 ctzyxFtzyxfcka),(),(,

36、 2 2fuatxuxxtt 2 2),(1、弦振動方程、弦振動方程),(txfxuatu 2 22 22 22、熱傳導方程、熱傳導方程3、位勢方程、位勢方程),(yxfyuxu 2 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2),()(tzyxfzuyuxuatu 2 22 22 22 22 22 22 2),()(tyxfyuxuatu 2 22 22 22 22 2),(zyxfzuyuxu 2 22 22 22 22 22 2算子稱作Lapl

37、acezyx 222222),(),(txfuatxutt 2 21、弦振動方程、弦振動方程),(txfuaut 2 22、熱傳導方程、熱傳導方程3、位勢方程、位勢方程),(yxfu ),(tyxfuautt 2 2),(tzyxfuautt 2 2),(tzyxfuaut 2 2),(tyxfuaut 2 2),(zyxfu 0 0 u方程方程Laplace算子稱作引入Laplacezyx 2222222.4、定解條件和定解問題、定解條件和定解問題.稱為定解條件稱為定解條件初始條件、邊界條件統(tǒng)初始條件、邊界條件統(tǒng)定解條件定解條件初始條件：初始條件：.的狀態(tài)的狀態(tài)邊界上各點在任意時刻邊界上各點

38、在任意時刻是描述物體運動過程中是描述物體運動過程中三類典型方程只能表示所研究的每個質點運動所滿足的方程，其三類典型方程只能表示所研究的每個質點運動所滿足的方程，其本身不能確定它們的一個特定解。每個偏微分方程一般都有無窮本身不能確定它們的一個特定解。每個偏微分方程一般都有無窮多個解，每個解都表示一個特定的運動。為此我們要對方程附加多個解，每個解都表示一個特定的運動。為此我們要對方程附加一定的條件來刻畫所研究物體的運動過程。一定的條件來刻畫所研究物體的運動過程。.邊邊值值條條件件為為兩兩大大類類：初初始始條條件件、這這種種附附加加條條件件通通常常被被分分介質內部及邊界上介質內部及邊界上程在開始時刻

39、程在開始時刻初始條件是描述運動過初始條件是描述運動過)(0 0 t.任意一點的狀態(tài)任意一點的狀態(tài)邊界條件：邊界條件：.解問題解問題應的定解條件就構成定應的定解條件就構成定偏微分方程聯(lián)同他們相偏微分方程聯(lián)同他們相2.4.1、三類典型方程的初始條件、三類典型方程的初始條件（1）、一維弦振動方程的初始條件）、一維弦振動方程的初始條件弦振動的初始狀態(tài)涉及弦在初始時刻的位移和速度弦振動的初始狀態(tài)涉及弦在初始時刻的位移和速度lxxtuxutt 0 00 00 0 ),(),( lxxxuxxut 0 00 00 0 ),(),(),(),( 或者表示成或者表示成（2）、三維熱傳導方程的初始條件）、三維熱傳

40、導方程的初始條件Dx,y,zzyxut ) (),( 0 0Dx,y,zzyxzyxu ) (),(),( 0 0（3）、）、Poisson、Laplace方程無初始條件方程無初始條件定常狀態(tài)，因此定常狀態(tài)，因此描述的是和時間無關的描述的是和時間無關的，LaplacePoisson不提初始條件！不提初始條件！2.4.2、三類典型方程的邊值條件、三類典型方程的邊值條件1 1、一維弦振動方程的邊界條件、一維弦振動方程的邊界條件弦的端點所受的約束情況，通常有以下三種：弦的端點所受的約束情況，通常有以下三種：0 00 00 00 0 tuulxx., ttlutu 0 00 00 0 ,),(),(（

41、2) 2)自由端（第二邊值條件）即弦在端點可以沿垂直于自由端（第二邊值條件）即弦在端點可以沿垂直于x x軸的直線軸的直線自由滑動，從而在這條直線的方向上，端點所受的張力分量為零自由滑動，從而在這條直線的方向上，端點所受的張力分量為零. .端為例：端為例：以以0 0 x（3 3）彈性支撐端（第三邊值條件）彈性支撐端（第三邊值條件）.變變滿滿足足胡胡克克定定律律支支承承上上，彈彈性性支支承承的的應應即即弦弦的的一一端端固固定定在在彈彈性性lxlxxxxxkuuTkuuT ,0 00 0邊界條件的形式比初始條件要多樣些邊界條件的形式比初始條件要多樣些. .定，這時有定，這時有）即弦的兩個端點被固）即

42、弦的兩個端點被固固定端（第一邊值條件固定端（第一邊值條件)(1 1 ,tansin0 00 0 xxuTTT 0 00 0 xxu承承在在端端點點的的值值表表示示彈彈性性支支，則則如如彈彈性性支支承承原原來來位位置置為為uu0 0 .在該點的伸縮長度在該點的伸縮長度0 0, lxxxxuuuu)()( 0 01 1、一維弦振動方程的邊界條件、一維弦振動方程的邊界條件.,0 00 00 00 0 tuulxx .,),(),(0 00 00 0 ttlutu （2 2）自由端（第二邊值條件）即弦在端點可以沿垂直于）自由端（第二邊值條件）即弦在端點可以沿垂直于x x軸的直軸的直線自由滑動線自由滑動

43、. .（3 3）彈性支撐端（第三邊值條件）彈性支撐端（第三邊值條件）.)(定定）即弦的兩個端點被固）即弦的兩個端點被固固定端（第一邊值條件固定端（第一邊值條件1 10 00 0 xxu0 0, lxxxxuuuu)()( 0 00 0 lxxuTk .的的函函數(shù)數(shù)值值知知函函數(shù)數(shù)在在端端點點（邊邊界界）第第一一邊邊值值條條件件即即已已知知未未.的的偏偏導導數(shù)數(shù)值值知知函函數(shù)數(shù)在在端端點點（邊邊界界）第第二二邊邊值值條條件件即即已已知知未未.)(性性組組合合的的函函數(shù)數(shù)與與偏偏導導數(shù)數(shù)值值的的線線邊邊界界即即已已知知未未知知函函數(shù)數(shù)在在端端點點0 0, lxxxxkuTukuTu)()(0 02

44、 2、三維熱傳導方程的邊界條件、三維熱傳導方程的邊界條件Szyxtzyxus ),(),( （2 2）第二邊界條件：在導熱過程中，單位時間單位面積邊界面流）第二邊界條件：在導熱過程中，單位時間單位面積邊界面流入的熱量已知，由入的熱量已知，由FourierFourier熱傳導定律：熱傳導定律：.SD的邊界曲面為的邊界曲面為導熱體導熱體Szyxtzyxnuks ),(),( .值值知知函函數(shù)數(shù)在在邊邊界界的的偏偏導導數(shù)數(shù)第第二二邊邊值值條條件件即即已已知知未未.)(度度上各點在任意時刻的溫上各點在任意時刻的溫知邊界曲面知邊界曲面第一類邊界條件：即已第一類邊界條件：即已S1 1.數(shù)數(shù)值值未未知知函函

45、數(shù)數(shù)在在邊邊界界上上的的函函第第一一邊邊界界條條件件就就是是已已知知則則有有如如果果邊邊界界面面絕絕熱熱，即即,),(0 0 tzyx Szyxnus ),(, 0 0,)(1 13 3u記記作作不不變變過過程程中中，外外界界溫溫度度保保持持第第三三類類邊邊界界條條件件：導導熱熱：由熱傳導定律由熱傳導定律生熱交換生熱交換且通過邊界面與物體發(fā)且通過邊界面與物體發(fā),)(1 1uuHkussn kHhhuhuuHukuHusnsn ,)()(1 11 1Newton熱傳導定律在單位時間內，從物體表面單位面積中流向介質的熱量同物體外表面的溫度與介質在表面處的溫度之差成正比.性性組組合合函函數(shù)數(shù)值值與與

46、偏偏導導數(shù)數(shù)值值的的線線未未知知函函數(shù)數(shù)在在邊邊界界的的第第三三類類邊邊界界條條件件即即已已知知定定解解問問題題法法！型型方方程程的的定定解解問問題題的的解解本本課課程程主主要要介介紹紹三三類類典典.初初值值問問題題條條件件的的定定解解問問題題，稱稱作作只只有有初初值值條條件件沒沒有有邊邊界界.解問題解問題應的定解條件就構成定應的定解條件就構成定偏微分方程聯(lián)同他們相偏微分方程聯(lián)同他們相Cauchy問題.邊邊值值問問題題條條件件的的定定解解問問題題，稱稱作作只只有有邊邊界界條條件件沒沒有有初初值值.題題聯(lián)聯(lián)立立，稱稱作作第第一一邊邊值值問問若若方方程程與與第第一一邊邊值值條條件件.問問題題同同樣

47、樣有有第第二二、第第三三邊邊值值.混混合合問問題題條條件件的的定定解解問問題題，稱稱作作既既有有邊邊界界條條件件又又有有初初值值也稱初邊值問題定定解解問問題題的的解解法法的的特特點點（1 1）沒有一般的求解理論，只能就具體定解問題做具體分析；）沒有一般的求解理論，只能就具體定解問題做具體分析；（2 2）求解定解問題分兩步走：先求定解問題的形式解，然后加上）求解定解問題分兩步走：先求定解問題的形式解，然后加上適當條件嚴格論證所求形式解確是解！適當條件嚴格論證所求形式解確是解?。? 3）本書所討論的方程均為線性方程，在求解過程中應該充分）本書所討論的方程均為線性方程，在求解過程中應該充分利用疊加原

48、理利用疊加原理. .所說的形式解就是先假定所有的已知函數(shù)未知函數(shù)具有很好的性質，也就是需要什么條件就具有什么條件。一、熱傳導方程1、第一邊界問題(1.3) ),( ),( (1.2) 0,),( ),(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut2、第二邊界問題(1.3) ),( ),( )(1.2 0,),( ),(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfuatut (1.3) ),( ),( )2(1. 0,),( ),()(1.1) 0,),( )(02zyxzyxutzyxtzyxnuk

49、utzyxx,y,z,tfuatut3、第三邊界問題二、波動方程 (1.6) ),( ),( ),( (1.5) 0,),( ),(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxutzyxx,y,z,tfuatut第一邊界問題第二邊界問題(1.6) ),( ),( , ),( )(1.5 0,),( ),(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyxtzyxnutzyxx,y,z,tfatut (1.6) ),( ),( , ),( )5(1. 0,),( ),()(1.4) 0,),( )(0t0222zyxzyxtuzyxutzyx

50、tzyxnukutzyxx,y,z,tfuatut第三邊界問題三、位勢方程(1.8) 0 ),( (1.7) 0,),( )( 222222tzyxu tzyxx,y,z,tfzuyuxuu1、第一邊界問題)(1.8 0,),( , ),()( (1.7) 0,),( )( 222222tzyxzyxnuku tzyxx,y,z,tfzuyuxuu2、第二邊界問題1、第三邊界問題)(1.8 0, ),( , ),( (1.7) 0),( )( 222222tzyxzyxnu tzyxx,y,z,tfzuyuxuu3 3兩個重要定律一、杜阿梅爾原理（以一維弦振動為例）是是下下面面初初值值問問題題

51、的的解解設設兩兩次次連連續(xù)續(xù)可可微微函函數(shù)數(shù)),( txww (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2則則(3.3) dtxwtxut 0 0),(),(為為)(3.2 , 0, 0)0 ,( )(3.1 0, ),(022222xtuxutxtxfxuatut.的解的解.),(),(條條件件即即可可滿滿足足偏偏微微分分方方程程和和定定解解只只需需證證明明 dtxwtxut 0 0下面一個結論：下面一個結論：證明之前，我們先證明證明之前，我們先證明 dttxwttxwdtxwtttxutt 0 00 01 1),(),()

52、,(),()( 則有則有如果如果證明證明, dtxwtxut 0 0),(),(: dxtxwdtxwxxtxutt 0 00 02 2),(),(),()( ),(),(),(),( dtxwdttxwtttxuttxuttt 0 00 01 1 tttttdtxwdttxwdttxwt0 00 01 1 ),(),(),( dttxwtdttxwttxwtttt ),(),(),(1 10 0tttttxwtdtttxwt ),(),(2 20 01 11 1 ),(),(),(ttxwdttxwttxut 0 0拉格朗日中值定理積分中值定理0 01 10 01 10 02 21 1 t令

53、令, dtxwtxut0 0),(),( .),(),(是定解問題的解是定解問題的解證明證明 dtxwtxut 0 0 dtxwtttxut 0 0),(),( dtxwttxwtt 0 0),(),( dtxwtt0 0),( dtxwttttxut 0 02 22 2),(),(0 00 00 00 0 dttxwttxut),(),(,),(),(0 00 00 00 0 dtxwxu dtxwttttxwt 0 02 22 2),(),( (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2 dtxwxatxft 0 02 2

54、2 22 2),(),(2 22 22 22 22 2xuatxftu ),( )(3.2 , )(3.1 xtuxutxtxfxuatut0 00 00 00 00 02 22 22 22 22 2,),(,),(0 0 ),(ttxw (3.2) , (3.1) xxftwxwtxxwatwt),(,),(, 0 02 22 22 22 22 2 )(3.2 , )(3.1 xtuxutxtxfxuatut0 00 00 00 00 02 22 22 22 22 2,),(,),(方方程程定定解解問問題題的的解解：如如果果要要求求下下面面非非齊齊次次杜杜阿阿梅梅爾爾原原理理告告訴訴我我們們

55、),( txw定定解解問問題題的的解解只只須須求求解解下下面面齊齊次次方方程程進進行行積積分分即即可可：然然后后對對解解),( txw(3.3) dtxwtxut 0 0),(),(滿滿足足下下面面方方程程：可可以以證證明明 dtxwtxv),(),( dxftvxvtxvatvt),(,),(0 02 22 22 22 22 2 dxxfdxxx),(),( 受受到到外外力力，弦弦段段在在時時刻刻 ）載載荷荷密密度度),(),(txftxF dxdxfddxxf),(),),(產生沖量產生沖量在時段（在時段（外力外力 :獲得速度增量獲得速度增量沖量作用于弦段，使其沖量作用于弦段，使其 dxfdxdxdxf),(),( 質質量量沖沖量量加速度加速度 ),(),(txftxF Ta 2 2解解釋釋其其物物理理意意義義：圍圍杜杜阿阿梅梅爾爾原原理理的的適適用用范范高高維維問問題題；不不僅僅一一維維成成立立，也也適適用用)(1 1題題；不不適適用用于于與與時時間間無無關關問問適適用用于于熱熱傳傳導導問問題題，但但不不僅僅適適用用波波動動問問題題，也也)(2 2適適用用于于混混合合問問題題；不不僅僅適適用用初初值值問問題題，也也)(3 3。有有界界的的，該該原原理理都都適適用用間間變變量量是是有有界界，還