2022年2012江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽《提優(yōu)教程》教案第14講染色問(wèn)題

1、第 14 講 染色問(wèn)題本節(jié)主要表達(dá)用染色的方法解有關(guān)的競(jìng)賽題染色,是一種幫忙解題的手段,通過(guò)染色, 把爭(zhēng)辯對(duì)象分類(lèi)標(biāo)記,以便直觀形象地解決問(wèn)題,因此染色就是分類(lèi)的思想的詳細(xì)化,例如 染成兩種顏色,就可以看成是奇偶分析的一種表現(xiàn)形式染色,也是構(gòu)造抽屜的一個(gè)重要方 法,利用染色分類(lèi),從而構(gòu)造出抽屜,用抽屜原理來(lái)解題A 類(lèi)例題例 1 有一個(gè) 6 × 6 的棋盤(pán), 剪去其左上角和右下角各一個(gè)小格邊長(zhǎng)為 1 后,剩下的圖形能不能剪成 17 個(gè) 1× 2 的小矩形？ 剪去國(guó)際象棋棋盤(pán)左上角2× 2 的正方形后, 能不能用 15 個(gè)由四個(gè)格子組成的L 形完全掩蓋？例 1 。 例

2、分析 把棋盤(pán)的格子用染色分成兩類(lèi),由此說(shuō)明留下的圖形不能中意題目的要求證明 如圖,把 6 ×6 棋盤(pán)相間染成黑，白二色, 使相鄰兩格染色不同 就剪去的兩格同色 但每個(gè) 1 × 2 小矩形都由一個(gè)白格一個(gè)黑格組成,故不行能把剩下的圖形剪成 17 個(gè) 1 ×2 矩形如圖,把 8× 8 方格按列染色,第 1 , 3, 5 , 7 列染黑,第 2 ，4， 6，8 列染白這樣染色,其中黑格有偶數(shù)個(gè)由于每個(gè) L 形蓋住三黑一白或三白一黑,故 15 個(gè) L 形確定蓋住奇數(shù)個(gè)黑格,故不行能說(shuō)明 用不同的染色方法解決不同的問(wèn)題例 2 用如干個(gè)由四個(gè)單位正方形組成的“L”形

3、紙片無(wú)重疊地拼成一個(gè)mn 的矩形,就mn 必是 8 的倍數(shù)分析 易證 mn 是 4 的倍數(shù),再用染色法證mn 是 8 的倍數(shù)證明： 每個(gè) L 形有 4 個(gè)方格,故4|mn 于是 m，n 中至少有一個(gè)為偶數(shù)設(shè)列數(shù)n 為偶11可編輯資料 - - - 歡迎下載數(shù),就按奇數(shù)列染紅,偶數(shù)列染藍(lán)于是紅格與藍(lán)格各有2 mn 個(gè),而 2 mn 是偶數(shù)每個(gè) L 形可編輯資料 - - - 歡迎下載或蓋住 3 紅 1 藍(lán),或蓋住 1 紅 3 藍(lán),設(shè)前者有 p 個(gè),后者有 q 個(gè)于是紅格共蓋住 3 p+q 個(gè)即 p+q 為偶數(shù), 即有偶數(shù)個(gè) L 形 設(shè)有 2 k 個(gè) L 形于是 mn =2 k× 4=8 k

4、故證可編輯資料 - - - 歡迎下載說(shuō)明 奇偶分析與染色聯(lián)合運(yùn)用解決此題可編輯資料 - - - 歡迎下載情形再現(xiàn)1. 下面是俄羅斯方塊的七個(gè)圖形：請(qǐng) 你 用 它們拼出 A 圖,可編輯資料 - - - 歡迎下載1234567再 用 它 們 拼 出(B) 圖每塊只能可編輯資料 - - - 歡迎下載用一次,并且不準(zhǔn)翻過(guò)來(lái)用假如能拼出來(lái),就在圖形上畫(huà)出拼法,并寫(xiě)明七個(gè)圖形的編號(hào). 假如不能拼出來(lái),就說(shuō)明理由(A) B2. 能否用圖中各種外形的紙片（不能剪開(kāi)）拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為75 的正方形？（圖中每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都為1 ）請(qǐng)說(shuō)明理由B 類(lèi)例題例 3 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：確定存在

5、無(wú)窮條長(zhǎng)為1的線段,這些線段的端點(diǎn)為同一顏色 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：存在同色的三點(diǎn),且其中一點(diǎn)為另兩點(diǎn)中點(diǎn)分析 任意染色而又要求顯現(xiàn)具有某種性質(zhì)的圖形,這是染色問(wèn)題常見(jiàn)的題型,常用抽屜原理或設(shè)置兩難命題的方法解證明 取邊長(zhǎng)為 1 的等邊三角形,其三個(gè)頂點(diǎn)中必有兩個(gè)頂點(diǎn)同色同色兩頂點(diǎn)連成線段即為一條中意要求的線段,由于邊長(zhǎng)為1 的等邊三角形有很多個(gè),故中意要求的線段有很多條 取同色兩點(diǎn) A ，B,延長(zhǎng) AB 到點(diǎn) C,使 BC =AB ,再延長(zhǎng) BA 到點(diǎn) D ,使 AD =AB ,如C ，D 中有一點(diǎn)為紅色,例如點(diǎn) C 為紅色,就點(diǎn) B 為 AC 中點(diǎn)就命題成立否就,

6、 C ，D 全藍(lán),考慮 AB 中點(diǎn) M,它也是 CD 中點(diǎn)故無(wú)論 M 染紅仍是藍(lán),均得證說(shuō)明 中,兩種顏色就是兩個(gè)“抽屜”,三個(gè)點(diǎn)就是三個(gè)“蘋(píng)果” ,于是依據(jù)抽屜原理, 必有兩個(gè)點(diǎn)落入同一抽屜中,這里實(shí)際上構(gòu)造了一個(gè)兩難命題：非此即彼,二者必居其一讓同一點(diǎn)既是某兩個(gè)紅點(diǎn)的中點(diǎn),又是兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)的中點(diǎn),從而陷入兩難挑選的境地,于是中意條件的圖形必定可編輯資料 - - - 歡迎下載存在達(dá)到證明的目的例 4 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：確定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)為為同一種顏色的等腰三角形 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：確定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)為為同一種顏色的等腰直角三

7、角形分析 同樣可以設(shè)置兩難命題：由于等腰三角形的頂點(diǎn)在底邊的垂直平分線上,故先選兩個(gè)同色點(diǎn)連成底邊,再在連線的垂直平分線上找同色的點(diǎn),這是解法1 的思路利用圓的半徑相等來(lái)構(gòu)造等腰三角形的兩腰,這是解法2 的思路利用抽屜原理,任5 個(gè)點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色,只要這5 點(diǎn)中任三點(diǎn)都是一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)即可,而正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中任三個(gè)都是等腰三角形的頂點(diǎn),這是解法3 的思路連正方形的對(duì)角線即得到兩個(gè)等腰直角三角形,所以從正方形入手解決相題第2 問(wèn)可編輯資料 - - - 歡迎下載 證明 1 任取兩個(gè)同色點(diǎn)A， B設(shè)同紅 ,N作 AB 的垂直平可編輯資料 - - - 歡迎下載分線 MN ,如 MN 上除與

8、 AB 交點(diǎn)外 有紅色點(diǎn),就 有 紅 色 三 角可編輯資料 - - - 歡迎下載形,如無(wú)紅色點(diǎn), 就 MN 上至多一個(gè)紅點(diǎn)其余均ED對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn) C，D,均藍(lán)就如 AB 上有 除交點(diǎn)KAH藍(lán),取關(guān)于AB外藍(lán)點(diǎn), 就有藍(lán)B可編輯資料 - - - 歡迎下載色三角形,如無(wú)藍(lán)點(diǎn),就在矩形EFGH內(nèi)任取一點(diǎn) K 不在邊上 可編輯資料 - - - 歡迎下載如 K 為藍(lán),就可在 CD 上取兩點(diǎn)與之構(gòu)成藍(lán)色FG三角形,如 K 為C可編輯資料 - - - 歡迎下載紅,就可在AB上找到兩點(diǎn)與之構(gòu)成紅色三角形可編輯資料 - - - 歡迎下載證明 2 任取一紅點(diǎn)O,以 O 為圓心任作一M圓,如此圓上有可編輯資料 - -

9、 - 歡迎下載不是同始終徑端點(diǎn)的兩個(gè)紅點(diǎn)A ，B ,就顯現(xiàn)紅色頂點(diǎn)等腰三角形 OAB ,如圓上只有一個(gè)紅點(diǎn)或只有同始終徑的兩個(gè)端點(diǎn)E是紅點(diǎn),就圓上有很多藍(lán)點(diǎn),取兩個(gè)藍(lán)點(diǎn) 不關(guān)于紅點(diǎn)為可編輯資料 - - - 歡迎下載端點(diǎn)的直徑對(duì)稱(chēng) C，D,于是 CD 的垂個(gè)交點(diǎn) E， F 為藍(lán)點(diǎn),于是存在藍(lán)色頂CDE A證明 3 取一個(gè)正五邊形ABCDE ,它的 5 個(gè)頂點(diǎn)中,必有三個(gè)頂點(diǎn) 例如 A， ABC 即為等腰三角形OB C(1) EOAFD(2) BO直平分線與圓的兩點(diǎn)的等腰三角形依據(jù)抽屜原理,B ， C 同色,就可編輯資料 - - - 歡迎下載證明 任取兩個(gè)藍(lán)點(diǎn)A，B ,以 AB 為一邊作正D如 C

10、，D 有一為藍(lán)色,就顯現(xiàn)藍(lán)色三角形如C，DAC 方形 ABCD ,D 均紅,就對(duì)角可編輯資料 - - - 歡迎下載線交點(diǎn) E 或紅或藍(lán), 顯現(xiàn)紅色或藍(lán)色等腰直角三角形明顯按此作法可以得到很多個(gè)等腰直角三角形由此題也可以E證 明 上 一題 BC例 5 設(shè)平面上給出了有限個(gè)點(diǎn)不少于五點(diǎn) 的集合 S ,其中如干個(gè)點(diǎn)被染成紅色,其余點(diǎn)被染成藍(lán)色,且任意三個(gè)同色點(diǎn)不共線求證：存在一個(gè)三角形,具有下述性質(zhì)： 以 S 中的三個(gè)同色點(diǎn)為頂點(diǎn). 此三角形至少有一條邊上不含另一種顏色的點(diǎn)分析 要證明存在同色三角形不難,而要中意第個(gè)條件,可以用最小數(shù)原理證明由于 S 中至少有五點(diǎn),這些點(diǎn)染成兩種顏色,故必存在三點(diǎn)同

11、色且據(jù)已知,此三點(diǎn)不共線,故可連成三角形取全部同色三角形,由于S 只有有限個(gè)點(diǎn),從而能連出的同色三角形只有有限個(gè),故其可編輯資料 - - - 歡迎下載中必有面積最小的其中面積最小的三角形即為所求第一,這個(gè)三角形中意條件,其次,如其三邊上均有另一種顏色的點(diǎn),就此三點(diǎn)必可連出三角形,此連出三角形面積更小,沖突說(shuō)明 最小數(shù)原理,即極端原理見(jiàn)第十二講例 6 將平面上的每個(gè)點(diǎn)都染上紅，藍(lán)二色之一,證明：存在兩個(gè)相像的三角形,其相像比為 1995 ,且每一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)同色1995 年全國(guó)聯(lián)賽加試題 分析 把相像三角形特別化,變成證明相像的直角三角形,在矩形的網(wǎng)格中去找相像的直角三角形,這是證法 1

12、的思路證法2 就是爭(zhēng)辯外形更特別的直角三角形：含一個(gè)角為30 .的直角三角形證明可以找到任意邊長(zhǎng)的這樣的三角形,于是對(duì)任意的相可編輯資料 - - - 歡迎下載SR似比, 此題均可證 證法 3 就是考慮兩個(gè)同心圓上三lP三組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連出的兩個(gè)三角形確定相像,于是只要考l 1條半徑交圓得的慮找同心圓上的可編輯資料 - - - 歡迎下載同色點(diǎn), 而要得到 3 個(gè)同色點(diǎn), 只要任取 5 個(gè)只染了兩種顏色的點(diǎn)就可編輯資料 - - - 歡迎下載行.而要得到 5 個(gè)同色點(diǎn), 就只要取 9 個(gè)只染了兩種l 2QT顏色的點(diǎn)即行可編輯資料 - - - 歡迎下載證明 1 第一證明平面上確定存在三個(gè)頂點(diǎn)同色的直角三角形

13、任取平面上的一條直線l,就直線 l 上必有兩點(diǎn)同色設(shè)此兩點(diǎn)為 P ，Q,不妨設(shè) P，Q 同著紅色過(guò)P ，Q 作直線 l 的垂線 l1 ，l2,如 l1 或 l 2 上有異于 P ，Q 的點(diǎn)著紅色,就存在紅色直角三角形如l1，l2 上除 P ，Q 外均無(wú)紅色點(diǎn),就在l1 上任取異于 P的兩點(diǎn) R ，S ,就 R，S 必著藍(lán)色,過(guò) R 作 l1 的垂線交 l2 于 T,就 T 必著藍(lán)色 RST 即為三頂點(diǎn)同色的直角三角形下面再證明存在兩個(gè)相像比為1995 的相像的直角三角形可編輯資料 - - - 歡迎下載設(shè)直角三角形ABC 三頂點(diǎn)同色 B 為D直角 把 ABCA可編輯資料 - - - 歡迎下載補(bǔ)成

14、矩形 ABCD 如圖 把矩形的每邊都分成 n 等分 n 為正奇數(shù), n>1 ,此題中取n= 1995 連結(jié)對(duì)邊相應(yīng)分點(diǎn),可編輯資料 - - - 歡迎下載把矩形 ABCD 分成 n2 個(gè)小矩形GME'E可編輯資料 - - - 歡迎下載AB 邊上的分點(diǎn)共有 n+1 個(gè),由于 n 為其中兩個(gè)相鄰的分點(diǎn)同色, 否就任兩個(gè)相CHNF'FPQB奇數(shù),故必存在鄰分點(diǎn)異色,就可編輯資料 - - - 歡迎下載可得 A，B 異色 ,不妨設(shè)相鄰分點(diǎn)E ，F(xiàn)同色 考察 E ，F(xiàn) 所在的小矩形的另兩個(gè)頂點(diǎn)E ，F(xiàn) ,如 E ，F(xiàn) 異色,就 EFE 或 DFF 為三個(gè)頂點(diǎn)同色的小直角三角形如E ，

15、F 同色,再考察以此二點(diǎn)為頂點(diǎn)而在其左邊的小矩形,這樣依次考察過(guò)去,不妨設(shè)這一行小矩形的每條豎邊的兩個(gè)頂點(diǎn)都同色同樣, BC 邊上也存在兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)同色,設(shè)為P，Q,就考察 PQ 所在的小矩形,同理,如 P，Q 所在小矩形的另一橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)異色,就存在三頂點(diǎn)同色的小直角三角形否就, PQ 所在列的小矩形的每條橫邊兩個(gè)頂點(diǎn)都同色現(xiàn)考察 EF 所在行與 PQ 所在列相交的矩形GHNM ,如上述, M，H 都與 N 同色, MNH為頂點(diǎn)同色的直角三角形由 n= 1995 ,故 MNH ABC ,且相像比為 1995 ,且這兩個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)分別同色 證明 2 第一證明：設(shè)a 為任意正實(shí)數(shù),存在距

16、離為2 a 的同色兩點(diǎn)任取一點(diǎn)O設(shè)為紅色點(diǎn),以 O 為圓心, 2a 為半徑作圓,如圓上有一個(gè)紅點(diǎn),就存在距可編輯資料 - - - 歡迎下載離為 2a 的兩個(gè)紅點(diǎn), 如圓上沒(méi)有紅點(diǎn), 就任一圓內(nèi)FE接 六 邊 形可編輯資料 - - - 歡迎下載ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)均為藍(lán)色, 但此六邊形邊長(zhǎng)為2a 故存在距離為 2a 的兩個(gè)藍(lán)色點(diǎn)AB下面證明：存在邊長(zhǎng)為a, 3a, 2 a 的直角三角形,其三個(gè)頂可編輯資料 - - - 歡迎下載點(diǎn)同色如上證,存在距離為2 a 的同色兩點(diǎn) A，CDB 設(shè)為紅點(diǎn) ,可編輯資料 - - - 歡迎下載以 AB 為直徑作圓,并取圓內(nèi)接六邊形ACDBEF ,如 C ，D，E

17、， F 中有任一點(diǎn)為紅色,就存在中意要求的紅色三角形如C ，D ，E ，F(xiàn) 為藍(lán)色,就存在中意要求的藍(lán)色三角形下面再證明此題：由上證知,存在邊長(zhǎng)為a, 3a, 2 a 及 1995 a,19953a, 19952 a的兩個(gè)同色三角形,中意要求證明 3 以任一點(diǎn) O 為圓心, a 及 1995 a 為半徑作兩個(gè)同心圓,在小圓上任取9 點(diǎn),其中必有 5 點(diǎn)同色,設(shè)為A ，B，C，D ，E,作射線 OA ，OB ，OC ，OD ，OE ,交大圓于 A , B , C , D ,E ,就此五點(diǎn)中必存在三點(diǎn)同色,設(shè)為A ，B ， C 就ABC 與 A B C 為中意要求 的三角形情形再現(xiàn)3. 以任意方式

18、對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：確定存在一個(gè)矩形,它的四個(gè)頂點(diǎn)同色4. 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：確定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)全為同一種顏色的全等三角形5. 圖中是一個(gè) 6 × 6 的方格棋盤(pán),現(xiàn)將部分1× 1 小方格涂成紅色.假如任憑劃掉3 行 3列,都要使得剩下的方格中確定有一個(gè)是紅色的,那么至少要涂多少個(gè)方格？6. 有兩個(gè)同心圓,圓上的每個(gè)點(diǎn)都用紅，藍(lán)，黃三色之一染色試證明：可以分別在每個(gè)圓上找到同色的三個(gè)點(diǎn)連成圓的內(nèi)接三角形,且這兩個(gè)三角形相像C 類(lèi)例題例 7把平面上每個(gè)點(diǎn)都以紅，黃兩色之一著色求證：確定存在一個(gè)邊長(zhǎng)為1 或 3 的正三角形,

19、它的三個(gè)頂點(diǎn)是同色的分析 邊長(zhǎng)為 1 及 3的三角形在半徑為1 的圓內(nèi)接正六邊形中顯現(xiàn),故應(yīng)設(shè)法在這樣的圓內(nèi)接正六邊形內(nèi)找中意要求的三角形以紅點(diǎn)M 為圓心, 1 為半徑作圓, 6 等分此圓,如其中沒(méi)有紅點(diǎn),就存在邊長(zhǎng)為3 的黃頂點(diǎn)三角形,如有紅點(diǎn)R,就與之相鄰的兩分點(diǎn)中有紅點(diǎn)就 有邊長(zhǎng)為 1 的紅頂點(diǎn)三角形,如與R 相鄰的兩分點(diǎn)均黃,就考慮直徑RQ 的另一端點(diǎn) Q ,如為黃就可證故應(yīng)相距為2 的兩點(diǎn) R ，Q,這樣就可構(gòu)造兩難命題了證明：1 .任取一染成紅色的點(diǎn)P ,以 P 為圓心, 1 為半徑作圓,假如圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)都是紅色,就存在邊長(zhǎng)為1 及 3的三角形,其三個(gè)頂點(diǎn)同為紅色如圓上及圓內(nèi)的點(diǎn)

20、不全染成紅色就存在圓上或圓內(nèi)一染成黃色的點(diǎn)Q, |PQ | 1作PQR ,使 PR =QR =2 ,就 R 必與 P，Q 之一染色不同設(shè)R 與 Q 染色不同,即 R 染紅色可編輯資料 - - - 歡迎下載2 .取 QR 中點(diǎn) M,就 M 必與 Q，R 之一同色設(shè)與紅色以 RM =1 為一邊,作正三角形 RMS ， RMT 如紅,就存在邊長(zhǎng)為 1 的紅色頂點(diǎn)三角形如S ，T 都為成邊長(zhǎng)為3 的黃色頂點(diǎn)三角形說(shuō)明 把問(wèn)題歸結(jié)為相距為2 的異色兩點(diǎn)RR 同色,即同為SS，T 中任一點(diǎn)染TM黃色, 就與 Q 組PQ可編輯資料 - - - 歡迎下載例 8在一張 100100 的方格紙內(nèi), 能否把數(shù)字 0

21、,1 ,2 分別放在每一個(gè)小方格內(nèi) 每格放一個(gè)數(shù) ,使得任意由 34 及 4 3 小方格構(gòu)成的矩形中都有3 個(gè) 0,4 個(gè)1 及 5 個(gè) 2 分析 3 × 4 方格由 4 個(gè) 3×1 方格組成,因此爭(zhēng)辯這樣的方格的可能填法證明設(shè)存在這樣的填法兩個(gè)圖形中填入的0，1 ，2 的個(gè)數(shù)假如完全相同,就稱(chēng)這兩個(gè)可編輯資料 - - - 歡迎下載圖形是填法相同的圖形1.現(xiàn)在爭(zhēng)辯圖中的4 個(gè) 31 或 13 矩形陰影部分 ,由于它們都與中心的33 矩形組成 3 4 矩形,如存在中意要求的填法時(shí), 它們的填法必相同2.對(duì)于任一 3 n 矩形 如圖 2 中部 ,比較兩個(gè)只相錯(cuò)一個(gè) 1 3 矩形

22、的兩個(gè) 3 4 矩形,知,同色的13 矩形的填法應(yīng)相同即染色是周題期顯現(xiàn)的圖 13.現(xiàn)考慮 112 矩形,如圖2 ,依據(jù)的結(jié)果可知,圖 2 中同色的 13 或31 矩形的填法相同于是每個(gè)112 矩形應(yīng)與一個(gè) 3 4 矩形的填法相同即圖中一面的112矩形含有4 個(gè) 13 矩形,分別有 4 種顏色4.但 1 12矩形中填了 5個(gè) 2,從而必有某個(gè) 13 矩形中填了 2 個(gè) 2 不圖 2妨設(shè)黃色的 13矩形中填了2 個(gè) 2于是用下面的 1 12 矩形的染色法知每個(gè) 112 矩形中至少有 6 個(gè) 2 由 3 .，4.沖突,知這樣的填法不存在情形再現(xiàn)7. 設(shè)有 4 28 個(gè)小方格,給每個(gè)小方格都染上紅，

23、藍(lán)，黃三種顏色中的一種試證明： 至少存在一個(gè)矩形,它的四個(gè)角的小正方形同色 419 小方格如上染三色,試證：至少存在一個(gè)矩形,它的四個(gè)角的小正方形同色8. 一個(gè)等邊三角形的三邊上全部的點(diǎn)包括頂點(diǎn) 都染成紅色或藍(lán)色之一,求證：必可找到此三角形邊上的三個(gè)同色點(diǎn),使這三個(gè)點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)習(xí)題 141. 以任意方式對(duì)數(shù)軸上的每一坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：對(duì)任意正整數(shù)n ,都能找到很多個(gè)點(diǎn),這些點(diǎn)同色且坐標(biāo)能被n 整除2. 以任意方式對(duì)平面上的每一點(diǎn)染上紅色或者藍(lán)色證明：確定可以找到無(wú)窮多個(gè)頂點(diǎn)全為同一種顏色的三角形3. 對(duì)正整數(shù)列依據(jù)以下方法由小到大進(jìn)行染色：假如能夠表示為兩個(gè)合數(shù)的

24、和,就染成紅色,否就染成藍(lán)色全部被染成紅色的數(shù)中由小到大數(shù)的第1994 個(gè)數(shù)是多少？4. 把一個(gè)馬放入 4 ×8 的國(guó)際象棋棋盤(pán)的任何一格上,能否把它連跳32 步,使得馬跳遍棋盤(pán)上每一格并回到最初位置？5. 能否用一個(gè) “田”格與 15 個(gè) 1×4 矩形紙片蓋滿 8×8 棋盤(pán)？6. 用右圖中4 個(gè)小方格組成的“ L形”如干個(gè)蓋住了一個(gè) 4×n 矩形,那么, n 確定是偶數(shù)7. 一個(gè)立方體的八個(gè)頂點(diǎn)分別染上紅色或綠色,六個(gè)面的中心也都分 別染色, 如一個(gè)面的四個(gè)頂點(diǎn)中有奇數(shù)個(gè)綠點(diǎn),就這個(gè)面的中心也染成綠色 ,可編輯資料 - - - 歡迎下載否就就染成紅色

25、.求證 :這樣得到的十四個(gè)色點(diǎn)不行能一半圖色.是紅色一半是綠可編輯資料 - - - 歡迎下載8. 把 4 個(gè)同心圓的圓周各分成100 等分把這400 個(gè)分點(diǎn)染成黑，白兩色之一,使每可編輯資料 - - - 歡迎下載個(gè)圓上都恰有 50 個(gè)黑點(diǎn)及 50 個(gè)白點(diǎn)證明：可以適當(dāng)旋轉(zhuǎn)這4 個(gè)圓,使得能夠從圓心引出的 13 條射線,每條射線穿過(guò)的4 個(gè)染色相同的分點(diǎn)9. 將一個(gè)三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別染上紅，藍(lán)，黑之一,在ABC內(nèi)部取如干點(diǎn)也任意涂紅，黑，蘭三色之一,這些點(diǎn)間 沒(méi)有三點(diǎn)共線 連有一 些線段,把大三角形分成如干相互沒(méi)有重疊部分的一些小三角形. 求證 : 不論怎樣涂,都有一個(gè)小三角形,其三個(gè)頂

26、點(diǎn)涂的顏色全不同 .10. 一個(gè)棱柱以五邊形 A 1A2A 3A 4 A5 及 B 1 B2 B 3B 4B5 分別為上下底 , 這兩個(gè)多邊形的每一條邊及線段 A iB ji,j=1,2,3,4,5 均涂上紅色與綠色 ,每個(gè)以棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn) ,以涂色線段為邊的三角形都有兩邊顏色不同 ,求證 :上底與下底 10 條邊的顏色相同11. 將凸 2003邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都染色,且任意相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)都異色試證：對(duì)上述任何一種染色法,都可以用互不相交于內(nèi)點(diǎn)的對(duì)角線將多邊形完全剖分成如干三角形,使得剖分 中所用每條對(duì)角線的兩端點(diǎn)都不同色12. 100100 小方格表中每一個(gè)都被染成4 種顏色之一,使得每行與每

27、列恰有每種顏色的小方格各 25 個(gè)證明：可以在表中找到2 行與 2 列,它們交得的 4 個(gè)小方格所染的顏色互不相同 2000 第 26 屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克 本節(jié)“情形再現(xiàn)”解答：1解 將A 的方格染成黑白兩色,使相鄰的方格都不同色 圖C ,就此圖中黑白方格的個(gè)數(shù)相等,但如將染色,就都可染成黑白相間的兩黑兩白,但只能染成一黑三白或三黑一白,于是染色后黑白方格數(shù)不等所以A 圖不能被完全掩蓋而圖 B 就因染色后 黑 白 格 相 差 1格,故有被蓋住的可能經(jīng)試驗(yàn),可如可編輯資料 - - - 歡迎下載圖D 沿粗線分開(kāi)的方住2 解 把 75 × 75(3)65(4) 4172格分別用蓋方格與圖

28、中給出的可編輯資料 - - - 歡迎下載4種外形的小方格都染成黑白兩色,使CD任何相鄰的格子染色不同由于 75 ×75 方格的格子數(shù)為奇數(shù),故其黑白格子的個(gè)數(shù)相差1 個(gè)但這四種外形的方格的染色中,前兩種黑白格子數(shù)相等,第三種染的黑白格子數(shù)分別為4與 1 黑 4 白 1 或者白 4 黑 1 ,第四種外形染的黑白格子數(shù)分別為5 與 2,這兩種格子的黑白格子數(shù)相差 3,于是用這四種外形中的任何幾種掩蓋住的方格,應(yīng)蓋住相等的黑白格或蓋住的黑白格相差 3 的整數(shù)倍,不行能只相差1所以此題是不行能蓋住的3. 證明：取 3 行 7 列共 21 個(gè)點(diǎn)組成矩形網(wǎng)格考慮每列3 個(gè)點(diǎn)的染色方式共有8 種,

29、如有某列 3 點(diǎn)全染紅色,就只要其余6 列中有某列有 2 個(gè)點(diǎn)染紅,就存在四個(gè)頂點(diǎn)都是紅色的矩形,如有某列3 個(gè)點(diǎn)全藍(lán)也同理如 7 列中沒(méi)有全紅， 全藍(lán)兩種情形, 就7 列的染色方式只有6 種,必有兩列染色方式相同,此二列中有四點(diǎn)中意要求4. 證明以 1 為邊長(zhǎng)作正五邊形,其五個(gè)頂點(diǎn)染二色,必有三個(gè)頂點(diǎn)同色于是顯現(xiàn)同色三角形,由于正五邊形中的三角形只有兩種外形,而邊長(zhǎng)為1 的五邊形有無(wú)窮多個(gè),故由抽屜原理知,至少有一種外形的三個(gè)頂點(diǎn)同色的 三角形有很多個(gè)取這種外形的頂點(diǎn)同色的三角形集合,該集合有無(wú)窮多個(gè)元素但這很多個(gè)三角形均全等,于是據(jù)抽屜原理,必有其中一種顏色的頂點(diǎn)的三角形有無(wú)窮多個(gè)5. 分

30、析 當(dāng)涂紅格少于或等于6 時(shí),只要?jiǎng)澣r(shí),先劃去涂有紅格的3 行,就余下的紅格可編輯資料 - - - 歡迎下載至多仍有 3 格,再劃去有涂紅格的列（當(dāng)然不超過(guò)3 列）就全部的涂紅格都被劃去了仿此,當(dāng)涂紅格少于或等于9 格時(shí),由于這個(gè)圖形只有 6 行,故總有某些行的涂紅格不止1 格,第一劃去涂紅格至少2 格的某一行,余下 5 行中,如涂紅的格子仍不止5 格,就必有某行的不止1 個(gè)涂紅格,再劃去至少有 2個(gè)涂紅格的行, 從其次步起, 如涂紅格不足 3 格時(shí), 就任意劃去某行這樣,當(dāng)涂紅格不多于 9 格時(shí), 總可以劃去 3 行,使余下涂紅格不多于3 格, 這時(shí)劃去有涂紅格的列,就總可以使余下方格中沒(méi)

31、有紅格故,要保證劃去 3 行 3 列后余下格中確定有涂紅格,就確定要涂至少10 格當(dāng)涂紅格為 10 格時(shí),可如圖的涂法,此時(shí)劃去3 行后至多劃去 6 個(gè)涂紅格,余下至少4個(gè)涂紅格在至少 4 列中,從而任意劃去3 列后至少仍要余下1 個(gè)涂紅格6. 證明按兩個(gè)圓的半徑的大小稱(chēng)這兩個(gè)圓為大圓與小圓可編輯資料 - - - 歡迎下載在大圓上任取 19 個(gè)點(diǎn),這 19 個(gè)點(diǎn)都染了三種顏色,故其中必有193+1 7 個(gè)點(diǎn)同色,可編輯資料 - - - 歡迎下載作過(guò)這 7 個(gè)同色點(diǎn)的半徑,交小圓于7 點(diǎn)于是,這 7 個(gè)點(diǎn)中必有73 +1 3 個(gè)點(diǎn)同色這三可編輯資料 - - - 歡迎下載點(diǎn)不行能在同一條直線上,可

32、連成一個(gè)三角形,過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的半徑與大圓的三個(gè)交點(diǎn)再連成三角形,這兩個(gè)三角形就中意要求7. 證明 第一行中必有一種顏色有至少10 個(gè)設(shè)為紅,把它們換到前10 列, 下面 3 行的前 10 列中,如有某一行有2 個(gè)紅格,就可得證設(shè)每行至多有1 個(gè)紅格于是至少有7 列中沒(méi)有紅色格這個(gè)3 ×7 矩形可證 可見(jiàn)情形再現(xiàn)第3 題的證明 由于一列 4 格染成 3 色,必有某色至少染2 格每種顏色染2 格的方案都各有 6 種,故共有 18 種可能在 19 列中,必有兩列染兩格的方法相同故證可編輯資料 - - - 歡迎下載8. 證明 分別在 AB ，BC ，CA 上取點(diǎn) D，E，F(xiàn) ,1AD =BE

33、=CF =3AB 易證 DE BC ,EF AC ,FD E ，F(xiàn) 三點(diǎn)染成紅，藍(lán)兩色,故必有兩點(diǎn)同色,設(shè)D，A使DAB 由于 D，F(xiàn)E兩點(diǎn)染成紅可編輯資料 - - - 歡迎下載色就如 BC 上除點(diǎn) E 外仍有一點(diǎn)K 染成紅色,就顯現(xiàn)紅色頂點(diǎn)可編輯資料 - - - 歡迎下載B直角 DEK 如 BC 上除 E 外全染藍(lán)色就AB 與EKCAC上除點(diǎn)D可編輯資料 - - - 歡迎下載外有任一點(diǎn)染藍(lán),就顯現(xiàn)藍(lán)色三角形假如AB ，AC上 沒(méi) 有 藍(lán) 色點(diǎn)就 ADF 即為紅色頂點(diǎn)三角形“習(xí)題 14”解答：1. 證明：坐標(biāo)為 n 的倍數(shù)的點(diǎn)有很多個(gè),染成兩色,就必有一種顏色有無(wú)窮多個(gè)2. 證明任取兩個(gè)紅點(diǎn)A

34、 ，B 及兩個(gè)藍(lán)點(diǎn) C ，D ,平面上不在直線AB 及 CD 上的點(diǎn)有很多個(gè),于是至少有一種顏色染了很多個(gè)點(diǎn),即有很多個(gè)同色三角形3解 1,2 , 3 , 4, 5, 6, 7 ,9 , 11 都不能寫(xiě)成兩個(gè)合數(shù)的和由于 4k=4+4 k 1 ,4k+2=4+22 k 1 ,故不小于 8 的偶數(shù)都能寫(xiě)成兩個(gè)合數(shù)的和 由于 2k+1=9+2 k 8=9+2 k4 ,故不小于13 的奇數(shù)均可以寫(xiě)成兩個(gè)合數(shù)的和所以,第 1994 個(gè)數(shù)是 2003 4. 解 這半個(gè)棋盤(pán)有 4 行,把上下兩行的格子稱(chēng)為外格,中間兩行的格子稱(chēng)為內(nèi)格外格與內(nèi)格的格子數(shù)一樣多一只國(guó)際象棋的馬不能一步從外格跳到外格,所以假如馬

35、從某一格開(kāi)頭每格正好跳一次地跳遍棋盤(pán),并且最終回到起點(diǎn),它就不能從可編輯資料 - - - 歡迎下載內(nèi)格跳到內(nèi)格（否就內(nèi)格就會(huì)比外格多）這就說(shuō)明 ,馬只能外格與內(nèi)格交替地跳現(xiàn)在把半個(gè)國(guó)際象棋棋盤(pán)按右圖所示染色明顯,馬從外格跳到內(nèi)格時(shí)是跳到同色的格子上去,而從內(nèi)格跳到外格時(shí)也是跳到同色的格子上這樣一來(lái),按上述跳法,馬就只在同色的格子之間跳動(dòng),這就說(shuō)明,馬是不能從這半個(gè)棋盤(pán)上的任一格動(dòng)身,跳遍棋盤(pán)上的全部格子并回到起點(diǎn)處的故這樣的跳法是不存在的5. 把 8×8 矩形按右圖染成黑白兩色,就一個(gè) “田”字形必蓋住 3 白 1 黑格或 3 黑 1 白格,而一個(gè) 1×4 矩形蓋住 2 白

36、 2 黑格故此題無(wú)解6. 把 4×n 方格按右圖的方法染成黑白兩色,就任一 “ L形”必蓋住 3 白 1 黑或 3 黑 1 白,如n 為奇數(shù),就蓋住這個(gè)圖形的 “ L形”個(gè)數(shù)也必為奇數(shù),于是蓋住的白格與黑格也都是奇數(shù)個(gè) 但圖中的白格與黑格數(shù)都是偶數(shù)故不行能蓋住7. 證明設(shè)此立方體的六個(gè)面中有 x 個(gè)面頂點(diǎn)是 4 紅, y 個(gè)面的頂點(diǎn)是 2 紅 2 綠, z 個(gè)面的頂點(diǎn)是 4 綠.有 k 個(gè)面頂點(diǎn)是 3 紅 1 綠, h 個(gè)面頂點(diǎn)是 1 紅 3 綠3統(tǒng)計(jì)每個(gè)面上在頂點(diǎn)處的綠點(diǎn)數(shù)： 2 y+4 z+k+3 h,每個(gè)頂點(diǎn)都在 3 個(gè)面上統(tǒng)計(jì)了一次,故頂點(diǎn)上的綠點(diǎn)共有 1 2 y+4 z+k

37、+3 h個(gè),中心的綠點(diǎn)共有 k+h 個(gè)如這 14 個(gè)點(diǎn)中, 紅綠各一半,就得132 y+4 z+ k+3 h+ k+h=7 即2 y+4 z+k+3 h +3 k+3 h=21 , 2 y+4 z+4 k+6 h=21 這是不行能的 故證可編輯資料 - - - 歡迎下載8. 證明把圓旋轉(zhuǎn)2 100 稱(chēng)為一次旋轉(zhuǎn), 再把四個(gè)同心圓從內(nèi)到外依次稱(chēng)為圓，可編輯資料 - - - 歡迎下載先過(guò)圓心 O 任作一條射線 OX ,把四個(gè)圓旋轉(zhuǎn),使每個(gè)圓都有一個(gè)分點(diǎn)在OX 上,固定圓,其上的某個(gè)分點(diǎn)A 在 OX 上,旋轉(zhuǎn)圓,使其上每個(gè)點(diǎn)都與OX 對(duì)齊一次,登記圓在每個(gè)位置時(shí)兩圓同色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)個(gè)數(shù),由于圓的每個(gè)

38、點(diǎn)都與圓的點(diǎn)A 對(duì)齊 1 次,故點(diǎn)A 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中共與圓的同色點(diǎn)對(duì)齊了50 次,每個(gè)圓的點(diǎn)都是這樣,故在圓的旋轉(zhuǎn)過(guò)50100可編輯資料 - - - 歡迎下載程中, 共有 50 100 次同色點(diǎn)對(duì)齊 于是至少有一次, 同色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)數(shù)不少于100可編輯資料 - - - 歡迎下載50 次在圓的100 個(gè)位置中,必有某個(gè)位置使圓，的同色點(diǎn)對(duì)齊的個(gè)數(shù)最多把圓固定于該位置此時(shí)兩圓至少有50 個(gè)同色點(diǎn)對(duì)齊把異色點(diǎn)對(duì)齊的點(diǎn)對(duì)去掉,就兩圓上至少留下對(duì)齊的 50 對(duì)同色點(diǎn)再把圓旋轉(zhuǎn),同上,把圓與圓的同色點(diǎn)對(duì)齊個(gè)數(shù)最多的位置固定,此時(shí)圓與圓可編輯資料 - - - 歡迎下載至少有 5050100 25 個(gè)同色點(diǎn)對(duì)

39、是對(duì)齊的,把這些點(diǎn)對(duì)留下,其余點(diǎn)去掉再旋轉(zhuǎn)圓,同可編輯資料 - - - 歡迎下載可編輯資料 - - - 歡迎下載樣,把圓與圓的同色點(diǎn)對(duì)齊個(gè)數(shù)最多的位置固定,此時(shí)圓與圓至少有2550100+1 13可編輯資料 - - - 歡迎下載個(gè)同色點(diǎn)對(duì)是對(duì)齊的即此時(shí)四個(gè)圓至少有13 個(gè)同色點(diǎn)是對(duì)齊的,從圓心引穿過(guò)這些對(duì)齊的同色點(diǎn)的射線至少有 13 條9. 解法 1：按頂點(diǎn)顏色分類(lèi), 三角形共有 10 類(lèi)： 三紅, 兩紅一藍(lán), 兩紅一黑, 一紅兩藍(lán), 一紅兩黑,紅藍(lán)黑,三藍(lán),兩藍(lán)一黑,一藍(lán)兩黑,三黑按線段兩端顏色分類(lèi),線段共有6 類(lèi)：紅紅,紅藍(lán),紅黑,藍(lán)藍(lán),藍(lán)黑,黑黑現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)兩端分別為紅，藍(lán)的邊,在兩紅一藍(lán)或

40、兩藍(lán)一紅這兩類(lèi)三角形中,每個(gè)三角形都有 2 條紅藍(lán)邊,每個(gè)紅藍(lán)黑三角形都有1 條紅藍(lán)邊,設(shè)前兩類(lèi)三角形共有p 個(gè),后一類(lèi)三可編輯資料 - - - 歡迎下載角形共有 q 個(gè)就兩端紅藍(lán)的邊共有2 pq 條而每條兩端紅藍(lán)的邊,在大三角形內(nèi)的紅藍(lán)邊設(shè)有k 條,每條都被運(yùn)算了2 次,大三角形的紅藍(lán)邊有 1 條,運(yùn)算了 1 次故2 p q 2k 1 ,于是 q0,即紅藍(lán)黑三角形至少有1 個(gè)注：統(tǒng)計(jì)兩端不同色的邊都可以解法 2 在每個(gè)劃出的小三角形內(nèi)取一個(gè)點(diǎn),在三角形形外也取一個(gè)點(diǎn)假如兩個(gè)三角形有一條紅藍(lán)的公共邊,就在相應(yīng)點(diǎn)間連一條線于是得到了圖G,此時(shí),兩紅一藍(lán)或兩藍(lán)一紅的三角形都是圖 G 的偶頂點(diǎn),而紅藍(lán)黑三角形就對(duì)應(yīng)著圖G 的奇頂點(diǎn),大三角形外的那個(gè)頂點(diǎn)也是奇頂點(diǎn),由奇頂點(diǎn)的成對(duì)性,知圖G 中至少仍有一個(gè)奇頂點(diǎn),于是,至少仍有一個(gè)紅藍(lán)黑三角形10. 證明 第一證明此棱柱的上底面的棱顏色相同否就必有兩條相鄰邊顏色不同不妨設(shè) A 1A 5 為紅, A 1A2 為綠5 條線段 A 1Bii=1 , 2 ,3, 4,5 中必有 3 條同色設(shè)有 3 條同為紅色這 3 條紅色的線段中,總有兩條是向相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)引出的,例如A1B 1，A1 B2 都為紅色于是在A1 B1B 2 中 B 1B 2 必為綠色又在 A 1A5