固體物理測試題

1、第一章 晶體的結(jié)構(gòu)     測 試 題1.以堆積模型計算由同種原子構(gòu)成的同體積的體心和面心立方晶體中的原子數(shù)目之比.2.解理面是面指數(shù)低的晶面還是面指數(shù)高的晶面？為什么？3.與晶列垂直的倒格面的面指數(shù)是什么？4.高指數(shù)的晶面族與低指數(shù)的晶面族相比，對于同級衍射，哪一晶面族衍射光弱？為什么？5.以剛性原子球堆積模型，計算以下各結(jié)構(gòu)的致密度分別為：   （1）簡立方， /6 ；      （2）體心立方， ；   （3）面心立方，；   &

2、#160;  （4）六角密積，  ；   （5）金剛石結(jié)構(gòu)， 。6.試證面心立方晶格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方.7.六角晶胞的基矢.  求其倒格基矢。8.求晶格長數(shù)為a的面心立方和體心立方晶體晶面族 的面間距.第一章 晶體的結(jié)構(gòu)習題解答1.  解答設(shè)原子的半徑為R,體心立方晶胞的空間對角線為4R,胞的邊長為,晶胞的體積為,一個晶胞包含兩個原子，一個原子占的體積為,單位體積晶體中的原子數(shù)為 ;面心立方晶胞的邊長為 ,晶胞的體積為,一個晶胞包含四個原子，一個原子占的體積為,單位體積晶體中的原子數(shù)為 . 因此，同體積的體心和面

3、心立方體晶體中原子數(shù)之比為 ：=0.909。2解答晶體容易沿解理面劈裂，說名平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層的間距大。因為面間距大的晶體晶面族的指數(shù)低，所以解理面是面指數(shù)低的晶面。3解答正格子與倒格子互為倒格子。正格子晶面與倒格式垂直,則倒格晶面與正格矢                           

4、;            正 交。即晶列 與倒格面垂直。4解答對于同級衍射，高指數(shù)的晶面族衍射光弱，低指數(shù)的晶面族衍射光強。低指數(shù)的晶面族間距大，晶面上的原子密度大，這樣的晶面對射線的反射（衍射）作用強。相反，高指數(shù)的晶面族面間距小，晶面上的原子密度小。另外，由布拉格反射公式2dh k l s in=n  可知,面間距d h k l大的晶面，對應(yīng)一個小的光的掠射角面間距d h k l小的晶面，對應(yīng)一個大的光的掠射角。 越大，光的透射能力就越強，反射能力就越弱。5解答設(shè)想晶體是

5、由剛性原子球堆積而成。一個晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度。設(shè)n為一個晶胞中剛性原子球數(shù)，r表示剛性原子球半徑，表示晶胞體積，則致密度 （1） 對簡立方晶體，任一個原子有6個最近鄰，若原子以剛球堆積，如圖1·2所示，中心在1，2，3，4處的原子球?qū)⒁来蜗嗲小Ｒ驗閍=2r，V=a3，晶胞內(nèi)包含1個原子，所以 （2） 對體心立方晶體，任一個原子有8個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1·2所示，體心位置O的原子與處在8個角頂位置的原子球相切。因為晶胞空間對角線的長為，晶胞內(nèi)包含2個原子，所以（3）對面立方晶體，任一個原子有12個最近鄰,若以剛性球堆積,如

6、圖1.4所示,中心位于角頂?shù)脑优c相鄰的3個面心原子球相切。因為     1個晶胞內(nèi)包含4個原子，所以（4） 對六角密積結(jié)構(gòu)，任一個原子有12個最近鄰，若以剛性球堆積，如圖1.5所示，中心在1的原子與中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子與中心在6，7，8的原子相切，晶胞內(nèi)的原子O與中心在1， 3，4，5，7，8處的原子相切，即O點與中心在5，7，8處的原子分布在正四面體的頂上。因為四面體的高: 晶胞體積:一個晶胞內(nèi)包含兩個原子，所以:（5）        對金剛石結(jié)構(gòu)，任一個原子

7、有4個最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖1.7所示，中心在空間對角線四分之一處的O原子與中心在1，2，3，4處的面心原子相切。因為                  晶胞體積                      &#

8、160;         一個晶胞內(nèi)包含8個原子，所以              6解答設(shè)與晶軸 平行的單位矢量分別為 面心立方正格子的原胞基矢可取為           由倒格矢公式可得其倒格矢為設(shè)與晶軸  平行的單位矢量分別為 ，體心立方正格子的原胞基矢可取為  &

9、#160;       以上三式與面心立方的倒格基矢相比較，兩者只相差一常數(shù)公因子，這說明面心立方的倒格子是體心立方。    將體心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式則得其倒格子基矢為          可見體心立方的倒格子是面心立方。7解答晶胞體積為            其倒格矢為  &

10、#160;              8解答面心立方正格子的原胞基矢為由      可得其倒格基矢為      倒格矢           根據(jù)固體物理教程(1.16)式          

11、      得面心立方晶體晶面族的面間距                 體心立方正格子原胞基矢可取為其倒格子基矢為:        則晶面族的面間距為          第2章  晶體的結(jié)合習題解答1.是否有與庫侖力無關(guān)的晶體結(jié)

12、合類型?解答    共價結(jié)合中, 電子雖然不能脫離電負性大的原子, 但靠近的兩個電負性大的原子可以各出一個電子, 形成電子共享的形式, 即這一對電子的主要活動范圍處于兩個原子之間, 通過庫侖力, 把兩個原子連接起來. 離子晶體中, 正離子與負離子的吸引力就是庫侖力. 金屬結(jié)合中, 原子實依靠原子實與電子云間的庫侖力緊緊地吸引著. 分子結(jié)合中, 是電偶極矩把原本分離的原子結(jié)合成了晶體. 電偶極矩的作用力實際就是庫侖力. 氫鍵結(jié)合中, 氫先與電負性大的原子形成共價結(jié)合后, 氫核與負電中心不在重合, 迫使它通過庫侖力再與另一個電負性大的原子結(jié)合. 可見, 所有晶體結(jié)合類

13、型都與庫侖力有關(guān).2.如何理解庫侖力是原子結(jié)合的動力?解答    晶體結(jié)合中, 原子間的排斥力是短程力, 在原子吸引靠近的過程中, 把原本分離的原子拉近的動力只能是長程力, 這個長程吸引力就是庫侖力. 所以, 庫侖力是原子結(jié)合的動力. 3.晶體的結(jié)合能, 晶體的內(nèi)能, 原子間的相互作用勢能有何區(qū)別?解答    自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量, 或者把晶體拆散成一個個自由粒子所需要的能量, 稱為晶體的結(jié)合能.     原子的動能與原子間的相互作用勢能之和為晶體的內(nèi)能.   

14、; 在0K時, 原子還存在零點振動能. 但零點振動能與原子間的相互作用勢能的絕對值相比小得多. 所以, 在0K時原子間的相互作用勢能的絕對值近似等于晶體的結(jié)合能. 4.原子間的排斥作用取決于什么原因?解答    相鄰的原子靠得很近, 以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時, 相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力. 也就是說, 原子間的排斥作用來自相鄰原子內(nèi)層閉合殼層電子云的重疊.   5. 原子間的排斥作用和吸引作用有何關(guān)系? 起主導(dǎo)的范圍是什么?解答    在原子由分散無規(guī)的中性原子結(jié)合成規(guī)則排列的晶體過程中, 吸引力

15、起到了主要作用. 在吸引力的作用下, 原子間的距離縮小到一定程度, 原子間才出現(xiàn)排斥力. 當排斥力與吸引力相等時, 晶體達到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài). 可見, 晶體要達到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài), 吸引力與排斥力缺一不可. 設(shè)此時相鄰原子間的距離為, 當相鄰原子間的距離>時, 吸引力起主導(dǎo)作用; 當相鄰原子間的距離<時, 排斥力起主導(dǎo)作用.6.共價結(jié)合為什么有 “飽和性”和 “方向性”?解答    設(shè)N為一個原子的價電子數(shù)目, 對于IVA、VA、VIA、VIIA族元素，價電子殼層一共有8個量子態(tài), 最多能接納(8- N)個電子, 形成(8- N)個共價鍵. 這就是共價結(jié)合的

16、“飽和性”.    共價鍵的形成只在特定的方向上, 這些方向是配對電子波函數(shù)的對稱軸方向, 在這個方向上交迭的電子云密度最大. 這就是共價結(jié)合的 “方向性”.7. 共價結(jié)合, 兩原子電子云交迭產(chǎn)生吸引, 而原子靠近時, 電子云交迭會產(chǎn)生巨大的排斥力, 如何解釋?解答    共價結(jié)合, 形成共價鍵的配對電子, 它們的自旋方向相反, 這兩個電子的電子云交迭使得體系的能量降低, 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定. 但當原子靠得很近時, 原子內(nèi)部滿殼層電子的電子云交迭, 量子態(tài)相同的電子產(chǎn)生巨大的排斥力, 使得系統(tǒng)的能量急劇增大. 8.試解釋一個中性原子吸收一個電子

17、一定要放出能量的現(xiàn)象.解答    當一個中性原子吸收一個電子變成負離子, 這個電子能穩(wěn)定的進入原子的殼層中, 這個電子與原子核的庫侖吸引能的絕對值一定大于它與其它電子的排斥能. 但這個電子與原子核的庫侖吸引能是一負值. 也就是說, 當中性原子吸收一個電子變成負離子后, 這個離子的能量要低于中性原子原子的能量. 因此, 一個中性原子吸收一個電子一定要放出能量. 9.如何理解電負性可用電離能加親和能來表征?解答    使原子失去一個電子所需要的能量稱為原子的電離能, 電離能的大小可用來度量原子對價電子的束縛強弱. 一個中性原子獲得一個電子

18、成為負離子所釋放出來的能量稱為電子親和能. 放出來的能量越多, 這個負離子的能量越低, 說明中性原子與這個電子的結(jié)合越穩(wěn)定. 也就是說, 親和能的大小也可用來度量原子對電子的束縛強弱. 原子的電負性大小是原子吸引電子的能力大小的度量. 用電離能加親和能來表征原子的電負性是符合電負性的定義的.10.為什么許多金屬為密積結(jié)構(gòu)?解答    金屬結(jié)合中, 受到最小能量原理的約束, 要求原子實與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低(絕對值盡可能的大). 原子實越緊湊, 原子實與共有電子電子云靠得就越緊密, 庫侖能就越低. 所以, 許多金屬的結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu). 11.何為雜化軌

19、道?解答    為了解釋金剛石中碳原子具有4個等同的共價鍵, 1931年泡林(Pauling)和斯萊特(Slater)提出了雜化軌道理論. 碳原子有4個價電子, 它們分別對應(yīng)、量子態(tài), 在構(gòu)成共價鍵時, 它們組成了4個新的量子態(tài)，4個電子分別占據(jù)、新軌道， 在四面體頂角方向(參見圖1.18)形成4個共價鍵.12.你認為固體的彈性強弱主要由排斥作用決定呢, 還是吸引作用決定?解答     如上圖所示, 附近的力曲線越陡, 當施加一定外力, 固體的形變就越小. 附近力曲線的斜率決定了固體的彈性性質(zhì). 而附近力曲線的斜率主要取決于

20、排斥力. 因此, 固體的彈性強弱主要由排斥作用決定. 13.固體呈現(xiàn)宏觀彈性的微觀本質(zhì)是什么?解答固體受到外力作用時發(fā)生形變, 外力撤消后形變消失的性質(zhì)稱為固體的彈性. 設(shè)無外力時相鄰原子間的距離為, 當相鄰原子間的距離>時, 吸引力起主導(dǎo)作用; 當相鄰原子間的距離<時, 排斥力起主導(dǎo)作用. 當固體受擠壓時, <, 原子間的排斥力抗擊著這一形變. 當固體受拉伸時, >, 原子間的吸引力抗擊著這一形變. 因此, 固體呈現(xiàn)宏觀彈性的微觀本質(zhì)是原子間存在著相互作用力, 這種作用力既包含著吸引力, 又包含著排斥力.  14.你是如何理解彈性的, 當施加一定力, 形變大

21、的彈性強呢, 還是形變小的強?解答對于彈性形變, 相鄰原子間的距離在附近變化. 令, 則有因為是相對形變, 彈性力學(xué)稱為應(yīng)變, 并計作S, 所以原子間的作用力再令,.可見, 當施加一定力, 形變S大的固體c小, 形變S小的固體c大. 固體的彈性是固體的屬性, 它與外力和形變無關(guān). 彈性常數(shù)c是固體的屬性, 它的大小可作為固體彈性強弱的度量. 因此, 當施加一定力, 形變大的彈性弱, 形變小的強. 從這種意義上說, 金剛石的彈性最強.15.拉伸一長棒, 任一橫截面上的應(yīng)力是什么方向? 壓縮時, 又是什么方向? 解答    如上圖所示, 在長棒中取一橫截面,

22、 長棒被拉伸時, 從截面的右邊看, 應(yīng)力向右, 但從截面的左邊看, 應(yīng)力向左. 壓縮時, 如下圖所示, 應(yīng)力方向與拉伸時正相反. 可見, 應(yīng)力方向依賴于所取截面的外法線矢量的方向.16.固體中某一面積元兩邊的應(yīng)力有何關(guān)系?解答以上題為例, 在長棒中平行于橫截面取一很薄的體積元, 拉伸時體積元兩邊受的應(yīng)力如圖所示.     壓縮時體積元兩邊受的應(yīng)力如下圖所示.當體積元無限薄, 體積元將變成面積元. 從以上兩圖可以看出, 面積元兩邊的應(yīng)力大小相等方向相反. 17.沿某立方晶體一晶軸取一細長棒做拉伸實驗, 忽略寬度和厚度的形變, 由此能否測出彈性勁度常數(shù)?解答

23、立方晶體軸是等價的, 設(shè)長棒方向為x(, 或, 或)軸方向, 做拉伸實驗時若忽略寬度和厚度的形變, 則只有應(yīng)力應(yīng)變不為0, 其它應(yīng)力應(yīng)變分量都為0. 由(2.55)可得 . 設(shè)長棒的橫截面積為A, 長度為L, 拉伸力為F, 伸長量為, 則有: . 于是, .18.若把上題等價成彈簧的形變, 彈簧受的力, 與有何關(guān)系?解答    上題中長棒受的力,長棒的伸長量即是彈簧的伸長量x. 因此, 可見, 彈簧的彈性系數(shù)與彈性勁度常數(shù)的量綱是不同的.19.固體中的應(yīng)力與理想流體中的壓強有何關(guān)系?解答    固體受擠壓時, 固體中的正應(yīng)力與理想流體

24、中的壓強是等價的, 但不同于理想流體中的壓強概念. 因為壓強的作用力與所考慮截面垂直, 而與所考慮截面平行. 也就是說, 理想流體中不存在與所考慮截面平行的作用力. 這是因為理想流體分子間的距離比固體原子間距大得多, 流層與流層分子間不存在切向作用力.  20.固體中的彈性波與理想流體中的傳播的波有何差異? 為什么?解答    理想流體中只能傳播縱波. 固體中不僅能傳播縱波, 還能傳播切變波. 這是因為理想流體分子間距離大, 分子間不存在切向作用力, 只存在縱向作用力;而固體原子間距離小, 原子間不僅存在縱向作用力, 還存在切向作用力.可見, 當施加一定

25、力, 形變S大的固體c小, 形變S小的固體c大. 固體的彈性是固體的屬性, 它與外力和形變無關(guān). 彈性常數(shù)c是固體的屬性, 它的大小可作為固體彈性強弱的度量. 因此, 當施加一定力, 形變大的彈性弱, 形變小的強. 從這種意義上說, 金剛石的彈性最強.體中的彈性波與理想流體中的傳播的波有何差異? 為什么?第三章  晶格振動與晶體熱學(xué)性質(zhì)習題解答1. 相距為不是晶格常數(shù)倍數(shù)的兩個同種原子, 其最大振幅是否相同?       解答以同種原子構(gòu)成的一維雙原子分子鏈為例, 相距為不是晶格常數(shù)倍數(shù)的兩個同種原子,  設(shè)一個原

26、子的振幅A, 另一個原子振幅B, 由本教科書的(3.16)可得兩原子振幅之比                                            

27、60;                    (1)其中m 原子的質(zhì)量. 由本教科書的(3.20)和(3.21)兩式可得聲學(xué)波和光學(xué)波的頻率分別為,       (2).        (3)將(2)(3)兩式分別代入(1)式, 得聲學(xué)波和光學(xué)波的振幅之比分別為 

28、60;                          ,              (4)          

29、60;                 .            (5)由于                      

30、                    =，則由(4)(5)兩式可得, . 即對于同種原子構(gòu)成的一維雙原子分子鏈, 相距為不是晶格常數(shù)倍數(shù)的兩個原子, 不論是聲學(xué)波還是光學(xué)波, 其最大振幅是相同的.2. 引入玻恩卡門條件的理由是什么?       解答(1)    (1)    方便于求解

31、原子運動方程.由本教科書的(3.4)式可知, 除了原子鏈兩端的兩個原子外, 其它任一個原子的運動都與相鄰的兩個原子的運動相關(guān). 即除了原子鏈兩端的兩個原子外, 其它原子的運動方程構(gòu)成了個聯(lián)立方程組. 但原子鏈兩端的兩個原子只有一個相鄰原子, 其運動方程僅與一個相鄰原子的運動相關(guān), 運動方程與其它原子的運動方程迥然不同. 與其它原子的運動方程不同的這兩個方程, 給整個聯(lián)立方程組的求解帶來了很大的困難.(2)    (2)    與實驗結(jié)果吻合得較好.對于原子的自由運動, 邊界上的原子與其它原子一樣, 無時無刻不在運動. 對于有N個原子構(gòu)

32、成的的原子鏈, 硬性假定的邊界條件是不符合事實的. 其實不論什么邊界條件都與事實不符. 但為了求解近似解, 必須選取一個邊界條件. 晶格振動譜的實驗測定是對晶格振動理論的最有力驗證(參見本教科書§3.2與§3.4). 玻恩卡門條件是晶格振動理論的前提條件. 實驗測得的振動譜與理論相符的事實說明, 玻恩卡門周期性邊界條件是目前較好的一個邊界條件.3. 什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？       解答為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互作用力的泰

33、勒級數(shù)中的非線形項忽略掉的近似稱為簡諧近似. 在簡諧近似下, 由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動, 可等效成3N個獨立的諧振子的振動. 每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式, 它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動, 它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式. 原子的振動, 或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線形迭加. 簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事, 這個數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和, 即等于3N.4. 長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別?       解答長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原

34、子做相對振動, 振動頻率較高, 它包含了晶格振動頻率最高的振動模式. 長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移, 原胞做整體運動, 振動頻率較低, 它包含了晶格振動頻率最低的振動模式, 波速是一常數(shù). 任何晶體都存在聲學(xué)支格波, 但簡單晶格(非復(fù)式格子)晶體不存在光學(xué)支格波.5. 晶體中聲子數(shù)目是否守恒?       解答頻率為的格波的(平均) 聲子數(shù)為, 即每一個格波的聲子數(shù)都與溫度有關(guān), 因此, 晶體中聲子數(shù)目不守恒, 它是溫度的變量.按照德拜模型, 晶體中的聲子數(shù)目N為.作變量代換，.其中是德拜溫度. 高溫時, ,即高溫

35、時, 晶體中的聲子數(shù)目與溫度成正比.       低溫時, ,即低溫時, 晶體中的聲子數(shù)目與T 3成正比.6. 溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢, 還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多?       解答頻率為的格波的(平均) 聲子數(shù)為.因為光學(xué)波的頻率比聲學(xué)波的頻率高, ()大于(), 所以在溫度一定情況下, 一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個聲學(xué)波的聲子數(shù)目.7. 對同一個振動模式, 溫度高時的聲子數(shù)目多呢, 還是溫度低時的聲子數(shù)目多?    

36、60;  解答設(shè)溫度TH>TL, 由于()小于(), 所以溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目.8. 高溫時, 頻率為的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關(guān)系?       解答       溫度很高時,  , 頻率為的格波的(平均) 聲子數(shù)為. 可見高溫時, 格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比.9. 從圖3.6所示實驗曲線, 你能否判斷哪一支格波的模式密度大? 是光學(xué)縱波呢, 還是聲學(xué)縱波?     

37、0; 解答從圖3.6所示實驗曲線可以看出, 在波矢空間內(nèi), 光學(xué)縱波振動譜線平緩, 聲學(xué)縱波振動譜線較陡. 單位頻率區(qū)間內(nèi)光學(xué)縱波對應(yīng)的波矢空間大, 聲學(xué)縱波對應(yīng)的波矢空間小. 格波數(shù)目與波矢空間成正比, 所以單位頻率區(qū)間內(nèi)光學(xué)縱波的格波數(shù)目大. 而模式密度是單位頻率區(qū)間內(nèi)的格波數(shù)目, 因此光學(xué)縱波的模式密度大于聲學(xué)縱波的模式密度.10. 喇曼散射方法中，光子會不會產(chǎn)生倒逆散射？       解答晶格振動譜的測定中, 光波的波長與格波的波長越接近, 光波與聲波的相互作用才越顯著. 喇曼散射中所用的紅外光，對晶格振動譜來說, 該波長屬于

38、長波長范圍. 因此, 喇曼散射是光子與長光學(xué)波聲子的相互作用. 長光學(xué)波聲子的波矢很小, 相應(yīng)的動量不大. 而能產(chǎn)生倒逆散射的條件是光的入射波矢與散射波矢要大, 散射角也要大. 與大要求波長小, 散射角大要求大(參見下圖), . 但對喇曼散射來說, 這兩點都不滿足. 即喇曼散射中，光子不會產(chǎn)生倒逆散射.11. 長聲學(xué)格波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化?       解答長光學(xué)格波所以能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化, 其根源是長光學(xué)格波使得原胞內(nèi)不同的原子(正負離子)產(chǎn)生了相對位移. 長聲學(xué)格波的特點是, 原胞內(nèi)所有的原子沒有相對位移. 因此,

39、長聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化.12. 金剛石中的長光學(xué)縱波頻率與同波矢的長光學(xué)格橫波頻率是否相等? 對KCl晶體, 結(jié)論又是什么?         解答長光學(xué)縱波引起離子晶體中正負離子的相對位移, 離子的相對位移產(chǎn)生出宏觀極化電場, 電場的方向是阻滯離子的位移, 使得有效恢復(fù)力系數(shù)變大, 對應(yīng)的格波的頻率變高. 長光學(xué)格橫波不引起離子的位移, 不產(chǎn)生極化電場, 格波的頻率不變. 金剛石不是離子晶體,   其長光學(xué)縱波頻率與同波矢的長光學(xué)格橫波頻率相等. 而KCl晶體是離子晶體, 它的長光學(xué)縱波頻率與同波矢的

40、長光學(xué)格橫波頻率不相等, 長光學(xué)縱波頻率大于同波矢的長光學(xué)格橫波頻率.13. 何謂極化聲子? 何謂電磁聲子?       解答長光學(xué)縱波引起離子晶體中正負離子的相對位移, 離子的相對位移產(chǎn)生出宏觀極化電場, 稱長光學(xué)縱波聲子為極化聲子.由本教科書的(3.103)式可知, 長光學(xué)橫波與電磁場相耦合, 使得它具有電磁性質(zhì), 人們稱長光學(xué)橫波聲子為電磁聲子.14. 你認為簡單晶格存在強烈的紅外吸收嗎？       解答實驗已經(jīng)證實, 離子晶體能強烈吸收遠紅外光波. 這種現(xiàn)象產(chǎn)生的根

41、源是離子晶體中的長光學(xué)橫波能與遠紅外電磁場發(fā)生強烈耦合. 簡單晶格中不存在光學(xué)波, 所以簡單晶格不會吸收遠紅外光波.15. 對于光學(xué)橫波, 對應(yīng)什么物理圖象?       解答格波的頻率與成正比. 說明該光學(xué)橫波對應(yīng)的恢復(fù)力系數(shù). 時, 恢復(fù)力消失, 發(fā)生了位移的離子再也回不到原來的平衡位置, 而到達另一平衡位置, 即離子晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變(稱為相變). 在這一新的結(jié)構(gòu)中, 正負離子存在固定的位移偶極矩, 即產(chǎn)生了自發(fā)極化, 產(chǎn)生了一個穩(wěn)定的極化電場.16. 愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源是什么?  &#

42、160;    解答按照愛因斯坦溫度的定義, 愛因斯坦模型的格波的頻率大約為, 屬于光學(xué)支頻率. 但光學(xué)格波在低溫時對熱容的貢獻非常小, 低溫下對熱容貢獻大的主要是長聲學(xué)格波. 也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)波對熱容的貢獻是愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源.17. 在甚低溫下, 不考慮光學(xué)波對熱容的貢獻合理嗎?       解答參考本教科書（3.119）式, 可得到光學(xué)波對熱容貢獻的表達式.在甚低溫下, 對于光學(xué)波, , 上式簡化為.以上兩式中是光學(xué)波的模式密度, 在簡諧近似下, 它與溫度無關(guān). 在甚

43、低溫下, , 即光學(xué)波對熱容的貢獻可以忽略. 也就是說, 在甚低溫下, 不考慮光學(xué)波對熱容的貢獻是合理的.       從聲子能量來說, 光學(xué)波聲子的能量很大(大于短聲學(xué)波聲子的能量), 它對應(yīng)振幅很大的格波的振動, 這種振動只有溫度很高時才能得到激發(fā). 因此, 在甚低溫下, 晶體中不存在光學(xué)波.18. 在甚低溫下, 德拜模型為什么與實驗相符?       解答在甚低溫下, 不僅光學(xué)波得不到激發(fā), 而且聲子能量較大的短聲學(xué)格波也未被激發(fā), 得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格

44、波. 長聲學(xué)格波即彈性波. 德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻. 因此, 在甚低溫下, 德拜模型與事實相符, 自然與實驗相符.19. 在絕對零度時還有格波存在嗎? 若存在, 格波間還有能量交換嗎?       解答頻率為的格波的振動能為,其中是由個聲子攜帶的熱振動能, ()是零點振動能, 聲子數(shù).絕對零度時, =0. 頻率為的格波的振動能只剩下零點振動能.        格波間交換能量是靠聲子的碰撞實現(xiàn)的. 絕對零度時, 聲子消失, 格波間不再交換能量.20. 溫度很低時, 聲

45、子的自由程很大, 當時, , 問時, 對于無限長的晶體, 是否成為熱超導(dǎo)材料?       解答對于電絕緣體, 熱傳導(dǎo)的載流子是聲子. 當時, 聲子數(shù)n. 因此, 時, 不論晶體是長還是短, 都自動成為熱絕緣材料.21. 石英晶體的熱膨脹系數(shù)很小, 問它的格林愛森常數(shù)有何特點?       解答由本教科書(3.158)式可知, 熱膨脹系數(shù)與格林愛森常數(shù)成正比. 石英晶體的熱膨脹系數(shù)很小, 它的格林愛森常數(shù)也很小. 格林愛森常數(shù)大小可作為晶格非簡諧效應(yīng)大小的尺度. 石英晶體的格

46、林愛森常數(shù)很小, 說明它的非簡諧效應(yīng)很小.第四章  晶體的缺陷習題解答  1.設(shè)晶體只有弗侖克爾缺陷, 填隙原子的振動頻率、空位附近原子的振動頻率與無缺陷時原子的振動頻率有什么差異？    解答正常格點的原子脫離晶格位置變成填隙原子, 同時原格點成為空位, 這種產(chǎn)生一個填隙原子將伴隨產(chǎn)生一個空位的缺陷稱為弗侖克爾缺陷. 填隙原子與相鄰原子的距離要比正常格點原子間的距離小，填隙原子與相鄰原子的力系數(shù)要比正常格點原子間的力系數(shù)大. 因為原子的振動頻率與原子間力系數(shù)的開根近似成正比, 所以填隙原子的振動頻率比正常格點原子的振動頻率要高. 空位附近原子

47、與空位另一邊原子的距離, 比正常格點原子間的距離大得多, 它們之間的力系數(shù)比正常格點原子間的力系數(shù)小得多, 所以空位附近原子的振動頻率比正常格點原子的振動頻率要低.2.熱膨脹引起的晶體尺寸的相對變化量與X射線衍射測定的晶格常數(shù)相對變化量存在差異， 是何原因？    解答肖特基缺陷指的是晶體內(nèi)產(chǎn)生空位缺陷但不伴隨出現(xiàn)填隙原子缺陷, 原空位處的原子跑到晶體表面層上去了. 也就是說, 肖特基缺陷將引起晶體體積的增大. 當溫度不是太高時, 肖特基缺陷的數(shù)目要比弗侖克爾缺陷的數(shù)目大得多. X射線衍射測定的晶格常數(shù)相對變化量, 只是熱膨脹引起的晶格常數(shù)相對變化量. 但晶體尺寸

48、的相對變化量不僅包括了熱膨脹引起的晶格常數(shù)相對變化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶體體積的增大. 因此, 當溫度不是太高時, 一般有關(guān)系式>.3.KCl晶體生長時，在KCl溶液中加入適量的CaCl2溶液，生長的KCl晶體的質(zhì)量密度比理論值小，是何原因？    解答由于離子的半徑(0.99)比離子的半徑(1.33)小得不是太多, 所以離子難以進入KCl晶體的間隙位置, 而只能取代占據(jù)離子的位置. 但比高一價, 為了保持電中性(最小能量的約束), 占據(jù)離子的一個將引起相鄰的一個變成空位. 也就是說, 加入的CaCl2越多, 空位就越多. 又因為的原子量(40.0

49、8)與的原子量(39.102)相近, 所以在KCl溶液中加入適量的CaCl2溶液引起空位, 將導(dǎo)致KCl晶體的質(zhì)量密度比理論值小.4.為什么形成一個肖特基缺陷所需能量比形成一個弗侖克爾缺陷所需能量低?    解答形成一個肖特基缺陷時，晶體內(nèi)留下一個空位，晶體表面多一個原子. 因此形成形成一個肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶體表面一個原子與其它原子的相互作用能, 和晶體內(nèi)部一個原子與其它原子的相互作用能的差值. 形成一個弗侖克爾缺陷時，晶體內(nèi)留下一個空位，多一個填隙原子. 因此形成一個弗侖克爾缺陷所需的能量, 可以看成晶體內(nèi)部一個填隙原子與其它原子的相互作用能,

50、和晶體內(nèi)部一個原子與其它原子相互作用能的差值. 填隙原子與相鄰原子的距離非常小, 它與其它原子的排斥能比正常原子間的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是負值, 所以填隙原子與其它原子相互作用能的絕對值, 比晶體表面一個原子與其它原子相互作用能的絕對值要小. 也就是說, 形成一個肖特基缺陷所需能量比形成一個弗侖克爾缺陷所需能量要低.5.金屬淬火后為什么變硬?    解答    我們已經(jīng)知道 晶體的一部分相對于另一部分的滑移, 實際是位錯線的滑移, 位錯線的移動是逐步進行的, 使得滑移的切應(yīng)力最小. 這就是

51、金屬一般較軟的原因之一. 顯然, 要提高金屬的強度和硬度, 似乎可以通過消除位錯的辦法來實現(xiàn). 但事實上位錯是很難消除的. 相反, 要提高金屬的強度和硬度, 通常采用增加位錯的辦法來實現(xiàn). 金屬淬火就是增加位錯的有效辦法. 將金屬加熱到一定高溫, 原子振動的幅度比常溫時的幅度大得多, 原子脫離正常格點的幾率比常溫時大得多, 晶體中產(chǎn)生大量的空位、填隙缺陷. 這些點缺陷容易形成位錯. 也就是說, 在高溫時, 晶體內(nèi)的位錯缺陷比常溫時多得多. 高溫的晶體在適宜的液體中急冷, 高溫時新產(chǎn)生的位錯來不及恢復(fù)和消退, 大部分被存留了下來. 數(shù)目眾多的位錯相互交織在一起, 某一方向的位錯的滑移, 會受到其

52、它方向位錯的牽制, 使位錯滑移的阻力大大增加, 使得金屬變硬.6.在位錯滑移時, 刃位錯上原子受的力和螺位錯上原子受的力各有什么特點?    解答在位錯滑移時, 刃位錯上原子受力的方向就是位錯滑移的方向. 但螺位錯滑移時, 螺位錯上原子受力的方向與位錯滑移的方向相垂直.7.試指出立方密積和六角密積晶體滑移面的面指數(shù).    解答滑移面一定是密積面, 因為密積面上的原子密度最大, 面與面的間距最大, 面與面之間原子的相互作用力最小. 對于立方密積, 111是密積面. 對于六角密積, (001)是密積面. 因此, 立方密積和六角密積晶體滑

53、移面的面指數(shù)分別為111和(001). 8.離子晶體中正負離子空位數(shù)目、填隙原子數(shù)目都相等, 在外電場作用下, 它們對導(dǎo)電的貢獻完全相同嗎?    解答由(4.48)式可知, 在正負離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等情況下, 離子晶體的熱缺陷對導(dǎo)電的貢獻只取決于它們的遷移率. 設(shè)正離子空位附近的離子和填隙離子的振動頻率分別為和, 正離子空位附近的離子和填隙離子跳過的勢壘高度分別為和, 負離子空位附近的離子和填隙離子的振動頻率分別為和, 負離子空位附近的離子和填隙離子跳過的勢壘高度分別為, 則由(4.47)矢可得,.由空位附近的離子跳到空位上的幾率, 比填隙離子跳到相

54、鄰間隙位置上的幾率大得多, 可以推斷出空位附近的離子跳過的勢壘高度, 比填隙離子跳過的勢壘高度要低, 即<, <. 由問題1.已知, 所以有<, <. 另外, 由于和的離子半徑不同, 質(zhì)量不同, 所以一般, .也就是說, 一般. 因此, 即使離子晶體中正負離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等, 在外電場作用下, 它們對導(dǎo)電的貢獻一般也不會相同. 9.晶體結(jié)構(gòu)對缺陷擴散有何影響?    解答擴散是自然界中普遍存在的現(xiàn)象, 它的本質(zhì)是離子作無規(guī)則的布郎運動. 通過擴散可實現(xiàn)質(zhì)量的輸運. 晶體中缺陷的擴散現(xiàn)象與氣體分子的擴散相似, 不同之處是缺陷在晶

55、體中運動要受到晶格周期性的限制, 要克服勢壘的阻擋, 對于簡單晶格, 缺陷每跳一步的間距等于跳躍方向上的周期.10.填隙原子機構(gòu)的自擴散系數(shù)與空位機構(gòu)自擴散系數(shù), 哪一個大? 為什么？    解答填隙原子機構(gòu)的自擴散系數(shù),空位機構(gòu)自擴散系數(shù).自擴散系數(shù)主要決定于指數(shù)因子, 由問題4.和8.已知, <,<, 所以填隙原子機構(gòu)的自擴散系數(shù)小于空位機構(gòu)的自擴散系數(shù).11.一個填隙原子平均花費多長時間才被復(fù)合掉? 該時間與一個正常格點上的原子變成間隙原子所需等待的時間相比, 哪個長?    解答與填隙原子相鄰的一個格點是空位的幾率

56、是, 平均來說, 填隙原子要跳步才遇到一個空位并與之復(fù)合. 所以一個填隙原子平均花費的時間才被空位復(fù)合掉.    由(4.5)式可得一個正常格點上的原子變成間隙原子所需等待的時間.由以上兩式得>>1.這說明, 一個正常格點上的原子變成間隙原子所需等待的時間, 比一個填隙原子從出現(xiàn)到被空位復(fù)合掉所需要的時間要長得多.12.一個空位花費多長時間才被復(fù)合掉？    解答對于借助于空位進行擴散的正常晶格上的原子, 只有它相鄰的一個原子成為空位時, 它才擴散一步, 所需等待的時間是. 但它相鄰的一個原子成為空位的幾率是, 所以它等待

57、到這個相鄰原子成為空位, 并跳到此空位上所花費的時間.13.自擴散系數(shù)的大小與哪些因素有關(guān)?    解答填隙原子機構(gòu)的自擴散系數(shù)與空位機構(gòu)自擴散系數(shù)可統(tǒng)一寫成.可以看出, 自擴散系數(shù)與原子的振動頻率, 晶體結(jié)構(gòu)(晶格常數(shù)), 激活能()三因素有關(guān).14.替位式雜質(zhì)原子擴散系數(shù)比晶體缺陷自擴散系數(shù)大的原因是什么?    解答占據(jù)正常晶格位置的替位式雜質(zhì)原子, 它的原子半徑和電荷量都或多或少與母體原子半徑和電荷量不同. 這種不同就會引起雜質(zhì)原子附近的晶格發(fā)生畸變, 使得畸變區(qū)出現(xiàn)空位的幾率大大增加, 進而使得雜質(zhì)原子跳向空位的等待時間大為

58、減少, 加大了雜質(zhì)原子的擴散速度. 15.填隙雜質(zhì)原子擴散系數(shù)比晶體缺陷自擴散系數(shù)大的原因是什么?    解答正常晶格位置上的一個原子等待了時間后變成填隙原子, 又平均花費時間后被空位復(fù)合重新進入正常晶格位置, 其中是填隙原子從一個間隙位置跳到相鄰間隙位置所要等待的平均時間. 填隙原子自擴散系數(shù)反比于時間.因為>>,所以填隙原子自擴散系數(shù)近似反比于. 填隙雜質(zhì)原子不存在由正常晶格位置變成填隙原子的漫長等待時間, 所以填隙雜質(zhì)原子的擴散系數(shù)比母體填隙原子自擴散系數(shù)要大得多.16.你認為自擴散系數(shù)的理論值比實驗值小很多的主要原因是什么？ 

59、0;  解答目前固體物理教科書對自擴散的分析, 是基于點缺陷的模型, 這一模型過于簡單, 與晶體缺陷的實際情況可能有較大差別. 實際晶體中, 不僅存在點缺陷, 還存在線缺陷和面缺陷, 這些線度更大的缺陷可能對擴散起到重要影響. 也許沒有考慮線缺陷和面缺陷對自擴散系數(shù)的貢獻是理論值比實驗值小很多的主要原因.17.離子晶體的導(dǎo)電機構(gòu)有幾種?    解答離子晶體導(dǎo)電是離子晶體中的熱缺陷在外電場中的定向飄移引起的. 離子晶體中有4種缺陷: 填隙離子, 填隙離子, 空位, 空位. 也就是說, 離子晶體的導(dǎo)電機構(gòu)有4種. 空位的擴散實際是空位附近離子跳到空位位置,

60、原來離子的位置變成了空位. 離子晶體中, 空位附近都是負離子, 空位附近都是正離子. 由此可知, 空位的移動實際是負離子的移動, 空位的移動實際是正離子的移動. 因此, 在外電場作用下, 填隙離子和空位的漂移方向與外電場方向一致, 而填隙離子和空位的漂移方向與外電場方向相反.第五章                 晶體中電子能帶理論習題測試1.    將布洛赫函數(shù)中的調(diào)制因子展成付里葉級數(shù), 對于近自由電子

61、, 當電子波矢遠離和在布里淵區(qū)邊界上兩種情況下, 此級數(shù)有何特點? 在緊束縛模型下, 此級數(shù)又有什么特點?       解答       由布洛赫定理可知, 晶體中電子的波函數(shù), 對比本教科書(5.1)和(5.39)式可得=.對于近自由電子, 當電子波矢遠離布里淵區(qū)邊界時, 它的行為與自由電子近似, 近似一常數(shù). 因此, 的展開式中, 除了外, 其它項可忽略.        當電子波矢落在與倒格矢Kn正交的

62、布里淵區(qū)邊界時, 與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對布洛赫波產(chǎn)生了強烈的反射, 展開式中, 除了和兩項外, 其它項可忽略.在緊束縛模型下, 電子在格點Rn附近的幾率2大, 偏離格點Rn的幾率2小.  對于這樣的波函數(shù), 其付里葉級數(shù)的展式包含若干項. 也就是說, 緊束縛模型下的布洛赫波函數(shù)要由若干個平面波來構(gòu)造.2.    布洛赫函數(shù)滿足=,                   &#

63、160;                         何以見得上式中具有波矢的意義?       解答人們總可以把布洛赫函數(shù)展成付里葉級數(shù),其中k是電子的波矢. 將代入=,得到=.其中利用了(是整數(shù)), 由上式可知, k=k, 即k具有波矢的意義.3.    波矢空

64、間與倒格空間有何關(guān)系? 為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點是準連續(xù)的?       解答波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間, 倒格空間的基矢分別為, 而波矢空間的基矢分別為, N1、N2、N3分別是沿正格子基矢方向晶體的原胞數(shù)目. 倒格空間中一個倒格點對應(yīng)的體積為,波矢空間中一個波矢點對應(yīng)的體積為, 即波矢空間中一個波矢點對應(yīng)的體積, 是倒格空間中一個倒格點對應(yīng)的體積的1/N. 由于N是晶體的原胞數(shù)目, 數(shù)目巨大, 所以一個波矢點對應(yīng)的體積與一個倒格點對應(yīng)的體積相比是極其微小的. 也就是說, 波矢點在倒格空間看是極其稠密的. 因此, 在波矢空間內(nèi)

65、作求和處理時, 可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點看成是準連續(xù)的.4.    與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強烈的散射作用？       解答當電子的波矢k滿足關(guān)系式時, 與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于的晶面族對波矢為k的電子具有強烈的散射作用. 此時, 電子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上, k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于.5.    一維周期勢函數(shù)的付里葉級數(shù)中, 指數(shù)函數(shù)的形式是由什么條件決定的?     

66、;  解答周期勢函數(shù)V(x) 付里葉級數(shù)的通式為上式必須滿足勢場的周期性, 即.顯然.要滿足上式, 必為倒格矢.可見周期勢函數(shù)V(x)的付里葉級數(shù)中指數(shù)函數(shù)的形式是由其周期性決定的.6.    對近自由電子, 當波矢k落在三個布里淵區(qū)交界上時, 問波函數(shù)可近似由幾個平面波來構(gòu)成? 能量久期方程中的行列式是幾階的?       解答設(shè)與三個布里淵區(qū)邊界正交的倒格矢分別為, 則都滿足,且波函數(shù)展式中, 除了含有的項外, 其它項都可忽略, 波函數(shù)可近似為.由本教科書的(5.40)式, 可得,.由的系數(shù)

67、行列式的值.可解出電子的能量. 可見能量久期方程中的行列式是四階的.7.    在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點?       解答電子的能帶依賴于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里淵區(qū)邊界上, 近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶. 若電子所處的邊界與倒格矢正交, 則禁帶的寬度, 是周期勢場的付里葉級數(shù)的系數(shù).不論何種電子, 在布里淵區(qū)邊界上, 其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為零, 即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交.8.    當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時,

68、其有效質(zhì)量何以與真實質(zhì)量有顯著差別?       解答晶體中的電子除受外場力的作用外, 還和晶格相互作用. 設(shè)外場力為F, 晶格對電子的作用力為Fl, 電子的加速度為.但Fl的具體形式是難以得知的. 要使上式中不顯含F(xiàn)l, 又要保持上式左右恒等, 則只有.顯然, 晶格對電子的作用越弱, 有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越小. 相反, 晶格對電子的作用越強, 有效質(zhì)量m*與真實質(zhì)量m的差別就越大. 當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時, 與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子的散射作用最強烈. 在晶面族的反射方向上, 各格點的散射波相位相同, 迭

69、加形成很強的反射波. 正因為在布里淵區(qū)邊界上的電子與晶格的作用很強, 所以其有效質(zhì)量與真實質(zhì)量有顯著差別.9.    帶頂和帶底的電子與晶格的作用各有什么特點?       解答由本教科書的(5.88)和(5.89)兩式得.將上式分子變成能量的增量形式，從能量的轉(zhuǎn)換角度看, 上式可表述為.由于能帶頂是能帶的極大值，<0，所以有效質(zhì)量<0.說明此時晶格對電子作負功, 即電子要供給晶格能量, 而且電子供給晶格的能量大于外場力對電子作的功. 而能帶底是該能帶的極小值，>0，所以電子的有效質(zhì)量&

70、gt;0.但比m小. 這說明晶格對電子作正功. m*<m的例證, 不難由(5.36)式求得<1.10. 電子的有效質(zhì)量變?yōu)榈奈锢硪饬x是什么?       解答仍然從能量的角度討論之. 電子能量的變化.從上式可以看出，當電子從外場力獲得的能量又都輸送給了晶格時, 電子的有效質(zhì)量變?yōu)? 此時電子的加速度,即電子的平均速度是一常量. 或者說, 此時外場力與晶格作用力大小相等, 方向相反.11. 萬尼爾函數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似的根據(jù)是什么?       解答由本教科書的（5.53）式可知, 萬尼爾函數(shù)可表示為.緊束縛模型適用于原子間距較大的晶體. 在這類晶體中的電子有兩大特點: (1) 電子被束縛在原子附近的幾率大, 在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近, 即當rRn時, 電子波函數(shù)與孤立原子波函數(shù)相近. (2) 它遠離原子的幾率很小, 即r偏離Rn較大時, 很小. 考慮到r偏離Rn較大時, 也很小, 所以用來描述是很合適的. 取=.將上式代入萬尼爾函數(shù)求和中, 再利用萬尼爾函數(shù)的正交性, 可得.也就是說, 萬尼爾函數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似是由緊束縛電子的性質(zhì)來決定的.12. 緊束縛模型電子的能量是正值還是負值?&