高中數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)

1、當(dāng)前形勢(shì)新課標(biāo)剖析對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)概念與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)在近五年北京卷（理）中考查515分要求層次 內(nèi)容A B高考對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其性質(zhì) 要求指數(shù)函數(shù)y ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y logaX互為反函數(shù)（a 0,且 a w 1）具體要求C通過具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的 數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù) 函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì) 算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)知道指數(shù)函數(shù) y ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y logaX互為 反函數(shù)（a 0且a w 1）北京局考解讀2008 年第2題5分第13題5分2009 年第3題5分第13題5分2010年

2、（新課標(biāo)）第6題5分第14題5分2011年（新課標(biāo)） 2012年（新課標(biāo)）第6題5分第8題5分第13題5分第14題5分在上節(jié)課我們已經(jīng)講了對(duì)數(shù)，而且我們也知道對(duì)數(shù)式其實(shí)是由指數(shù)式轉(zhuǎn)換而來的，那對(duì)數(shù)函數(shù)是否就 是由指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換而來的呢？什么是對(duì)數(shù)函數(shù)呢？對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)又都是什么樣的呢？今天我 們就來看一下對(duì)數(shù)函數(shù)：垃£7.1對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)我們先來看一下對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：考點(diǎn)1 ：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義寸聞知識(shí)點(diǎn)睛對(duì)數(shù)函數(shù)：我們把函數(shù) y logax（a 0且a 1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 x是自變量，函數(shù)的定義域是（0 ,），值域?yàn)閷?shí)數(shù)集 R .【教師備案】教材中是說：函數(shù)X logay a

3、 0, a 1, y 0叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，它的定義域是正實(shí)數(shù)集，值域是實(shí)數(shù)集 R”可知，在指數(shù)函數(shù)y ax和對(duì)數(shù)函數(shù)x logay中，x,y兩個(gè)變 量之間的關(guān)系是一樣的.所不同的只是在指數(shù)函數(shù) y ax里，x作為自變量，y當(dāng)做因 變量，而在對(duì)數(shù)函數(shù) x logay中，y當(dāng)做自變量，x是因變量，習(xí)，卜M上，常用 x表示 自變量，y表示因變量，因此對(duì)數(shù)函數(shù)又通常寫成 y logax a 0, a 1 , x 0.對(duì)數(shù)函數(shù)的形式與指數(shù)函數(shù)的形式一樣，也必須是純粹的如：10g 2 x 1 , log2x 1 , 10g 2 x2都不是對(duì)數(shù)函數(shù).現(xiàn)在我們已經(jīng)知道什么是對(duì)數(shù)函數(shù)了，那對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象是怎么畫的呢

4、？它又具有什么樣的性質(zhì)呢? 下面我們就來看一下對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：考點(diǎn)2:對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)睛x1814121248f x3210123從這個(gè)圖象上讓學(xué)生體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)速度很慢.并且從圖象上看出函數(shù)的定義域?yàn)?,，值域?yàn)?R ,且過定點(diǎn)1,0.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì):圖象yjx=1y=1ogax (a>1)yI x=1%(1, 0)r/ (1, 0)x/ ： |J' ；y=1og ax (0<a<1)定義域(0,)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)1,0 ,即x 1時(shí)，y 0當(dāng)x 1時(shí)，y 0;當(dāng)0 x 1時(shí)，y 0當(dāng)x 1時(shí)，y 0 ;當(dāng) 0 x 1時(shí)，y 0 .在0,上

5、是增函數(shù)在0,上是減函數(shù)【教師備案】上圖是一個(gè)總的圖，老師可以按照下邊的方法一個(gè)一個(gè)拆分講解，并且為了建立更直觀 的感覺，依然可以讓學(xué)生自己動(dòng)手畫函數(shù)的圖象，如： 先畫f x 1og2 x ,x1814121248f x3210123g x32112012132讓學(xué)生再畫一個(gè) g x log 4 x比較這兩個(gè)圖象.可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a 1時(shí)，a越大，第一象限圖象離 y軸越遠(yuǎn)由的結(jié)論老師可以提問，若 0 a 1 ,則圖象應(yīng)該則么樣？那我們可以先取個(gè)函數(shù)h x 10gl x 試試x1814121248f x3210123h x321012321時(shí),logi4觀察發(fā)現(xiàn)，1og2x與logix的圖象關(guān)于x軸

6、對(duì)稱，所以 210g4 x的圖象也關(guān)于x軸對(duì)稱，如圖，所以當(dāng) 0 a大，第一象限圖象離 y軸越遠(yuǎn).老師按照上面的方式講完對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象之后, 就可以讓學(xué)生做下面的練習(xí)：則 C1, C2,練習(xí)1：愀圖若曲線Ci, C2, C3, C4是對(duì)數(shù)函數(shù)10g3x, 1ogx, 10g2x, 1og0.7x的圖象, '''一 ， 一 ，5一,C3, C4分別代表哪個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)？【解析】由圖象可以直接看出 C1 10g 3 x , C2 1og x , C3 10go.7 x,C4 1og2 x或者也可以作直線 y 1 ,則與四條曲線的交點(diǎn)就是對(duì)數(shù)函 5數(shù)的底數(shù).【教師備案】做完上邊的

7、練習(xí)之后，就可以進(jìn)一步得出：所有的對(duì)數(shù)函數(shù)也分為兩類：a 1和0 a 1對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：a 1時(shí)，是增函數(shù)；0 a 1時(shí)，是減函數(shù)，而且 a越大，第一象 限的圖象離y軸越遠(yuǎn)對(duì)數(shù)函數(shù)的奇偶性：非奇非偶【教師備案】老師在講完對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象并讓學(xué)生做了上邊的練習(xí)之后，就可以讓學(xué)會(huì)做下邊的例1 ,例1主要考察對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象， 雖然涉及到指數(shù)的圖象， 但現(xiàn)在還沒講指數(shù)與對(duì)數(shù)的 關(guān)系，所以完全可以從指數(shù)的圖象和對(duì)數(shù)的圖象上去講解，沒必要把指對(duì)的關(guān)系引進(jìn)來經(jīng)典精講【例1】 如圖是對(duì)數(shù)函數(shù)log a x的圖象，已知a值取書,則相應(yīng)于ioG, C2, C3,C4的a值依次是（C.G 434, 平 33,)11

8、0110B.D.當(dāng)yOV3, 4, 3F，11011035351時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)yAB【解析】A;D ;A ;在指數(shù)函數(shù)一講我們已經(jīng)講了哥的比較大小，那對(duì)數(shù)應(yīng)該如何比較大小呢？下面我們就來看一下對(duì)數(shù) 值比較大?。嚎键c(diǎn)3:對(duì)數(shù)值的大小比較知識(shí)點(diǎn)睛如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，則由數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(底數(shù) a 1為增函數(shù)；0 a 1為減函數(shù))比 較. 如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同，如y1 10gm x與y2 logn x的比較(m 0 , m w 1, n 0 ,n w 1).當(dāng)n m 1時(shí)，當(dāng)x 1時(shí)，y1 y2 ;當(dāng)0 x 1時(shí)，y1 y2 .當(dāng) 0 m n 1 時(shí)，當(dāng) x 1 時(shí)，y1 y2

9、；當(dāng) 0 x 1 時(shí)，y1 y2.【教師備案】方法一：圖象法兩個(gè)單調(diào)性相同的對(duì)數(shù)函數(shù)，它們的圖象在位于直線 x 1右側(cè)的部分是 底大圖低”，它們的圖象在位于直線 x 1左側(cè)的部分是 底大圖高見下圖：方法二：取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)的大小比較y logm x1一；y log n x10gxm1_ logxn 如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量進(jìn)行比較.經(jīng)典精講【教師備案】老師就可以把下邊的鋪墊給學(xué)生講解一下，一是底數(shù)相同真數(shù)不相同的對(duì)數(shù)；一(10)是底數(shù)不同真數(shù)相同的對(duì)數(shù)；(11)是底數(shù)與真數(shù)都不相同的對(duì)數(shù)；老師可以由鋪墊得出對(duì)于底相同真數(shù)不同應(yīng)該如何比較大小，對(duì)于底不同真數(shù)相同應(yīng)

10、該如何比較大小，對(duì)于底 和真數(shù)都不相同又應(yīng)該如何比較大小.講完鋪墊以后，就可以讓學(xué)生自己做一下例 2 了.【鋪墊】比較下列各題中兩個(gè)值的大小 10g5 7與 10g58; 10go.57 與 10go.58 ； 10g2 3和 1； 10go.20.7 和1 ; 10g50.4和 0； 10go.50.3和 0 ； 10g35 和 10g25 ； 10g3 4與 10g5 4 ； 10g30.2與 10g5 0.2 ；(10) 10g0.2 7 與 10go.3 7 ; (11) 10g2 3 和 10go.32 .【解析】10g5710g58； 10go.5 710go.58 ； 10g2

11、3 1 ； 10go.2 0.71； 10g5 0.4 0 ； 10go.5 0.30;【教師備案】由我們可以得出如何看對(duì)數(shù)10gab的正負(fù)"：把a(bǔ) , b都分為區(qū)間0,1, ，若a, b都在同一個(gè)區(qū)間，則是正的，若分別在兩個(gè)區(qū)間則是負(fù)的 1og3 5 log 2 5 ； 10g3 4 10g54 ； 10g3 0.2 10g 5 0.2；(10) logo.2 7 10g0.3 7 ;(ll)10g2 3 10g0.3 2【例2】比較大小(填,“”或). 10g0.52011 10g0.52012 ； 10gi.52011 10gi.5 2012 ; 10g0.53 10g0e3；

12、 10g 0.5 0.8 10g0.6 0.8; 10g1.53 10g2 3; 10gi.5 0.8 10g2 0.8款若 a 10g34 ,b 10g 7 6 , c10g 2 0.8,則()A. abcB. bacC. cabD.bcaI若 a 0.32, b 10g 2 0.3, c 10g3 4,貝U ()A. a b cB. b a cC. c a bD.b c a【解析】；.A;C ;【拓展】設(shè)a 10g 2 2 , b5A. c a b設(shè) a 10g43 , bA. c a b【解析】B ；B ;10g 3 3 , c 10g 2 3,則a, b, c的大小順序是( 55B.

13、a c b C. b c a D. c b a310g3 4, c 10gi ,則a , b, c的大小順序是(34B. b a c C. b c aD. c b a指數(shù)和對(duì)數(shù)之間有著千絲萬縷的稀奇古怪的不可告人的關(guān)系，那么指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之間也一定有 著稀奇古怪的，偷偷摸摸的關(guān)系，那么我們就把他們的這個(gè)關(guān)系公諸于世考點(diǎn)4:對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系onS|知識(shí)點(diǎn)睛1 .反函數(shù)：當(dāng)一個(gè)函數(shù)是一一映射時(shí)，可以把一個(gè)函數(shù)的因變量作為一個(gè)新函數(shù)的自變量，而這個(gè)函 數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)【教師備案】因?yàn)楦呖蓟静豢挤春瘮?shù)，只需讓學(xué)生知道同底的指數(shù)和對(duì)數(shù)是互為反函數(shù)的

14、就可以了,所以本講也不重點(diǎn)講解反函數(shù)，但是如果老師要講解反函數(shù)，那老師可以按照下面的順 序講解反函數(shù)”，下面主要講了反函數(shù)的定義和反函數(shù)的性質(zhì)： i.反函數(shù)的定義：在第2節(jié)課的時(shí)候我們就講了映射.下面我們來看一下這個(gè)是不是映射？根據(jù)映射的定義，我們知道它是一個(gè)f：A B的映射，若現(xiàn)在我們把它改一下，把它從A B改為從B A ,那這個(gè)還是不是映射？如果是映射那又叫什么映射？如果是 映射那它的對(duì)應(yīng)法則又是什么？根據(jù)映射的定義，我們知道這也是一個(gè)映射，只不過它的對(duì)應(yīng)法則為 開立方”既然它 是上邊那個(gè)映射反過來的，所以這個(gè)映射我們可以記為 f 1:B A.我們也管這種映射 叫做逆映射”那是不是所有的映

15、射都有逆映射？我們來看一下下面的例子：根據(jù)映射的定義，我們知道它是一個(gè)映射，現(xiàn)在我們看一下它的逆映射:BA根據(jù)映射的定義，我們知道它不是一個(gè)映射 再比如，我們知道下面一個(gè)是映射，如：但是，它的逆映射就不是映射，如:，只有映射，才有逆映射 .因?yàn)楹瘮?shù)是一個(gè)特殊的映射，若把原來的映射構(gòu)成的函數(shù)叫做原函數(shù)，那么它的逆映射構(gòu)成的函數(shù)叫做反函數(shù)，原函數(shù)與反函數(shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，原函數(shù)與反函數(shù)互為反函數(shù)，反函數(shù)的反函數(shù)將是原函數(shù) .2反函數(shù)的性質(zhì)反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，即原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域相互交換若原函數(shù)經(jīng)過一個(gè)點(diǎn) a , b ,則反函數(shù)經(jīng)過點(diǎn) b , a ,a, b與b, a在平面直角坐標(biāo)系

16、中關(guān)于y x對(duì)稱原函數(shù)的圖象和反函數(shù)的圖象關(guān)于y x對(duì)稱.單調(diào)性：若原函數(shù)是 /,則反函數(shù)的單調(diào)性如何呢？注意單調(diào)性本質(zhì)是自變量和 函數(shù)值的變化趨勢(shì)是否一致，當(dāng)x/, y/,反過來，若y/, x/,：原函數(shù)與反函數(shù)的單調(diào)性相同.例：判斷下列函數(shù)是否有反函數(shù)，若有，則求出反函數(shù) y x 1 ; y 2x ; y 2x 1 ; (4) y x3 1 ； y 3x ； (6) y x2【解析】有，反函數(shù)為：y x 1 ；有，反函數(shù)為：y -；21有，反函數(shù)為：y - x 1 ;2有，反函數(shù)為：y W7；有，反函數(shù)為：y log3x；沒有，.不是一一對(duì)應(yīng)，1和1都指向1;若加個(gè)定義域y x2 x>

17、;0，則有反函數(shù)，y Jx ,y x2 x< 0也有反函數(shù)，y xx2 .對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系對(duì)數(shù)函數(shù)y logax與指數(shù)函數(shù)y ax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y x對(duì)稱.【教師備案】對(duì)數(shù)函數(shù) y logax,指數(shù)形式為x ay.可以看成是把指數(shù)函數(shù) y ax的x, y對(duì)調(diào)位置而 得到的.在同一直角坐標(biāo)系中，它們的圖象關(guān)于直線 y x對(duì)稱.【教師備案】老師講完對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系以后，就可以讓學(xué)生做例3 了.經(jīng)典精講【例 3】若 f(x) ax,g(x)logbx,且 lga lg b 0 , a 1, b 1.則 y f(x)與 y g(x)的圖象()A.關(guān)于直線x y 0

18、對(duì)稱 B.關(guān)于直線x y 0對(duì)稱 C.關(guān)于y軸對(duì)稱D.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若函數(shù)f(x) ax ( a 0,且aw1)的反函數(shù)的圖象過點(diǎn) (2,1),則a .若f x 10g 3x的反函數(shù)是y g x ,則g 1值為()A. 3 B.3 C. 1 D.13 3【解析】B工2C卜面我們?cè)賮砜匆幌聦?duì)數(shù)函性質(zhì)的應(yīng)用:| 7.2對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)5:與對(duì)數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域問題【教師備案】求對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的定義域的方法與前面講到的求一般函數(shù)的定義域的解法一樣,不過在這里應(yīng)特別注意的是:經(jīng)典精講4. y log 2定義域?yàn)槎x域?yàn)槎x域?yàn)椤纠?】*求下列函數(shù)的定義域 f x logax2 ； f x

19、 log22x 2x 3 ; f x log(x 1)(3 x)； f xlogi x 1老師可以用下邊的鋪墊給學(xué)生講解求定義域，然后讓學(xué)生做例【鋪墊】求下列函數(shù)的定義域1 ； y 1g x 11 ,1 U 1 ,0 U 2,f x ,定義域是 定義域?yàn)?定義域?yàn)?定義域?yàn)榻?jīng)典精講老師可以用下邊的鋪墊給學(xué)生講解對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問題，鋪墊主要是對(duì)數(shù)函數(shù)，讓學(xué)生從直觀上理解 值域，講完以后就可以讓學(xué)生做例5,例5主要是對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù).【鋪墊】已知函數(shù)f(x) log2x,當(dāng)x1. 一，一，4時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?當(dāng)x當(dāng)x已知函數(shù)g(x) log 1 x ,當(dāng) 316,0,時(shí)，函數(shù)值域?yàn)闀r(shí)，函數(shù)值域?yàn)?

20、時(shí)，函數(shù)值域?yàn)開當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)楫?dāng)1一，927時(shí)，函數(shù)值域?yàn)椤窘馕觥? , 2 ;，394,.1 ,；，2 ;2,3.【例5】*求下列函數(shù)的值域 f xlg x 1 ； f x log2 x 1 x > 1 ； f x 也log2 x ； f xlog2 x2 4x 5 ; f x 10gl x2 2x 3 ； (6) f x 10gl x2 6x 1322【解析】y R ; y 1,; y 0,; y 0 ,)； y 2,)； y (,2.【例6】我已知函數(shù)f(x) lg ax2 2x 1 . 若f(x)的定義域?yàn)镽 ,求實(shí)數(shù)a的范圍；若f(x)的值域?yàn)镽 ,求實(shí)數(shù)a的范圍.【解析】a

21、的范圍為a |a 1 .a的范圍為 a |0 w a w 1 .【點(diǎn)評(píng)】 第問易忽視a 0情況，第問易犯1g(ax2 2x 1)的值域?yàn)镽就是ax2 2x 1 0恒成 立的錯(cuò)誤，正確理解應(yīng)該為(0,)x|ax2 2x 1 0 .正確理解定義域?yàn)?R與值域?yàn)镽的含義是解題的關(guān)鍵.【方法總結(jié)】 對(duì)于形如y 1oga (x)的定義域值域?yàn)?R的問題.關(guān)鍵是抓住對(duì)數(shù)函數(shù) y loga x的定義 域和值域，并結(jié)合圖象來分析和解決問題.由圖可知對(duì)數(shù)函數(shù) y logax的定義域?yàn)?0,)，值域?yàn)镽 .反過來，要使函數(shù)y loga x的值域?yàn)镽 ,由圖可知，x必須取遍(0 ,)內(nèi)所有的值(一個(gè)也不能少).因此

22、若y loga (x)的定義域?yàn)镽 ,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有(x) 0 ,特別是當(dāng) 一 .2(x) ax bx c(aw0)時(shí)，要使 y loga (x)的te乂域?yàn)?R ,則有 a 0,且 0.若已知y loga (x)的值域?yàn)镽 ,則(x)必須取遍(0 ,)內(nèi)的所有值(一個(gè)也不能少)，則對(duì)于函數(shù)t x而言，必須有t (x)的值域包含(0,)(此時(shí)y loga (x)的定義域一般包含于t (x)的定義域之中).反之，若(x)>mm 0 ,則當(dāng)a 1時(shí)，有 y loga (x) > log am ；當(dāng) 0 a 1 時(shí)，有 y loga (x) < loga m ,因此其值域一定為 R .特 別是當(dāng) (x) ax2 bx c(a w 0),要使y loga (x)的值域?yàn)镽 ,則有a 0,且 > 0 .考點(diǎn)7:與對(duì)數(shù)相關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題經(jīng)典精講【例71判斷下列函數(shù)的單調(diào)性(4)log 2 x 1 ；log 1x22x2log 2 x 1 在1g |x 1(4)1,1g |x1 ; f xlog 1 x2 6x2上是增函數(shù)上是減函數(shù)，在 1,求函數(shù)f【解析】定義域?yàn)?0g2log 1210g12當(dāng)a 1時(shí),當(dāng)0 a 1時(shí),【點(diǎn)評(píng)】本題為復(fù)合函數(shù),10ga4x2x