備戰(zhàn)高考數(shù)學考試萬能工具包第二篇考前必看解題技巧專題2.3破解6類解答題

1、專題03破解6類解答題、三角函數(shù)問題重在“變”變角、變式與變名三角函數(shù)類解答題是高考的熱點，其起點低、位置前，但由于其公式多，性質(zhì)繁，使不少同學對其有種畏懼感.突破此類問題的關(guān)鍵在于“變”一一變角、變式與變名(1)變角：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換以及三角形內(nèi)角和定理的變換運用.如a=(a+3) - 3=(a - 3 )+ 3 ,2 a =( a + 3 )+( a - 3 ),2 a=(3+a) - ( 3 - a ).(2)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進行變形 ，使其更貼近某個公式，方法通常有：“常值代換” “逆用、變形 用公式” “通分約

2、分” “分解與組合” “配方與平方”等(3)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，方法通常有“切化弦” “升次與降次”等-角酒效麟答世金式網(wǎng)而河的和心仍常交糧換元二曲域內(nèi)飽和 定理的變摸在 ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為 a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=(1)求b和sin A的值;(2)求 sin271+-4加倒t.21解析(1)在AABC中，因為故由2in B=%可得cos B=.由已知及余弦定理,有b5=a+C-Saccos £=13,sm. b=vi3.由正弦定理裊熹,得sin后暇誓.度式)所以.J b的值為VI* Sin 4的值為誓.

3、iqis臼,cos 2A=1-2sin 2A=-L1.(變名)由任)及"q得cos Af邛黑所以 sin 2A=2sin Acos A=a+d故 sin =sin 2Acos變式：利用恒等變換變?yōu)閟in A=變名：利用二倍角公式實現(xiàn)三角函數(shù)名稱的變化萬一變角：把2A+U的三角函數(shù)表示為 2A和破解策略 求解此類題目的策略：既要注重三角知識的基礎(chǔ)性，又要注重三角知識的應(yīng)用性 ，突出與代數(shù)、幾何、向量等知識的綜合聯(lián)系.“明確思維起點，把握變換方向，抓住內(nèi)在聯(lián)系，合理選擇公式”是三角變換的基本要決.在解題時，要緊緊抓住“變”這一核心，靈活運用公式與性質(zhì)，仔細審題，快速運算.【變式訓練】【2

4、018四川省廣元市一模】設(shè)函數(shù) f x cos 2x 2cos2x .3(1)求f x的最大值，并寫出使 f x取最大值時x的集合；3(2)已知 ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若f Ab c 2 ,求a的最小值.2二、數(shù)列問題重在“歸”一一化歸、歸納等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩個基本數(shù)列，是一切數(shù)列問題的出發(fā)點與歸宿 .首項與公差(比)稱為等差數(shù)列(等比數(shù)列)的基本量.只要涉及這兩個數(shù)列的數(shù)學問題，我們總希望把條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達到解決問題的目的.這種化歸為基本量處理的方法是等差或等比數(shù)列特有的方法，對于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個別的情形出發(fā)，從中

5、歸納出一般的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解 決一般性數(shù)列問題的重要方法 ：觀察、歸納、猜想、證明.由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ，也可根據(jù)題目的特點， 將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決.例2 (2017課標全國出，17,12分)設(shè)數(shù)列an滿足 a1+3a2+(2n-1)a n=2n.(1)求an的通項公式;(2)求數(shù)列|10 + 1的前n項和.解析因為aj+3m+廠1)晶=血舌培113=2時,4+3蟲+(2口-3)(mi).(歸納)兩式相激得(如7)所以自歷津黨.又由題設(shè)可得a尸2,從而an的通項公式為an(n CN ).(2)記的前n項和為$.由(1)知.(化歸)則Sn=一 b _-u_1 -

6、 3 - T - I -an滿足：(1)(2)1,a：求數(shù)列求aa22n 1 anan的通項公式1a3 1 l1a3 1a21 2n 1 an 1n 2 且 n Nanan歸納：通過條件歸納出 ai+3a2+(2n -3)a n-i=2(n- 1)(n >2),進而彳#出an的通項公式化歸：把數(shù)列的通項分拆，利用裂項相消法求和.破解策略 “算一算、猜一猜、證一證”是數(shù)列中特有的歸納思想 ，利用這種思想可探索一些一般數(shù) 列的簡單性質(zhì).等差數(shù)列與等比數(shù)列是數(shù)列中的兩個特殊的基本數(shù)列 ，高考中通常考查的是非等差、等比數(shù) 列問題，應(yīng)對的策略就是通過化歸思想，將其轉(zhuǎn)化為這兩種數(shù)列.【變式訓練】【2

7、018江西省師范大學附屬中學、九江第一中學聯(lián)考】已知正項數(shù)列三、立體幾何問題重在“建”一一建模、建系立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深，解決這類題目的原則是建模、建系 .建模一一將問題轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計算模型；建系一一依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解T平行黑盤J血化校而'值系例3 (2017課標全國出，19,12 分)如圖，四面體 ABCD中，4ABC是正三角形，4ACD 是直角三角 形，/ABDW CBD,AB=BD.(1)證明：平面ACDL平面 ABC;(2)過AC的平

8、面交BD于點E,若平面AECt巴四面體ABC防成體積相等的兩部分，求二面角D-AE-C的余弦值.解析由題設(shè)可得J AABDACBD,從而AD=DC*又4ID是直角三角形，所以NADC=900.取AC的中點0,連接DO, B0,則風D0二齡.又由于ABC是正三角形一故B01AC.所以405為二面角D-AC-E的平面角.(建模)在 RtAAOB 中,B03+A02=ABV ab二b. 所以 eoqdoJbo斗如Jab故/.所以平面ACDL平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直.以。為坐標原點，回的方向為x軸正方向,|網(wǎng)|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.(建系

9、)則 A(1,0,0),B(0, 一,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由題設(shè)知，四面體ABCE勺體積為四面體 ABCD勺體積的也從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的右艮口 E為皿的中點,得E(幾I).故而二(-1,0.1)或二0).? Ze-(1?小空=口,即 n - AE- Oj設(shè)區(qū)斗外是平面DAE的法向量,一式+工=Op,Va _ 1 n 可取 *x 十一y + w - 0.W d 3：1川1川17 .設(shè)是平面的法向量,則同理可取 m=(0,-1, R-l),貝U cos<n,m>=易知二面角D-AE-C為銳二面角所以二面角D-AE-C的余弦值為建*H

10、:構(gòu)建二面角的平面角模型建系：以兩兩垂直的直線為坐標軸破解策略 立體幾何的內(nèi)容在高考中的考查情況總體上比較穩(wěn)定，因此，復習備考時往往有“綱”可循，有“題”可依.在平時的學習中，要加強“一題兩法(幾何法與向量法)”的訓練，切勿顧此失彼；要重視 識圖訓練，能正確確定關(guān)鍵點或線的位置 ，將局部空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 ；能依托于題中的垂直條件 ，建立 適當?shù)目臻g直角坐標系，將幾何問題化歸為代數(shù)問題 .【變式訓練】【湖南省株洲市2018屆高三教學質(zhì)量統(tǒng)一檢測】 如圖，在幾彳S體ABCDEF中，四邊形ADEF為矩形，四邊形 ABCD為梯形，AB/CD ,平面CBE與平面BDE垂直，且CB BE.(1)求證

11、：ED 平面ABCD;(2)若AB AD,AB AD 1,且平面BCE與平面ADEF所成銳二面角的余弦值為逅，求AF的長.6四、概率問題重在“辨”一一辨析、辨型概率與統(tǒng)計問題的求解關(guān)鍵是辨別它的概率模型，只要模型一找到，問題便迎刃而解.而概率與統(tǒng)計模型的提取往往需要經(jīng)過觀察、分析、歸納、判斷等復雜的辨析思維過程，同時，還需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、對立事件等事件間的關(guān)系,注意放回和不放回試驗的區(qū)別，合理劃分復雜事件必然事件|T事件-”不可能事件L何乃砧跣年胡春坦曲事件例4 (2016課標n ,18,12分)某險種的基本保費為士用空件號可能小件時，事件a(單位:元)繼續(xù)購買該險種的投保

12、人稱為續(xù)保人續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下上年度出險次數(shù)01234>5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下1年內(nèi)出險次01234>5數(shù)概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率(2)若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費,求其保費比基本保費高出60%勺概率;(3)求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值解析(1)設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，則事件A發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,(辨析1)故 P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05

13、=0.55.( 辨型 1)(2)設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%，則事件B發(fā)生當且僅當一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,(辨析2)故 P(B)=0.1+0.05=0.15.又 P(AB尸P(B),故P(B|A尸p(AinL 15J sJ 55則.(辨型2)因此所求概率為因此續(xù)保人本年度的平均保疊與基本保費的比值為L 23.錯折1：判斷事件A發(fā)生,在一年內(nèi)出險次數(shù)為2, 3, 4或手5.辨型1：該問題為求隨機事件的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解辨析2:判斷事件B發(fā)生，在一年內(nèi)出險次數(shù)為4或5.辨型2:該問題為條件概率，可利用公式求解.破解策略 概率與統(tǒng)計知識的復習應(yīng)抓住基本概念

14、、基本公式,不需要做難題、偏題、怪題 .在審題時，一般按以下程序操作:(1)準確弄清問題所涉及的事件有什么特點,事件之間有什么關(guān)系，如互斥、對立、獨立等；(2)理清事件以什么形式發(fā)生，如同時發(fā)生、至少有幾個發(fā)生、至多有幾個發(fā)生、恰有幾個發(fā)生等；(3)明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等；(4)準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發(fā)生數(shù)和事件總數(shù)，或根據(jù)概率計算公式和性質(zhì)來計算事件的概率【變式訓練】【2018湖南省長沙市第一中學模擬】2017年4月1日，新華通訊社發(fā)布：國務(wù)院決定設(shè)立河北雄安新區(qū).消息一出，河北省雄縣、容城、安新3縣及周邊部分區(qū)域迅速成為海內(nèi)外高度關(guān)注的焦點(1)為了響

15、應(yīng)國家號召，北京市某高校立即在所屬的8個學院的教職員工中作了 “是否愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)”的問卷調(diào)查，8個學院的調(diào)查人數(shù)及統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:調(diào)查人數(shù)(x)io20304050607080愿意整體搬遷人數(shù)(y)817253139475566請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出變量 y關(guān)于變量X的線性回歸方程 y bx a (b保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字)；若該校共有教職員工 2500人，請預測該校愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)的人數(shù);8位院長中隨機選取(2)若該校的8位院長中有5位院長愿意將學校整體搬遷至雄安新區(qū)，現(xiàn)該校擬在這4位院長組成考察團赴雄安新區(qū)進行實地考察，記X為考察團中愿意將學校整

16、體搬遷至雄安新區(qū)的院長人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：b?n_ _i 9 n x y an 2_2 ,a.xin xi 1 i8y b? X,Xi yii 18一2 一16310, Xi 20400.i 1五、解析幾何問題重在“設(shè)”設(shè)點、設(shè)線解析幾何試題知識點多,運算量大，能力要求高，綜合性強，在高考試題中大都是以壓軸題的面貌出現(xiàn)是考生“未考先怕”的題型,不是怕解題無思路，而是怕解題過程中繁雜的運算.因此，在遵循“設(shè)一一列解”程序化解題的基礎(chǔ)上 ，應(yīng)突出解析幾何“設(shè)”的重要性 ，以克服平時重思路方法、輕運算技巧的頑疾,突破如何避繁就簡這一瓶頸R線設(shè)而能求*林洪方鉗股方也例5 (2

17、017課標全國I ,20,12分)設(shè)A,B為曲線C:y=HJ上兩點，A與B的橫坐標之和為4.求直線AB的斜率；(2)設(shè)M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線 AB平行,且AML BM求直線AB的方程.解析 設(shè) A(xi,y i),B(x 2,y 2),=1.2)國一 2 '=y 得由設(shè)M(x3,y 3),由題設(shè)知 團=1,解得解耳于是 1值總設(shè)直線AB的用呈為y=xtr (設(shè)線)故線段AB的中點為口2F)/ |二| m+11.將產(chǎn)工代入K2_4x4m=0.當=16 U+1) >0,即 m>-l 時，皿;=2 ± 2標于I.從而 I AS | 二立 I sL-X21

18、 =42 (m + 1).由題設(shè)知1間二2ML即 4l2(m+l =2(m+l),解得 m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.設(shè)點：設(shè)出A,B兩點坐標，并得出xi Wx2,x i+x2=4.設(shè)線：由(1)知直線斜率，再設(shè)直線方程為y=x+m,利用條件可求出 m的值.破解策略 解析幾何的試題常要根據(jù)題目特征，恰當?shù)卦O(shè)點、設(shè)線，以簡化運算.常見的設(shè)點方法有減元設(shè)點、參數(shù)設(shè)點、直接設(shè)點等 ，常見的設(shè)線方法有圓方程的標準式與一般式、直線方程有y=kx+b、x=my+n及兩點式、點斜式等形式、還有曲線系方程、參數(shù)方程等 【變式訓練】【2018黑龍江省大慶市一?！恳阎獧E圓2 x C：-a2 y b21

19、a b 0 ,其焦距為2,離心率(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓的右焦點為FK為x軸上一點，滿足umv uuvOK 2OF ,過點K作斜率不為0的直線l交橢圓于P,Q兩點，求 FPQ面積s的最大值.六、函數(shù)與導數(shù)問題重在“分”一一分離、分解，多涉及含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性、極值以函數(shù)為載體，以導數(shù)為工具的綜合問題是高考?？嫉膲狠S大題或最值的探索與討論，復雜函數(shù)的零點的討論，不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點.對于此類綜合試題，一般先求導，再變形或分解出基本函數(shù)，再根據(jù)題意處理.曲&、導&斛答圍道辨分解|分解過程分解生才換元二四造場教-作

20、整面例 6 (2017 課標全國 n ,21,12 分)已知函數(shù) f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x) >0.(1)求 a;(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點xo,且e2< f(x o)<2 -2.解析(1)£8)的定義域為9,").i殳g(x)=ax-arlji附則f=(分葡門£)多0等價于屋,)匕。.因為固1)=0口故口故4Oj而屋=得 a=l-當 0<x<1 時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x>1時,g'(x)>0,g(x) 單調(diào)遞增.所以x=1是g(x)的極小值點，故

21、g(x) >g(1)=0.綜上,a=1.(2)由(1)知 f(x)=x 2-x-xln x, f'(x)=2x-2-ln x.設(shè) h(x)=2x-2-ln x,( 分解)貝U h'(x)=2- 一RI當 xC k 時,h(x)<0；當 x C 匕 + 81時,h'(x)>0,所以h(x)在調(diào)遞減，在回二)單調(diào)遞增.一又=5所以3由在(叫；揖唯一零點如在b +8)有唯一零點二且當K E Xfl)時1 11(芯)；當 k E1)時, h&) S;當二 E (lj 時,h(x) X).因為f ' G)二h&L所以"卻是f &

22、amp;)的唯一極大侑點.由 f ' QuJF 得 1口 /=2 國1),故 £ (k()=Kg 11-而).由黜 £ 33 1)得 F &i) <7-因為求士是內(nèi)力在1)的最大值點.由鼠E6f(C得二二所以尸彳區(qū)乂蟲分離：把函數(shù)f(x)分離為x與g(x)的積.分解：構(gòu)造 h(x)=2x-2-ln x.破解策略函數(shù)與導數(shù)壓軸題計算復雜、綜合性強、難度大 .可以參變量分離，把復雜函數(shù)分離為基本函數(shù)；可把題目分解成幾個小題；也可把解題步驟分解為幾個小步，注重分步解答，這樣，即使解答不完整，也要做到盡可能多拿步驟分.【變式訓練】已知函數(shù)f x 1 ax ln

23、x(1)若不等式f x 0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍;(2)在(1)中，a取最小值時，設(shè)函數(shù)g x x 1 f x122 .右函數(shù)g x在區(qū)間 j，8上恰有兩個零點，求實數(shù) k的取值范圍;2).n2 2n 1(3)證明不等式：21n 2 3 4 L n 答案精解精析、三角函數(shù)問題重在“變”變角、變式與變名【變式訓練】【解析】(1)由題意得1 cos2x23in2x21 cos2x1 cos2x23n2x2cos2xcos2xcos 2x12, 3x的最大值為2.此時2x 32k所以X的集含為j= £ Z)(2)由題意得/(d) =CD5| 24 十二+1=r.,.cos 2J-k-l

24、 3 J2A1在 ABC 中，b c 2, cosA , 2由余弦定理得a2,2222,b c 2bccosA b c bcbc又bc1,22 a b c bc 4 1 3,當且僅當b c 1時取等號,a的最小值為73.、數(shù)列問題重在“歸”一一化歸、歸納【變式訓練】【解析】 因為 an22n 1 an = an； 2n 1 an 1,anan 1anan 1 = 2n 1anan 1所以 an 0,所以 an an 1 2n 1 n 2又因為an= anan 1an 1an 2a2 al a1= 2n 12n 3 L 3 1=n2.(2) a = an 1 2 1 -=1 -2=1 2an 1

25、an 1an 1 n 1 n 1 n 1所以原式=11111,111 - - - - - L 3 2 4 3 5 n 1 n 1三、立體幾何問題重在“建”一一建模、建系【變式訓練】【解析】（1）證明：因為平面CBE與平面BDE垂直CB±BE,平面CSE與平面BDE的交線為BE所以a_1面R0g,又即仁面ADE所從CB±ED在矩形皿即用，ED±AD又四邊形疑CD為梯形，如“ 所以3與相交故ED 平面ABCD(2)由(1)知， ED垂直DA , ED垂直DC ,又AD垂直AB , AB平行CD ,所以DC垂直DA ,如圖，以D為坐標原點，DA、DC、DE分別為x, y

26、,z軸建立空間坐標系A(chǔ)D AB 1,AB AD,BD 2又 CB BD, CDB 45 ,所以 DC 2 ,設(shè)DE a則 B 1,1,0 ,C 0,2,0 ,E 0,0,aBE 1, 1,a ,BC 1,1,0設(shè)平面BEC的法向量為h =(x: y=z)-x-y+ziz 0r+y=0:令丸=1貝if = L =所以平面B£C的法向量為元=易知：平面即的法向量為擊因為平面BCE與平面ADEF所成銳二面角的余弦值為v v cosn,m巫，解得a 1 ,即AF DE 16四、概率問題重在“辨”辨析、辨型【變式訓練】【解析】(1)由已知有x 45, y 36,b?n_ _i 1為 yin x

27、 y16310a 36 0.8045 0 ,故變量n 2 i iX2 x8 45 360.8 ，20400 8 45 45y關(guān)于變量的線性回歸方程為y 0.8x ,所以當 x 2500時,y 2500 0.80 2000.(2)由題意可知X的可能取值有2,3,4.1 c5 c；C84ApxC52 C；C8437'C52 C3C847,”C541C 14X1234p1331147714所以X的分布列為13EX 1 2 -14五、解析幾何問題重在“設(shè)”,154 142設(shè)點、設(shè)線【變式訓練】【解析】 ,c2,0-（1）因為橢圓焦距為2,即2c 2,所以c 1, _ 一，所以a J2,從而b a c 1 ,所以橢圓的a 22方程為y21 .2橢圓右焦點尸（L。）,由0K=2。尸可知女（工0）.直線r過點設(shè)直線1的方程為了二行（工一2）,心/將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得（1十*-g*，+8"一2=心