高中數(shù)學(xué)《排列與組合》文字素材4 新人教A版選修2-3

1、第十章 排列、組合和二項(xiàng)式定理1.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理（1）分類相加原理：做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中又有m1種不同的方法，在第二類中有m2種不同的方法，在第n類方法中又有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N= m1+ m2+mn種不同的方法。（2）分步相乘原理：做一件事，完成它需要分n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，在第n類方法中又有mn種不同的方法，則完成這件事，共有N= m1× m2××mn種不同的方法。分類原理和分步原理的比較分類分步相同點(diǎn)目的是為了計(jì)算完成一件事的方法數(shù)不同點(diǎn)每一類方法中的任一方法使出

2、，任務(wù)即完成（一招使出即致敵死命）；各類方法相互獨(dú)立；完成這件事的方法數(shù)為各類數(shù)的總和。一步完成，任務(wù)沒法完成（功力不足，一招無法致敵死命）；各步驟相互聯(lián)系，所有步驟完成任務(wù)才完成；完成這件事的方法數(shù)為各步驟的積。在解具體題目時(shí)，要明確:任務(wù)是什么?有什么要求？在這個(gè)要求下，任務(wù)是一步完成還是分步？從而確定是加法原理還是乘法原理。例（1）將5封信投入3個(gè)郵筒，不同的投法共有_種。（答：任務(wù)是投放5封信。一封信一封信地放，每一封信都有3種放法，所有信放完，任務(wù)結(jié)束。故共有3×3×3×3×3=35種）；（2）從4臺甲型和3臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少

3、要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有_種。（答：任務(wù)是選3臺電視，要求甲乙至少各有一臺，故只有兩類取法，甲2乙1或者甲1乙2，故共有×+×=30，若是甲乙先各取一臺，然后從剩下的那堆電視機(jī)中任選一臺，故共有4×3×5=60，是30的2倍，這種做法是錯(cuò)的。錯(cuò)因：第一步甲乙各一臺的時(shí)候，如取的是1A，第二步任取一臺取的是B，就和第一步取的是1B第二步取的是A重復(fù)，也就是說每一種取法都重復(fù)了一次。）；（3）從集合A=1，2，3和B=1，4，5，6中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中能確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_（答：任務(wù)是確定x、y值，構(gòu)造不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

4、構(gòu)成點(diǎn)的x、y有兩種來源；x從A中取，y從B中取，不同的點(diǎn)有3×4=12個(gè)， x從中B取，y從A中取，有4×3=12個(gè)，相當(dāng)于交換x、y坐標(biāo)，但注意到（1，1）交換x、y位置后仍然不變，故總數(shù)為3×4+4×31=23個(gè)）。2.排列（1）排列定義：從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。如從1，2，3，4中取出1，2兩個(gè)數(shù)，然后按從小到大排成一排，即為12.從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)的排列數(shù)，用符號表示。（2）排列數(shù)公式 =n×(

5、n-1)×(n-2)××(n-m+1)= （m，nN*，且mn）把n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列，這時(shí)排列數(shù)為= n×(n-1)×(n-2)××3×2×1=n！注：n！就是正整數(shù)1到n的連乘積叫做n的階乘，規(guī)定0！=13.組合（1）組合定義：從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)的組合數(shù)，用符號表示。（2）組合數(shù)公式 （m，nN*，且mn）（3）組

6、合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) 性質(zhì)2 4.主要解題方法（1）優(yōu)限法：受限元素或者受限位置優(yōu)先安排。例：某單位準(zhǔn)備用不同花色的裝飾石材分別裝飾辦公樓中的辦公室、走廊、大廳的地面及樓的外墻，現(xiàn)有編號為1到6的六種不同花色的石材可選擇，其中1號石材有微量的放射性，不可用于辦公室內(nèi)，則不同的裝飾效果有_種。（答：6種材料4個(gè)位置，辦公室不用1號石材，所以先從其余5種選出一種裝飾辦公室，再從包括1號的剩下的5種中選出3種裝飾另外3處地方，共有5=300）。（2）插空法：對于某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入。例： 3人坐在一排八個(gè)座位上，若每人的左右兩邊都

7、有空位，則不同的坐法種數(shù)有_種（答：三個(gè)人要坐3把椅子，將沒人坐的5把椅子擺成一排，因?yàn)橐巫記]區(qū)別，故不能排列，然后三個(gè)人搬著他們的椅子插入到中間4個(gè)空隙中，有種； 某班新年聯(lián)歡晚會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目。如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插入種數(shù)為_（答：問插入種數(shù)，故原來的排法數(shù)不能算進(jìn)來。5個(gè)節(jié)目產(chǎn)生6個(gè)空隙，節(jié)目插進(jìn)來時(shí)又分兩類，相鄰內(nèi)部還有先后，有；不相鄰有，共有42種，或者用連續(xù)插入的辦法，先插入第一個(gè)節(jié)目，有六個(gè)空隙，種方法，第一個(gè)節(jié)目插進(jìn)去之后，有個(gè)空隙，第二個(gè)節(jié)目有種方法，共與種）。 4個(gè)男生3個(gè)女生排成一排，要求女生不相鄰，則有_種不同

8、排法（答：回。（3）捆綁法：對于某幾個(gè)元素要求相鄰的問題，可把需要相連的元素捆綁在一起，看成一個(gè)大元素，和其余元素排好之后松綁，內(nèi)部再排。例：把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為_.(答：把女生捆在一起和4個(gè)男生全排是，然后女生再排，是，共有=2880)； 某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為_.(答：不中的4槍都一樣，是相同元素，它們隔出5個(gè)空隙，把中的3槍捆在一起看成一個(gè)元素，與另一次打中的不能相鄰，問題就成了把2個(gè)元素插入到5個(gè)位置中，有種)。（4）隔板法；相同元素分組問題用隔板法，就是在n個(gè)相同元素間的(n-1)個(gè)空中插入若干個(gè)

9、（b）隔板，可以把n個(gè)元素分成（b+1）組的方法。例：10個(gè)相同的球分給3個(gè)人，每人至少一個(gè)，有多少種分法？每人至少兩個(gè)呢？（答：在10個(gè)球之間的空隙插入兩塊隔板即可把球分成3堆，每堆至少一個(gè)，|，故共有=36種；若要求至少2個(gè)，則三個(gè)人先取走了6個(gè)，問題成了剩下四個(gè)球如何分給甲乙丙三人，仍然用隔板法。一.兩個(gè)隔板放置在不同位置：，種。二.兩個(gè)隔板放置在同一位置：種。故共有15種。有窮舉法：甲0乙0丙4；甲0乙1丙3；甲0乙2丙2；甲0乙3丙1；甲0乙4丙0；甲1乙0丙3；甲1乙1丙2；甲1乙2丙1；甲1乙3丙0；甲2乙0丙2；甲2乙1丙1；甲2乙20丙； 甲3乙0丙1；甲3乙1丙0；甲4乙0

10、丙0.共15種）。（5）排除法，反面明了，用總數(shù)減去不符合要求的。例：在平面直角坐標(biāo)系中，由六個(gè)點(diǎn)O(0,0)、A(1,2)、B(2,4)、C(6,3)、D(-1,-2)、E(-2,-1)可以確定多少個(gè)三角形？（答：注意到OABD共線，OCE也共線，故共有種）。（6）無序問題退序法。例：有相同的5個(gè)紅球和4個(gè)白球排成一列，有多少種不同的排法？（答：若不考慮紅球、白球內(nèi)部的順序，把紅、白9個(gè)球全排列有種，由于紅球、白球是相同的，所以紅球、白球之間不需要有順序關(guān)系，所以必須退序，即除以它們各自的全排列數(shù)，有）.7個(gè)人站成一排，甲乙丙所排次序固定不變（這三人可相鄰也可不相鄰），有多少種不同排法？（答

11、：不考慮限制條件有，然后甲乙丙退序，有）個(gè)蘋果分給個(gè)人，每人個(gè)，有多少種分法？若是分成兩堆，每堆個(gè)，有多少種分法？（答：第一個(gè)問題中，先給第一個(gè)人個(gè)，再把剩下個(gè)給第二個(gè)人，有種。第二個(gè)問題與第一個(gè)問題不同，只要分成堆，是沒有順序的，如第一次拿出的是，剩下做一堆，與第一次拿出的是，剩下一堆重復(fù)，故分好后要退序，總數(shù)為。（7）分類法，互斥問題用分類法。例：某運(yùn)輸公司有7個(gè)車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)的車都多于4輛且型號相同，要從這7個(gè)車隊(duì)中抽出10輛車組成一運(yùn)輸車隊(duì)，每個(gè)車隊(duì)至少抽一輛車，則不同的抽法有多少種？（答：每個(gè)車隊(duì)先各抽一輛車，剩下3輛車從7個(gè)車隊(duì)抽出，分三類，來自1個(gè)車隊(duì)有；來自2個(gè)車隊(duì)有2；來自3

12、個(gè)車隊(duì)有，共有+2+=84種）小結(jié)：在解排列組合問題時(shí)，一般來講，特殊元素、特殊位置優(yōu)先考慮，這就是從元素和位置兩個(gè)角度分別考慮列式，叫元素分析法和位置分析法。這兩種方法可以在同一道題中都用到。例如，某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止。則最后一只次品恰好在第五次測試時(shí)被發(fā)現(xiàn)的不同情況數(shù)是_(答：本題次品被發(fā)現(xiàn)的情況，故實(shí)質(zhì)上是要排好前面5個(gè)位置，后面的5個(gè)不用管。先選出一只次品放在第五次的位置，其余三只放在前四個(gè)位置中的三個(gè)，余下一個(gè)位置放一只正品。_ _ _ _ _5_, ).本題先考慮的是元素（次品），然后考慮位置（前面5個(gè)位置中最后剩下的一個(gè)）。4.二項(xiàng)式定理(