概率論與數理統(tǒng)計數學實驗

1、概率論與數理統(tǒng)計數學實驗目錄實驗一 幾個重要的概率分布的MATLAB實現 p2-3實驗二 數據的統(tǒng)計描述和分析 p4-8實驗三 參數估計 p9-11實驗四 假設檢驗 p12-14實驗五 方差分析 p15-17實驗六 回歸分析 p18-27實驗一 幾個重要的概率分布的MATLAB實現實驗目的(1) 學習MATLAB軟件與概率有關的各種計算方法(2) 會用MATLAB軟件生成幾種常見分布的隨機數(3) 通過實驗加深對概率密度，分布函數和分位數的理解Matlab統(tǒng)計工具箱中提供了約20種概率分布，對每一種分布提供了5種運算功能，下表給出了常見8種分布對應的Matlab命令字符，表2給出了每一種運算功

2、能所對應的Matlab命令字符。當需要某一分布的某類運算功能時，將分布字符與功能字符連接起來，就得到所要的命令。分布均勻指數正態(tài)分布t分布F分布二項泊松字符unifexpnormchi2tfbinopoiss功能概率密度分布函數逆概率密度均值與方差隨機數生成字符pdfcdfinvstatrnd例1 求正態(tài)分布，在x=1.2處的概率密度。解：在MATLAB命令窗口中輸入：normpdf(1.2,-1,2)結果為： 0.1089例2 求泊松分布，在k=5，6，7處的概率。解：在MATLAB命令窗口中輸入：poisspdf(5 6 7,3)結果為： 0.1008 0.0504 0.0216例3 設服

3、從均勻分布，計算。解：在MATLAB命令窗口中輸入：unifcdf(2.5,1,3)-unifcdf(-2,1,3)結果為：0.75000例4 求概率的正態(tài)分布的分位數。解：在MATLAB命令窗口中輸入：norminv(0.995,1,2)結果為：6.1517例5 求t分布的期望和方差。解：在MATLAB命令窗口中輸入：m,v=tstat(10)m = 0v =1.2500例6 生成一個2*3階正態(tài)分布的隨機矩陣。其中，第一行3個數分別服從均值為1，2，3；第二行3個數分別服從均值為4，5，6，且標準差均為0.1的正態(tài)分布。解：在MATLAB命令窗口中輸入：A=normrnd(1 2 3;4

4、5 6,0.1,2,3)A = 1.1189 2.0327 2.98133.9962 5.0175 6.0726例7 生成一個2*3階服從均勻分布的隨機矩陣。解：在MATLAB命令窗口中輸入：B=unifrnd(1,3,2,3)B = 1.8205 1.1158 2.62632.7873 1.7057 1.0197注：對于標準正態(tài)分布，可用命令randn(m,n);對于均勻分布,可用命令rand(m,n)。實驗二 數據的統(tǒng)計描述和分析實驗目的(1) 學習MATLAB軟件關于統(tǒng)計作圖的基本操作(2) 會用MATLAB軟件計算計算幾種常用統(tǒng)計量的值(3) 通過實驗加深對均值、方差、中位數等常用統(tǒng)計

5、量的理解1. 頻數表和直方圖一組數據（樣本觀察值）雖然包含了總體的信息,但往往是雜亂無章的，作出它的頻數表和直方圖，可以看作是對這組數據的一個初步整理和直觀描述。將數據的取值范圍劃分為若干個區(qū)間，然后統(tǒng)計這組數據在每個區(qū)間中出現的次數，稱為頻數，由此得到一個頻數表。以數據的取值為橫坐標，頻數為縱坐標，畫出一個階梯形的圖，稱為直方圖，或頻數分布圖。2 經驗累計分布函數圖設是總體的一個容量為的樣本觀察值。將按自小到大的次序排列，并重新編號，設為記則稱為總體的經驗累積分布函數，它的圖像即為經驗累計分布函數圖。3 幾種常用的統(tǒng)計量（1）算術平均值和中位數算術平均值（簡稱均值）， ，中位數是將數據由小到

6、大排序后位于中間位置的那個數值。（2）標準差、方差標準差: ,它是各個數據與均值偏離程度的度量。方差是標準差的平方,記為。（3）偏度和峰度表示數據分布形狀的統(tǒng)計量有偏度和峰度。偏度：反映數據分布對稱性的指標，當時，稱為右偏態(tài)，此時數據位于均值右邊的比位于左邊的多；當時稱為左偏態(tài)，情況相反；而 接近0時，則可認為分布是對稱的。峰度：),是數據分布形狀的另一種度量，正態(tài)分布的峰度為3，若 比3大得多，表示分布有沉重的尾巴，說明樣本中含有較多遠離均值的數據，因而峰度可以用作衡量偏離正態(tài)分布的尺度之一。將樣本的觀測值代入以上各式后，即可求得對應統(tǒng)計量的觀測值。4 MATLAB實現下面我們列出用于數據的

7、統(tǒng)計描述和分析的常用MATLAB命令。其中，x為原始數據行向量。（1） 用hist命令實現作頻數表及直方圖，其用法是：n,y = hist(x,k)返回x的頻數表。它將區(qū)間min(x),max(x)等分為k份（缺省時k設定為10），n返回k個小區(qū)間的頻數，y返回k個小區(qū)間的中點。hist(x,k)返回x的直方圖。（2） 用cdfplot命令作累積分布函數圖，其用法是：h,stats =cdfplot(x)在返回x的累積分布函數圖的同時，在stats中給出樣本的一些特征：樣本最小值、最大值、平均值、中位數和標準差。cdfplot(x,k)則直接返回x的累積分布函數圖。（3） 算術平均值和中位數M

8、atlab中mean(x)返回x的均值，median(x)返回中位數。（4） 標準差、方差和極差極差是的最大值與最小值之差。Matlab中std(x)返回x的標準差，var(x)返回方差，range(x)返回極差。（4）偏度和峰度Matlab中skewness(x)返回x的偏度，kurtosis(x)返回峰度。例1 某學校隨機抽取100名學生，測量他們的身高，所得數據如下表1721691691711671781771701671691711681651691681731701601791721661681641701651631731651761621601751731721681651721

9、77182175155176172169176170170169186174173168169167170163172176166167166161173175158172177177169166170169173164165182176172173174167171166166172171175165169168173178163169169177184166171170解：在MATLAB命令窗口中輸入：X=172 169 169 171 167 178 177 170 167 169 171 168 165 169 168 173 170 160 179 172 166 168 164 1

10、70 165 163 173 165 176 162 160 175 173 172 168 165 172 177 182 175 155 176 172 169 176 170 170 169 186 174 173 168 169 167 170 163 172 176 166 167 166 161 173 175 158 172 177 177 169 166 170 169 173 164 165 182 176 172 173 174 167 171 166 166 172 171 175 165 169 168 173 178 163 169 169 177 184 166 1

11、71 170;n,y=hist(X)n = 2 3 6 18 26 22 11 8 2 2y = 156.5500 159.6500 162.7500 165.8500 168.9500 172.0500 175.1500 178.2500 181.3500 184.4500hist(X)直方圖x1=mean(X)x1 = 170.2500x2=median(X)x2 = 170x3=range(X)x3 = 31x4=std(X)x4 = 5.4018x5=skewness(X)x5 = 0.1545x6=kurtosis(X)x6 =3.5573例2 產生50個服從標準正態(tài)分布的隨機數，指

12、出它們的分布特征，并畫出經驗累積分布函數圖解：在MATLAB命令窗口中輸入：x=normrnd(0,1,1,50);h,stats=cdfplot(x)h = 171.0016stats = min: -2.9443 max: 3.5784 mean: 0.2840 median: 0.3222 std: 1.2625經驗累積分布函數圖實驗三 參數估計實驗目的(1) 學習MATLAB軟件關于參數估計的有關操作命令(2) 會用MATLAB軟件求參數的點估計和置信區(qū)間(3) 通過實驗加深對參數估計基本概念和基本思想的理解1 參數估計的方法 利用樣本對總體進行統(tǒng)計推斷的一類問題是參數估計，即假定總體

13、的概率分布類型已知，由樣本估計參數的分布。參數估計的方法主要有點估計和區(qū)間估計兩種。2 參數估計的Matlab實現在Matlab統(tǒng)計工具箱中，有專門計算總體均值、標準差的點估計和區(qū)間估計的函數。對于正態(tài)總體，命令是mu,sigma,muci,sigmaci=normfit(x,alpha)其中x 為樣本（數組或矩陣），alpha 為顯著性水平 （alpha 缺省時設定為0.05），返回總體均值m 和標準差s 的點估計mu和sigma，及總體均值m 和標準差s 的區(qū)間估計muci和sigmaci。當x為矩陣時返回行向量。此外，Matlab 統(tǒng)計工具箱中還提供了一些具有特定分布總體的區(qū)間估計的命令

14、，如expfit，poissfit，分別用于指數分布和泊松分布的區(qū)間估計，具體用法可參見MATLAB的幫助系統(tǒng)。例1 已知某種木材橫紋抗壓力的實驗值，對10個試件做橫紋抗壓力的試驗數據如下：482,493,457,471,510,446,435,418,394,496(單位：公斤/平方厘米)，試以95%的可靠性估計該木材的平均橫紋抗壓力的置信區(qū)間:(1)未知；(2) 。解:(1) 未知時，可直接使用normfit命令在MATLAB命令窗口中輸入：x=482,493,457,471,510,446,435,418,394,496;mu sigma muci sigmaci=normfit(x)m

15、u = 460.2sigma = 37.1776515904082muci = 433.60471018703 486.79528981297sigmaci = 25.5720976681307 67.8718993056142未知時，平均橫紋抗壓力的估計值為460.2，其置信度為0.95的置信區(qū)間為433.6，486.8。（2）已知時，的置信度為0.95的置信區(qū)間為。在MATLAB命令窗口中輸入：x=482,493,457,471,510,446,435,418,394,496;muci=mean(x)-norminv(0.975)*30/sqrt(10),mean(x)+norminv(0

16、.975)*30/sqrt(10)muci = 441.606149030863 478.793850969137已知時，平均橫紋抗壓力的置信度為0.95的置信區(qū)間為441.6，478.8。同（1）比較可得，在置信水平相同的條件下，利用方差得到的置信區(qū)間的長度要小于忽略方差得到的置信區(qū)間長度。例2 某廠生產的瓶裝運動飲料的體積假定服從正態(tài)分布，抽取10瓶，測得體積（毫升）為595,602,610,585,618,615,605,620,600,606。求出方差的置信度為0.90的置信區(qū)間。解:在MATLAB命令窗口中輸入：x=595,602,610,585,618,615,605,620,60

17、0,606;mu sigma muci sigmaci=normfit(x,0.1)mu = 605.6sigma = 10.8032916794425muci = 599.337534833741 611.862465166259sigmaci = 7.8793483042824 17.773549266492sigma2ans = 116.711111111111sigmaci.2ans = 62.084129700198 315.89905352842即的估計值為116.7，其置信度為0.9的置信區(qū)間為62.08，315.9。例3 某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現象的次數X是一個隨機變量，

18、假設它服從以為參數的泊松分布，參數未知?，F有以下樣本值：著火次數k0123456發(fā)生著火的天數75905422621試求的極大似然估計值和置信水平為95%的置信區(qū)間。解:在MATLAB命令窗口中輸入：x=75,90,54,22,6,2,1;lamda,lamdaci=poissfit(x)lamda = 35.7142857142857lamdaci = 31.2871783406817 40.1413930878897即的極大似然估計值為35.71，其置信水平為95%的置信區(qū)間為31.29，40.14。實驗四 假設檢驗實驗目的(1) 學習MATLAB軟件關于假設檢驗的有關操作命令(2) 會用

19、MATLAB軟件求單個正態(tài)總體和雙正態(tài)總體的假設檢驗問題(3) 會用MATLAB軟件判斷總體是否服從正態(tài)分布(4) 通過實驗加深對假設檢驗基本概念和基本思想的理解1 參數假設檢驗如果總體的分布函數類型已知，只是對總體分布中的參數做某種假設。然后，用樣本檢驗此假設是否成立，這種檢驗稱為參數檢驗。下面我們給出幾種參數檢驗對應的Matlab命令，相關的理論知識可參考教材。假設檢驗Matlab命令單個總體均值（已知）：（，）h,p,ci=ztest(x,mu,sigma,alpha,tail)單個總體均值（未知）：（，）h,p,ci=ttest(x,mu,alpha,tail)兩個總體均值（已知）：（

20、，）h,p,ci=ttest2(x,y,alpha,tail)注1： x是樣本，mu是中的 ，sigma是總體標準差s ，alpha是顯著性水平a （alpha缺省時設定為0.05），tail是對備擇假設 的選擇：為時，令tail=0（可缺省）； 為時，令tail=1；為 時，令tail=-1。輸出參數h=0表示接受，h=1表示拒絕 ，p表示在假設 下樣本均值出現的概率，p越小越值得懷疑，ci是 的置信區(qū)間。注2：ttest2輸入的是兩個樣本x,y，長度可以不同。例1 某種電子元件的壽命x (以小時計)服從正態(tài)分布,未知.現得16只元件的壽命如下:159 280 101 212 224 379

21、 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170問是否有理由認為元件的平均壽命大于225(小時)? （a =0.05）解：需要檢驗：，：x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170;h,p,ci=ttest(x,225,0.05,1)h = 0p = 0.2570ci = 198.2321 Infh=0，p=0.2570，說明在顯著水平為0.05的情況下，不能拒絕原假設，認為元件的平均壽命不大于225小時。例2 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率,試

22、驗是在同一平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外,其它條件都可能做到相同。先用標準方法煉一爐,然后用建議的新方法煉一爐,以后交換進行,各煉了10爐,其得率分別為:1°標準方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.6 76.7 77.32°新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1設這兩個樣本相互獨立且服從標準差相同的正態(tài)分布，問建議的新方法能否提高得率?(取a = 0.05。)解 需要檢驗：，：x=78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75

23、.6 76.7 77.3;y=79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1;h,p,ci=ttest2(x,y,0.05,-1)h = 1p = 2.2126e-004ci = -Inf -1.9000h=1,p=2.2126×10-4。表明在a = 0.05的顯著水平下，可以拒絕原假設，即認為建議的新操作方法能提高得率。2 分布擬合檢驗在實際問題中，有時不能預知總體服從什么類型的分布，這時就需要根據樣本來檢驗關于分布的假設。下面我們給出幾種檢驗總體是否服從正態(tài)分布對應的Matlab命令?？傮w分布正態(tài)性檢驗MATLAB命令備注：總

24、體服從h,p=jbtest(x,alpha)適用于大樣本：總體服從h,p=lillietest(x,alpha)適用于小樣本：總體服從h=kstest(x)注1： 輸入參數x是樣本，alpha是顯著性水平a （alpha缺省時設定為0.05），輸出h=1,則拒絕總體是正態(tài)分布的假設,若h=0，則接受總體服從正態(tài)分布的假設。p為檢驗概率值，p越小，則越值得懷疑例3 試檢驗實驗二例1中的學生身高數據是否來自正態(tài)總體（取a = 0.1)。解: 在MATLAB命令窗口中輸入：h,p=jbtest(x,0.1)h = 0p =0.5303h=0，因此，接受總體服從正態(tài)分布的假設。實驗五 方差分析實驗目的

25、(1) 學習MATLAB軟件關于方差分析的有關操作命令(2) 會用MATLAB軟件求解單因素和雙因素方差分析問題(3) 通過實驗加深對方差分析基本概念和基本思想的理解1 單因素方差分析Matlab實現Matlab統(tǒng)計工具箱中單因素方差分析的命令是anoval，用法為：p=anoval(x，group)輸入參數x是一個向量，從第1個總體的樣本到第r個總體的樣本依次排列，group是一個與x有相同長度的向量，反映了x中數據的分組情況。比如，可以用數字i代表第i個總體的樣本。輸出值p是一個概率值(p值)，當P >a 時接受原假設，即認為因素A對指標有無顯著影響。另外，該命令還給出一個標準的方差

26、分析表和一個盒子圖。例1 用4種工藝生產燈泡，從各種工藝制成的燈泡中各抽出了若干個測量其壽命，結果如下表，試推斷這幾種工藝制成的燈泡壽命是否有顯著差異。 工藝序號A1A2A3A411620 15801460150021670 16001540155031700 16401620161041750 1720168051800解: 在MATLAB命令窗口中輸入：x=1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800;g=ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*

27、ones(1,4);p=anova1(x,g)p =0.0149p=0.0149<0.05，所以這幾種工藝制成的燈泡壽命有顯著差異。 方差分析表 盒子圖2 雙因素方差分析Matlab實現雙因素方差分析的MATLAB命令為:p=anova2(x,reps)輸入參數x為矩陣，其元素表示兩因素在某個水平組合下的試驗結果，其中行對應因素A,列對應因素B。如果每一種水平組合都有不止一個的觀測值，則用參數reps來表明，即reps給出重復試驗的次數。當reps=1(缺省值)時，輸出p是一個向量包含兩個概率值(p值)，第1個對應因素A；第2個對應因素B。p值接近于零(小于0.05)時，拒絕原假設,即認

28、為該因素對指標有顯著影響。當reps>1時，輸出p還包含另外一個概率值，該p值接近于零(小于0.05)時，認為兩個因素交互作用的效應是顯著的。例2 下表給出某種化工過程在三種濃度、四種溫度水平下得率的數據。假設在諸水平配對下的試驗結果如下表所示。試在水平a = 0.05下，檢驗在不同濃度（因素A）、不同溫度（因素B ）下的得率是否有顯著差異？交互作用是否顯著？濃度(B)溫度(A)1024385221110111113910124971087116106511131412131410解: 在MATLAB命令窗口中輸入：x=11 11 13 10;10 11 9 12;9 10 7 6;7

29、8 11 10;5 13 12 14;11 14 13 10;p=anova2(x,2)p =0.3104 0.0419 0.7010p=0.3104 0.0419 0.701。即認為溫度因素不顯著、而濃度因素有顯著差異，交互作用不顯著。雙因素方差分析表實驗六 回歸分析實驗目的(1) 學習MATLAB軟件關于回歸分析的有關操作命令(2) 會用MATLAB軟件求解各種類型的回歸分析問題(3) 通過實驗加深對回歸分析基本概念和基本思想的理解1 多元線性回歸的Matlab實現Matlab統(tǒng)計工具箱用命令regress實現多元線性回歸，用的方法是最小二乘法，其MATLAB命令為：b,bint,r,ri

30、nt,stats=regress(y,x,alpha)其中 y,x為輸入數據，alpha是顯著性水平（缺省值為0.05），輸出b為回歸系數估計值，bint是的置信區(qū)間，r是殘差向量，rint是r的置信區(qū)間，stats中包含了三個檢驗量：決定系數，F值和p值。它們的用法如下：值反映了變量間的線性相關的程度，越接近1，則變量間的線性關系越強；如果滿足，同樣可以認為Y 與顯著地有線性關系；若，則線性模型可用。殘差及其置信區(qū)間還可以用rcoplot(r,rint)畫圖。若某個數據的殘差置信區(qū)間不包含零點，則該數據可視為異常點，通常可將其剔除后重新計算。例1 某飲料公司發(fā)現飲料的銷售量與氣溫之間存在著相

31、關關系，即氣溫越高，人們對飲料的需求量越大。下表記錄了飲料銷售量和氣溫的觀察數據：氣溫x(度)3021354237208173525銷量y(箱)430335520490470210195270400480試建立銷售量與氣溫之間的關系。解: 首先畫出散點圖，從圖形可以看出，這些點大致分布在一條直線上，所以，可以考慮一元線性回歸。散點圖在MATLAB命令窗口中輸入：x=30 21 35 42 37 20 8 17 35 25;y=430 335 520 490 470 210 195 270 400 480;plot(x,y,'o')X=ones(10,1),x'b bin

32、t r rint s=regress(y',X,0.05)b =117.0702 9.7381bint = -19.0529 253.1932 5.0138 14.4625p=s(3)p =0.0014p=0.0014<0.05,說明模型成立，即氣溫x與飲料銷售量Y有顯著的線性關系。接下來畫殘差分布圖rcoplot(r,rint)殘差分布圖由殘差分布圖可知，除第10個數據外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點。因此，第10個點應視為異常點，將其剔除后重新計算，可得x=30 21 35 42 37 20 8 17 35;y=430 335 520 490 470 210 195 270 4

33、00;X=ones(9,1),x'b bint r rint s=regress(y',X,0.05);b = 96.6216 10.0017bint = -13.8604 207.10376.2188 13.7845p=s(3)p = 4.2334e-004p值小于原模型的p值，所以應該用修改后的模型。2 多項式回歸的MATLAB實現一元多項式回歸的MATLAB命令為：p,s=ployfit(x,y,n)其中輸入x,y是樣本數據，n表示多項式的階數，輸出p是回歸多項式的系數，s是一個數據結構，可用于其他函數的計算，比如，y delta=polyconf(p,x0,s)可用于計

34、算x0處的預測值y及其置信區(qū)間的半徑delta。一元多項式回歸還可以采用如下命令：polytool(x,y,n,alpha)該命令輸出一個交互式畫面，畫面顯示回歸曲線及其置信區(qū)間，通過圖左下方的export下拉式菜單,還可以得到回歸系數的估計值及其置信區(qū)間、殘差等。還可以在正下方左邊的窗口中輸入x，即可在右邊窗口得到預測值y及其對應的置信區(qū)間。例2 將17至29歲的運動員每兩歲一組分為7組，每組兩人測量其旋轉定向能力，以考察年齡對這種運動能力的影響?，F得到一組數據如下表：年齡17192123252729第一人20.4825.1326.1530.026.120.319.35第二人24.3528.

35、1126.331.426.9225.721.3試建立二者之間的關系。解 數據的散點圖（略）明顯地呈現兩端低中間高的形狀，所以應擬合一條二次曲線。x=17:2:29;X=x,x;y=20.48 25.13 26.15 30.0 26.1 20.3 19.35 24.35 28.11 26.3 31.4 26.92 25.7 21.3;p,s=polyfit(X,y,2)p = -0.2003 8.9782 -72.2150即所求的回歸模型為：下面的命令給出了年齡為26歲時的預測值及其置信區(qū)間的半徑。x0=26;y0,delta=polyconf(p,x0,s)y0 = 25.8073delta

36、=5.0902若采用命令polytool(X,y,2)，則可得到一個如下圖所示的交互式畫面，其中實曲線為擬合曲線，它兩側的虛線是y 的置信區(qū)間。點擊左下方的Export按鈕，可以在MATLAB的工作空間中得到回歸系數等。3 多元二項式回歸的MATLAB實現 MATLAB中提供了一個作多元二項式回歸的命令rstool，同命令polytool類似也可產生一個交互式畫面，并輸出有關信息，用法是rstool(x,y,model,alpha)其中輸入數據x,y分別為n ´m矩陣和n維向量，alpha為顯著性水平a （缺省時設定為0.05），model對應4個模型（用字符串輸入，缺省時設定為線性

37、模型），分別為：linear(只包含線性項)；purequadratic（包含線性項和純二次項）；interaction（包含線性項和純交叉項）；quadratic（包含線性項和完全二次項)。例3 對下面這組數據采用多元二項式回歸確定它們之間的關系：x1120140190130155175125145180150x210011090150210150250270300250y10210012077469326696585解：在MATLAB命令窗口中輸入x1=120 140 190 130 155 175 125 145 180 150;x2=100 110 90 150 210 150 250

38、 270 300 250;y=102 100 120 77 46 93 26 69 65 85;x=x1' x2'rstool(x,y,'quadratic')得到一個如下圖所示的交互式畫面。通過按鈕Export向Matlab工作區(qū)傳送：beta（回歸系數），rmse（剩余標準差）和residuals（殘差）等數據?？傻茫篵eta = -307.3600 7.2032 -1.7374 0.0001 -0.0226 0.0037rmse =18.6064對應的回歸模型為：利用圖左下方的下拉式菜單，選擇不同的模型并通過按鈕Export向Matlab工作區(qū)傳送數據，就

39、可以比較它們的剩余標準差，會發(fā)現模型（purequadratic）的rmse=16.6436最小，對應的回歸模型為：4 非線性回歸的Matlab實現 Matlab提供的非線性回歸命令有：nlinfit，nlparci，nlpredci，nlintool。它們的具體用法如下：b,R,J=nlinfit(x,y,model,b0)其中輸入數據x，y分別為n ´m矩陣和n維向量。Model是事先用M文件定義的非線性函數，其形式為，為待估參數。b0是的初值。輸出b是的估計值，R是殘差，J是用于估計誤差的Jacobi矩陣。進一步，將以上輸出代入命令bi=nlparci(b,R,J)可得的置信區(qū)

40、間bi。若代入命令y0 delta=nlpredci(model,x0,b,R,J)則可得回歸函數在x0處的預測值y0及其置信區(qū)間。 命令nlintool可產生一個交互式畫面，并輸出有關信息，用法是：nlintool(x,y,model,b0,alpha)例4 在工程中希望建立一種能由混凝土的抗壓強度x推算抗剪強度y的經驗公式，下表中給出了現有9對數據。試分別按以下三種形式建立y對x的回歸方程，并從中選出最優(yōu)模型。(1) (2) (3) x141152168182195204223254277y23.124.227.227.828.731.432.534.836.2解：首先對每個回歸方程建立相

41、應的M文件如下：f1.m：function y=f1(beta,x);y=beta(1)+beta(2)*sqrt(x);f2.m：function y=f2(beta,x);y=beta(1)+beta(2)*log(x);f3.m：function y=f3(beta,x);y=beta(1)*x.beta(2);然后，用nlinfit計算回歸系數x=141 152 168 182 195 204 223 254 277;y=23.1 24.2 27.2 27.8 28.7 31.4 32.5 34.8 36.2;b0=1,2;b1,r1,j1=nlinfit(x,y,'f1',b0)b1 = -9.8806 2.8068r1 = -0.3483 -0.5240 0.7003 -0.1852 -0.6142 1.1915 0.4661 -0.0524 -0.6338 b2,r2,j2=nlinfit(x,y,'f2',b0)b2 = -75.2844 19.8789r2 =0.0083 -0.3850 0.6254 -0.3657 -0.8372 0.9