高等數(shù)學(xué)第1章課后習(xí)題答案(科學(xué)出版社).

1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)習(xí)題 1-11. 求下列函數(shù)的自然定義域： x3+ (1)y=21-xx-1arccos (3) y=解： (1)解不等式組 ?(2) y=arctan1x? 3x1?(4) y=? . ? 3 , x=1? x+30得函數(shù)定義域為 -3,-1) (- 1,1) (1,+?);12-x0? 3-x2 0(2解) 不等式組 ? 得函數(shù)定義域為 ; ?x0x-1? -1?1(3)解不等式組 ? 得函數(shù)定義域為 -4,-2) (3,6; 52? x-x-6>0(4)函數(shù)定義域為 (- ,1.2. 已知函數(shù) f(x) 定義域為 0,1，求 ff(cosx),f(x+c)+

2、f(x-c) (c>0) 義域解：函數(shù) f要有意義，必須 01，因此 f 的定義域為 0,1； 同理得函數(shù) f(cosx)定義域為 2k -,2k +； 22? 0 x+c 函11數(shù) f(x+c)+f(x-c) 要有意義，必須 ? ，因此，（ 1）若 c<，定義域為： 2? 0x-c1（2）若 c=c,1-c；的定 11，1定義域為： ；（ 3）若 c>，定義域為： ? 2221? x-a? 3設(shè) f(x)=2 1-? ,a>0,求函數(shù)值 f(2a),f(1) x? |x-a|?解：因為 f(x)=f(2a)=1? x-a? 1- ? ，所以 2x? |x-a|? 1?

3、 a? 1? 1-a1-=0，f(1)=1- ? 2 4a? a? 12 ? - a? 2 ,a>1, =?0 ,0<a<1?4. 證明下列不等式 :(1) 對任何 xr 有 |x-1|+|x-2| 1;(2) 對任何 n z+有 (1+1)n+1>(1+1)n; n+1n(3) 對任何 n z+及實數(shù) a>1有 a-1a-1. n1n證明：（ 1）由三角不等式得|x-1|+|x-2| x-|1-(x-2)|=1（2）要證 (1+1)n+1>(1+1)n，即要證 1+1>n+1nn+1=111(1+)+(1+)+ +(1+)+11 < =1+n+

4、1n+1得證。（3）令 h=a-1，則 h>0。當(dāng) n2時由 bernouli 不等式，有a=(1+h)>1+nh=1+n(a-1) n1n1n所以a-1<1na-1， na-1 n又當(dāng) n=1 時，有 a-1=1 n故對任何 nz 及實數(shù) a>1有 a-1a-1. +1nn5. 試將下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，而把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程:22 (1)=4; (2- y) =x1; (3) x=8y2; (4). 425=22222 解： (1) x+y=16 ；(2)-7(5sin )=1；0(3) 8 s-incos =；0 (4) y=x (x 0) 6判

5、斷下列各組函數(shù)中的 f(x) 與 g(x)是否為同一函數(shù)？說明理由！(1) f(x)=ln2x,g(x)=-ln)x ； )(2) f(x)=1,g(x)=sec2x-tan2x； (3) f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 ; 3x+x(4) f(x)=1+x,g(x)= ； x解： (1) 是； (2) 不是，因為定義域不同； (3) 不是，因為定義域不同； (4) 不是，因為定義域不同7試確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：3-x(1) y=+ln(-x) ； (2) y=； (3) y=1-sinx. x1-x3 解： (1) 函數(shù)的定義域為 (- ,0，) x此時，函數(shù) y1=單調(diào)遞減， y

6、2=ln(-x) 也是單調(diào)遞減，則 y=y1+y2 在(-,0)內(nèi)也是遞減的(2) 函數(shù)的定義域為 (- ,1) (1,+，而)y=1 在(- ,1)及(1,+ 上)單調(diào)遞減，故 x-1y=-x1 是在其定義域單調(diào)遞減 =1+1-xx-1(3) 函數(shù)的定義域為 (- ,+ ，)在(2k - 2,k2 +2 函)數(shù)是單調(diào)遞減的，在(2k +2,k2 +3函數(shù)是單調(diào)遞增的 . )2(2) y=tan1； x8. 判定下列函數(shù)的奇偶性： (1) y=x2+2cosx-1； ex+e-x(3) y=；(4) y=2解： (1)因為定義域為 r 關(guān)于原點對稱，且 f(-x)=x2+2cosx-1=f(x

7、) ，所以是偶函數(shù)1(2) 因為定義域為 r0 關(guān)于原點對稱，且 f(-x)=-tan=-f(x) ，所以是奇函數(shù) x-xxe+e(3) 因為定義域為 r 關(guān)于原點對稱，且 f(-x)=f(x) ，所以是偶函數(shù) 2(4) 雖然定義域為 r 關(guān)于原點對稱，但f(-x)=lg(x+-1=- lg(x f(x-)f,(x) ， 所以是非奇非偶函數(shù)9設(shè) f(x) 是定義在 -l,l 上的任意函數(shù)，證明：(1) f(x)+f(-x) 是偶函數(shù)， f(x)-f(-x) 是奇函數(shù)；(2) f(x) 可表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式.證明：（ 1）令 g(x)=f(x)+f(-x),h(x)=f(x)-f(-

8、x)，則它們的定義域為 -l,l ，且g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x),h(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x)， 所以 f(x)+f(-x) 是偶函數(shù)， f(x)-f(-x) 是奇函數(shù)f(x)+f(-x)f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)（2）任意函數(shù) f(x)= ，由（ 1）可知是偶函數(shù)， +222 f(x)-f(-x) 是 奇 函 數(shù) ， 所 以 命 題 得 證 2 10判斷下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？若是，指出其最小正周期：(1) y=|cosx|； (2) y=xcot2x(3) y=2-sin 2；x (4) y=sin2x.解： (1)周期函數(shù)，最小正周期為 ；(

9、2)不是周期函數(shù)；2(3)周期函數(shù)，最小正周期為； (4)周期函數(shù)，最小正周期為 11求下列函數(shù)的反函數(shù)： 2x(1) y=x ； (2)y=lnx+ 2-1yy 解： (1) 依題意， 2x=，則 x=log2，所以反函數(shù)為 y-1y-1xf-1(x)=log2,x (- ,1) (1,+x)-1ey1ex1-1(2) 依題意， x=-y，所以反函數(shù)為 f(x)=-x, x r 2e2e 12試判斷下列函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成：202(1) y=e(1+x)； (2) y=(arcsinx2)4； (3) y=3cosx；(4) y=ln(1 (解： (1) 由 y=eu,u=v20,

10、v=1+x 復(fù)合而成；(2) 由 y=u4,u=arcsinv,v=x2 復(fù)合而成；(3) 由 y=3u,u=v2,v=cosx 復(fù)合而成； (4)由 y=lnu,u=1v=1+x2 復(fù)合而成；? 1 , |x|<1 ,? 13設(shè) f(x)= ? 0, |x|=1, g(x)=ex，求 f(g(x) 與 g(f(x) ，并作出函數(shù)圖形? -1, |x|>1,? e, |x|<1 ,? 1 , x<0 ,? 解： f(g(x)= ? 0 , x=0, gf(x)= ? 1, |x|=1,圖略。? -1, x>0,? -1? e, |x|>1,14. 在一圓柱形

11、容器內(nèi)倒進某種溶液，該容器的底半徑為 r，高為 h當(dāng)?shù)惯M溶液后液面的高度為 h時，溶液的體積為 v試把 h 表示為 v 的函數(shù)，并指出其定義區(qū)間v 解：依題意有 v= r2h，則 h=2,v 0, r2h r15. 收音機每臺售價為 90 元，成本為 60 元廠方為了鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購量超過 100 臺以上的，每多訂購 1 臺，售價就降低 1 元，但最低價為每臺 75 元(1) 將每臺的實際售價 p 表示為訂購量 x 的函數(shù)；(2) 將廠方所獲的利潤 l 表示成訂購量 x 的函數(shù)；(3) 某一商行訂購了 1000 臺，廠方可獲利潤多少？? 90, x 1?0解0 ：依題意有 (1

12、) p=? 190-x, 100<x；115? 75, x>115? 30x, x 1?0(02) l= ? (130-x)x, 100<x；115? 15x, x>115? (3) l=15000 元習(xí)題 1-21設(shè) xn=2n-3(n=1,2,3, )， 3n+1222(1) 求|x1-|,|x20-|,|x1000-的|值； 3332-6(2) 求 n，使當(dāng) n>n 時，不等式 |xn-| 1成0 立； 32(3) 對實數(shù) >，0 求 n，使當(dāng) n>n 時，不等式 |xn-| 成立 321211237211解： (1) |a1-|=|-|=, |

13、a10-|=|-|=, 34312361318321997211 |a1000-|=|-|=33001390031112<4，則只要 n>12222, 取 n 12222,故當(dāng)(2) 要使 |an-|<10-4,即 3(3n+1)1032n>n 時，不等式 |an-|<10-4成立 32n-3211211-3-|=< ，即 n>(3)要使|an-|< 成立，只要 |, 取 39 3n+139n+32? 11-3? n>nn 1+? ，那么當(dāng)時， |a-|< 成立. n? 93? ?2當(dāng) x1時， y=x2+2 3問 等于多少，使當(dāng) |

14、x-1|<時， |y-3|<0.01？135 解：令 |x-1|<，則<|x+1|<，要使 2225|y-3|=|x2+2-3|=|x2-1|=|x-1|x+1|<|x-1|<0.01， 2只要|x-1|<0.004，所以取 =0.00，4 使當(dāng) |x-1|< 時， |y-4|<0.01 成立2x2-13當(dāng) x時， y=22問 x 等于多少，使當(dāng) |x|>x 時， |y-2|<0.001？ x+222x-155 解：要使 |y-2|=|2-2|=2 2<0.001只, 要 x2>5000,即|x|>x+2

15、x+2x 了,所以取 x=4根據(jù)極限的定義證明： a=1； (3) lim(3x-1)=2 ； (1) lim=0 （a 為常數(shù)）； (2)n n nx 13x+5x-24 (4) lim=3. =-4 ； (5) limx-1xx-2x+20 解： (1) ? >，0 若 a=0，則任取正整數(shù) n，當(dāng) n>n 時, 總有|-0|=0< ；若 a0，na|a|a|a|a要使|-0|=，取正整數(shù) n=+1 ，當(dāng) n>n 時,總有|-0|< ，綜<，只需 n>nnn a 上可得 lim=0 ； nn1(2) ? >0,要使,取 n=,當(dāng) n>n

16、-1|= 2<,即 n>n1|<,則=1； 時,總有 n (3)? >0要, 使|3x-1-2|=3|x-1|< ，只要 |x-1|<總有|3x-1-2|< ，所以 lim(3x-1)=2 ； x13，取 =，3則當(dāng) 0<|x-1|< 時，x2-4(4) 對? >，0要使 |-(-4)|=|x-(-2)|<，取 =，當(dāng) 0<|x-(-2)|< 時，總有 x+22x-4x2-4|-(-4)|< ，所以 lim=-4 ； x-2x+2x+23x+5883x+5-3=|(5) 對|x|>1，有|, ? >

17、0要, 使|-3|< 只,要 x-1|x-1|x|-|1x-18883x+53x+5< 即,|x|>+1,取 x=1+，則當(dāng) |x|>x 時,有|-3|< 故,有 lim=3 xx-1|x|- 1-1x5用 -x 或 -語言，寫出下列各函數(shù)極限的定義：(1) limf(x)=a ； (2) limf(x)=a ； x- x ax +x af(x)=b (3) limf(x)=b ； (4) lim-+解: (1) ? >0?, x(2) ? >0?, x(3) ? >0?, (4) ? >0?, n >0,當(dāng) x<-x 時, 總

18、有|f(x)- a|< ; >0當(dāng),x>x, 總有|f(x)-a|< ; >0當(dāng),a<x<a+時,總有|f(x)- b|< ; >0當(dāng) a-<x<a時, 總有|f(x)- b|< n6若 limxn=a ，證明 lim|xn|=|a|并舉例說明：如果數(shù)列 |xn| 收斂，但數(shù)列 xn 不一定收斂證明: 因為 limxn=a, 所以? >0?, n1,當(dāng) n>n1 時,有|xn-a|< 不.妨假設(shè) a>0,由收斂n數(shù)列的保號性可知 :? n2,當(dāng) n>n2 時,有 xn>0,取 n=max

19、n1,n2,則對上述 當(dāng),n>n 時, 6有|xn|-|a|=|xn-a|< 故.lim|xn|=|a|.同理可證 a<0 時,lim|xn|=|a|成立. nn反之,如果數(shù)列 |xn| 有極限, 但數(shù)列|xn| 未必有極限 .如：數(shù)列 xn=(-1), |xn|=1， 顯然 lim|xn|=1, 但 limxn 不存在n n n7. 對于數(shù)列 xn ，若 limx2k-1=a ，limx2k=a ，證明： limxn=a kkn證明: 由于 limx2k-1=a, 所以, ? >0?,kn1>0, 當(dāng) k>n1 時，有 |x2k-1-a|< 同,理,

20、 對上述 ?,n2>0, 當(dāng) k>n2 時, 有|x2k-a|<取 n=maxn1,n2,? >0當(dāng), a|< 成立, 故 limxn=a n8. 證明：若 limf(x)=a ，limf(x)=a ，則 limf(x)=a x+ x- x證明: 由于 limf(x=)a, 則對? >0?, x1>0,當(dāng) x>x1 時,有|f(x)-a|<又x+ x-n>n 時, |xn-,則? x2>0,當(dāng) x<-x2, 有|f(x)- a|< 取.x=maxx1,x2, 當(dāng)|x|>x 時,總有 limf(x=)ax|f(x

21、)- a|< 故,有 limf(x)=a. 習(xí) 題 1-3 1求下列極限：3+n-3； (1) lim2nn 6n3-2n+3 132n-1(3) lim(+2+ +n) ；n 222(5) lim(x3-3x+5) ；x2? 1? 11+ + (2) lim ? ? ； n1? 33? 5(2n-1)(2n+1)? ? 3n+2n(4) limn+1 ； n+1n3-23x+1 (6)lim2 ；x 2x-5x+3 x2-1(7)lim2 ； x 1x+4x-5 (x+h)2-x2(9) lim ； h 0h(11) x1x3-x2-9x+9(8) lim ； x-3x3+27 1?

22、12-(10)lim? ； x 28-x32-x? 3x2-1(12) lim2 ；x x+7x-3 x3+3x(13) lim3 ；x 2x-7x+8x2+3x-8(14) lim ； x 7x4+5x3(15)lim(2x3-3x+6) ；(16)limx x + 132+2-33=1； 解 ： (1)lim2n+n-3=lim n 6n3-2n+3n6-2+33nn? 1? 11+ +(2) lim ? ? n 1? 33? 5(2n-1)(2n+1)? ?1? 11111? 1? 1? 1=lim ? 1-+-+ +-=lim1- ? n2? 2n+1? =2； n 23352-n12

23、n+1? ? ? ?-112n-1(3) lim(1+32+ +2nn)=lim(3-n-2-n)=3 ； n 2n 222221+()nnn13+23(4) limn+1=； lim=n 3-2n+1n3-2? ()n33(5) lim(x3-3x+5)=(limx)3-3limx+5=7； x 2x 2x2(limx)3+1x3+1x 2=-=3； (6)lim22x 2-5xx+3(limx)- 5limx+3 x 2x2 x2-1(x-1)(x+1)x+11=lim=lim= ； (7)lim2x 1x+4-x5x 1(x-1)(x+5)x 1x+53 x3-x2-9x+9(x-1)(

24、x-3)8=lim= ； (8) lim32x-3x-3x+27x-3x+99(x+h)2-x2(x2+2xh+h2)-x2(9) lim=lim=lim(2x+h)=2x ； h 0h 0h023x-1(12)lim2=lim=3; x x x+7x-373 1+-2xx3-1x3+3x1(13) lim3=lim=; x-7x2+x8x2-2+32xx 138+3-322x+3x-8=0; (14) lim=lim43x 7x+5xx 7+x(15)lim(2x3-3x+6)=limx3(2- x x 1+32 (16)lim x+=limx36+3)= ; 2xx 8=lim22-x=l

25、im1x=1 ? ex, x>02設(shè)函數(shù) f(x)= ? f(x) 是否存在？ ? 0, x=0,試討論 limx 0? 1-3x2,x<0?解：因為 limlimf(x)=limf(x)，所以 f(x)=limex=1,limf(x)=lim(1-3x2=)，即 1-+-+x 0x 0x 0x 0x 0x0limf(x) 存在 x0? 2x+1, x<0,3設(shè) f(x)= ? 若極限 limf(x) 存在，則 a 等于什么 ? x 02x+a, x ? 0.解：因為 lim 所以，當(dāng) limf(x)=limf(x) ，f(x)=lim2x+1=2,limf(x)=lim(2

26、x+a)=a， -+-+x 0x 0x 0x 0x 0x0即 a=2時， limf(x) 存在 x0 4已知 lim(5x=1 ，其中 a,b,c 為常數(shù)，求 a 和 b 的值x+解：因為 lim(5x= limx+2xc? 25-a=0? a=25=1，所以 ? = lim=lim ，則 ? xx=1b=10?(25-a)x+b-習(xí) 題 1-4 1計算下列極限：x1xx112xx-2xx(1)(1-) ； (2) lim(1-) ； (3) lim()-3 ； (4)lim() x x 3x 33xx+2 1解1 x x 0x-x11-x1x-3： (1) lim(1-)2x=lim(1+)

27、-x-2=e-2 ；xx3(2) lim(1-)=lim(1-)=e3 ； x x 03311? xx1x-3x3-3-33)=e3； (3) lim()=lim(1+x 33x 232? (-4)x-2x4-x+4-24)=lim(1-) ? (1-) (4) lim(x x+2x x+2x+22? (-4)4-x+4-2=lim(1-)4 ? lim(1-)=e- 4 x x x+2x+22. 計算下列極限sin3x3tanx-sinx； (2) limxsin ； (3)lim ； 3x 0sin5xx x 0xx x(4) lim-1cos2x； (5)lim3nsinn（ x 為不等

28、于零的常數(shù)） 5n 3x 0 x2sin3xsin3x5x33 解： (1)lim=lim ? ? =； x 0sin5xx 03xins5x55 3sin3=3； (2) limxsin=3limx x 3xxxsintanx-sinxsinx(1-cosx)1sinx1(3) lim=lim=lim ? ()2=；33x 0x 0xxxcosx2x 0x2 221-cos2x2sin2xsinx? (4) lim=lim=lim ? = 55x 0+x 0+x 0+?x x2x2 xsinnx=x (5) lim3nsinn=xlimn n x33n3. 利用極限存在準(zhǔn)則證明： (1) l

29、im+(1)的極限存在；(2)lin （1a>0 為常數(shù)）； ? (3)lim+ =1 ； n 14( ) limx=1 x 0+x(1) 證明：x2x1>0，假設(shè) xn>xn-1>0 成立，則xn+1=xn，由數(shù)學(xué)歸納法只數(shù)列 xn 單調(diào)遞增又因為 x1<1，假設(shè) xn<1xn+1=10<xn<1，即數(shù)列 xn 有界；根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知 limxn 存在 n(2) 證明：因為1a? a? 1+，又 lim1=lim 1+ ? =1，所以 =1 n n n?nn?+ + (3)， 10又 n=n=1，所以? lim+ =1 n1? 1? 1(4)

30、 證明：對任一 xr，有 x-1 x有-1? ? x? x? x，則x當(dāng) x0時，11? 1? ? 1? +x 因為 x0，所以 x>0，此時， x(- 1) ?x? x? ，由夾逼準(zhǔn)則得 lim? x? =1x0+xx ? x? ? ? 習(xí) 題 1-5 1用極限定義證明：x2-42+5x(1) y=為當(dāng) x-2 時的無窮小； (2) y=為當(dāng) x0時的無窮大 xx-2x2-4| 時, 總有證明 : (1) ? >0因, 為|,取-0=|x|+2|則=當(dāng),0<|x+2<x-2x2-4x2-1x2-4 為當(dāng) x-2 時的無窮??； |-0<| 故,lim=0 ，從而

31、y=x 1x+1x-2x-22-5x222|=|-5|>-5>m,所以 (2) ? m>0, ? =當(dāng),0<|x|< 時,總有|xx|x|m+52+5x2+5x 為當(dāng) x0時的無窮大 . lim=，即 y=x 0xx2. 計算下列極限： 1cosx(1) limsinx； (2) lim2 ； x xxx arctanx(3) lim； (4) limxarccot(lgx) x 0x lnx11 解： (1) 因為 sinx 在(- ,+ 上)有界， lim=0 ，由定理 3 知 limsinx=0 ；x xxx1cosx(2) 因為 cosx在(- ,+ 上)

32、有界， lim2=0 ，由定理 3 知 lim2=0 ； x xxx 1arctanx(3) 因為 arctanx 在(- ,+ 上)有界， lim=0 ，由定理 3 知 lim=0 ；x lnxx lnx(4) 因為 arccot(lgx)在(- ,+ 上)有界， limx=0 ，由定理 3 知 limxarccot(lgx)=0 x 0x03. 函數(shù) y=x2cosx 在(0,+ 內(nèi))是否有界？該函數(shù)是否為 x+時的無窮大？ 解答:因為? m>0, 取 n0=m+1, ? x0=2n0(0,+ ，)使得 yn0=(2n0 )cos(2n0 )=(2n0 ，)>m所以 y=x2c

33、osx 在(0,+ 內(nèi))是無界的 . 22但，若取 xn=2n+,則 yn=0,故當(dāng) n時, yn 0(xn +，)當(dāng) x+時，函數(shù) 2 y=x2cosx 不是無窮大量 4. 證明：函數(shù) y=11sin 在其定義域上無界，但它不是 x0時的無窮大 xx12n0+證明：因為 ? m>0, 取 n0=m+1, ? x0=2 (0,+ ，)使得 yn0=(2n0+)sin(2n0 +)=2n0 +，>m222所以 y= 11在sin(0,+ 內(nèi))是無界的 . xx1,則 yn=0,故當(dāng) n時, yn 0(xn +，)當(dāng) x+時，函數(shù) 2n但，若取 xn= y=11sin 不是無窮大量 x

34、x5. 利用等價無窮小的性質(zhì)，求下列極限：3xsin(kx)(1)lim ； (2) lim （ k,t 是不為零常數(shù)）； x 0sin5xx 0tantx ln(1+3x-2x2)3x+5x2-x3(3) lim ； (4)lim3； x 0x 0tan3x 2arctanx(5) limsinx2； (6)x 0x 0 e3-1x2+tanx-sin5xlim(7) lim ； (8) 3+x 0x 0tan3-x? a+b? (9) lim ? ,其中 a>0,b>0,均為常數(shù) . x 0?2? 3x3x3 解 ： (1)lim=lim= ； x 0sin5xx 05x5 s

35、in(kx)kxk(2) lim=lim= ； x 0tantxx 0txt ln(1+3x-2x2)3x-2x2(3) lim=lim=1 ； x 0x 0tan3x3x3x+5x2-x33x+5x2-x33(4)lim3=lim= ； x 0x+2arctanxx 02x2 222arcsinxxx=lim=3lim=3 ； (5)limtanx2x 0x 0tanx2x 0tanx2 e3-13xx3x12x(6) =lim ? 2x 0x x 0(3x)x 12=1= 18x2+tanx-sin5x-4x4(7) lim ；=lim=- x 0x 03xtan3x-x3312x1(8)

36、lim ； =lim=lim ? lim=x 0+x 0x 0+1x 0+2x? x2 a3limln(ax+bx3(9)lim()x=ex0x 02x1+bxx)ln(2=e3limx 0ax+-b2x+1)2x=e1xx(a+b-2)3limx 0x=e3(a-x1)+(bx- 1)lim2x 0x=e3(lna+lnb)2=(ab) 3 26證明：當(dāng) x0時， ln(1+x)x 11ln(1+x)x=limln(1+x)=lnlim(1+x)x=lne=1，ln(1+x)x 證明：因為 lim 當(dāng) x0 時， x0x0x0x17. 證明：當(dāng) x01 x.n1+x-1 證明：因為 =lim

37、x 0x 0n-1n-2xx+1nn1=lim=1 ， x 0n-1+n-2+ +1n 1 所以，當(dāng) x01 x. n8當(dāng) x0時，若 (1-asinx)-1 與 xarctanx 是等價無窮小，試求 a 解：依題意有l(wèi)im 124124(1-asinx)-1=1， 因為當(dāng) x0時， x 0xarctanx141242(1-asinx)-1=? ? 1+(-asinx)? ? -112411? (-asinx2) ? (-ax2)，arctanx x， 441? (-ax2)(1-asinx)-1a=lim=-=1 ，故 a=-4. 所以 limx 0x 0xarctanxx24 習(xí) 題 1-

38、6 1研究下列函數(shù)的連續(xù)性：? x, x 是有理數(shù) (1) f(x)=|x| (2) f(x)= ? 0, x 是無理數(shù)解：（ 1）在(-,+ 內(nèi))連續(xù)；（2）f(x) 在 r 上 處 處 不 連 續(xù) 。2討論下列函數(shù)的間斷點的類型如果是可去間斷點，則補充或改變函數(shù)的定義使其連續(xù)(1) f(x)=sgnx ； (2) f(x)=sinx 1x 1+ex4-1(3) f(x)=x ； (4)f(x)=2 ； x-1 2x-11(5)f(x)=2 ； (6) f(x)=xsinxx-3x+2 解： (1) x=0為跳躍間斷點；sinx(2) 因為 lim=0 ，所以 x=0 為可去間斷點，補充定義

39、 f(0)=0，則函數(shù) f(x) 在1x 01+ex(- ,+ 內(nèi))連續(xù)；(3) x=n,n=0, 1,±2, 為跳躍間斷點；x4-1(4) 因為 lim2 所以 x=±1 為可去間斷點，補充定義f(1)=2,f(-1)=2 ，則函數(shù)f(x)=2 ，x± 1-x1在(-,+ 內(nèi))連續(xù)；(5) x=1 為可去向斷點，若令 f(1)=-2,則 f(x) 在 x=1 連續(xù)； x=2 為第二類向斷點 1(6) 因為 limx=0 ，所以 x=0 為可去間斷點，補充定義f(0)=0 ，則函數(shù) f(x) 在x 0x(- ,+ 內(nèi))連續(xù)；? sinx, x<0,3當(dāng) a取

40、何值時，函數(shù) f(x)= ? 在 x=0 處連續(xù) a+x, x? 0解：因為 limf(x)=limsinx=0,limf(x)=lim(a+x)=a,f(0)=a,所以，依題意有 a=0. -+x 0x 0x 0x0? 2cosx, x設(shè)c4數(shù) 2ax+b, x>c?f(x)= ? 其中 b,c 是已知常數(shù)試選擇 a，使 f(x) 為連續(xù)函22 解：因為 limf(x)=lim2cosx=2cosc,limf(x)=lim(ax+b)=ac+b,f(c)=2cosc, 所-+xcxcx 0xc以，若 c=0,則 f(x) 為連續(xù)函數(shù)必要求 b=2,此時 a 可取任意實數(shù)；若 c0則,

41、取2cosc-b，就可以使得 f(x) 為連續(xù)函數(shù) a=c25. 證明 : 若函數(shù) f(x) 在區(qū)間 i 上最大值與最小值相等，則 f(x) 是區(qū)間 i 上的常值函數(shù) 14證明：設(shè) maxf(x)=minf(x)=m ，則對? xi,m f(x) ，m即 f(x)=m( x ? i) xixi，所以 f(x) 是區(qū)間 i 上的常值函數(shù)6. 證明 : 方程 x-2+3sinx=0 在區(qū)間 (0,)內(nèi)至少存在一個實根 2證明：令 f(x)=x-2+3sinx ，則 f(x) 在0, 上連續(xù)，又 f(0)=-2<0 ， f()=+1>0,222根據(jù)零點定理， f(x)=x-2+3sinx

42、 在開區(qū)間 (0,)內(nèi)至少有一點 使 f( )=，0 即方程 2 x-2+3sinx=0 在區(qū)間 (0,)內(nèi)至少存在一個實根 27. 證明方程 x=asinx+b 至少存在一個正根，并且它的根不超過a+b，其中a>0,b>0 證明：令 f(x)=x-asinx-b ，并取正整數(shù) k，使得 2k + 2>a+b，則 f(x) 在0,2k 上+連續(xù)，又 f(0)=-b<0 ， f(2k +)=2k -a-+b>0,根據(jù)零點定理， 222 f(x)=x-asinx-b 在開區(qū)間 (0,2k +2 即方程 x=asinx+b 至)內(nèi)至少有一點 使 f( )=，0少存在一個

43、正根又因為 x=asinx+b +ab，所以它的根不超過 a+b8. 設(shè)函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 a,b上滿足 lipshtz 條件,即存在正常數(shù) l, 使得對任意的x,ya,b，恒有 f(x)- f(y) l-yx;又 f(a)? f(b)<0證明：至少存在一點 (a,b)，使得 f( )=0證明：任取 x (a,b)，取?x，使 x+?x (a,b)，依題意有 0f(x+?x)-f(x) l?，x 則limf(x+?x) -f(x)=0 ，即 limf(x+?x)=f(x) ，由 x 的任意性，可知 f(x) 在(a,b)內(nèi)連?x 0?x0續(xù)，同理可證 f(x) 在點 a 右連續(xù)，點

44、 b 左連續(xù)，那么， f(x) 在a,b上連續(xù)。而且f(a)? f(b)<0，根據(jù)零點定理，至少有一點 (a,b)，使得 f( )=0 9證明：若函數(shù) f(x) 在區(qū)間a,b)上連續(xù)，且 limf(x) 存在，則 f(x) 在區(qū)間a,b)上有- xb界f(x) 存在，則必有 >，0使得 b- >，a并且 f(x) 在區(qū)間 (b- ,b上)證明：因為 lim- xb有界，即存在 m1>0，使得 f(x) m1?(x(b-,b)；) 又 f(x) 在a,b-上連續(xù)，由有界性定理知，存在 m2>0，使得 f(x) m2 (? xa,b-，)當(dāng) xa,b)時，總有 f(x

45、) m，即 f(x) 在a,b)內(nèi)有界 習(xí)題 1-71. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性：x3+27(1) f(x)=xe+sin(x+1) ； (2)f(x)= ；取 maxm1,m2=m ，則(3) f(x)=x+3 2x3解： (1) 因為 f(x)=x2ex+sin(x3+1) 在(-,+ 上)是初等函數(shù)，所以 f(x) 在(-,+ 上) 15連續(xù)x3+27x3+27（2）因為 lim 的可去間斷點 =27，則 x=-3 是函數(shù) f(x)= x-3x+3x+3（3）f(x) 在(-,+ 內(nèi))連續(xù)2. 求下列極限： x2+ln(2-x)ln(1+x2)(1) lim ； (2) lim ； (3)

46、limx) ；x+x 1x 0xtanxarctanx(4) lim(1+tanx)x0 3sinx； (5) lim(1-2x) x01-xsinx； (6)lim(1+xe) x012x1-cosx；(7)limnlnn-ln(n+2) n x2+ln(2-x)x2+ln(2-x)12+ln(2-1)4解： (1) 因為是在點 x=1 處連續(xù)，所以 lim = ；x 1arctanxarctan1 arctanx 1ln(1+x2)x2x2=lim ? ln(1+x)=1 ； (2) lim x 0x 0tanxxtanx(3)limx)=limx+x+=arctan(lim=arctan

47、1=； x41(4)lim(1+tanx) x03sinx=e tanx1lim3 ? ln(1+tanx)x 0cosx=e3；(5) lim(1-2x)x 0x0 1-x sinx=e2x(x-1)lim ? ln(1- 2x)x 0sinx-12x=e-2； 1(6)lim(1+xe) n12x1-cosx=lim(1+x2ex)xe x0? x2? ex1-cosx=e2;(7) limnlnn-ln(n+2)=limnln n n2=limnln(1- ) n+2n n+2-2n-2n-+22? n2n+2ln(1+)=lne-2=-2 =limln(1- )=limn n n+2n

48、+2? x+2?3. 證明：已知 lim ? =4，求常數(shù) a的值 xx-a? x-a(a+2)x? x+2xa+2xa+2a)=lim(1+)=lim(1+)+2x-a=ea+2 ，則 ea+2=4，所以解：因為 lim( xx-ax x-xax-aa=-2+ln44. 假設(shè)函數(shù) f(x) 在 g(x)在點 x0 連續(xù)，證明函數(shù)x?(x)=maxf(x),g(x) ， (x)=minf(x),g(x)也在點 x0 連續(xù) 證明：略復(fù)習(xí)題 a一、選擇題1. 下列函數(shù)中不是復(fù)合函數(shù)的是（ ）ay=()； b. y=e1+x； cy=ln-x ； d y=sin(2x+1)2. 當(dāng) x0時，下列哪一

49、個無窮小是比 tanx2 高階的無窮?。?）ax2； b1-cosx； c1； dsinx-tanx1x3-2x-e2 為（ ） 3極限 lim- x 2x-2a1； b0； c； d不存在但不為 4若當(dāng) x0時， (x和)一定是無窮?。?） (x都)是無窮小，則當(dāng) x0時，下列表達(dá)式中哪一個不 2(x)22a | (x-)(x)；|b (x)+ ；(x)c； dsin (?x) (x) (x)? x2+2x+b,x? 15, 設(shè) f(x)= ? x-1 適合 limf(x)=a ，則以下結(jié)果正確的是（ ）x1? a,x=1?ab=-3,a=4,a 可取任意實數(shù)； ba=4,a=4,b 可取任

50、意實數(shù)； ca=4,b=-3,a=4； da,b,a 都可取任意實數(shù)解： 1.a; 2 d; 3 b; 4c; 5 a.二.填空： 13x2 1函數(shù) y=lnx 的定義域是；2. y=lnsine 是由基本初等函數(shù)3 復(fù)合而成的；f(x)=x；-x? x+1? 4lim ? xx? =；ax2+bx+1=2，則 a=，b=. 5.已知 a,b 為常數(shù)， limx 2x+1-1x 解： 1(0,4；2 y=lnu,u=sinv,v=e； 3 (- ,+ ；)4e；5. a=0， b=4二、解答下列各題11已知 f(x)= ，g(x)=fg(x) 及其定義域 22-x解： fg(x)=x|x -1 且 x (2k + 2)2-1,k z ； 2求下列極限：(1) lim x2n+1；(2) lim(+ x0tanx+x2sin； xx1；(3) lim2nsin n arcsinx2cos(4) lim x01-cos(sinx)(5) lim ；