二章導(dǎo)數(shù)與微分ppt課件

1、主講人：張少?gòu)?qiáng)主講人：張少?gòu)?qiáng)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率 相關(guān)變化率 31yx 假設(shè)由方假設(shè)由方程程( , )0F x y 可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,由由( )yf x 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)稱為顯函數(shù) .例如例如,310 xy可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù)57230yyxx 可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不能顯化但此隱函數(shù)不能顯化 .函數(shù)為隱函數(shù)函數(shù)為隱函數(shù) .那么稱此那么稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: (

2、 , )0F x y d( , )0dF x yx 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)y例例1. 求由方程求由方程57230yyxx ( )yy x 在在 x = 0 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)d.d0yx x 解解: 方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)57d(23)dyyxxx 得得4d5dyyxd2dyx 1621x 0 64d121d52yxxy 因因 x = 0 時(shí)時(shí) y = 0 , 故故d1d20yx x 0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)例例2. 求橢圓求橢圓221169xy在點(diǎn)在點(diǎn)32( 2 ,3 )處的切線方程處的切線方程.解解: 橢圓方程兩邊對(duì)橢圓方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)

3、8x29y y 0 y3223xy 916xy 3223xy 34 故切線方程為故切線方程為332y 34 (2)x 即即348 30 xy 例例3. 求求sin(0)xyxx的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . 解解: 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù) , 化為隱式化為隱式lnsinlnyxx兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)1yy coslnxxsin xx sinsin(cosln)xxyxxxx 1) 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù)vyu 可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo) :lnlnyvu 1yy lnvu u vu (ln)vu vyuvuu lnvyuu v1vvuu 闡明闡明: :按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)

4、求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式留意留意:2) 有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便 .例如例如,(0 ,0 ,1)xababxayabbxab 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)ln y 兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)yy lnabax bx xababxybxa balnxaxblnaxb lnlnabx lnln bxa 又如又如, (1)(2)(3)(4)xxyxx (ln)uuu 1ln2y 對(duì)對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo) 12yy 1(1)(2)2(3)(4)xxyxx 11111234xxxx 兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)ln1ln2xx ln3ln4xx 11x 12x 13x 14x 課本課本

5、P.105 例例6假設(shè)參數(shù)方假設(shè)參數(shù)方程程( )( )xtyt 可確定一個(gè)可確定一個(gè) y 與與 x 之間的函數(shù)之間的函數(shù)( ),( )tt可導(dǎo)可導(dǎo), 且且22( )( )0,tt 那那么么( )0t 時(shí)時(shí), 有有ddyx ddddyttx d1dddyxtt( )( )tt ( )0t 時(shí)時(shí), 有有ddxy ddddxtty d1dddxytt( )( )tt (此時(shí)看成此時(shí)看成 x 是是 y 的函數(shù)的函數(shù) )關(guān)系關(guān)系,假設(shè)上述參數(shù)方程假設(shè)上述參數(shù)方程中中( ),( )tt二階可導(dǎo)二階可導(dǎo),22ddyx dd()ddyxx2( ) t ( )( )tt( )( )tt ( ) t 3( )(

6、)( )( )( )ttttt 3yxxyx d d()ddytx ddxtd( )d( )ytxt ( )xt 且且( )0,t 那么由它確定的函數(shù)那么由它確定的函數(shù)( )yf x 可求二階導(dǎo)數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù) .利用新的參數(shù)方程利用新的參數(shù)方程,可得可得)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?例例4. 設(shè)設(shè))(tfx, 且,0)( tf求(p.111. 8(4).dd22xy ddxy)(tft )(tf , t dd22xy1)(tf 知解解:)()(tftfty練習(xí)練習(xí): P111 題題8(1),1221tytxxydd;1t22ddxy21tt31t解解:留意留意 :例例5. 拋

7、射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為1 xv t 求拋射體在時(shí)辰求拋射體在時(shí)辰 t 的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小先求速度大小:速度的程度分量為速度的程度分量為,dd1vtx垂直分量為垂直分量為,dd2tgvty故拋射體速度大小故拋射體速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向再求速度方向(即軌跡的切線方向即軌跡的切線方向):設(shè)設(shè) 為切線傾角為切線傾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 那么那么yxo2122yv tgt拋射體軌跡的參數(shù)方程拋射體軌跡的參數(shù)方程22121 tgtvytvx速度的程度分量速度

8、的程度分量,dd1vtx垂直分量垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在剛射出在剛射出 (即即 t = 0 )時(shí)時(shí), 傾角為傾角為12arctanvv到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)辰到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)辰,2gvt 高度高度ygv2221落地時(shí)辰落地時(shí)辰,22gvt 拋射最遠(yuǎn)間隔拋射最遠(yuǎn)間隔xgvv212速度的方向速度的方向yxo2vt g22vt g例例6. 設(shè)由方程設(shè)由方程222 (01)sin1xtttyy 確定函數(shù)確定函數(shù)( ),yy x 求求d.dyx解解: 方程組兩邊對(duì)方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo) , 得得故故ddyx (1)(1cos )tty ddytddxt2t d2d1cosytty 2

9、2tcos y ddyt0 d2(1)dxttddytddxt 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率( ) ,( )xx tyy t 為兩可導(dǎo)函數(shù)為兩可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)絡(luò)之間有聯(lián)絡(luò)dd,ddxytt之間也有聯(lián)絡(luò)之間也有聯(lián)絡(luò)稱為相關(guān)變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題解法相關(guān)變化率問題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率例例7. 一氣球從分開察看員一氣球從分開察看員500 m 處離地面鉛直上升處離地面鉛直上升,其速率為其速率為,minm140當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為 500 m 時(shí)時(shí),

10、 察看員察看員視野的仰角添加率是多少視野的仰角添加率是多少? 500h解解: 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么那么tan500h兩邊對(duì)兩邊對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)2sectddthdd5001知知,minm140ddth h = 500m 時(shí)時(shí),1tan22tan1sec,2sec2td 0)minrad/(思索題思索題: 當(dāng)氣球升至當(dāng)氣球升至500 m 時(shí)停住時(shí)停住 , 有一觀測(cè)者以有一觀測(cè)者以100 mmin 的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來, 當(dāng)間隔為當(dāng)間隔為500 m 時(shí)時(shí), 仰角的添加率是多少仰角的添加率是多少 ?提示提示: tan 500 x對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)2sec ddt 2500 ddxxt 知知d100m min ,dxt d.dt x500500m,x 求求內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法那么隱函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)2. 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 :適用于冪指函數(shù)及某些用連乘適用于冪指函數(shù)及某些用連乘,連除表示的函數(shù)連除表示的函數(shù)3. 參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法4. 相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題列出依賴于列出依賴于 t 的相關(guān)變量