培優(yōu)題四年級數(shù)學奧數(shù)培訓課程至

1、第1講 找 規(guī) 律（一）一、知識要點 觀察是解決問題的根據(jù)。通過觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個方面來找規(guī)律：1根據(jù)每組相鄰兩個數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2根據(jù)相隔的每兩個數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認為是正確的。二、精講精練【例題1】 先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適當?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（    ），16，19【思路導航】在這列數(shù)中，相鄰的兩個數(shù)的差都

2、是3，即每一個數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應填的數(shù)為：10+3=13或163=13。像上面按照一定的順序排列的一串數(shù)叫做數(shù)列。練習1：先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（    ），22，26（2）3，6，9，12，（    ），18，21（3）33，28，23，（    ），13，（    ），3（4）55，49，43，（    ），31，（    ），

3、19（5）3，6，12，（    ），48，（    ），192（6）2，6，18，（    ），162，（    ）（7）128，64，32，（    ），8，（    ），2（8）19，3，17，3，15，3，（    ），（    ），11，3.【例題2】先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。1，2，4，7，（  

4、60; ），16，22【思路導航】在這列數(shù)中，前4個數(shù)每相鄰的兩個數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號里的數(shù)少4，括號里應填：7+4=11。經(jīng)驗證，所填的數(shù)是正確的。應填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11。練習2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（    ），31（2）1，4，9，16，25，（    ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（    ），（    ），11，2（4）53，44，36，29，（

5、    ），18，（    ），11，9，8（5）81，64，49，36，（    ），16，（    ），4，1，0（6）28，1，26，1，24，1，（    ），（    ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（    ），（    ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（    ），（ 

6、0;  ），13，14【例題3】先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（    ），（    ），11，12【思路導航】在這列數(shù)中，第一個數(shù)減去3的差是第三個數(shù)，第二個數(shù)加上2的和是第四個數(shù)，第三個數(shù)減去3的差是第五個數(shù)，第四個數(shù)加上2的和是第六個數(shù)依此規(guī)律，8后面的一個數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=10練習3：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（    ），（    ）（2）

7、13，2，15，4，17，6，（    ），（    ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（   ），（   ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（   ），（   ）（5）32，20，29，18，26，16，（   ），（   ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（   ），（   ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，

8、8，14，（   ），（   ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（   ），（   ）【例題4】在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，（   ），34，55中，括號里應填什么數(shù)？【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和。根據(jù)這一規(guī)律，括號里應填的數(shù)為：8+13=21或3413=21上面這個數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”。練習4：先找出規(guī)律，然后在括號里填上適當?shù)臄?shù)。（1）2，2，4，6，10，16，

9、（   ），（   ）（2）34，21，13，8，5，（   ），2，（   ）（3）0，1，3，8，21，（   ），144（4）3，7，15，31，63，（   ），（   ）（5）33，17，9，5，3，（   ）（6）0，1，4，15，56，（   ）（7）1，3，6，8，16，18，（   ），（   ），76，78（8）0，1，2，4，7，12，20，（ 

10、  ）【例題5】下面每個括號里的兩個數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當?shù)臄?shù)。（8，4）（5，7）（10，2）（，9）【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個括號里的兩個數(shù)相加的和都是12。根據(jù)這一規(guī)律，里所填的數(shù)應為：129=3練習5：下面括號里的兩個數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當?shù)臄?shù)。（1）（6，9）（7，8）（10，5）（，）（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，）（3）（18，17）（14，10）（10，1）（，5）（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，）（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，）（6）（64，62）（48，46）（29，27）

11、（15，）（7）（100，50）（86，43）（64，32）（，21）（8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，）第2講 找 規(guī) 律（二）一、知識要點 對于較復雜的按規(guī)律填數(shù)的問題，我們可以從以下幾個方面來思考：1.對于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒有一成不變的方法，有時需要綜合運用其他知識，一種方法不行，就要及時調(diào)整思路，換一種方法再分析；2.對于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。3.對于找到的規(guī)律，應該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式。二、精講精練【例題1】根據(jù)下表中的排列規(guī)律，

12、在空格里填上適當?shù)臄?shù)?！舅悸穼Ш健拷?jīng)仔細觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：12+6=18，8+7=15，即每一橫行中間的數(shù)等于兩邊的兩個數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應填的數(shù)為：4+8=12。練習1：找規(guī)律，在空格里填上適當?shù)臄?shù)?！纠}2】根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個圖形的括號里應填什么數(shù)？【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個圈中三個數(shù)之間有這樣的關(guān)系：5×12÷10=6    4×20÷10=8根據(jù)這一規(guī)律，第三個圈中右下角應填的數(shù)為：8×30÷10=24.練習2：根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系

13、，想一想第三個圖形的空格里應填什么數(shù)。（1）          （2）         （3）         【例題3】先計算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后幾題的得數(shù)。12345679×9=            123456

14、79×18=12345679×54=          12345679×81=【思路導航】題中每個算式的第一個因數(shù)都是12345679，它是有趣的“缺8數(shù)”，與9相乘，結(jié)果是由九個1組成的九位數(shù)，即：111111111。不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)律是：只要看每道算式的第二個因數(shù)中包含幾個9，乘積中就包含幾個111111111。因為：12345679×9=111111111所以：12345679×18=12345679×9×2=2222222221

15、2345679×54=12345679×9×6=666666666  12345679×81=12345679×9×9=999999999.練習3：找規(guī)律，寫得數(shù)。（1） 1+0×9=     2+1×9=     3+12×9=   4+123×9=      9+12345678×9=（2） 1×1=  

16、     11×11=     111×111=   111111111×111111111=（3）19+9×9=    118+98×9=    1117+987×9=11116+9876×9=         111115+98765×9=【例題4】找規(guī)律計算。（1） 8118=（81

17、）×9=7×9=63（2） 7227=（72）×9=5×9=45 （3） 6336=（）×9=×9=【思路導航】經(jīng)仔細觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個兩位數(shù)與交換它的十位、個位數(shù)字位置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個位數(shù)字的差乘9，所得的積就是這兩個數(shù)的差。練習4：1利用規(guī)律計算。（1）5335   （2）8228   （3）9229  （4）6116   （5）95592找規(guī)律計算。（1） 62+26=（6+2）×11=8×11=88（2） 87+78=

18、（8+7）×11=15×11=165（3） 54+45=（+）×11=×11=【例題5】計算（1）26×11    （2）38×11【思路導航】一個兩位數(shù)與11相乘，只要把這個兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和插入這兩個數(shù)字中間，就是所求的積。（1） 26×11=2（2+6）6=286（2） 38×11=3（3+8）8=418注意：如果兩個數(shù)字的和滿十，要向前一位進一。練習5：計算下面各題。（1）27×11     （2）32×1

19、1（3） 39×11     （4）46×11（5）92×11      （6）98×11第3講 簡 單 推 理 一、知識要點 解答推理問題，要從許多條件中找出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進一步推理的依據(jù)。二、精講精練【例題1】 一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？【思路導航】根據(jù)“一包巧克力的重量=兩袋餅干的重量”與“4袋牛肉干的重量=一包巧

20、克力的重量”可推出：兩袋餅干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋餅干的重量=兩袋牛肉干的重量。練習1：（1）一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？ （2）3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？ （3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小豬的重量等于幾只鴨的重量？ 【例題2】一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？【思路導航】根據(jù)“一頭象的重量

21、等于4頭牛的重量”與“一頭牛的重量等于3匹小馬的重量”可推出：“一頭象的重量等于12匹小馬的重量”，而“一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量”，因此，一頭象的重量等于36頭小豬的重量。練習2：（1）一只西瓜的重量等于兩個菠蘿的重量，1個菠蘿的重量等于4個蘋果的重量，1個蘋果的重量等于兩個橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個橘子的重量？ （2）一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？ （3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨的重量等于6條魚的重量。問：兩只小豬的

22、重量等于幾條魚的重量？【例題3】根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=18 =10【思路導航】在第一個算式中，3個相加的和是18，所以代表的數(shù)是：18÷3=6，又由第二個算式可求出代表的數(shù)是：106=4.練習3：（1）根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=32 =20（2）根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=15 =40（3）根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=8 =【例題4】根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=2 =56【思路導航】由第一個算式可知，比多2；如果將第二個算式的都換成，那么5個=562×2，=12，再由第一個算式可知，=122=10.練習4：（1）根據(jù)下面兩個算

23、式求與各代表多少？=8 =20（2）根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=78 =72（3）根據(jù)下面兩個算式，求與各代表多少？=12 =2【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學生，在區(qū)運動會上他們分別獲得跳高、跳遠和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不是跳高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問：他們?nèi)齻€人分別是哪個學校的？獲得哪項冠軍？【思路導航】由“二小的是跳遠冠軍”可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的；因為“一小的不是壘球冠軍”，所以一小一定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍；由“甲不是跳遠冠軍”，“乙既不是二小的也不是跳高冠軍”可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是

24、跳遠冠軍，三小的乙是壘球冠軍。練習5：（1）有三個女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會。一個穿花的，一個穿白的，一個穿紅的。但不知哪一個姓王、哪一個姓李、哪一個姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個女孩各姓什么嗎？（2）小兔、小貓、小狗、小猴和小鹿參加100米比賽，比賽結(jié)束后小猴說：“我比小貓跑得快?！毙」氛f：“小鹿在我前面沖過終點線?！毙⊥谜f：“我們的名次排在小猴前面，小狗在后面?！闭埜鶕?jù)它們的回答排出名次。（3）五個女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離相等的座位上，戌坐在她兩個姐姐之間。請問誰是戌的姐姐？第4講 應用題（

25、一）一、知識要點 解答應用題時，必須認真審題，理解題意，深入細致地分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，通過對條件進行比較、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問題得以順利解決。二、精講精練【例題1】 某玩具廠把630件玩具分別裝在5個塑料箱和6個紙箱里，1個塑料箱與3個紙箱裝的玩具同樣多。每個塑料箱和紙箱各裝多少件玩具？【思路導航】如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個紙箱或一個塑料箱裝多少件。因為3個紙箱與一個塑料箱裝的同樣多，所以6個紙箱與2個塑料箱裝的同樣多。這樣，5個塑料箱裝的玩具件數(shù)和7個塑料箱裝的就同樣多。由此，可求出一個塑料箱裝多少件。練習1：（1）百貨商店運

26、來300雙球鞋分別裝在2個木箱和6個紙箱里。如果兩個紙箱同一個木箱裝的球鞋同樣多，每個木箱和每個紙箱各裝多少雙球鞋？（2）新華小學買了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價錢是每把椅子的4倍，每張桌子多少元？（3）王叔叔買了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5千克荔枝的價錢等于2千克桂圓的價錢。每千克荔枝和每千克桂圓各多少元？【例題2】一桶油，連桶重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克。問：油和桶各重多少千克？【思路導航】原來油和桶共重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克，說明用去的一半油的重是180100=80（千克），一桶油的重量就是80×

27、2=160（千克），油桶的重量就是180160=20（千克）。練習2：（1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20千克。問：梨和筐各重多少千克？（2）一筐蘋果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送給一年級小朋友，余下的蘋果連筐重11千克。這筐蘋果重多少千克？（3）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來的2倍，油桶連油重38千克；如果把油加到原來的4倍，這里油和桶共重46千克。原來油桶里有油多少千克？【例題3】有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來4盒茶葉的重量相等。原來每盒茶葉有多少克？【思路導航】由條件“每盒取出200克，5盒剩下的

28、茶葉正好和原來4盒茶葉重量相等”可以推出，拿出的200×5=1000（克）茶葉正好等于原來的54=1（盒）茶葉的重量。練習3：（1）有6筐梨子，每筐梨子個數(shù)相等，如果從每筐中拿出40個，6筐梨子剩下的個數(shù)總和正好和原來兩筐的個數(shù)相等。原來每筐有多少個？（2）在5個木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個木箱中拿出60個橘子，那么5個木箱中剩下的橘子的個數(shù)的總和等于原來兩個木箱里橘子個數(shù)的和。原來每個木箱中有多少個橘子？（3）某食品店有5箱餅干，如果從每個箱子里取出20千克，那么5個箱子里剩下的餅干正好等于原來3箱餅干的重量。原來每個箱子里裝多少千克餅干？【例題4】一個木器廠要生產(chǎn)一批課桌。

29、原計劃每天生產(chǎn)60張，實際每天比原計劃多生產(chǎn)4張，結(jié)果提前一天完成任務。原計劃要生產(chǎn)多少張課桌？【思路導航】這道題的關(guān)鍵是要求出工作時間。因為實際比原計劃提前1天完成任務，這就相當于把原計劃最后1天的任務平均分到前面的幾天去做，正好分完。實際比原計劃每天多生產(chǎn)4張，所以實際生產(chǎn)的天數(shù)是60÷4=15天，原計劃生產(chǎn)的天數(shù)是151=16天。所以原計劃要生產(chǎn)60×16=960張。練習4：（1）電視機廠接到一批生產(chǎn)任務，計劃每天生產(chǎn)90臺，可以按期完成。實際每天多生產(chǎn)5臺，結(jié)果提前1天完成任務。這批電視機共有多少臺？（2）小明看一本故事書，計劃每天看12頁，實際每天多看8頁，結(jié)果提

30、前2天看完。這本故事書有多少頁？（3）修一條公路，計劃每天修60米，實際每天比計劃多修15米，結(jié)果提前4天修完。一共修了多少米？【例題5】有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使兩盒中的圖釘相等？【思路導航】由條件可知，甲盒比乙盒多7248=24只。要盒兩盒中的圖釘相等，只要把甲盒比乙盒多的24只圖釘平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以應拿出24÷2=12只。練習5：（1）有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。從第一袋中取出幾千克放入第二袋，才能使兩袋中的面粉重量相等？（2）有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只。每次從甲盒

31、中拿4只放到乙盒，拿幾次才能使兩盒相等？（3）有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次從多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？第5講 算式謎（一）一、知識要點 “算式謎”一般是指那些含有未知數(shù)字或缺少運算符號的算式。解決這類問題，可以根據(jù)已學過的知識，運用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數(shù)字和運用符號。由于這類題目的解答過程類似全平時進行的猜謎語游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎題”。解答算式謎問題時，要先仔細審題，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到突破口，逐步試驗，分析求解，通常要運用倒推法、湊整法、估值法等。二、精講精練【例題1】 在下面算式的括號里填上合適的數(shù)?！?/p>

32、思路導航】根據(jù)題目特點，先看個位：75=12，在和的個位（ ）中填2，并向十位進一；再看十位，（ ）+4+1的和個位是1，因此，第一個加數(shù)的（ ）中只能填6，并向百位進1；最后來看百位、千位，6+（ ）+1的和的個位是2，第二個加數(shù)的（ ）中只能填5，并向千位進1；因此，和的千位（ ）中應填8。練習1：（1）在括號里填上合適的數(shù)。 （2）在方框里填上合適的數(shù)。     （3）下面的豎式里，有4個數(shù)字被遮住了，求豎式中被蓋住的4個數(shù)字的和。【例題2】下面各式中“巨”、“龍”、“騰”、“飛”分別代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當它們各代表

33、什么數(shù)字時，下列的算式成立?！舅悸穼Ш健肯瓤磦€位，3個“飛”相加的和的個位數(shù)字是1，可推知“飛”代表7；再看十位，3個“騰”相加，再加上個位進來的2，所得的和的個位是0，可推知“騰”代表6；再看百位，兩個“龍”相加，加上十位進上來的2，所得和的個位是0，“龍”可能是4或9，考慮到千位上的“巨”不可能為0，所以“龍”只能代表4，“巨”只能代表1。練習2：【例題3】下面各式中的“兵”、“炮”、“馬”、“卒”各代表09這十個數(shù)字中的某一個，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這些漢字各代表哪些數(shù)字？【思路導航】這道題應以“卒”入手來分析?！白洹焙汀白洹毕嗉雍偷膫€位數(shù)字仍然是“卒”，這個數(shù)字只能是0。確定“卒”

34、是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“車”是1；再由十位上的情況可推知“馬”是4，進而推得“炮”是2。練習3：【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個數(shù)字恰好出現(xiàn)一次，組成一個整數(shù)算式。 ×=÷【思路導航】要求用七個數(shù)字組成五個數(shù)，這五個數(shù)有三個是一位數(shù)，有兩個是兩位數(shù)。顯然，方格中的數(shù)和被除數(shù)是兩位數(shù)，其他是一位數(shù)。0和1不能填入乘法算式，也不能做除數(shù)。由于2×6=12（2將出現(xiàn)兩次），2×5=10（經(jīng)試驗不合題意），2×4=8（7個數(shù)字中沒有8），2&#

35、215;3=6（6不能成為商）。因此，0、1、2只能用來組成兩位數(shù)。經(jīng)試驗可得：3×4=12=6=÷5.練習4：（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個數(shù)字填在圓圈和方筐里，每個數(shù)字恰好出現(xiàn)一次組成一個整數(shù)算式。 ×=÷（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 ÷=÷（3）用1、2、3、7、8這五個數(shù)字可以列成一個算式：（1+3）×7=28。請你用0、1、2、3、4、6這六個數(shù)字列成一個算式?！纠}5】把“、×、÷”分別放在適當?shù)膱A圈中（運算符號只能用一次），并在方框中填上適當?shù)臄?shù)，使下面的兩個等式

36、成立。36015=15 2135=【思路導航】先從第一個等式入手，等式右邊是15，與等式左邊最后一個數(shù)15相同，因為0+15=15，所以，只要使36與0的運算結(jié)果為0就行。顯然，36×0+15=15因為第一個等式已填“×”、“+”，在第二個等式中只有“”、“÷”可以填，題目要求在方框中填整數(shù)，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21與3之間，而3與5之間填“”。練習5：（1）把“、×、÷”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當?shù)恼麛?shù)，使下面每組的兩個等式成立。 9137=100 1425= 1762=100 5147=（2）將19

37、這九個數(shù)字填入中（每個數(shù)字只能用一次），組成三個等式。= = ×=第6講 算式謎（二）一、知識要點 解決算式謎題，關(guān)鍵是找準突破口，推理時應注意以下幾點：1認真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；3試驗時，應借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達到快速而準確的目的；4算式謎解出后，要驗算一遍。二、精講精練【例題1】 在下面的方框中填上合適的數(shù)字?！舅悸穼Ш健坑煞e的末尾是0，可推出第二個因數(shù)的個位是5；由第二個因數(shù)的個位是5，并結(jié)合第一個因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個因數(shù)的百位是3

38、；由第一個因數(shù)為376與積為310，可推出第二個因數(shù)的十數(shù)上是8。題中別的數(shù)字就容易填了。練習1：在里填上適當?shù)臄?shù)。 【例題2】在下面方框中填上適合的數(shù)字。【思路導航】由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數(shù)的個位是0，那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個位就是1，也不能除盡；只有當被除數(shù)的十位是9時，除數(shù)的個位是2時，商的個位為6，正好除盡。完整的豎式是：練習2：在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立?！纠}3】下面算式中的a、b、c、d這四個字母各代表什么數(shù)字？【思路導航】因為四

39、位數(shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘的積的個位是1，可知d只能是9；因為第二個因數(shù)9與第一個因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進位，所以b只能是0（1已經(jīng)用過）；再由b=0，可推知c=8。練習3：花= 紅 = 柳 = 綠 =華 = 羅 = 庚 = 金 = 杯 =盼 = 望 = 祖 = 國 =     早 = 日 = 統(tǒng) = 一 =     求下列各題中每個漢字所代表的數(shù)字。【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中間加上“、”兩種運算符號，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。 2 3

40、 4 5 6 7 8 9 = 100【思路導航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個數(shù)組成一個數(shù)。比如：123與100比較接近，所以把前三個數(shù)字組成123，后面的數(shù)字湊出23就行。因為45與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123456789=100再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123456789=100.練習4：（1）在下面等號左邊的數(shù)字之間添上一些加號，使其結(jié)果等于99（數(shù)字的順序不能改變）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99（2）一個乘號和七個加號添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改

41、變）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100（3）添上適當?shù)倪\算符號和括號，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100【例題5】在下面的式子里添上括號，使等式成立。 7×912÷32 = 23【思路導航】采用逆推法，從最后一步運算開始考慮。假如最后一步是用前面計算的結(jié)果減2，那么前面式子的運算結(jié)果應等25，又因為25×3=75，而前面7×912又正好等于75，所以，應給前面兩步運算加括號。 （7×912）÷32 = 23練習5：1.在下面的式子里添上括號，使等式成立。（1）7×912÷32 = 75

42、（2）7×912÷32 = 47（3）883311÷11×2 = 52.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字中間加上“、”兩種運算符號，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。第7講 最優(yōu)化問題一、知識要點 在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會遇到下面的問題：完成一件事情，怎樣合理安排才能做到用的時間最少，效果最佳。這類問題在數(shù)學中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問題，這些問題往往可以從極端情況去探討它的最大（小）值，這類問題在數(shù)學中稱為極值問題。以上的問題實際上都是“最優(yōu)化問題”。二、精講精練【例題1】 用一

43、只平底鍋煎餅，每次只能放兩個，剪一個餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問煎3個餅至少需要多少分鐘？【思路導航】先將兩個餅同時放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個餅都熟了一面，這時可將一個取出，另一個翻過去，再放入第三個。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個取出，把第三個翻過去，再將第一個放入煎，再煎一分鐘就會全部煎好。所以，煎3個餅至少需要3分鐘。練習1：1.烤面包時，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時放兩個。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個大餅，最少

44、要用幾分鐘？3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時能放4個大餅，烙一個要用4分鐘（每面各需要2分鐘）。可小華烙6個大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？【思路導航】經(jīng)驗表明，能同時做的事，盡量同時做，這樣可以節(jié)省時間。水壺不洗，不能燒開水，因此，洗水壺和燒開水不能同時進行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時進行。根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開水用15分鐘，同時洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開了就沏茶，共需要16分鐘。練習2：1.小虎早晨

45、要完成這樣幾件事：燒一壺開水需要10分鐘，把開水灌進熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？2.小強給客人沏茶，燒開水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點喝上茶，你認為最合理的安排，多少分鐘就可以了？3.在早晨起床后的1小時內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉刷牙8分鐘，讀外語30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學同時到達學校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室

46、只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學的治病次序，才能使三位同學留在衛(wèi)生室的時間總和最短？【思路導航】校醫(yī)應該給治療時間最短的先治病，治療時間長的最后治療，才能使三位同學在衛(wèi)生室的時間總和最短。這樣，三位同學留在衛(wèi)生室的時間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時間總和是1+4+9=14分鐘。練習3：1甲、乙、丙三人分別拿著2個、3個、1個熱水瓶同時到達開水供應點打熱水。熱水龍頭只有一個，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時間最少？2甲、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務，甲、乙、丙三人需要的時間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時間最少？最

47、少時間是多少？3甲、乙、丙、丁四人同時到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時間最少？最少時間是多少？【例題4】用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)。圍成的長方形的面積最大是多少？【思路導航】根據(jù)題意，圍成的長方形的一條長與一條寬的和是18÷2=9厘米。顯然，當長與寬的差越小，圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數(shù)，因此，當長是5厘米，寬是4厘米時，圍成的長方形的面積最大：5×4=20平方厘米。練習4：1.用長26厘米的鐵絲圍成各種

48、長方形，要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)，圍成的長方形的面積最大是多少？2.一個長方形的周長是20分米，它的面積最大是多少？3.一個長方形的面積是36平方厘米，并且長和寬的長度都是整厘米數(shù)。這個長方形的周長最長是多少厘米？【例題5】用36這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大?！舅悸穼Ш健拷鉀Q這個問題應考慮兩點：（1）盡可能把大數(shù)放在高位；（2）盡可能使兩個數(shù)的差最小。所以應把6和5這兩個數(shù)字放在十位，4和3放在個位。根據(jù)“兩個因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應放在6的后面，4應放在5的后面。63×54=3402.練習5：1.用14這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩

49、位數(shù)的乘積最大。2.用58這四個數(shù)字分別組成兩個兩位數(shù)，使這兩個兩位數(shù)的乘積最大。3.用38這六個數(shù)字分別組成兩個三位數(shù)，使這兩個三位數(shù)的乘積最大。第8講 巧妙求和（一）一、知識要點 若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項。其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項，數(shù)列中項的個數(shù)稱為項數(shù)。從第二項開始，后項與其相鄰的前項之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項與前項的差稱為公差。在這一章要用到兩個非常重要的公式：“通項公式”和“項數(shù)公式”。通項公式：第n項=首項+（項數(shù)1）×公差項數(shù)公式：項數(shù)=（末項首項）÷公差1二、精講精練【例題1】 有一個數(shù)列：4，10，16，22.

50、，52.這個數(shù)列共有多少項？【思路導航】容易看出這是一個等差數(shù)列，公差為6，首項是4，末項是52.要求項數(shù)，可直接帶入項數(shù)公式進行計算。項數(shù)=（524）÷61=9，即這個數(shù)列共有9項。練習1：1.等差數(shù)列中，首項=1.末項=39，公差=2.這個等差數(shù)列共有多少項？2.有一個等差數(shù)列：2.5，8，11.，101.這個等差數(shù)列共有多少項？3.已知等差數(shù)列11.16，21.26，1001.這個等差數(shù)列共有多少項？【例題2】有一等差數(shù)列：3.7，11.15，這個等差數(shù)列的第100項是多少？【思路導航】這個等差數(shù)列的首項是3.公差是4，項數(shù)是100。要求第100項，可根據(jù)“末項=首項+公差&#

51、215;（項數(shù)1）”進行計算。第100項=3+4×（1001）=399.練習2：1.一等差數(shù)列，首項=3.公差=2.項數(shù)=10，它的末項是多少？2.求1.4，7，10這個等差數(shù)列的第30項。3.求等差數(shù)列2.6，10，14的第100項?！纠}3】有這樣一個數(shù)列：，99，100。請求出這個數(shù)列所有項的和?！舅悸穼Ш健咳绻覀儼?，99，100與列100，99，相加，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每個小括號內(nèi)的兩個數(shù)的和都是101.一共有100個101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。1+2+3+99+1

52、00=（1+100）×100÷2=5050上面的數(shù)列是一個等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項+末項）×項數(shù)÷2這個公式也叫做等差數(shù)列求和公式。練習3：計算下面各題。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60【例題4】求等差數(shù)列2，4，6，48，50的和?！舅悸穼Ш健窟@個數(shù)列是等差數(shù)列，我們可以用公式計算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項數(shù)是多少：項數(shù)=（末項首項）÷公差+1=（502）÷2+1=25首項=2.末項=50，項數(shù)=25等差數(shù)列的和

53、=（2+50）×25÷2=650.練習4：計算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270【例題5】計算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路導航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個數(shù)列其實是把1 100這100個數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個等差數(shù)列，每個數(shù)列都有50個項。因此，我們也可以把這兩個數(shù)列中的每一項分別對應相減，可得到50個差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）

54、+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50練習5：用簡便方法計算下面各題。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）第9講 變化規(guī)律（一）一、知識要點和、差的規(guī)律見下表（m0）一個加數(shù)（a）另一個加數(shù)（b）和（c）±m不變±m不變±m±m±mm不變被減數(shù)（a）減數(shù)（b）差（c）±m不變±m不變±mm±m±m不變二、精講精練【例

55、題1】 兩個數(shù)相加，一個加數(shù)增加9，另一個加數(shù)減少9，和是否發(fā)生變化？【思路導航】一個加數(shù)增加9，假如另一個加數(shù)不變，和就增加9；假如一個加數(shù)不變，另一個加數(shù)減少9，和就減少9；和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化。練習1：1.兩個數(shù)相加，一個數(shù)減8，另一個數(shù)加8，和是否變化？2.兩個數(shù)相加，一個數(shù)加3.另一個數(shù)也加3.和起什么變化？3.兩個數(shù)相加，一個數(shù)減6，另一個數(shù)減2.和起什么變化？【例題2】兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加10，要使和增加6，那么另一個加數(shù)應有什么變化？【思路導航】一個加數(shù)增加10，假如另一個加數(shù)不變，和就增加10?，F(xiàn)在要使和增加6，那么另一個加數(shù)應減少106=4。練習

56、2：1.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加8，要使和增加15，另一個加數(shù)應有什么變化？2.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)增加8，要使和減少15，另一個加數(shù)應有什么變化？3.兩個數(shù)相加，如果一個加數(shù)減少8，要使和減少8，另一個加數(shù)應有什么變化？【例題3】兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加8，減數(shù)也增加8，差是否起變化？【思路導航】被減數(shù)增加8，假如減數(shù)不變，差就增加8；假如被減數(shù)不變，減數(shù)增加8，差就減少8。兩個數(shù)的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化。練習3：1.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少6，減數(shù)也減少6，差是否起變化？2.兩數(shù)相減，被減數(shù)增加12.減數(shù)減少12.差起什么變化？3.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少10，減數(shù)增加

57、10，差起什么變化？【例題4】兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大8倍，另一個因數(shù)縮小2倍，積將有什么變化？【思路導航】如果一個因數(shù)擴大8倍，另一個因數(shù)不變，積將擴大8倍；如果一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴大8倍又縮小2倍，因此，積擴大了8÷2=4倍。練習4：1.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)縮小4倍，另一個因數(shù)擴大4倍，和是否起變化？2.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)縮小12倍，積將有什么變化？3.兩數(shù)相乘，如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)擴大6倍，積將有什么變化？【例題5】兩數(shù)相除，如果被除數(shù)擴大4倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？【思路導航】如果被除數(shù)擴大4倍，

58、除數(shù)不變，商就擴大4倍；如果被除數(shù)不變，除數(shù)縮小2倍，商就擴大2倍。商先擴大4倍，接著又擴大2倍，商將擴大4×2=8倍。練習5：1.兩數(shù)相除，被除數(shù)擴大30倍，除數(shù)縮小5倍，商將怎樣變化？2.兩數(shù)相除，被除數(shù)縮小12倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？3.兩數(shù)相除，除數(shù)擴大6倍，要使商擴大3倍，被除數(shù)應怎樣變化？第10講 變化規(guī)律一、知識要點乘、除變化規(guī)律見下表（m0）被乘數(shù)（a）乘數(shù)（b）積（c）×÷m不變×÷m不變×÷m×÷m×÷m÷×m不變被除數(shù)（a）除數(shù)（b）商

59、（c）×÷m不變×÷m不變×÷m÷×m ×÷m×÷m不變我們學習了和、差、積、商的變化規(guī)律，這一周，我們利用這些規(guī)律來解決一些較簡單的問題。二、精講精練【例題1】 兩數(shù)相減，被減數(shù)減少8，要使差減少12.減數(shù)應有什么變化？【思路導航】被減數(shù)減少8，假如減數(shù)不變，差也減少8；現(xiàn)在要使差減少12.減數(shù)應增加128=4。練習1：1.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加6，要使差增加15，減數(shù)應有什么變化？2.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加20，要使差減少12.減數(shù)應有什么變化？3.兩數(shù)相減，減數(shù)減少

60、9，要使差增加16，被減數(shù)應有什么變化？【例題2】兩個數(shù)相除，商是8，余數(shù)是20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？【思路導航】兩數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大相同的倍數(shù)，商不變，余數(shù)擴大相同的倍數(shù)。所以商是8，余數(shù)是20×10=200。練習2：1.兩數(shù)相除，商是6，余數(shù)是30，如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？2.兩個數(shù)相除，商是9，余數(shù)是3。如果被除數(shù)和除數(shù)同時擴大120倍，商是多少？余數(shù)是多少？3.兩個數(shù)相除，商是8，余數(shù)是600。如果被除數(shù)和除數(shù)同時縮小100倍，商是多少？余數(shù)是多少？【例題3】兩數(shù)相乘，積是48。如果一個因數(shù)擴大2倍，另

61、一個因數(shù)縮小3倍，那么積是多少？【思路導航】一個因數(shù)擴大2倍，積擴大2倍；另一個因數(shù)縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積是48×2÷3=32。練習3：1.兩數(shù)相乘，積是20。如果一個因數(shù)擴大3倍，另一個因數(shù)縮小4倍，那么積是多少？2.兩數(shù)相除，商是19。如果被除數(shù)擴大20倍，除數(shù)縮小4倍，那么商是多少？3.兩數(shù)相除，商是27。如果被除數(shù)擴大12倍，除數(shù)擴大6倍，那么商是多少？【例題4】小華在計算兩個數(shù)相加時，把一個加數(shù)個位上的1錯誤地寫成7，把另一個加數(shù)十位上的3錯誤地寫成8，所得的和是1996。原來兩個數(shù)相加的正確答案是多少？【思路導航】根據(jù)題意，一個加數(shù)個位上的1被寫成了7，這樣錯寫一個加數(shù)比原來增加了6；另一個加數(shù)十位上的3寫成8，增加了50。這樣，所得的結(jié)果就比原來增加了6+50=56。所以，原來兩數(shù)相加的正確答案是：1996（656）=1940。練習4：1