晉城市中考數(shù)學期末幾何中的最值問題匯編

1、晉城市中考數(shù)學期末幾何中的最值問題匯編一、幾何中的最值問題1. 如圖乙，ABC和厶ADE是有公共頂點的等腰直角三角形，BAC DAE 90，點P為射線BD, CE的交點.1如圖甲，將aADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當C、D、E在同一條直線上時，連接 BD、BE,則下 列給出的四個結(jié)論中，其中正確的是 .2 2 2 BD CE BD CE ACE DBC 45 BE 2 AD AB2若AB 4 , AD 2，把厶ADE繞點A旋轉(zhuǎn), 當 EAC 90時，求PB的長;PB長的最大值. 求旋轉(zhuǎn)過程中線段EDCE圖乙2. 綜合與實踐情景再現(xiàn)我們動手操作：把正方形 ABCD,從對角線剪開就分剪出兩個等腰直角三角形，把

2、其中一個 等腰三角形與正方形 ABCD重新組合在一起，圖形變得豐富起來，當圖形旋轉(zhuǎn)時問題也隨 旋轉(zhuǎn)應(yīng)運而生.如圖把正方形ABCD沿對角線剪開，得兩個等腰直角三角形 ACD和厶BCE圏圖(1 )問題呈現(xiàn)我們把剪下的兩個三角形一個放大另一個縮小拼成如圖所示 點P是一動點，若 AB=3, PA=1,當點P位于_時，線段PB的值最?。蝗?AB=3,PA=5，當點P位于 時，線段PB有最大值.PB的最大值和最小值分別是 . 直接寫出線段 AE與DB的關(guān)系是 .(2) 我們把剪下的其中一個三角形放大與正方形組合如圖所示，點E在直線BC上，F(xiàn)M丄CD交直線CD于M . 當點E在BC上時，通過觀察、思考易證：

3、AD=MF+CE 當點E在BC的延長線時，如圖 所示；當點E在CB的延長線上時，如圖 所示，線段AD、MF、CE具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并選擇圖或圖證明你的猜想.團囹冋題拓展(3) 連接EM,當SEmf =8, AF2=50，其他條件不變，直接寫出線段 CE的長.3. 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A(- 1, 0)和點B(4, 0)，且與y軸交于點C,點D的坐標為(2, 0)，點P(m, n)是該拋物線上的一個動點，連接CA, CD,PD, PB.(1) 求該拋物線的解析式；當 PDB的面積等于 CAD的面積時，求點 P的坐標；當m>0, n>

4、; 0時，過點P作直線PEIy軸于點E交直線BC于點F,過點F作FG丄x軸 于點G,連接EG,請直接寫出隨著點 P的運動，線段EG的最小值.備甲圖4.如圖，在矩形 ABCD中，AB a, BC 2a, M是AD的中點，動點 E在線段AB 上，連接EM并延長交射線 CD于點F，過點M作EF的垂線交BC于點G，設(shè)MG的 中點為H，連接EG , FG .(1)當點E不與點 A重合時，求證：AME DMF ；(2) 當點E與點A或點B重合時，EGF是等腰直角三角形，當點 E與點A或點B不重合時，請判定 EGF的形狀;求點H移動的最長距離.5 .問題探究(1) 如圖1.在aABC中，BC 8，D為BC上

5、一點，AD 6 .則aABC面積的最大 值是.(2) 如圖2,在厶ABC中， BAC 60 , AG為BC邊上的高，oO為厶ABC的外接 圓，若AG 3，試判斷BC是否存在最小值？若存在，請求出最小值：若不存在，請說明如圖3,王老先生有一塊矩形地 ABCD , AB 6 212, BC 6 26，現(xiàn)在他想利用這塊地建一個四邊形魚塘 AMFN，且滿足點E在CD 上, AD DE，點F在BC 上，且CF 6，點M在AE上，點N在AB 上, MFN 90，這個四邊形 AMFN的 面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值；若不存在，請說明理由.6.如圖，在矩形紙片 ABCD中，AB=3cm, AD

6、=5cm,折疊紙片使 B點落在邊AD上的點EB_ Q E(1 )若 AP: BP=1: 2,則 AE 的長為.(2) 求證：四邊形 BFEP為菱形；(3) 當點E在AD邊上移動時，折痕的端點 P、Q也隨之移動.若限定點 P, Q分別在邊AB、BC上移動，求出點 E在邊AD上移動的最大距離.a(0由BDDBDB點，O P的半徑為.5，其圓心P在x軸上運動.7.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)1y= 2 x+2的圖象與y軸交于A點,與x軸交于(2)在(1 )的條件下，點 C為O P上在第一象限內(nèi)的一點，過點C作O P的切線交直線AB于點D,且/ ADC= 120 °求D點的坐標;(3)

7、如圖2,若O P向左運動，圓心 P與點B重合，且O P與線段AB交于E點，與線段AF，則線段BE和AF數(shù)量關(guān)系是(2)類比探究：如圖2 ,保持 ABC固定不動，將正方形DFGE繞點D旋轉(zhuǎn)(3)解決問題：若 BC DF 2，在(2)的旋轉(zhuǎn)過程中，連接 AE ,請直接寫出 AE的最大值9 在 ABC中， ACB 90 ,BC AC 2，將 ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn) 角(0180 )至AB'C'的位置.BO相交于F點，G點為弧EF上一點，直接寫出&(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,在 ABC中， BAC 90 , AB AC ,點D是BC的中點，以點D為頂點作正方形 DFGE ,使點

8、A , C分別在DE和DF上,連接BE ,a 360 )，則(1)中的結(jié)論是否成立？如果成立，請證明；如果不成立，請說明理-AG+OG的最小值2備用圖i/(JrX0岌Si圖2(1)如圖1,當圓心P的坐標為(1, 0)時，求證：O P與直線AB相切;(1)如圖1,當旋轉(zhuǎn)角為60時，連接C'C與AB交于點M，則C'C(2)如圖2,在(1)條件下，連接 BB'，延長CC'交BB'于點D,求CD的長.(3)如圖3,在旋轉(zhuǎn)的過程中，連線 CC'、BB',CC'所在直線交BB'于點D，那么CD 的長有沒有最大值？如果有，求出CD的最大

9、值：如果沒有，請說明理由.10.如圖，在矩形 ABCD中，AB=2, E為BC上一點，且 BE=1, /AED=90°,將 AED繞點 E順時針旋轉(zhuǎn)得到 A ED ,A'交AD于P,D'交CD于Q,連接PQ,當點Q與點C重合時， AED停止轉(zhuǎn)動.(1) 求線段AD的長；(2) 當點P與點A不重合時，試判斷 PQ與AD的位置關(guān)系，并說明理由；(3) 求出從開始到停止，線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長.11.如圖 1，在厶 ABC 中，ACB 90 , AC 2 , BC 2.3 ,以點B為圓心， 3為半徑作圓點 P為OB上的動點，連接 PC，作PC PC，使點方，且滿足P

10、C : PC 1: 3，連接BP , AP P落在直線BC的上（1 ）求 BAC的度數(shù)，并證明 APC s BPC ;（2）如圖2,若點P在AB上時，連接 BP，求BP的長；BP取得最大值（3）點P在運動過程中，BP是否有最大值或最小值？若有，請求出當或最小值時，PBC的度數(shù)；若沒有，請說明理由.12.問題探究：（一）新知學習：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形 EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）.（二）問題解決：已知O O的半徑為2, AB, CD是O O的直徑.P是二廠上任意一點，過點 P分別作AB,

11、CD 的垂線，垂足分別為 N, M .（1）若直徑AB丄CD,對于了上任意一點P （不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形 PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；（2） 若直徑AB丄CD,在點P （不與B、C重合）從B運動到C的過程匯總，證明 MN的長 為定值，并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120°角. 當點P運動到'的中點P1時（如圖二），求 MN的長； 當點P （不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明 MN的長為定值.（4）試問當直徑 AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值.C圖圏二圉三213.如圖，拋物線y ax 2ax 3a

12、(a 0)與x軸交于A, B兩點(點B在點A的左 邊)，與y軸交于點C,且OA OC .(1) 求拋物線的解析式.(2) 如圖1,若點P是線段AC (不與A、C重合)上一動點，過點 P作x軸的垂線交拋 物線于M點，連接CM將厶PCM沿CM對折，如果點P的對應(yīng)點N恰好落在y軸上， 求此時點P的坐標.(3) 如圖2,若第四象限有一動點 E,滿足AE AO，過E作EF x軸于點F,設(shè)F坐 標為 t,0 , 0 t 3, aAEF 的內(nèi)心為 I,連接 AI, OI , EI , CI , 請找出一對全等的三角形并證明; 請直接寫出CI的最小值.k/，/.:Bo忙丿/圖i4/c、/ £圖271

13、4.如圖，點A在拋物線y=- x2+6x上，且橫坐標為1，點B與點A關(guān)于拋物線的對稱軸 對稱，直線AB與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點，點 E的坐標為(2, 2).(1) 求線段AB的長； 點P為線段AB上方拋物線上的任一點，過P作AB的垂線交AB于點H,點F為y軸 上一點，當 PBE的面積最大時，求 PH+HF+ -1 FO的最小值；2(2) 在(2)中，當PH+HF+ 23FO取得最小值時，將5H繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。后得到CF H，過點F作CF的垂線與直線 AB交于點Q,點R為y軸上一動點，M為平面直 角坐標系中的一動點，是否存在使以點D, Q，R, M為頂點的四邊形為矩形？若存在請直

14、接寫出點R的坐標，若不存在，請說明理由.15.如圖,AB是圓0的一條弦，點C是優(yōu)弧AmB上一點(1) 若/ ACB=45°,點P是O上一點(不與A. B重合)，則/ APB=_;如圖，若點P是弦AB與AmB所圍成的弓形區(qū)域(不含弦AB與AmB)內(nèi)一點求證: / APB>/ ACB；(3)請在圖中直接用陰影部分表示出在弦AB與AmB所圍成的弓形區(qū)域內(nèi)滿足/ ACB / APB 2/ ACB的點P所在的范圍；(3) 在(1 )的條件下，以PB為邊，向右作等腰直角三角形PBQ,連結(jié)AQ,如圖4，已知 AB=2, 當點Q在線段AB的延長線上時，線段 AQ的長為線段AQ的最小值為 16.

15、如圖， ABC的兩條中線 BD、CE交于點F.(1)ADFBF卄 2BE 3l(2 )若 BE= EF?EC 且=-,EF =J6，求 DE 的長；DF 217.如圖，在 ABC 中， ACB 90 , ABC 45 , BC 12cm，半圓 0 的直徑DE 12cm 點E與點C重合，半圓0以2cm/s的速度從左向右移動，在運動過程中，點D、E始終在BC所在的直線上.設(shè)運動時間為 x s，半圓0與 ABC的重疊部分的2面積為S cm(1 )當x 0時，設(shè)點M是半圓O上一點，點 N是線段AB上一點，則 MN的最大值為 ; MN的最小值為.(2) 在平移過程中，當點 O與BC的中點重合時，求半圓

16、O與 ABC重疊部分的面積S;(3) 當x為何值時，半圓 O與 ABC的邊所在的直線相切？18. 將一個直角三角形紙片 ABO，放置在平面直角坐標系中，點AC 3,0)，點B 0, 3，點 O(0,0)(I)過邊OB上的動點D (點D不與點B , O重合)作DE OB交AB于點E，沿著DE折 疊該紙片，點B落在射線BO上的點F處. 如圖，當D為OB中點時，求E點的坐標； 連接AF，當 AEF為直角三角形時，求 E點坐標：（n ） P是AB邊上的動點（點P不與點B重合），將 AOP沿0P所在的直線折疊，得到A'OP，連接BA'，當BA'取得最小值時，求 P點坐標（直接寫出

17、結(jié)果即可）.DA ,a19. 在厶ABC中，AB= AC, M是平面內(nèi)任意一點，將線段 AM繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn) 與/BAC相等的角度，得到線段 AN,連結(jié)NB.（感知）如圖，若M是線段BC上的任意一點，易證 ABNA ACM，可知/ NAB = / MAC, BN= MC.（探究）（1）如圖，點E是AB延長線上的點，若點 M是/CBE內(nèi)部射線BD上任意一 點，連結(jié)MC,（感知）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明，若不成立，請說 明理由.（拓展）（2）如圖，在厶DEF中，DE= 8, / DEF= 60° / EDF= 75° P是EF上的任 意點，連結(jié)DP,將DP

18、繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn) 75°得到線段DQ，連結(jié)EQ,則EQ的最 小值為.20. 如圖，以G（0, 1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C, D兩 點，點E為。O上一動點，CF丄AE于F,當點E在O 0的運動過程中，線段 FG的長度的最21. 在厶ABC中，AB AC，點P在平面內(nèi)，連接 AP，并將線段 AP繞A順時針方向 旋轉(zhuǎn)與 BAC相等的角度，得到線段 AQ，連接BQ .（1）如圖，如果點 P是BC邊上任意一點則線段 BQ和線段PC的數(shù)量關(guān)系是(2)如圖，如果點 P為平面內(nèi)任意一點前面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給 予證明；若不成立，請說明理由請僅以圖

19、所示的位置關(guān)系加以證明(或說明)；DE 8， EDF 60， DEF 75，p 是線段 EF 上的任意一點，連接DP ,將線段DP繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段DQ，連接EQ 請直接寫出線段EQ長度的最小值.CD是厶ABC的高，AB= 8, CD- 3,以點C為圓心，半徑 ，連接 AE,點F是AE的中點，求線段 DF的最小值23 我們知道，圓可以看成到定點的距離等于定長的點的集合我們又知道了在平面內(nèi)點 與圓有三種位置關(guān)系.如圖1，點P在OO外，點A是OO上一個動點，連接 PO交OO于(1) 利用圖1，說明PA>PB(2) 如圖2, 架10米長的梯子沿墻壁下滑，一只距離墻壁1

20、2米，距離地面5米的小鳥 看到梯子的中點位置有食物，小鳥想用最短時間吃到食物，請在圖中畫出小鳥飛行的路徑，并計算出小鳥飛行的距離；(3) 如圖3,矩形 ABCD中，AB=2, AD=3,點E、F分別為 AD、DC邊上的點，且 EF=2, 點G為EF的中點，點P為BC上一動點，直接寫出 PA+PG的最小值.24. 定義：長寬比為n:1 (n為正整數(shù))的矩形稱為n矩形下面，我們通過折疊的方式折出一個.2矩形，如圖a所示.墜IBfr珞MJ閤)|操作1：將正方形 ABEF沿過點A的直線折疊，使折疊后的點B落在對角線 AE上的點G處，折痕為AH .操作2：將FE沿過點G的直線折疊，使點 F、點E分別落在

21、邊 AF、BE上，折痕為CD 則四邊形 ABCD為 2矩形.(1) 證明：四邊形 ABCD為2矩形；(2 )點M是邊AB上一動點. 如圖b , O是對角線AC的中點，若點N在邊BC上, OM ON，連接MN 求 tan OMN 的值；CN 若AM AD，點N在BC邊上，當仝DMN周長最小時，求的值.NB 連接CM，作BR CM，垂足為R .若AB 2，則DR的最小值為.125. 在 RtA ABC 中，/ ACB= 90 ° tan / BAC= 點 D 在邊 AC上(不與 A, C 重合)，2 連結(jié)BD, F為BD中點.(2) 若將圖1中的 ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得 D、E、2 .求

22、證：BE-DE= 2CF；(3) 若BC= 6,點D在邊AC的三等分點處，將線段 點，求線段CF長度的取值范圍.B三點共線，點 F仍為BD中點，如圖AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD中【參考答案】*試卷處理標記，請不要刪除、幾何中的最值問題1 -( 1)；(2)PB 455 或 125 5 ；PB長的最大值是2,32 .【分析】(1)由條件證明也ABDACE，就可以得到結(jié)論;由厶ABD也公ACE就可以得出出結(jié)論；ABD ACE，就可以得出 BDC 90，進而得由條件知 ABC ABDDBCBE22AB2,45，由 ABDBD2 DE2，由 就有BC2 BD2ACE就可以得出結(jié)論；a DAE和 BA

23、C是等腰直角三CD2 BD2就可以得出結(jié)ABDE為直角三角形就可以得出 角形就有DE2 2AD2, BC2 論；(2)分兩種情形a、如圖乙 1中，當點E在AB上時，BE AB AE 2，由PB BEaPEB s企AEC，得，由此即可解決問題； b、如圖乙 2中，當點E在BA延AC CE長線上時，BE 6，解法類似； 如圖乙 3中，以A為圓心AD為半徑畫圓，當 CE在。A上方與。A相切時，PB的值最 大，分別求出PB即可；【詳解】90，90，BAC 即 BADDAC DAE DAC ,CAE，90，在厶ABD和aACE中,AD AEBAD CAE,AB AC從BD ACE SAS ,BD CE，

24、故正確；“ABD 旦 ACE,ABDace ,/ cab90 ,ABDAFB90 ,aceAFB90 .T dfcAFB ,acedfc90 ,fdc90 BD CE，故正確； t bac90 ,AB AC ,ABC45 ,ABDdbc45 .acedbc45，故正確； vBD CE ,be2 BD)2 DE2：1/ bacDAE90 , AB AC , AD AE ,de2 2AD2，BC2 2AB2,/ BC2 BD2 cd2BD2 ,2 2 2 22AB2 BD2 CD2 BD2,2 2 2BE 2 AD AB ，故錯誤；故答案為;AE 2 解：a、如圖2中，當點E在AB上時，BE AB

25、EAC 90 ,CE .'AE2 AC22 5，同1可證aADB也aec .DBA ECA ./ PEB AEC ,厶PEBs “AEC,PB BEAC CE，PB 24 2 5PB -5b、如圖3中，當點E在BA延長線上時，BE 6 ；CE .AE2 AC22、5，同1可證aADB也“AEC .DBA ECA .BEP CEA ,厶PEB s SEC ,PBBEACCE 'PB642、5 '125PB5綜上，“4需十PB或12.5 ；55解:如圖5中，以A為圓心最大;AD為半徑畫圓，當 CE在0 A上方與OA相切時,PB的值PB最大QPBC是直角三角形，斜邊 BC為定

26、值，BCETAE EC,EC .AC2 AE22,3，由1可知，厶ABD也ACE ,ADB AEC 90 , BD CE 2.3 ,ADP DAE AEP 90 ,四邊形AEPD是矩形，PD AE 2,PB BD PD 2 .3 2 綜上所述，PB長的最大值是 2.32 2 (1)AB, BA延長線，最大值是 8,最小值是2;AE=BD, AE丄BD;(2) 選擇圖 ，貝U AD+CE=MF見詳解；(3) 1 或 7.【分析】(1) P為一動點，PA=1，則點P在以A為圓心，以1為半徑圓上，畫圖的解；同理 PA=5，則點P在以A為圓心，以5為半徑圓上，問題得解； ACEA DCB,問題得 解；

27、(2) 類比；通過添加輔助線 FG丄BE,交BE延長線于G，證明 ABEA EGF,進行線 段轉(zhuǎn)移，得出結(jié)論；(3) 已知SEMF =8，通過三角形面積公式，求出CF=4， AEF為等腰直角三角形， AF2=50,得出EF=5,勾股定理得EG=3,計算得出結(jié)果【詳解】解：(1)AB； BA延長線；最大值是8，最小值是2 ； AE=BD, AE丄 BD；證明：如圖， ACD和厶BCE都是等腰直角三角形， AC=DC, EC=BC Z ACD=/ BCE=90 °/ Z ACD+ZDCE=Z DCEfZ BCE即：Z ACE玄 DCB, ACE DCB, AE=BD, Z AEC玄 DB

28、C,/ Z BFC+Z DBC=90 , Z BFC=Z EFD, Z AEC+Z EFD=90 ° AE丄 BDr KF B圖(2) 答：選擇圖，則AD+CE=MF.證明：如圖，作 FG丄BE,交BE延長線于G, 四邊形ABCD是正方形， Z B=Z MCG=Z G=90 , AD=AB=BC, Z BAEZ AEB=90 ° AEF為等腰直角三角形， AE=EF, Z AEF=90 ° Z AE由Z GEF=90 :.Z BAE=Z GEF, ABE EGF, AB=EG/ AB=BC, EG=BC, EG+CE=BGCE,即：CG=BC+CE=AD+CE/

29、Z G=Z MCG=90 ° FM丄CD,四邊形CMFG為矩形， MF=CG, AD+CE=MF(3) / CG=BC+CE=FG,四邊形 CMFG 為矩形,四邊形CMFG為正方形，TEmf =8 , S正方形CMFG =16 FG=4af2=50, AEF為等腰直角三角形， EF=5,在直角 EFG中，EG=3, CE=CGEG=4-3=1 或 CE=C&EG=4+3=7 .【點睛】(1) P為動點，PA為定值，則點P在以A為圓心，PA長為半徑圓上，此題為隱圓，通過 圓求線段的最大(小)值是初中幾何常見的一個模型；兩條線段的位置關(guān)系一般從位置和數(shù)量兩方面分析；(2) 三條線

30、段的關(guān)系一般為兩短之和等于最長或者三條線段構(gòu)成勾股關(guān)系，此題類比，易得出結(jié)論；見等腰直角三角形構(gòu)造全等是幾何中一種常見輔助線構(gòu)圖；(3) 注意分類思想運用1 233. (1) y X X 2 ；( 2)點 P 的坐標是(1, 3 )、( 2, 3 )、( 5, -3 )或(-2 22, -3)；( 3)線段EG的最小值為.5【分析】(1) 根據(jù)拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A (-1, 0)和點B ( 4, 0)，應(yīng)用待定系數(shù)法，求出 該拋物線的解析式即可；(2) 首先根據(jù)三角形的面積的求法，求出 CAD的面積，即可求出 PDB的面積，然后求 出BD=2,即可求出|n|=3，據(jù)此判斷出n=3

31、或-3,再把它代入拋物線的解析式，求出 x的 值是多少，即可判斷出點 P的坐標；(3) 首先應(yīng)用待定系數(shù)法，求出BC所在的直線的解析式，然后根據(jù)點P的坐標是(m ,n),求出點F的坐標，再根據(jù)二次函數(shù)最值的求法，求出EG2的最小值，即可求出線段EG的最小值.【詳解】解：(1)把A (-1 , 0), B (4 , 0 )兩點的坐標代入 y=ax2+bx+2中，可得a b2 016a4b2 01a解得：2b321 23拋物線的解析式為： yx x 2 ；2 21 3（2） 拋物線的解析式為 yx2-x 2 ,2 2當 x=0 時，y=2,點C的坐標是（0, 2）,點 A （-1, 0）、點 D

32、（2, 0）, AD=2- （-1） =3,1cad =3232 ，SPDB =3,點 B （4, 0）、點 D （ 2, 0）, BD=2,|n|=3 X 2 巳 2=3 n=3 或-3, 當n=3時，m23m 23,2 2解得：m=1或m=2 ,點P的坐標是（1 , 3）或（2 , 3）; 當n=-3時，1 23m m2 32 2解得m=5或m=-2 ,點P的坐標是（5 , -3）或（-2 , -3）;綜上，可得點 P的坐標是（1, 3）、（ 2 , 3）、（ 5 , -3 ）或（-2 , -3）;點C的坐標是（0 , 2）,點B的坐標是（4 , 0）,n 24m n 01m解得：2 ,n

33、 2二bc所在的直線的解析式是：y點P的坐標是(m, n).EG24_ 2 22nn5n216n1628165 n?55當n8時,線段EG有最小值5點F的坐標是(4-2n , n),線段EG的最小值為-5【點睛】 本題是對二次函數(shù)知識的綜合考查，熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵, 難度較大，屬于中考的?？碱}型 14. (1)詳見解析；(2)等腰直角三角形，理由詳見解析；a .2【分析】(1 )由矩形的性質(zhì)可以得出 / A=Z FDM=90 , / AEM=Z DFM,再證明AM=DM即可證出 結(jié)論；(2)如圖1，過點G作GN AD于N，證 AEM NMG，推出EGM 45，再證GF

34、=GE即可判定 EGF的形狀；由題意可判斷出點 H的運動路程為 CG的一半，可直接寫出結(jié)果；【詳解】(1) /四邊形ABCD是矩形， A MDF 90 ,；M是AD的中點，AM DM ,又；AME DMF ,AME DMF ；(2)過點G作GN AD于N，如圖，/ A B ANG 90 ,ABGN是矩形，GN AB a,/MG EF ,GME 90 ,AME GMN 90 ,/ AME AEM 90 ,AEM GMN,AD BC 2a, M是AD的中點，AM a,AM NG,AEM NMG ,ME MG ,EGM 45 ,由（1）得 AME DMF ,ME MF ,丁 MG EF ,GE GF

35、 ,EGF 2 EGM 90 ,GEF是等腰直角三角形；如圖，當點E與點A重合時,|£ |JtL/州XC 11*）|3MG AD，MG BC，G為BC的中點，當點E運動到B時，點G與C重合,+ 1”CG BC a，211HH '-CG a,221點H移動的最長距離為a .2【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵 是能夠發(fā)現(xiàn)動點的運動規(guī)律及相關(guān)點的運動軌跡并會用函數(shù)的思想求極值.5問題探究：(1) 24;( 2)存在，BC的最小值為2 3 ；問題解決：存在，144【分析】(1) 根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；(2) 如圖2中，

36、連接0A, OB , OC，作OE BC于E 設(shè)OB OC 2x 求出x 的最小值即可解決問題；(3) 如圖3中，連接AF，延長BC交AE的延長線于G，將 EFM順時針旋轉(zhuǎn)得到 aFBH，作 FNH的外接圓。O 由(2)可知，當 FNH的外接圓的圓心 O在線段 BF上時， FNH的面積最小，此時四邊形 ANFM的面積最大.【詳解】解：(1)當AD BC時, ABC面積的最大,則攔ABC面積的最大值是11BC AD 822624,故答案為：24 ；OC ,作 OEBC 于 E 設(shè) OA OC 2x ,EB , OE/ OCOC OB , OECOE BOE 60 ,OB2OE/AG ,x, BE

37、 3xCB , 3x3, , x的最小值為1, BC 2、3x ,BC的最小值為2 3 ；(3)如圖中，連接 AF , EF，延長BC交AE的延長線于G ,G.* D 90 ,ADDE 6、2 6，DAEAED45 ,CD AB6212，CE CF6 ,CEFCFE45 ,AEF 90EF 6、2BF，將厶EFM順時針旋轉(zhuǎn)得到Z.FBH，作 FHB的外接OO交BC于N , 連接ON ,/ AEF ABF 90 , AF Rt AEF 如Rt ABF（HL）,AF，EFBF , Sa aefSaabf ，二 FG由( 2)四邊形EFG 45 ,FEG 90 , EFG 45 ,EG 6.2，.2

38、EF 12，可知，當 FHN的外接圓的圓心ANFE的面積最大，O在線段BF上時, FNH的面積最小，此時設(shè)OFON r，則 OB BN近廠- r r 6 .2 ,2 r 6.2（2,NH ，2r 12（2、2）,二四邊形ANFM的面積的最大值（12 6、2） 6、2212（2、2）“2144 .【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問題等知識，解題的關(guān) 鍵是學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.6. （1） . 3 cm,證明見解析；（3）2cm ;【分析】AEE在邊（1）先根據(jù)AB=3cm, AP: BP=1: 2,計算出AP、BP的長度，再根據(jù)勾股定理即可求得 的長度；根據(jù)

39、折疊的性質(zhì)得到點 B與點E關(guān)于PQ對稱，進而得到 PB=PE BF=EF/ BPF=Z EPF,根據(jù)平行的性質(zhì)再證明 BP=BF=EF=Ef即P可得到答案；（3）找到E點離A最近和最遠的兩種情況，運用矩形的性質(zhì)以及勾股定理即可求出點 AD上移動的最大距離；【詳解】解：（1） / AB=3cm,12若 AP： BP=1： 2,則 AP=AB 1cm , BP=AB 2cm ,33根據(jù)折疊的性質(zhì)得到：PE=PB=2cm又四邊形ABCD是矩形， / A=90 °二 AP2 AE2 PE2 ,即：12 AE222， AE23, 即: AE 3,故AE的長為：3 cm ；（2）折疊紙片使B點落

40、在邊AD上的E處，折痕為PQ,點B與點E關(guān)于PQ對稱. PB=PE BF=EF / BPF=/ EPF.又 EF/ AB, / BPF=/ EFP （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）， / EPF=/ EFP （等量替換）， EP=EF BP=BF=EF=E（四邊相等的四邊形是菱形），四邊形BFEP為菱形；當點Q與點C重合時，如圖2所示，此時點E離點A最近，*4 EDP/2四邊形ABCD是矩形,BC=AD=5cm, CD=AB=3cm, / A=Z D=90°點B與點E關(guān)于PQ對稱，/ CE=BC=5cm,在 RtACDE中，DECE2 CD2 4/ AE=AD-DE=5-4=1cm,此時

41、AE=1cm；當P點與A點重合時，如圖3所示，點E離點A最遠.此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm.點E在邊AD上移動的最大距離為 2cm .【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定方法、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是依題意畫 出正確的圖形，運用折疊的對稱性解決問題.7. (1)見解析；(2) D (紜3，仝+2);( 3)4 .332【分析】(1) 連接PA先求出點A和點B的坐標，從而求出 OA、OB、OP和AP的長，即可確定 點A在圓上，根據(jù)相似三角形的判定定理證出 AOB POA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和 等量代換證出PA丄AB,即可證出結(jié)論；1(2) 連接PA PD,根據(jù)切線

42、長定理可求出 / ADP= / PDC= / ADC= 60 °利用銳角三21角函數(shù)求出AD,設(shè)D ( m ,m+2),根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出m的值即可；(3) 在BA上取一點J,使得BJ=乜，連接BG, OJ, JG,根據(jù)相似三角形的判定定理證21 1出厶BJ2A BGA,列出比例式可得 GJ= AG,從而得出AG+OG= GMOG,設(shè)J點的坐22一 1標為(n,亍門+2),根據(jù)平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式求出n,從而求出OJ的長，然后根據(jù)兩點之間線段最短可得GMOGRJ,即可求出結(jié)論.【詳解】圖11一次函數(shù)y=，x+2的圖象與y軸交于A點，與x軸

43、交于B點, A (0, 2), B (- 4, 0),二0A=2, 0B= 4,P (1 , 0), 0P= 1,-0A2= OB?OP, ap= OA2 OP2. 5OA OB.= ，點A在圓上OP OA/ / AOB= / AOP= 90 ° AOBs POA, / OAP= / ABO,/ / OAP+Z APO= 90 ° / ABO+Z APO= 90 ° Z BAP= 90 ° PA 丄 AB, AB是O P的切線.(2)如圖1- 1中，連接PA PD.kSi-iDA, DC 是 O P 的切線，Z ADC= 120 °1 Z AD

44、P= Z PDC=Z ADC= 60 °2 / APD= 30 °/ / PAD= 90 ° AD= PA?ta n301535 1設(shè)D(m，嚴)- A (0, 2),m2+ ( 1 m+2- 2)22_159解得m =±2 3 點D在第一象限，2巧 m =,3 D( 23 ,3+2)33(3)在BA上取一點J,使得BJ= 5，連接BG, OJ, JG.21 4(旳Fo%團2/ OA= 2, OB= 4, / AOB= 90 ° AB=OA2 OB2 = 22 42 = 2 .5， BG=、5 , BJ -52 BG2= BJ?BA,BG _

45、BA"BJ BG，/ / JBG= / ABG, BJ2A BGA,JGBG 1 , , AGAB 21GJ= AG,21 - AG+OG= GJOG,2/ BJ= 5，設(shè)J點的坐標為(n,丄門+2),點B的坐標為(-4,0)2 22125(n+4)+ ( n+2)=4解得：n=-3或-5 (點J在點B右側(cè)，故舍去)1、-J (-3,)，GJ+OGOJ,11-AG+OG37 2 AG+OG11故答案為旦2【點睛】此題考查的是一次函數(shù)與圓的綜合大題，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、切線的判定及性質(zhì)、切線長定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)和兩點之間線段最短是解決此題的關(guān)鍵.8. (1) BE=

46、AF；( 2)成立，理由詳見解析；(3) 3【分析】(1) 證明 ADFA BDE即可得到結(jié)論；連接AD,證明 BDEAADF即可；由正方形DFGE繞點D旋轉(zhuǎn)，故以點 D為圓心DE為半徑作圓，當點 E旋轉(zhuǎn)至點M，且1點A、D、M三點共線時AE有最大值，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AD= BC=1，根據(jù)正方2形的性質(zhì)求出 DE=DM=DF=2,即可得到AM=3.【詳解】解：(1) / AB AC ,點D是BC的中點， AD 丄 BC, BD=CD, / ADC=Z ADB=90 ,°BAC 90 , AB AC , / ABC=Z ACB=45 , / BAD=Z ABC=45 ,AD=B

47、D,四邊形DFGE為正方形， DE=DF ADF BDE, BE= AF;(2) 成立，理由如下，如圖 2，連接AD,/ BAC= 90 ° AB = AC, D 為 BC中點， AD 丄 BC, AD= BD= CD, / 2+ Z 3 = 90 :四邊形EDFG為正方形， DE= DF, Z EDF= 90 ； Z 1+ Z 2 = 90 °, Z 1 = Z 3, BDE ADF (SAS , BE= AF.(3) 由正方形DFGE繞點D旋轉(zhuǎn)，故以點 D為圓心DE為半徑作圓，當點 E旋轉(zhuǎn)至點M , 且點A、D、M三點共線時 AE有最大值，/ Z BAC= 90

48、76; AB = AC, D 為 BC中點，1 AD= BC=1,2四邊形EDFG為正方形， DE=DM=DF=2, AM=AD+DM=1+2=3 , AE的最大值為3.【點睛】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，同圓的半徑相等，全等三角形的判定及 性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，(1)證明 ADFA BDE是解題的關(guān)鍵，(2)可利用同樣的思路及 證明方法進行證明，(3)中作出圓輔助解題是關(guān)鍵 .9.(1) 2；( 2) CD 1.3 ;( 3) CD 的值最大，此時 CD 2 .【分析】(1) 由旋轉(zhuǎn)60。可知， ACC為等邊三角形，進而 C'C AC=2即可求解.過點B作BH丄CD于H,

49、求得 CBH三邊之比為1： ,3:2，進而求出CH和BH的長，再 求得 DBH為等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH即可求解.證明 B'AB C'AC，再取AB的中點H，以H為圓心，HB為半徑作。H，連接CD最CH，得出D點的運動軌跡為以 H為圓心，HA為半徑的圓，當 CD是該圓的直徑時 大，即可求解【詳解】解：（1） T旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)的邊相等，二AC=AC又旋轉(zhuǎn)60° ACC為等邊三角形 C'C AC 2.故答案為2.DBM ACM 60 ,/ “DMB = AMC ,BDC BAC 45，且 DBH為等腰直角三角形， BCH BCA ACC'30

50、BH DH -BC 1,CH3.2CD CH DF 13.故答案為：1.3.3 CD的長有最大值為22，理由如下，如下圖3中,B'AC'BAC 45B'AB C'AC/ AB' AB, AC AC'AB' ABAC' ACB'AB -C'ACDBM "ACMDMBAMCBDMMAC45取AB的中點H，以H為圓心，HB為半徑作0H，連接CHCA CB,ACB90CH AB,CH BH AH , BHC 90/ 1 - BDCBHC2點D的運動軌跡是以 H為圓心，HA為半徑的圓，當 CD是該圓的直徑時 CD最大，故